第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15.1.1 轴对称及其性质
知识点1 轴对称图形的识别
1(2024·天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是( )
2(2024·苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是( )
知识点2 轴对称的概念
3视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是( )
4[教材再开发·P64练习T2变式]如图(1)(2)中每幅图形中的两个图案成轴对称吗 如果是,请找出它们的对称轴,并标出一对对称点.
知识点3 轴对称的性质
练易错 轴对称图形的对称轴是直线而非射线或者线段
5下列说法错误的是( )
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形不一定能关于某条直线对称
D.角是轴对称的图形,它的对称轴是角平分线
6如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,若∠A=65°,∠B=80°,则∠F=( )
A.80° B.65°
C.45° D.35°
7(2024·河北中考)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是( )
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
8(2025·大连质检)如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论:(1)△ABC≌△A'B'C';(2)∠BAC=∠B'A'C';(3)直线l垂直平分CC';(4)直线l平分∠CAC',其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9下列四个图形中,对称轴最多的图形是( )
10如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=55°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
11如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C',D'的位置上,EC'交AD于点G,已知∠EFG=58°,那么∠BEG= .
12如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长;
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数;
(3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
13新趋势·实践操作在进行综合实践活动时,老师组织同学们通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠,使角的顶点A落在点A'处,OE为折痕,如图1;
【操作2】在图1条件下,点F是线段BC上一点,角顶点B沿线段OF折叠,点B落在点B'处,且点B'在长方形内.
【任务】
(1)在图1中,若∠AOE=35°,求∠A'OB的度数;
(2)在操作2中,当点B'刚好落在线段OA'上时,如图2,求∠EOF的度数;
(3)在操作2中,当点B'不在线段OA'上时,试猜想∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系,并说明理由.第十五章 轴对称
15.1 图形的轴对称
15.1.1 轴对称及其性质
知识点1 轴对称图形的识别
1(2024·天津中考)在一些美术字中,有的汉字是轴对称图形.下面4个汉字中,可以看作是轴对称图形的是(C)
2(2024·苏州中考)下列图案中,是轴对称图形的是(A)
知识点2 轴对称的概念
3视力表中的字母“E”有各种不同的摆放形式,下面每种组合中的两个字母“E”不能关于直线l成轴对称的是(C)
4[教材再开发·P64练习T2变式]如图(1)(2)中每幅图形中的两个图案成轴对称吗 如果是,请找出它们的对称轴,并标出一对对称点.
【解析】(1),(2)中的两个图案均成轴对称,对称轴及对称点如图所示.(对称点位置不唯一)
知识点3 轴对称的性质
练易错 轴对称图形的对称轴是直线而非射线或者线段
5下列说法错误的是(D)
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形不一定能关于某条直线对称
D.角是轴对称的图形,它的对称轴是角平分线
6如图,△ABC与△DEF关于直线l对称,若∠A=65°,∠B=80°,则∠F=(D)
A.80° B.65°
C.45° D.35°
7(2024·河北中考)如图,AD与BC交于点O,△ABO和△CDO关于直线PQ对称,点A,B的对称点分别是点C,D.下列不一定正确的是(A)
A.AD⊥BC B.AC⊥PQ
C.△ABO≌△CDO D.AC∥BD
8(2025·大连质检)如图,△ABC和△A'B'C'关于直线l对称,下列结论:(1)△ABC≌△A'B'C';(2)∠BAC=∠B'A'C';(3)直线l垂直平分CC';(4)直线l平分∠CAC',其中正确的有(D)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
9下列四个图形中,对称轴最多的图形是(A)
10如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=55°,AD⊥BC,垂足为D,△ADB与△ADB'关于直线AD对称,点B的对称点是点B',则∠CAB'的度数为(B)
A.10° B.20° C.30° D.40°
11如图,把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后,点C,D分别落在C',D'的位置上,EC'交AD于点G,已知∠EFG=58°,那么∠BEG= 64° .
12如图,△ABC和△ADE关于直线MN对称,BC和DE的交点F在直线MN上.
(1)若ED=15,BF=9,求EF的长;
(2)若∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,求∠BFN的度数;
(3)连接BD和EC,判断BD和EC的位置关系,并说明理由.
【解析】(1)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,ED=15,BF=9,
∴EF=CF,BF=DF=9,ED=CB=15,
∴EF=ED-DF=ED-BF=15-9=6.
(2)∵△ABC和△ADE关于直线MN对称,∠ABC=35°,∠AED=65°,∠BAE=16°,
∴∠AED=∠ACB=65°,
∴∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-35°-65°=80°,
∵∠BAE=16°,
∴∠EAC=∠BAC-∠BAE=80°-16°=64°,
∵线段AE与AC关于直线MN对称,
∴∠EAN=∠CAN=∠EAC=×64°=32°,
∴∠BAN=∠BAE+∠EAN=16°+32°=48°,
∴∠BFN=∠ABC+∠BAN=35°+48°=83°.
(3)平行,理由:
∵MN⊥EC,MN⊥BD,
∴EC∥BD,
∴BD和EC的位置关系为平行.
13新趋势·实践操作在进行综合实践活动时,老师组织同学们通过折纸开展数学探究,探索数学奥秘.
【操作1】将长方形纸片ABCD的一角向长方形内部折叠,使角的顶点A落在点A'处,OE为折痕,如图1;
【操作2】在图1条件下,点F是线段BC上一点,角顶点B沿线段OF折叠,点B落在点B'处,且点B'在长方形内.
【任务】
(1)在图1中,若∠AOE=35°,求∠A'OB的度数;
(2)在操作2中,当点B'刚好落在线段OA'上时,如图2,求∠EOF的度数;
(3)在操作2中,当点B'不在线段OA'上时,试猜想∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系,并说明理由.
【解析】(1)由折叠性质可知:∠AOE=∠A'OE,
∵∠AOE=35°,
∴∠AOA'=∠AOE+∠A'OE=2∠AOE=70°,
∴∠A'OB=180°-∠AOA'=180°-70°=110°.
(2)由折叠性质可知:∠A'OE=∠AOA',
∠B'OF=∠BOB',
∵∠AOA'+∠BOB'=180°,
∴∠A'OE+∠B'OF=(∠AOA'+∠BOB')
=×180°=90°,
即∠EOF=90°.
(3)∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系为:
∠AOE+∠BOF-∠A'OB'=90°或∠AOE+∠BOF+
∠A'OB'=90°.
理由:由折叠性质可知:∠AOE=∠AOA',
∠BOF=∠BOB',
①当点B'在OA'的左侧时,如图,
∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB'=180°,
∴∠AOA'+∠BOB'-∠A'OB'=90°,
∴∠AOE+∠BOF-∠A'OB'=90°;
②当点B'在OA'的右侧时,如图,
∠AOA'+∠BOB'+∠A'OB'=180°,
∴∠AOA'+∠BOB'+∠A'OB'=90°,
∴∠AOE+∠BOF+∠A'OB'=90°.
综上所述,∠AOE,∠BOF,∠A'OB'之间的数量关系为:
∠AOE+∠BOF-∠A'OB'=90°或∠AOE+∠BOF+
∠A'OB'=90°.
