单元提优测评卷(五)(第十七章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列从左到右的变形中,是因式分解的是( )
A.m2-9=(m-3)2
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2下列因式分解正确的是( )
A.x2+9=(x+3)2
B.a2+2a+4=(a+2)2
C.a3-4a2=a2(a-4)
D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
3把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是( )
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
4因式分解(x-1)2-9的结果是( )
A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4)
5当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能被下列哪个数整除( )
A.5 B.6 C.7 D.8
6(2025·德阳期末)如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是( )
A.2x B.-2x C.x4 D.-x4
7若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为( )
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
8已知m2+n2=25,mn=12,则m3n-mn3的值为( )
A.±300 B.±84 C.±48 D.±12
9(2025·重庆期末)若关于x的多项式x3+x2-7x-3可以分解为(x2+nx-1)(x+3),则n3的值是( )
A.8 B.-8 C.6 D.-6
10已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是( )
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
二、填空题(每小题3分,共24分)
11多项式12ab2c+8a2b的公因式是 .
12一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: .
13(1)分解因式:3m2-3= .
(2)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= .
14(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1= .
15边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 .
16若将(2x)n-625分解成(4x2+25)(2x+5)(2x-5),则n的值是 .
17若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2 026等于 .
18若M=101×2 023×2 029,N=2 028×2 024×101,则M-N= .
三、解答题(共46分)
19(8分)因式分解:
(1)6x2-3x;
(2)16m3-mn2;
(3)25m2-10mn+n2;
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
20(8分)如图,约定:上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
(1)求整式M,P;
(2)将整式P因式分解.
21(8分)阅读下列解题的过程.
分解因式:x4+64.
解:x4+64=x4+16x2+64-16x2
=(x2+8)2-16x2
=(x2+8+4x)(x2+8-4x).
请按照上述解题思路完成下列因式分解:
(1)a4+4;
(2)x4-43x2y2+81y4.
22(10分)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ;
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
23(12分)要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成组,并提出a,把它的后两项分成组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提公因式(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这种因式分解的方法叫作分组分解法,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)= ;
(2)因式分解:x2-(p+q)x+pq;
(3)因式分解:x2y-4y-2x2+8.
【附加题】(10分)
【阅读理解,自主探究】把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题等方面都有着广泛的应用.
例1用配方法因式分解:a2+6a+8.
原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4).
例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值;
a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1;
∵(a-b)2≥0,(b-1)2≥0,
∴当a=b=1时,M有最小值1.
请根据上述学习材料解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:a2-12a+35;
(2)若M=a2-3a+2 024,求M的最小值;
(3)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长.单元提优测评卷(五)(第十七章)
(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共30分)
1下列从左到右的变形中,是因式分解的是(D)
A.m2-9=(m-3)2
B.m2-m+1=m(m-1)+1
C.(m+1)2=m2+2m+1
D.m2+2m=m(m+2)
2下列因式分解正确的是(C)
A.x2+9=(x+3)2
B.a2+2a+4=(a+2)2
C.a3-4a2=a2(a-4)
D.1-4x2=(1+4x)(1-4x)
3把5(a-b)+m(b-a)提公因式后一个因式是(a-b),则另一个因式是(A)
A.5-m B.5+m C.m-5 D.-m-5
4因式分解(x-1)2-9的结果是(D)
A.(x-10)(x+8) B.(x+8)(x+1)
C.(x-2)(x+4) D.(x+2)(x-4)
5当n为自然数时,(n+1)2-(n-3)2一定能被下列哪个数整除(D)
A.5 B.6 C.7 D.8
6(2025·德阳期末)如果多项式x2+1加上一个单项式后,能够直接用完全平方公式进行因式分解,则添加的单项式不可以是(D)
A.2x B.-2x C.x4 D.-x4
7若x2+(m-1)x+1可以用完全平方公式进行因式分解,则m的值为(D)
A.-3 B.1 C.-3,1 D.-1,3
8已知m2+n2=25,mn=12,则m3n-mn3的值为(B)
A.±300 B.±84 C.±48 D.±12
9(2025·重庆期末)若关于x的多项式x3+x2-7x-3可以分解为(x2+nx-1)(x+3),则n3的值是(B)
A.8 B.-8 C.6 D.-6
10已知a,b,c为△ABC的三边长,且a2+ac=b2+bc,则△ABC是(D)
A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等边三角形 D.等腰三角形
二、填空题(每小题3分,共24分)
11多项式12ab2c+8a2b的公因式是 4ab .
12一个多项式,把它因式分解后有一个因式为(x+1),请你写出一个符合条件的多项式: x2-1(答案不唯一) .
13(1)分解因式:3m2-3= 3(m+1)(m-1) .
(2)因式分解:(m+n)2-6(m+n)+9= (m+n-3)2 .
14(2024·盐城中考)分解因式:x2+2x+1= (x+1)2 .
15边长为a,b的长方形,它的周长为14,面积为10,则a2b+ab2的值为 70 .
16若将(2x)n-625分解成(4x2+25)(2x+5)(2x-5),则n的值是 4 .
17若x2+x-2=0,则x3+2x2-x+2 026等于 2 028 .
18若M=101×2 023×2 029,N=2 028×2 024×101,则M-N= -505 .
三、解答题(共46分)
19(8分)因式分解:
(1)6x2-3x;
【解析】(1)6x2-3x=3x(2x-1).
(2)16m3-mn2;
【解析】(2)16m3-mn2=m(16m2-n2)=m(4m-n)(4m+n).
(3)25m2-10mn+n2;
【解析】(3)25m2-10mn+n2=(5m-n)2.
(4)9a2(x-y)+4b2(y-x).
【解析】(4)9a2(x-y)+4b2(y-x)=9a2(x-y)-4b2(x-y)=(x-y)(9a2-4b2)
=(x-y)(3a-2b)(3a+2b).
20(8分)如图,约定:上方相邻两整式之和等于这两个整式下方箭头共同指向的整式.
(1)求整式M,P;
【解析】(1)根据题意得:M=(3x2-4x-20)-3x(x-3)
=3x2-4x-20-3x2+9x
=5x-20;
P=3x2-4x-20+(x+2)2
=3x2-4x-20+x2+4x+4
=4x2-16;
(2)将整式P因式分解.
【解析】(2)P=4x2-16
=4(x2-4)
=4(x+2)(x-2).
21(8分)阅读下列解题的过程.
分解因式:x4+64.
解:x4+64=x4+16x2+64-16x2
=(x2+8)2-16x2
=(x2+8+4x)(x2+8-4x).
请按照上述解题思路完成下列因式分解:
(1)a4+4;
【解析】(1)a4+4
=a4+4a2+4-4a2
=(a2+2)2-4a2
=(a2+2a+2)(a2-2a+2);
(2)x4-43x2y2+81y4.
【解析】(2)x4-43x2y2+81y4
=x4-18x2y2+81y4-25x2y2
=(x2-9y2)2-25x2y2
=(x2-9y2+5xy)(x2-9y2-5xy).
22(10分)如图,将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九块,其中有两块是边长都为m的大正方形,两块是边长都为n的小正方形,五块是长为m,宽为n的全等小长方形,且m>n.(以上长度单位:cm)
(1)观察图形,可以发现代数式2m2+5mn+2n2可以因式分解为 ;
【解析】(1)2m2+5mn+2n2可以因式分解为(m+2n)(2m+n).
答案:(m+2n)(2m+n)
(2)若每块小长方形的面积为10 cm2,四个正方形的面积和为58 cm2,试求图中所有裁剪线(虚线部分)长之和.
【解析】(2)依题意得:2m2+2n2=58,mn=10,∴m2+n2=29,∴(m+n)2=m2+n2+2mn=49,∴m+n=7,
∴题图中所有裁剪线(虚线部分)长度之和为6m+6n=6(m+n)=6×7=42(cm).
23(12分)要把多项式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它的前两项分成组,并提出a,把它的后两项分成组,并提出b,从而得am+an+bm+bn=a(m+n)+b(m+n).这时,由于a(m+n)+b(m+n)中又有公因式(m+n),于是可提公因式(m+n),从而得到(m+n)(a+b),因此有:
am+an+bm+bn=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).
这种因式分解的方法叫作分组分解法,如果把一个多项式各个项分组并提出公因式后,它们的另一个因式正好相同,那么这个多项式就可以利用分组分解法来因式分解.
(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)= ;
【解析】(1)ab-ac+bc-b2=(ab-ac)+(bc-b2)=a(b-c)-b(b-c)=(a-b)(b-c).
答案:(a-b)(b-c)
(2)因式分解:x2-(p+q)x+pq;
【解析】(2)x2-(p+q)x+pq=x2-px-qx+pq=x(x-p)-q(x-p)=(x-p)(x-q).
(3)因式分解:x2y-4y-2x2+8.
【解析】(3)x2y-4y-2x2+8=y(x2-4)-2(x2-4)=(y-2)(x2-4)=(y-2)(x+2)(x-2).
【附加题】(10分)
【阅读理解,自主探究】把代数式通过配凑等手段,得到完全平方式,再运用完全平方式是非负数这一性质增加问题的条件,这种解题方法叫作配方法.配方法在代数式求值、解方程、求最值问题等方面都有着广泛的应用.
例1用配方法因式分解:a2+6a+8.
原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=(a+3-1)(a+3+1)=(a+2)(a+4).
例2若M=a2-2ab+2b2-2b+2,利用配方法求M的最小值;
a2-2ab+2b2-2b+2=a2-2ab+b2+b2-2b+1+1=(a-b)2+(b-1)2+1;
∵(a-b)2≥0,(b-1)2≥0,
∴当a=b=1时,M有最小值1.
请根据上述学习材料解决下列问题:
(1)用配方法因式分解:a2-12a+35;
【解析】(1)a2-12a+35
=a2-12a+36-1
=(a-6)2-12
=(a-6+1)(a-6-1)
=(a-5)(a-7);
(2)若M=a2-3a+2 024,求M的最小值;
【解析】(2)M=a2-3a+2 024
=a2-3a++2 021
=(a-)2+2 021,
∵(a-)2≥0,
∴(a-)2+2 021的最小值为2 021,即M的最小值为2 021;
(3)已知a,b,c是△ABC的三边长,且满足a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,求△ABC的周长.
【解析】(3)∵a2+b2+c2=6a+8b+10c-50,
∴(a2-6a+9)+(b2-8b+16)+(c2-10c+25)=0,
∴(a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0,
∵(a-3)2≥0,(b-4)2≥0,(c-5)2≥0,
∴a-3=0,b-4=0,c-5=0,
解得a=3,b=4,c=5,
∴△ABC的周长为a+b+c=3+4+5=12.
