18.3 分式的加法与减法
第1课时 分式的加法与减法
知识点1 同分母分式的加减
1(2024·甘肃中考)计算:-=(A)
A.2 B.2a-b C. D.
2(2024·湖北中考)计算+的结果是 1 .
3(2024·威海中考)计算:+= -x-2 .
4化简:(1)-.
(2)--.
【解析】(1)原式===x-1.
(2)原式=+-
===1.
知识点2 异分母分式的加减
5计算-的结果为(A)
A. B.
C. D.
6[教材再开发·P153练习T2(4)变式]计算-a+1的结果是 .
7(2024·连云港中考)下面是某同学计算-的解题过程:
解:-=-
……①
=(m+1)-2……②
=m-1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
【解析】从第②步开始出现错误,正确的解题过程如下:原式=
=
=.
8计算:(1)+2.(2)+-.
【解析】(1)+2=
===a.
(2)原式=+-
=
===-.
知识点3 分式加减法的应用
9锅炉房储存了t天用的煤m吨,要使储存的煤比预定的多用d天,每天应该节约煤 吨.
10某瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要a天完成,若甲组单独完成需要b天,则乙组单独完成需要 天.
11李丽从家到学校的路程为s米,无风时她以平均a米/秒的速度骑车便能按时到达,当风速为b米/秒时,她若逆风按时到校,请用代数式表示她必须提前 秒出发.
12(2024·河北中考)已知A为整式,若计算-的结果为,则A=(A)
A.x B.y C.x+y D.x-y
13设p=-,q=-,则p,q的关系是(C)
A.p=q B.p>q
C.p=-q D.p14(2024·雅安中考)已知+=1(a+b≠0),则=(C)
A. B.1 C.2 D.3
15(2024·内江中考)已知实数a,b满足ab=1,则+= 1 .
16工程队计划修建一条长1 200米的公路,采取新的施工方式后,实际每天修建公路的长度比原计划增加15米,从而缩短了工期,设原计划每天修建公路x米,求:
(1)原计划修建这段公路需要多少天 实际修建这段公路用了多少天
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天
【解析】(1)原计划每天修建x米,实际每天修建(x+15)米,则原计划修建这段公路需要天,实际修建这段公路用了天.
(2)实际修建这段公路比原计划缩短了-=(天).
17新概念·抽象能力、应用意识在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、试验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:22×23=25,23×24=27,22×26=28…
2m×2n=2m+n… am×an=am+n(m,n都是正整数).
我们亦知:<,<,<,<…
(1)请你根据上面的材料归纳出a,b,c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.
(2)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.
【解析】(1)根据所给的式子之间的关系,可以用a,b,c的数学关系式表示出一般的规律<,
验证:-===,
∵a>b>0,c>0,
∴>0,∴<;
(2)∵<,
∴原来糖水中糖的质量分数小于加入k克糖后糖水中糖的质量分数,则糖水更甜了.18.3 分式的加法与减法
第1课时 分式的加法与减法
知识点1 同分母分式的加减
1(2024·甘肃中考)计算:-=( )
A.2 B.2a-b C. D.
2(2024·湖北中考)计算+的结果是 .
3(2024·威海中考)计算:+= .
4化简:(1)-.
(2)--.
知识点2 异分母分式的加减
5计算-的结果为( )
A. B.
C. D.
6[教材再开发·P153练习T2(4)变式]计算-a+1的结果是 .
7(2024·连云港中考)下面是某同学计算-的解题过程:
解:-=-
……①
=(m+1)-2……②
=m-1……③
上述解题过程从第几步开始出现错误 请写出完整的正确解题过程.
8计算:(1)+2.(2)+-.
知识点3 分式加减法的应用
9锅炉房储存了t天用的煤m吨,要使储存的煤比预定的多用d天,每天应该节约煤 吨.
10某瓶盖厂加工一批瓶盖,甲组与乙组合作需要a天完成,若甲组单独完成需要b天,则乙组单独完成需要 天.
11李丽从家到学校的路程为s米,无风时她以平均a米/秒的速度骑车便能按时到达,当风速为b米/秒时,她若逆风按时到校,请用代数式表示她必须提前 秒出发.
12(2024·河北中考)已知A为整式,若计算-的结果为,则A=( )
A.x B.y C.x+y D.x-y
13设p=-,q=-,则p,q的关系是( )
A.p=q B.p>q
C.p=-q D.p14(2024·雅安中考)已知+=1(a+b≠0),则=( )
A. B.1 C.2 D.3
15(2024·内江中考)已知实数a,b满足ab=1,则+= .
16工程队计划修建一条长1 200米的公路,采取新的施工方式后,实际每天修建公路的长度比原计划增加15米,从而缩短了工期,设原计划每天修建公路x米,求:
(1)原计划修建这段公路需要多少天 实际修建这段公路用了多少天
(2)实际修建这段公路的工期比原计划缩短了几天
17新概念·抽象能力、应用意识在数学学习过程中,通常是利用已有的知识与经验,通过对研究对象进行观察、试验、推理、抽象概括,发现数学规律,揭示研究对象的本质特征.
比如“同底数幂的乘法法则”的学习过程是利用有理数的乘方概念和乘法结合律,由“特殊”到“一般”进行抽象概括的:22×23=25,23×24=27,22×26=28…
2m×2n=2m+n… am×an=am+n(m,n都是正整数).
我们亦知:<,<,<,<…
(1)请你根据上面的材料归纳出a,b,c(a>b>0,c>0)之间的一个数学关系式.
(2)试用(1)中你归纳的数学关系式,解释下面生活中的一个现象:“若m克糖水里含有n克糖,再加入k克糖(仍不饱和),则糖水更甜了”.第2课时 分式的混合运算及应用
知识点1 分式的加减乘除混合运算
1化简(a-)÷的结果为( )
A.a-1 B.a+1
C. D.
2(2024·绥化中考)计算:÷(x-)= .
3计算:
(1)(2024·泸州中考) (+x-2y)÷.
(2)(2024·东营中考)÷(a-1-).
知识点2 分式的化简求值
4先化简,再求值: (+1)÷,其中x=3.
知识点3 分式加减运算的实际应用
6某种水果原来每千克p元,现在每千克提高3元,用200元买这种水果,现在比原来少买 千克.
7已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a,b是正数,且a≠b),请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
8化简÷的结果是( )
A. B. C.x+1 D.x-1
9若代数式·的结果为2a-4,则整式A为( )
A.a+1 B.a-1
C.-a-1 D.-a+1
10已知m+n=-3,则分式÷(-2n)的值是 .
11(2025·长沙质检)计算: (+a)÷-= .
12化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:
(1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法的依据是 ;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
(2)请选择一种解法,写出完整的解析过程.
13先化简: (1-)÷,再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
14运算能力、推理能力(1)观察下列各式:==-,==-,==-,由此可推导出= .
(2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律,用含字母m的等式表示出来(m表示整数);
(3)请直接用(2)中的规律计算:-+的结果.第2课时 分式的混合运算及应用
知识点1 分式的加减乘除混合运算
1化简(a-)÷的结果为(B)
A.a-1 B.a+1
C. D.
2(2024·绥化中考)计算:÷(x-)= .
3计算:
(1)(2024·泸州中考) (+x-2y)÷.
(2)(2024·东营中考)÷(a-1-).
【解析】(1)原式=÷
=·
=.
(2)原式=÷
=·
=.
知识点2 分式的化简求值
4先化简,再求值: (+1)÷,其中x=3.
【解析】原式=·
=·
=,
当x=3时,原式==.
5(2024·山东中考)先化简,再求值:
(1-)÷,其中a=1.
【解析】原式=÷=·=a-3,
当a=1时,原式=1-3=-2.
知识点3 分式加减运算的实际应用
6某种水果原来每千克p元,现在每千克提高3元,用200元买这种水果,现在比原来少买 千克.
7已知小丽和小颖购买同一种商品的平均价格分别为元/千克和元/千克(a,b是正数,且a≠b),请比较小丽和小颖所购买商品的平均价格的高低.
【解析】∵a,b是正数,且a≠b,
∴-==>0,
∴>,则小丽购买商品的平均价格高于小颖购买商品的平均价格.
8化简÷的结果是(A)
A. B. C.x+1 D.x-1
9若代数式·的结果为2a-4,则整式A为(A)
A.a+1 B.a-1
C.-a-1 D.-a+1
10已知m+n=-3,则分式÷(-2n)的值是 .
11(2025·长沙质检)计算: (+a)÷-= .
12化简(+)·.下面是甲、乙两同学的部分运算过程:
(1)甲同学解法的依据是 ,乙同学解法的依据是 ;(填序号)
①等式的基本性质;②分式的基本性质;③乘法分配律;④乘法交换律.
(2)请选择一种解法,写出完整的解析过程.
【解析】(1)甲同学的解法是:先把括号内两个分式通分后相加,再进行乘法运算,通分的依据是分式的基本性质.
乙同学的解法是:根据乘法的分配律,去掉括号后,先算分式的乘法,再算加法.
答案:② ③
(2)选择乙同学的解法,解析过程如下: (+)·
=·+·
=·+·=x-1+x+1
=2x.
13先化简: (1-)÷,再从1,2,3中选择一个合适的数作为x的值代入求值.
【解析】(1-)÷
=÷
=·
=x-1,
∵x-1≠0,x-2≠0,∴x≠1,x≠2,
所以只能选择x=3,
当x=3时,原式=3-1=2.
14运算能力、推理能力(1)观察下列各式:==-,==-,==-,由此可推导出= .
(2)请猜想出能表示(1)的特点的一般规律,用含字母m的等式表示出来(m表示整数);
(3)请直接用(2)中的规律计算:-+的结果.
【解析】(1)==-;
答案:-
(2)=-;
(3)原式=--2×(-)+-
=--++-
=0.
