单元提优测评卷(二)(第十四章 全等三角形)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1如图,点B,F,E,D共线,∠B=∠D,BE=DF,添加一个条件,不能判定△ABF≌△CDE的是 ( )
A.AF∥CE B.∠A=∠C C.AF=CE D.AB=CD
2如图,△ABD≌△ECB,若AD=5,DE=6,则BC的长为 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
3(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 ( )
A.60° B.65° C.70° D.75°
4(2024·青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
5如图所示,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,则∠3的度数为( )
A.42° B.52° C.62° D.72°
6如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 ( )
A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点
7如图,在3×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是 ( )
A.∠2=2∠1 B.∠2-∠1=90°
C.∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=180°
8小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是 ( )
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
9如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若=28,则DE的长为 ( )
A.2 B.3 C.4 D.5
10如图,在△ABC中,AD为中线,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为 ( )
①BE=CF; ②AG=2DE; ③S△ABD+S△CDF=S△GCF; ④S△AGC=2S△BDE.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为.
12如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件:,使△ADB≌△CEB.
13(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM=.
14如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠DBE=.
15如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA=.
16如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为.
17已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为.
18如图,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,AB>AC,∠DAB=∠CAE=50°,连接BE,CD交于点F,连接AF.下列结论:①BE=CD;②∠EFC=50°;③AF平分∠DAE;④点A到DC和BE的距离相等.其中正确的为(填序号).
三、解答题(共46分)
19(10分)如图,点F,C在BE上,BF=CE,AB=DE,DF=AC.求证:∠A=∠D.
20(10分) (2024·淄博中考)如图,已知AB=CD,点E,F在线段BD上,且AF=CE.
请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是:(只填写一个序号).
添加条件后,请证明AE∥CF.
21(12分)如图①,AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN.
(1)求∠AEB的度数;
(2)如图②,过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点D.求证:AC+BD=AB.
22(14分)(2024·通辽中考节选)【实际情境】
手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的花折伞.
【模型建立】
(1)如图1,从花折伞中抽象出“伞形图”,AM=AN,DM=DN.求证∠AMD=∠AND.
【模型应用】
(2)如图2,△AMC中,∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件:①∠AMD=2∠C;②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件,另一个作为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答)
【附加题】(10分)
【问题背景】
在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是.
【探索延伸】
在四边形ABCD中,如图2,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 说明理由.
【结论运用】
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°,试求此时两舰艇之间的距离.单元提优测评卷(二)(第十四章 全等三角形)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1如图,点B,F,E,D共线,∠B=∠D,BE=DF,添加一个条件,不能判定△ABF≌△CDE的是 (C)
A.AF∥CE B.∠A=∠C C.AF=CE D.AB=CD
2如图,△ABD≌△ECB,若AD=5,DE=6,则BC的长为 (C)
A.9 B.10 C.11 D.12
3(2024·天津中考)如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=40°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,交AB于点E,交AC于点F;再分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,两弧(所在圆的半径相等)在∠BAC的内部相交于点P;画射线AP,与BC相交于点D,则∠ADC的大小为 (B)
A.60° B.65° C.70° D.75°
4(2024·青海中考)如图,OC平分∠AOB,点P在OC上,PD⊥OB,PD=2,则点P到OA的距离是 (C)
A.4 B.3 C.2 D.1
5如图所示,AD=AE,AB=AC,∠BAC=∠DAE,B,D,E在同一直线上,∠1=22°,∠2=30°,则∠3的度数为(B)
A.42° B.52° C.62° D.72°
6如图所示,是一块三角形的草坪,现要在草坪上建一凉亭供大家休息,要使凉亭到草坪三条边的距离相等,凉亭的位置应选在 (C)
A.△ABC的三条中线的交点 B.△ABC三边的中垂线的交点
C.△ABC三条角平分线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点
7如图,在3×3的正方形方格中,每个小正方形方格的边长都为1,则∠1和∠2的关系是 (D)
A.∠2=2∠1 B.∠2-∠1=90°
C.∠1+∠2=90° D.∠1+∠2=180°
8小丽与爸妈在公园里荡秋千.如图,小丽坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1 m高的B处接住她后用力一推,爸爸在C处接住她.若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.4 m和1.8 m,∠BOC=90°.爸爸在C处接住小丽时,小丽距离地面的高度是 (D)
A.1 m B.1.6 m C.1.8 m D.1.4 m
9如图,在△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,DE⊥AB于E,DF⊥BC于F,AB=6,BC=8,若=28,则DE的长为 (C)
A.2 B.3 C.4 D.5
10如图,在△ABC中,AD为中线,过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD于点F.在DA延长线上取一点G,连接GC,使∠G=∠BAD.下列结论中正确的个数为 (D)
①BE=CF; ②AG=2DE; ③S△ABD+S△CDF=S△GCF; ④S△AGC=2S△BDE.
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题(每小题3分,共24分)
11(2024·成都中考)如图,△ABC≌△CDE,若∠D=35°,∠ACB=45°,则∠DCE的度数为 100° .
12如图,在△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,AD与CE交于点F,请你添加一个适当的条件: AB=BC(答案不唯一) ,使△ADB≌△CEB.
13(2024·湖南中考)如图,在锐角三角形ABC中,AD是边BC上的高,在BA,BC上分别截取线段BE,BF,使BE=BF;分别以点E,F为圆心,大于EF的长为半径画弧,在∠ABC内,两弧交于点P,作射线BP,交AD于点M,过点M作MN⊥AB于点N.若MN=2,AD=4MD,则AM= 6 .
14如图,AD是△ABC的高,AD=BD,BE=AC,∠BAC=70°,则∠DBE= 25° .
15如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,则∠PCA= 55° .
16如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为BC上一点,连接AD.过点B作BE⊥AD于点E,过点C作CF⊥AD交AD的延长线于点F.若BE=4,CF=1,则EF的长度为 3 .
17已知△ABC的顶点坐标分别为A(-2,3),B(-5,0),C(-1,0).若△DBC与△ABC全等,则D点的坐标为 (-4,3)或(-2,-3)或(-4,-3) .
18如图,在△ABD和△ACE中,AB=AD,AC=AE,AB>AC,∠DAB=∠CAE=50°,连接BE,CD交于点F,连接AF.下列结论:①BE=CD;②∠EFC=50°;③AF平分∠DAE;④点A到DC和BE的距离相等.其中正确的为 ①②④ (填序号).
三、解答题(共46分)
19(10分)如图,点F,C在BE上,BF=CE,AB=DE,DF=AC.求证:∠A=∠D.
【证明】∵BF=CE,∴BF+FC=CE+FC,
∴BC=EF,在△ABC和△DEF中,
∴△ABC≌△DEF(SSS),∴∠A=∠D.
20(10分) (2024·淄博中考)如图,已知AB=CD,点E,F在线段BD上,且AF=CE.
请从①BF=DE;②∠BAF=∠DCE;③AF=CF中.选择一个合适的选项作为已知条件,使得△ABF≌△CDE.
你添加的条件是: (只填写一个序号).
添加条件后,请证明AE∥CF.
【解析】可添加条件①或②(只选一个即可),证明:当添加条件①时,
在△ABF与△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SSS),∴∠B=∠D,∵BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,∴BE=DF.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠AEB=∠CFD,∴AE∥CF.
当添加条件②时,在△ABF与△CDE中,
∴△ABF≌△CDE(SAS),∴∠B=∠D,BF=DE,∴BF+EF=DE+EF,∴BE=DF.
在△ABE与△CDF中,
∴△ABE≌△CDF(SAS),∴∠AEB=∠CFD,∴AE∥CF.
21(12分)如图①,AM∥BN,AE平分∠BAM,BE平分∠ABN.
(1)求∠AEB的度数;
(2)如图②,过点E的直线交射线AM于点C,交射线BN于点D.求证:AC+BD=AB.
【解析】(1)∵AM∥BN,∴∠BAM+∠ABN=180°,
∵AE平分∠BAM,BE平分∠ABN,∴∠BAE=∠BAM,∠ABE=∠ABN,
∴∠BAE+∠ABE=(∠BAM+∠ABN)=90°,∴∠AEB=90°;
(2)在AB上截取AF=AC,连接EF,
在△ACE与△AFE中,,
∴△ACE≌△AFE(SAS),∴∠AEC=∠AEF,
∵∠AEB=90°,∴∠AEF+∠BEF=∠AEC+∠BED=90°,∴∠FEB=∠DEB,在△BFE与△BDE中,
,∴△BFE≌△BDE(ASA),∴BF=BD,∵AB=AF+BF,∴AC+BD=AB.
22(14分)(2024·通辽中考节选)【实际情境】
手工课堂上,老师给每个制作小组发放一把花折伞和制作花折伞的材料及工具.同学们认真观察后,组装了花折伞的骨架,粘贴了彩色伞面,制作出精美的花折伞.
【模型建立】
(1)如图1,从花折伞中抽象出“伞形图”,AM=AN,DM=DN.求证∠AMD=∠AND.
【模型应用】
(2)如图2,△AMC中,∠MAC的平分线AD交MC于点D.请你从以下两个条件:①∠AMD=2∠C;②AC=AM+MD中选择一个作为已知条件,另一个作为结论,并写出结论成立的证明过程.(注:只需选择一种情况作答)
【解析】(1)在△ADM和△ADN中,
∴△ADM≌△ADN(SSS),∴∠AMD=∠AND.
(2)(Ⅰ)选择②作为已知条件,①作为结论.
如图,在AC上取点N,使AN=AM,连接DN,
∵AD平分∠MAC,
∴∠DAM=∠DAN.
在△ADM和△ADN中,
∵AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD,
∴△ADM≌△ADN(SAS),
∴DM=DN,∠AMD=∠AND.
∵AC=AM+MD,AC=AN+NC,
∴DM=CN,
∴DN=CN,
∴∠C=∠CDN,
∴∠AMD=∠AND=∠CDN+∠C=2∠C.
(Ⅱ)选择①作为已知条件,②作为结论.
如图,在AC上取点N,使AN=AM,连接DN,
∵AD平分∠MAC,
∴∠DAM=∠DAN.
在△ADM和△ADN中,
∵AM=AN,∠DAM=∠DAN,AD=AD,
∴△ADM≌△ADN(SAS),
∴DM=DN,∠AMD=∠AND.
∵∠AMD=2∠C,
∴∠AND=2∠C=∠CDN+∠C,
∴∠CDN=∠C,
∴DN=CN,
∴DM=CN.
∵AC=AN+NC,
∴AC=AM+MD.
【附加题】(10分)
【问题背景】
在四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=120°,∠B=∠ADC=90°,E,F分别是BC,CD上的点,且∠EAF=60°,试探究图1中线段BE,EF,FD之间的数量关系.
【初步探索】
小亮同学认为:延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明△AEF≌△AGF,则可得到BE,EF,FD之间的数量关系是 .
【探索延伸】
在四边形ABCD中,如图2,AB=AD,∠B+∠D=180°,E,F分别是BC,CD上的点,∠EAF=∠BAD,上述结论是否仍然成立 说明理由.
【结论运用】
如图3,在某次军事演习中,舰艇甲在指挥中心(O处)北偏西30°的A处,舰艇乙在指挥中心南偏东70°的B处,并且两舰艇到指挥中心的距离相等,接到行动指令后,舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进,舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进1.5小时后,指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E,F处,且两舰艇之间的夹角(∠EOF)为70°,试求此时两舰艇之间的距离.
【解析】【初步探索】EF=BE+FD.
答案:EF=BE+FD
【探索延伸】结论仍然成立,
理由如下:如图,延长FD到G,使DG=BE,连接AG,
∵∠B+∠ADC=180°,∠ADG+∠ADC=180°,
∴∠B=∠ADG,
在△ABE和△ADG中,
,
∴△ABE≌△ADG(SAS),
∴AE=AG,∠BAE=∠DAG,
∵∠EAF=∠BAD,
∴∠GAF=∠DAG+∠DAF=∠BAE+∠DAF=∠BAD-∠EAF=∠EAF,
∴∠EAF=∠GAF,
在△AEF和△AGF中,
,
∴△AEF≌△AGF(SAS),
∴EF=GF,
∴FG=DG+FD=BE+DF.
【结论运用】如图,连接EF,延长AE,BF交于点C,
∵∠AOB=30°+90°+(90°-70°)=140°,∠EOF=70°,
∴∠EOF=∠AOB,
∵OA=OB,
∠OAC+∠OBC=(90°-30°)+(70°+50°)=180°,
∴符合探索延伸中的条件,
∴结论EF=AE+BF成立,即EF=1.5×(60+80)=210(海里),
答:此时两舰艇之间的距离是210海里.
