15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为(C)
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2如图,线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°,则∠BDC的度数为(B)
A.48° B.96° C.90° D.84°
3(2024·镇江中考)如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD= 3 .
4如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,若△ADF的周长是16,求BC的长.
【解析】∵AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,
∴AD=BD,AF=CF,
∵△ADF的周长是16,
∴BC=BD+DF+CF=AD+DF+AF=16.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在(A)
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
6如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
【证明】连接BC,
∵AB=AC,DB=DC,∴A在线段BC的垂直平分线上,D在线段BC的垂直平分线上,
即AD是线段BC的垂直平分线,
∵E在直线AD上,∴BE=CE.
知识点3 互逆命题和互逆定理
7下列定理中,没有逆定理的是(D)
A.同旁内角互补,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同位角相等,两直线平行
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
8写出下列命题的逆命题,并判断此逆命题真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0.
(2)内错角相等.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角.
(4)三角形三个内角的和等于180°.
【解析】(1)如果a>0,b<0,那么ab<0为真命题;
其逆命题为:如果ab<0,则a>0,b<0,此逆命题为假命题.
(2)内错角相等的逆命题是相等的角是内错角,逆命题是假命题,原命题是假命题.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角的逆命题是若两个角互为邻补角,则两个角相加等于180°,逆命题是真命题,原命题是假命题.
(4)命题“三角形三个内角的和等于180°”的逆命题为:“内角和等于180°的多边形是三角形”,逆命题是真命题,原命题是真命题.
9(2025·杭州期中)下列命题的逆命题是真命题的是(D)
A.钝角三角形中有两个锐角
B.如果a=b,那么a2=b2
C.若△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,∠ACB=∠DFE
D.若a=2,则a3=8
10如图,在△ABC中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是(A)
A.40° B.50° C.60° D.70°
11(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
【证明】(1)∵点D为BC的中点,
∴BD=CD.
∵BE∥AC,
∴∠EBD=∠C,∠E=∠CAD.
在△BDE和△CDA中,
∴△BDE≌△CDA(AAS).
(2)∵点D为BC的中点,AD⊥BC,
∴直线AD为线段BC的垂直平分线,
∴BA=CA.
由(1)可知:△BDE≌△CDA,
∴BE=CA,
∴BA=BE.
12(2025·南京质检)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若BC=15,DE=4,则AD+AE= ;
(2)设直线DM,EN交于点O,判断点O是否在BC的垂直平分线上.
【解析】(1)∵边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E,
∴DB=DA,EA=EC,
∴AD+AE=BD+CE=BC-DE.
∵BC=15,DE=4,
∴AD+AE=15-4=11.
答案:11
(2)点O在BC的垂直平分线上.
理由:如图,连接OA,OB,OC,
∵OM是AB的垂直平分线,ON是AC的垂直平分线,
∴OA=OB,OA=OC,
∴OB=OC,
∴点O在BC的垂直平分线上.
13几何直观、推理能力、模型观念如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,
E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积.
【解析】(1)∵E为CD的中点,∴DE=CE,
在△ADE和△FCE中,
∴△ADE≌△FCE(ASA),∴AD=FC.
(2)如图,连接BE,
由(1)已证:△ADE≌△FCE,∴AE=FE,
∵点B在线段AF的垂直平分线上,
∴BE垂直平分AF,∴FB=AB=10,
∵在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,CD=8,AD=FC,
∴四边形ABCD的面积为====40.第2课时 作轴对称图形的对称轴
知识点1 作线段的垂直平分线
1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是( )
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2(2024·眉山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为( )
A.7 B.8 C.10 D.12
知识点2 作轴对称图形的对称轴
3[教材再开发·P69练习T1补充]找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.
知识点3 尺规作图:过一点作已知直线的垂线
4如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
5已知△ABC(AC6[教材再开发·P71T12变式]现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
【解析】如图所示,点P即为所求.
7请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,
∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.
【解析】(1)如图①,对称轴m即为所求;
(2)如图②,BC边的垂直平分线n即为所求.15.1.2 线段的垂直平分线
第1课时 线段垂直平分线的性质及判定
知识点1 线段的垂直平分线的性质
1如图,点P是线段AB垂直平分线上的点,PA=6 cm,则线段PB的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.6 cm D.8 cm
2如图,线段AC的垂直平分线交AB于点D,∠A=48°,则∠BDC的度数为( )
A.48° B.96° C.90° D.84°
3(2024·镇江中考)如图,△ABC的边AB的垂直平分线交AC于点D,连接BD.若AC=8,CD=5,则BD= .
4如图,△ABC中,AB的垂直平分线分别交BC,AB于点D,E,AC的垂直平分线分别交BC,AC于点F,G,若△ADF的周长是16,求BC的长.
知识点2 线段的垂直平分线的判定
5如图,在△ABC中,已知点D在BC上,且AD=DC,则点D在( )
A.AC的垂直平分线上
B.∠BAC的平分线上
C.BC的中点
D.AB的垂直平分线上
6如图,AB=AC,DB=DC,E是AD延长线上一点,求证:BE=CE.
知识点3 互逆命题和互逆定理
7下列定理中,没有逆定理的是( )
A.同旁内角互补,两直线平行
B.内错角相等,两直线平行
C.同位角相等,两直线平行
D.互为相反数的两个数的绝对值相等
8写出下列命题的逆命题,并判断此逆命题真假.
(1)如果a>0,b<0,那么ab<0.
(2)内错角相等.
(3)若两个角相加等于180°,则这两个角互为邻补角.
(4)三角形三个内角的和等于180°.
9(2025·杭州期中)下列命题的逆命题是真命题的是( )
A.钝角三角形中有两个锐角
B.如果a=b,那么a2=b2
C.若△ABC≌△DEF,则AB=DE,BC=EF,∠ACB=∠DFE
D.若a=2,则a3=8
10如图,在△ABC中,PM,QN分别是线段AB,AC的垂直平分线,若∠BAC=110°,则∠PAQ的度数是( )
A.40° B.50° C.60° D.70°
11(2024·南充中考)如图,在△ABC中,点D为BC边的中点,过点B作BE∥AC交AD的延长线于点E.
(1)求证:△BDE≌△CDA.
(2)若AD⊥BC,求证:BA=BE.
12(2025·南京质检)如图,在△ABC中,边AB,AC的垂直平分线分别交BC于点D,E.
(1)若BC=15,DE=4,则AD+AE= ;
(2)设直线DM,EN交于点O,判断点O是否在BC的垂直平分线上.
13几何直观、推理能力、模型观念如图,在四边形ABCD中,∠D=∠DCB=90°,
E为CD的中点,连接AE并延长,交BC的延长线于点F.
(1)求证:AD=FC;
(2)点B在线段AF的垂直平分线上,AB=10,CD=8,求四边形ABCD的面积.第2课时 作轴对称图形的对称轴
知识点1 作线段的垂直平分线
1如图,在△ABC中,分别以点A,B为圆心,大于AB长为半径画弧,两弧分别交于点D,E,则直线DE是(D)
A.∠A的平分线 B.AC边的中线
C.BC边的高线 D.AB边的垂直平分线
2(2024·眉山中考)如图,在△ABC中,AB=AC=6,BC=4,分别以点A,点B为圆心,大于AB的长为半径作弧,两弧交于点E,F,过点E,F作直线交AC于点D,连接BD,则△BCD的周长为(C)
A.7 B.8 C.10 D.12
知识点2 作轴对称图形的对称轴
3[教材再开发·P69练习T1补充]找出下列图形的所有的对称轴,并一一画出来.
【解析】所画对称轴如图所示:
知识点3 尺规作图:过一点作已知直线的垂线
4如图,已知钝角三角形ABC,其中∠A是钝角,求作AC边上的高BH.
【解析】如图,线段BH即为所求.
5已知△ABC(AC6[教材再开发·P71T12变式]现有三个村庄A,B,C位置如图所示,线段AB,BC,AC分别是连通两个村庄之间的公路.现要修一个水站P,使水站不仅到村庄A,C的距离相等,并且到公路AB,AC的距离也相等,请在图中作出水站P的位置.
(要求:尺规作图,不写作法,保留作图痕迹.)
【解析】如图所示,点P即为所求.
7请仅用无刻度的直尺完成下列画图,不写画法,保留画图痕迹.
(1)如图①,四边形ABCD中,AB=AD,
∠B=∠D,画出四边形ABCD的对称轴m;
(2)如图②,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=∠D,画出BC边的垂直平分线n.
【解析】(1)如图①,对称轴m即为所求;
(2)如图②,BC边的垂直平分线n即为所求.
