浙江省宁波市强基计划2025年数学测试试卷（含答案）

浙江省宁波市强基计划2025年数学测试试卷
一、选择题（共4小题）
1．已知，下面结论正确的是（　　）
A． B． C． D．
2．甲盒子里有2个白球，乙盒子中有3个白球，丙盒子中有3个白球和1个黑球，问随机选一个盒子，随机摸一个球，摸出黑色小球的概率为（　　）
A． B． C． D．
3．已知为等腰三角形，，点为的内心，点为的外心，则OI的值为（　　）
A． B． C． D．
4．已知，设的最大值为，则的最小值为（　　）
A． B．7 C． D．9
二、填空题（共5小题）
5．化简：　 　．
6．已知函数，则该函数与坐标轴围成的面积为　 　．
7．已知a，b满足，已知为正数，则　 　．
8．如图，已知为四边形ABCD的内接圆，恰好与三条边相切，半径为为四边形ABCD的外接圆，半径为，则的取值范围为　 　．
9．如图，已知点在反比例函数的图象上，为直角三角形，将旋转至，使得点恰好也在反比例函数的图象上，已知，则的值为　 　．
三、解答题（共3小题）
10．已知
（1）当时，求的最小值．
（2）当为正整数时，求abc的值．
（3）是否存在a，b，c为整数，使的值为奇数．若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
11．（1）在四边形ABED中，，在BC上有一点，连结，．证明：．
（2）若四边形ABCD为菱形，将沿CF对折，使恰好落在AD上，已知1：3，求．
12．点是的外接圆，AE为直径，在中，．
（1）求的度数；
（2）当时，求；
（3）连结OC交AB于点，过点作交EF于点，探究CF，FM，MN三者之间的数量关系．
答案解析部分
1．解：把消去b可得a=c+4，
又∵b=3a-4≥0，
解得，
∴c+4≥，
解得：
故答案为：D.
2．解：先选盒子选中丙盒子的可能性为，从中选中黑球的可能性为，
∴ 摸出黑色小球的概率为
故答案为：D.
3．解：过点A作AD⊥BC于点D，连BO，
则AD平分∠BAC，且BD=CD=3，
∴点I和O都在AD上，
∴AO=OB
，
在Rt△BOD中，，即，
解得OD=，
设内切圆的半径ID为r，则，
即，
解得，
∴，
故答案为：B.
4．解：，
∴当时，即x=-时y取得最小值，
∵开口向上，
∴y随x的增大而增大，
即当x=3时，y有最大值，M=，
∴M的最小值为，
故答案为：C.
5．解：
故答案为：.
6．解：当x<1时，y=3-x+x-1=2，与y轴交于点(0，2)，
当1≤x≤3时，y=3-x-x+1=-2x+4，与想轴交于点(2，0)，
当x>3时，y=x-3-x+1=-2，与轴没有交点；
∴ 该函数与坐标轴围成的梯形面积为，
故答案为：3.
7．解：由题可得，
即，
∴
解得：或（舍去）
故答案为： .
8．解：①如图，当点重合时，有是的内切圆，设与相切于点，
∴，平分，，
∴是等边三角形，，
∴，
∴，
∴；
②如图，当与四边形四边相切时，设与相切于点，连接，
∴，，
∴，四边形是菱形，
∵为四边形的外接圆，且是同心圆，
∴与的交点为，，
∴四边形是正方形，
∴是等腰直角三角形，
∴；
综上所述，的取值范围为，
故答案为：.
9．解：如图，延长交轴于点，过点作于点，连接，过点作轴于点，
∴
∵旋转的性质，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵点在反比例函数图象上，
∴根据反比例函数的对称性可知，
∴，
由“一线三垂直”全等模型易证，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，
整理得：，
解得：或，
∵，
∴或，
当时，，
∴，
∴，
∴；
当时，同理求出，
∴；
综上所述，的值为或，
故答案为：或.
10．（1）解：当时，，则，
可知当时，．
（2）把和代入得，
整理可得，
由于为正整数，可得=1，
从而
∴．
（3）把代入得，由于与奇偶性不同，与奇偶性不同，故与必定同为偶数，
也必定为偶数．
11．（1）如图，延长BE至点，使得，则∠DEG=∠G，
又∵DE∥AB，
∴∠B=∠DEG=∠G，
又∵∠BAC+∠B=∠ACD+∠DCG，
∴∠BAC=∠DCG，
∵AC=CD，
∴．
（2）延长DA至点G，使得FG=FA，则∠FAG=∠G，
设，则，
由折叠可得∠B=∠CB'F，BC=B'C，
∵ABCD是菱形，
∴CD=CB=CB'，CD∥AB，
∴∠D=∠B=∠CB'F=∠FAG=∠G，
∴∠DCB'+∠D=∠CB'F+∠FB'G，
∴∠DCB'=∠FB'G，
∴，
∴，即，
解得，
过作于，得，
由折叠，
．
12．（1）连结OC，OB
为直径，
（ASA）
为等边三角形
（2）连结
、B、D、H四点共圆
为等腰直角三角形
作，则
设，则
．
（3）解：∵∠CAB=30°，∠ACF=90°，
∴，
又∵MN∥AE，
∴∠CMN=∠COE=90°，
又∵∠MAN=45°，
∴，
过点M作MG⊥NC于点G，
则，，
∴，
∴.