第十五章 轴对称
一、选择题
1新课标·中华优秀传统文化剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题.用数学的眼光观察下面关于鱼的剪纸中,抽象成轴对称图形的有 个.(B)
A.1 B.2 C.3 D.4
2已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第四象限,则a的取值范围为(D)
A.a<-1 B.-1
C.-
3如图,BC=10 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为(C)
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为(A)
A.39° B.40° C.49° D.51°
5下列说法中,正确的有(B)
①两个全等的三角形一定关于某直线对称;
②关于某条直线对称的两个图形,对称点所连线段被对称轴垂直平分;
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点;
⑤△ABC的三边分别为a,b,c,且满足关系(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等边三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为(C)
A.120° B.125° C.130° D.135°
二、填空题
7如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 13 .
8在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 90°或50° .
9(2024·新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 6或12 .
10如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AB=5,D是AC的中点,P是AB上一动点,则CP+PD的最小值为 5 .
11(2024·绥化中考)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M、点N分别为射线OA、射线OB上的两个动点,则当△PMN的周长最小时,∠MPN= 80° .
三、解答题
12如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 .
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
(3)在MN上找一点P,使得PB+PC的距离最短,在图中作出P点的位置.
【解析】(1)S△ABC=3×4-×3×2-×1×4-×1×3=12-3-2-1.5=5.5.
答案:5.5
(2)如图,△A'B'C'即为所求.
(3)如图,点P即为所求.
13如图,DE=BC,∠AED=∠C,∠1=∠2=60°.求证:AE=CE.
【证明】∵∠1=∠2,
∴∠1+∠BAE=∠2+∠BAE,
即∠DAE=∠BAC,
在△ADE和△ABC中,,
∴△ADE≌△ABC(AAS),
∴AE=AC,∵∠2=60°,
∴△ACE是等边三角形,∴AE=CE.
14(2024·威海中考)感悟
如图1,在△ABE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD.
应用
(1)如图2,用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹).
【解析】感悟:
∵AB=AE,∴∠B=∠E.
在△ABC和△AED中,
∴△ABC≌△AED(SAS),
∴∠BAC=∠EAD.
应用:
(1)以点A为圆心,以AB长为半径作弧,交直线BC于一点,该点即为点E,以点A为圆心,以AC长为半径作弧,交直线BC于一点,该点即为点D,连接AD,AE,图形如图所示.
(2)以点C为圆心,以AC长为半径作弧,交AC的延长线于一点,该点即为点D,以点C为圆心,以BC长为半径作弧,交直线BC于一点,该点即为点E,连接DE,图形如图所示.
根据作图可得:CD=CA,CE=CB,
又∠DCE=∠ACB,
∴△ACB≌△DCE(SAS),
∴∠CDE=∠BAC,DE=AB.
15如图,△ABC是边长为10的等边三角形,现有两点P,Q沿如图所示的方向分别从点A,点B同时出发,沿△ABC的边运动,已知点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,当点P第一次到达B点时,P,Q同时停止运动.
(1)点P,Q运动几秒后,可得到等边△APQ
(2)点P,Q运动几秒后,P,Q两点重合
(3)当点P,Q在BC边上运动时,能否得到以PQ为底边的等腰△APQ 如存在,请求出此时P,Q运动的时间.
【解析】(1)设点P,Q运动t秒后,可得到等边△APQ,如图1,
则AP=t×1=t,AQ=AB-BQ=10-2t,
∵△APQ是等边三角形,
∴t=10-2t,
解得t=,
∴点P,Q运动秒后,可得到等边△APQ;
(2)设点P,Q运动x秒后,P,Q两点重合,
∴x×1+10=2x,
解得x=10,
∴点P,Q运动10秒后,P,Q两点重合.
(3)当点P,Q在BC边上运动时,可以得到以PQ为底边的等腰三角形,
由(2)知10秒时P,Q两点重合,恰好在C处,
如图2,假设△APQ是等腰三角形,
则AQ=AP,
∴∠APQ=∠AQP,∴∠APC=∠AQB,
∵AB=AC,∴∠C=∠B,
在△ACP和△ABQ中,,
∴△ACP≌△ABQ(AAS),
∴CP=BQ,
设当点P,Q在BC边上运动,P,Q运动的时间为y秒时,△APQ是等腰三角形,
∴CP=y-10,QB=30-2y,
∴y-10=30-2y,
解得y=.故假设成立.
∴当点P,Q在BC边上运动时,能得到以PQ为底边的等腰△APQ,此时P,Q运动的时间为秒.
16新趋势·实践探究在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动.
在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知
当∠BPC=110°时,α= °,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)思维拓展
在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗 若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由.
【解析】(1)当∠BPC=110°时,α=40°,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变小.
理由如下:
∵CA=CB,∠ACB=120°,
∴∠B=30°,
∴α=180°-110°-30°=40°.
答案:40 小
(2)∵△PCD是等腰三角形,
∠PCD=120°-α,∠CPD=30°,
①当PC=PD时,
∠PCD=∠PDC=(180°-30°)=75°,
即120°-α=75°,
∴α=45°;
②当PD=CD时,
∠PCD=∠CPD=30°,即120°-α=30°,
∴α=90°;
③当PC=CD时,
∠CDP=∠CPD=30°,
∴∠PCD=180°-2×30°=120°,
即120°-α=120°,
∴α=0°,
此时点P与点B重合,点D与点A重合,
∵点P不与A,B重合,
∴α=0°舍去,
综上所述:当△PCD是等腰三角形时,α=45°或90°.第十五章 轴对称
一、选择题
1新课标·中华优秀传统文化剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一,先后入选中国国家级非物质文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录.鱼与“余”同音,寓意生活富裕、年年有余,是剪纸艺术中很受喜爱的主题.用数学的眼光观察下面关于鱼的剪纸中,抽象成轴对称图形的有 个.( )
A.1 B.2 C.3 D.4
2已知点P(a+1,2a-3)关于x轴的对称点在第四象限,则a的取值范围为( )
A.a<-1 B.-1C.-
3如图,BC=10 cm,∠B=∠BAC=15°,AD⊥BC于点D,则AD的长为( )
A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm
4如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=24°,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD,则∠D的度数为( )
A.39° B.40° C.49° D.51°
5下列说法中,正确的有( )
①两个全等的三角形一定关于某直线对称;
②关于某条直线对称的两个图形,对称点所连线段被对称轴垂直平分;
③等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合;
④到三角形三个顶点距离相等的点是这个三角形三边垂直平分线的交点;
⑤△ABC的三边分别为a,b,c,且满足关系(a-b)(b-c)(c-a)=0,则△ABC为等边三角形.
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
6如图,P为△ABC内一点,过点P的线段MN分别交AB,BC于点M,N,且M,N分别在PA,PC的垂直平分线上.若∠ABC=80°,则∠APC的度数为( )
A.120° B.125° C.130° D.135°
二、填空题
7如图,在△ABC中,DE是BC的垂直平分线.若AB=5,AC=8,则△ABD的周长是 .
8在△ABC中,AB=AC,∠BAC=100°,点D在BC边上,连接AD,若△ABD为直角三角形,则∠ADB的度数是 .
9(2024·新疆中考)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=8.若点D在直线AB上(不与点A,B重合),且∠BCD=30°,则AD的长为 .
10如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AB=5,D是AC的中点,P是AB上一动点,则CP+PD的最小值为 .
11(2024·绥化中考)如图,已知∠AOB=50°,点P为∠AOB内部一点,点M、点N分别为射线OA、射线OB上的两个动点,则当△PMN的周长最小时,∠MPN= .
三、解答题
12如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)△ABC的面积为 .
(2)在图中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A'B'C'.
(3)在MN上找一点P,使得PB+PC的距离最短,在图中作出P点的位置.
13如图,DE=BC,∠AED=∠C,∠1=∠2=60°.求证:AE=CE.
14(2024·威海中考)感悟
如图1,在△ABE中,点C,D在边BE上,AB=AE,BC=DE.求证:∠BAC=∠EAD.
应用
(1)如图2,用直尺和圆规在直线BC上取点D,点E(点D在点E的左侧),使得∠EAD=∠BAC,且DE=BC(不写作法,保留作图痕迹).
(2)如图3,用直尺和圆规在直线AC上取一点D,在直线BC上取一点E,使得∠CDE=∠BAC,且DE=AB(不写作法,保留作图痕迹).
15如图,△ABC是边长为10的等边三角形,现有两点P,Q沿如图所示的方向分别从点A,点B同时出发,沿△ABC的边运动,已知点P的速度为每秒1个单位长度,点Q的速度为每秒2个单位长度,当点P第一次到达B点时,P,Q同时停止运动.
(1)点P,Q运动几秒后,可得到等边△APQ
(2)点P,Q运动几秒后,P,Q两点重合
(3)当点P,Q在BC边上运动时,能否得到以PQ为底边的等腰△APQ 如存在,请求出此时P,Q运动的时间.
16新趋势·实践探究在综合实践课上,老师以“含30°的三角尺和等腰三角形纸片”为模具与同学们开展如下数学活动.
在等腰三角形纸片ABC中,CA=CB,∠ACB=120°,将一块含30°角的足够大的直角三角尺PMN(∠M=90°,∠MPN=30°)按如图所示放置,顶点P在线段AB上滑动(点P不与A,B重合),三角尺的直角边PM始终经过点C,并与CB的夹角为α(∠PCB=α),斜边PN交AC于点D.
(1)特例感知
当∠BPC=110°时,α= °,点P从B向A运动时,∠ADP逐渐变 (填“大”或“小”);
(2)思维拓展
在点P滑动的过程中,△PCD的形状可以是等腰三角形吗 若可以,请求出夹角α的大小;若不可以,请说明理由.