单元提优测评卷(一)(第十三章)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位:cm),其中能搭成一个三角形的是 (D)
A.4,6,10 B.6,6,15 C.7,9,18 D.6,8,13
2(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有 (C)
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3有一个厚薄均匀的三角形硬纸板,现在硬纸板上选一点,在这个点上钻一个小孔,通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起,若三角形硬纸板处于平衡状态,则这一点可能是 (A)
A.N点 B.M点 C.P点 D.Q点
4如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于 (B)
A.10° B.20° C.30° D.40°
5如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D.∠B=30°,∠C=80°,则∠ADC的度数是 (A)
A.65° B.70° C.75° D.80°
6如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于 (C)
A.50° B.30° C.20° D.15°
7若实数m,n满足等式|m-2|+|n-4|=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是 (D)
A.6 B.8 C.8或10 D.10
8如图,△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长,交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,下列判断中,正确的个数是 (C)
①BG是△ABD的边AD上的中线;
②AD既是△ABC的角平分线,也是△ABE的角平分线;
③CH既是△ACD的边AD上的高,也是△ACH的边AH上的高.
A.0 B.1 C.2 D.3
9如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于 (B)
A.8 cm2 B.4 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
10(2025·武汉质检)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,BF分别交AE,AD于G,H,∠C>∠ABC.在下列结论:①∠AGB=90°+∠C;②∠BFC+∠AEC=180°;③∠C-∠ABC=2∠EAD;④∠AGB+∠BHD-∠EAD=180°中,正确的是 (B)
A.①② B.①③④ C.②④ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的依据是 三角形具有稳定性 .
12已知△ABC的三边长分别为a,b,c.若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,则△ABC是 等边 三角形.
13如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,则∠2= 30 °.
14如图,经测量,B处在A处的南偏西60°的方向,C处在A处的南偏东20°方向,BE为正北方向,且∠CBE=100°,则∠ACB的度数是 60° .
15将一副三角尺按如图所示的方式叠放,则∠1的度数为 105° .
16如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= 360° .
17已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则等腰三角形的顶角度数为 40°或140° .
18在△ABC中,∠C=70°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的两个定点,点P运动到边AB的延长线上,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α,如图,则∠α= ∠1-70°-∠2 (用∠1,∠2的代数式表示).
三、解答题(共46分)
19(8分)把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两段长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形时,求x的值.
【解析】(1)∵该三角形的周长是18米,其中两段长分别为x米和4米,
∴第三边的长度是18-4-x=14-x(米).∴14-x-4即10-x(2)①当边长为x米的边为等腰三角形的底时,x+4+4=18,解得x=10,∵10>9,
∴x=10,不合题意,舍去.
②当边长为4米的边为等腰三角形的底时,2x+4=18,解得x=7.
综上所述,x的值是7.
20(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∠BAC=60°,∴∠DAC=∠BAC=30°,
∵∠ADB是△ADC的外角,∠C=50°,∴∠ADB=∠C+∠DAC=80°;
(2)∵AD平分∠BAC,BE平分∠ABC,∴∠BAC=2∠BAD,∠ABC=2∠ABE,
∵∠BED是△ABE的外角,∠BED=45°,∴∠BAD+∠ABE=∠BED=45°,
∴∠BAC+∠ABC=2(∠BAD+∠ABE)=90°,
∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°,∴∠C=180°-(∠BAC+∠ABC)=90°.
21(8分)如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,BF为△ABE中AE边上的高.
(1)若AE=BE,BD=DE,请写出图中的等边三角形、等腰三角形;
(2)若△ABC的面积为24,AE=3,求BF的长.
【解析】(1)∵BE为△ABD的中线,∴AE=DE.
∵AE=BE,BD=DE,∴BE=DE=BD,∴△BDE是等边三角形.
∵AE=BE,∴△AEB是等腰三角形.
(2)∵AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,∴S△ABD=S△ABC,S△ABE=S△ABD,∴S△ABE=S△ABC.
∵△ABC的面积为24,AE=3,BF为△ABE中AE边上的高,∴S△ABE=AE·BF=×3·BF=×24,解得BF=4.
22(10分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C,
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
【解析】(1)∵AD平分∠BAC,∴∠CAD=∠BAC,
∵AE⊥BC,∴∠CAE=90°-∠C,∴∠DAE=∠CAD-∠CAE=∠BAC-(90°-∠C)=(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=∠C-∠B=(∠C-∠B),∵∠B=50°,∠C=70°,∴∠DAE=×(70°-50°)=10°.
(2)结论:∠DEF=(∠C-∠B).
证明如下:如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠DAG=∠DEF.
由(1)可得,∠DAG=(∠C-∠B),∴∠DEF=(∠C-∠B).
(3)∠DEF=(∠C-∠B).
证明如下:如图,过点A作AG⊥BC于点G,
∵EF⊥BC,∴AG∥EF,∴∠DAG=∠DEF,由(1)可得,∠DAG=(∠C-∠B),
∴∠DEF=(∠C-∠B).
23(12分)如图1,在平面直角坐标系中,点A、点M在y轴的正半轴上(点M在点A的上方),点B在x轴的正半轴上,AC平分∠MAB,AC的反向延长线交∠ABO的平分线于点D,BD交y轴于点E.
(1)当∠ABO=52°时,求∠ABD和∠D的度数.
(2)如图2所示,若点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上任意运动,请判断∠D的大小是否变化,并说明理由.
(3)当∠ABO等于多少度时,∠DAE=∠DEA
【解析】(1)∵∠ABO=52°,BD平分∠ABO,
∴∠ABD=∠ABO=26°.
∵∠AOB=90°,
∴∠BAM=∠ABO+∠AOB=142°.
∵AC平分∠MAB,
∴∠BAC=∠BAM=71°.
∵∠BAC=∠D+∠ABD,
∴∠D=∠BAC-∠ABD=71°-26°=45°.
(2)∠D的大小不变化,理由如下:
∵BD平分∠ABO,
∴设∠ABD=∠OBD=α,
∴∠ABO=2α.
∵∠AOB=90°,
∴∠BAM=∠ABO+∠AOB=90°+2α.
∵AC平分∠MAB,
∴∠BAC=∠BAM=(90°+2α)=45°+α.
∵∠BAC=∠D+∠ABD,
∴45°+α=∠D+α,
∴∠D=45°,∴∠D的大小不变化.
(3)∵BD平分∠ABO,
∴设∠ABD=∠OBD=α,则∠ABO=2α.
∵∠AOB=90°,
∴∠OEB=90°-∠OBD=90°-α,
∴∠DEA=∠OEB=90°-α,
∴∠DAE=∠DEA=90°-α.
∵由(2)可知,∠D的度数始终是45°,
∴在△DAE中,90°-α+90°-α+45°=180°,
解得:α=22.5°,
∴∠ABO=2α=45°,
∴当∠ABO=45°时,∠DAE=∠DEA.
【附加题】(10分)
已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合),连接AB,连接AC交射线OE于点D,设∠BAC=α.
(1)如图1,若AB∥ON,
①∠ABO的度数是20°;
②当∠BAD=∠ABD时,∠OAC的度数是120°;
当∠BAD=∠BDA时,∠OAC的度数是60°.
(2)在一个四边形中,如果存在一个内角是它的对角的2倍,那么我们称这样的四边形为“完美四边形”.如图2所示,若AB⊥OM,延长AB交射线ON于点F,当四边形DCFB为“完美四边形”时,求α的值.
【解析】(1)①∵∠MON=40°,OE平分∠MON,
∴∠AOB=∠BON=20°.∵AB∥ON,
∴∠ABO=∠BON=20°.
②当∠BAD=∠ABD时,∵∠ABO=∠AOB=20°,
∴∠BAD=20°,∠BAO=180°-20°-20°=140°,
∴∠OAC=∠BAO-∠BAD=120°.
当∠BAD=∠BDA时,∵∠ABO=20°,
∴∠BAD=∠BDA=80°.∵∠AOB=20°,
∴∠OAC=∠BDA-∠AOB=60°.
(2)①当∠BDC=2∠BFC时,如图,
∵AB⊥OM,∠MON=40°,
∴∠BFC=50°,
∴∠BDC=2∠BFC=100°.
∵∠ABO=∠BFC+∠BON=50°+20°=70°,
∴∠BAC=∠BDC-∠ABO=100°-70°=30°,∴α=30°.
②当点C在F左边,∠DBF=2∠DCF时,
∵AB⊥OM,∠AOB=20°,∠MON=40°,
∴∠DBF=∠AOB+∠OAB=20°+90°=110°,∠BFC=50°,
∴∠DCF=∠DBF=55°,
∴∠BAC=180°-∠BFC-∠ACF=180°-50°-55°=75°,
∴α=75°.
③当点C在F右边,∠DBF=2∠DCF时,
∵AB⊥OM,∠AOB=20°,∠MON=40°,
∴∠DBF=∠ABO=90°-∠AOB=90°-20°=70°,∠AFO=50°,
∴∠DCF=∠DBF=35°,∠AFC=130°,
∴∠BAC=180°-∠DCF-∠AFC=180°-35°-130°=15°,
∴α=15°.
综上所述,当四边形DCFB为“完美四边形”时,α的值是30°或75°或15°.单元提优测评卷(一)(第十三章)
（90分钟 100分）
一、选择题(每小题3分,共30分)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
1下列每组数分别表示3根小木棒的长度(单位:cm),其中能搭成一个三角形的是 ( )
A.4,6,10 B.6,6,15 C.7,9,18 D.6,8,13
2(2024·陕西中考)如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AD是BC边上的高,E是BC的中点,连接AE,则图中的直角三角形共有 ( )
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
3有一个厚薄均匀的三角形硬纸板,现在硬纸板上选一点,在这个点上钻一个小孔,通过小孔系一条线将三角形硬纸板吊起,若三角形硬纸板处于平衡状态,则这一点可能是 ( )
A.N点 B.M点 C.P点 D.Q点
4如图是某机械加工厂加工的一种零件的示意图,其中AB∥CD,DE⊥BC,∠ABC=70°,则∠EDC等于 ( )
A.10° B.20° C.30° D.40°
5如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D.∠B=30°,∠C=80°,则∠ADC的度数是 ( )
A.65° B.70° C.75° D.80°
6如图,将三角形纸板的直角顶点放在直尺的一边上,∠1=20°,∠2=40°,则∠3等于 ( )
A.50° B.30° C.20° D.15°
7若实数m,n满足等式|m-2|+|n-4|=0,且m,n恰好是等腰△ABC的两条边的边长,则△ABC的周长是 ( )
A.6 B.8 C.8或10 D.10
8如图,△ABC中,∠1=∠2,G为AD的中点,连接BG并延长,交AC于点E,F为AB上一点,且CF⊥AD于点H,下列判断中,正确的个数是 ( )
①BG是△ABD的边AD上的中线;
②AD既是△ABC的角平分线,也是△ABE的角平分线;
③CH既是△ACD的边AD上的高,也是△ACH的边AH上的高.
A.0 B.1 C.2 D.3
9如图,在△ABC中,已知点D,E,F分别为边BC,AD,CE的中点,且S△ABC=16 cm2,则S阴影等于 ( )
A.8 cm2 B.4 cm2 C.2 cm2 D.1 cm2
10(2025·武汉质检)如图,在△ABC中,AD是高,AE,BF是角平分线,BF分别交AE,AD于G,H,∠C>∠ABC.在下列结论:①∠AGB=90°+∠C;②∠BFC+∠AEC=180°;③∠C-∠ABC=2∠EAD;④∠AGB+∠BHD-∠EAD=180°中,正确的是 ( )
A.①② B.①③④ C.②④ D.①②③④
二、填空题(每小题3分,共24分)
11如图,人字梯中间一般会设计一“拉杆”,这样做的依据是 .
12已知△ABC的三边长分别为a,b,c.若a,b,c满足(a-b)2+(b-c)2=0,则△ABC是 三角形.
13如图,直线a∥b,直线l⊥a,∠1=120°,则∠2= °.
14如图,经测量,B处在A处的南偏西60°的方向,C处在A处的南偏东20°方向,BE为正北方向,且∠CBE=100°,则∠ACB的度数是 .
15将一副三角尺按如图所示的方式叠放,则∠1的度数为 .
16如图,∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6= .
17已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则等腰三角形的顶角度数为 .
18在△ABC中,∠C=70°,点D,E分别是△ABC边AC,BC上的两个定点,点P运动到边AB的延长线上,令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α,如图,则∠α= (用∠1,∠2的代数式表示).
三、解答题(共46分)
19(8分)把一条长为18米的细绳围成一个三角形,其中两段长分别为x米和4米.
(1)求x的取值范围;
(2)若围成的三角形是等腰三角形时,求x的值.
20(8分)如图,在△ABC中,AD平分∠BAC交BC于点D,BE平分∠ABC交AD于点E.
(1)若∠C=50°,∠BAC=60°,求∠ADB的度数;
(2)若∠BED=45°,求∠C的度数.
21(8分)如图,AD为△ABC的中线,BE为△ABD的中线,BF为△ABE中AE边上的高.
(1)若AE=BE,BD=DE,请写出图中的等边三角形、等腰三角形;
(2)若△ABC的面积为24,AE=3,求BF的长.
22(10分)在△ABC中,AD是角平分线,∠B<∠C,
(1)如图(1),AE是高,∠B=50°,∠C=70°,求∠DAE的度数.
(2)如图(2),点E在AD上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系,并证明你的结论.
(3)如图(3),点E在AD的延长线上,EF⊥BC于点F,试探究∠DEF与∠B,∠C的大小关系是 (直接写出结论,不需证明).
23(12分)如图1,在平面直角坐标系中,点A、点M在y轴的正半轴上(点M在点A的上方),点B在x轴的正半轴上,AC平分∠MAB,AC的反向延长线交∠ABO的平分线于点D,BD交y轴于点E.
(1)当∠ABO=52°时,求∠ABD和∠D的度数.
(2)如图2所示,若点A、点B分别在y轴、x轴的正半轴上任意运动,请判断∠D的大小是否变化,并说明理由.
(3)当∠ABO等于多少度时,∠DAE=∠DEA
【附加题】(10分)
已知∠MON=40°,OE平分∠MON,点A,B,C分别是射线OM,OE,ON上的动点(A,B,C不与点O重合),连接AB,连接AC交射线OE于点D,设∠BAC=α.
(1)如图1,若AB∥ON,
①∠ABO的度数是 ;
②当∠BAD=∠ABD时,∠OAC的度数是 ;
当∠BAD=∠BDA时,∠OAC的度数是 .
(2)在一个四边形中,如果存在一个内角是它的对角的2倍,那么我们称这样的四边形为“完美四边形”.如图2所示,若AB⊥OM,延长AB交射线ON于点F,当四边形DCFB为“完美四边形”时,求α的值.
