第2课时 分式方程的实际应用——工程问题
知识点 分式方程的应用
1甲、乙两个工程队共同修一条道路,其中甲工程队需要修9千米,乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米,最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米,则可列出方程为( )
A.-=
B.-=
C.-=
D.-=
2(2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为( )
A.200 B.300 C.400 D.500
3(2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程( )
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
4[教材再开发·P169T5变式]甲同学2小时清点完一批图书的一半,乙同学加入清点另一半图书的工作,两人合作1.5小时清点完另一半图书,如果乙同学单独清点这批图书需要x小时,根据题意列方程为
5甲、乙两人加工同一种零件,每小时甲比乙多加工2个这种零件,甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等,求乙每小时加工多少个这种零件.
6(2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲,乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
7某家具厂要在开学前赶制540套桌凳,为了尽快完成任务,厂领导合理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌凳比原计划多2套,结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳.设原计划每天完成x套桌凳,则所列方程正确的是( )
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
8某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的1.5倍,于是提前4天完成任务,则原来每天加工帐篷 顶.
9(2024·泰安中考)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人.
10运算意识、应用意识正所谓“道路通达,百业兴旺”,某村决定对村里的部分道路进行整改,将工程交由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4 km,如果甲工程队修6.4 km所用的天数是乙工程队修9.6 km所用天数的一半.
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米.
(2)现计划再修建长度为24 km的道路,由甲、乙两个工程队来完成.若甲队每天所需费用为2.4万元,乙队每天所需费用为1.5万元,求在总费用不超过33.6万元的情况下,至少安排乙工程队施工多少天.第3课时 分式方程的实际应用——行程问题
知识点 分式方程的实际应用
1(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程( )
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
2(2024·巴中中考)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动,目的地距学校60 km,一部分学生乘慢车先行0.5 h,另一部分学生再乘快车前往,他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km,求慢车的速度.设慢车的速度为x km/h,则可列方程为( )
A.-= B.-=
C.-= D.-=
3《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为( )
A.=2× B.=2×
C.=2× D.=2×
4(2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为( )
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
5(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐甲型车比乘坐乙型车少用2小时,甲型车的平均速度是乙型车的平均速度的3倍,求乙型车的平均速度.
6某次列车平均提速v千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,相同的时间,提速后比提速前多行驶50千米,根据以上信息,下列说法正确的是( )
A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时,则可列方程为=
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时,则可列方程为=
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时,则可列方程为=
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时,则可列方程为=
7[教材再开发·P169T3变式]“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家12 km和20 km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3∶4,结果甲比乙提前10 min到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3x km/h,则依题意可列方程为( )
A.+= B.+10=
C.-= D.-=10
8随着国家提倡节能减排,新能源车将成为时代“宠儿”.端午节,君君一家驾乘新购买的新能源车,去相距180 km的古镇旅行,原计划以速度v km/h匀速前行,因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶,结果就比原计划提前了0.5 h到达,则原计划的速度v为 km/h.
9刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩,根据他们的谈话内容,求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行多少千米.
刘峰:我查好地图,你看看.
李明:好的,我家门口的公交车站,正好有一趟经过野生动物园那站的公交车,我明天8:30的车.
刘峰:从地图上看,我家到野生动物园的距离比你家近5千米,我就骑自行车去了.
李明:行,根据我的经验,公交车的速度一般是你骑自行车速度的2倍,那你明天早上8:00从家出发,如果顺利,咱们同时到达.
10推理能力、应用意识周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮.亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了.”琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.第2课时 分式方程的实际应用——工程问题
知识点 分式方程的应用
1甲、乙两个工程队共同修一条道路,其中甲工程队需要修9千米,乙工程队需要修12千米.已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米,最终用的时间比甲工程队少半个月.若设甲工程队每个月修x千米,则可列出方程为(A)
A.-=
B.-=
C.-=
D.-=
2(2024·山东中考)为提高生产效率,某工厂将生产线进行升级改造,改造后比改造前每天多生产100件,改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同,则改造后每天生产的产品件数为(B)
A.200 B.300 C.400 D.500
3(2024·宁夏中考)数学活动课上,甲、乙两位同学制作长方体盒子.已知甲做6个盒子比乙做4个盒子少用10分钟,甲每小时做盒子的数量是乙每小时做盒子的数量的2倍.设乙每小时做x个盒子,根据题意可列方程(C)
A.-=10 B.-=10
C.-= D.-=
4[教材再开发·P169T5变式]甲同学2小时清点完一批图书的一半,乙同学加入清点另一半图书的工作,两人合作1.5小时清点完另一半图书,如果乙同学单独清点这批图书需要x小时,根据题意列方程为 (+)×1.5= .
5甲、乙两人加工同一种零件,每小时甲比乙多加工2个这种零件,甲加工25个这种零件所用的时间与乙加工20个这种零件所用的时间相等,求乙每小时加工多少个这种零件.
【解析】设乙每小时加工x个这种零件,则甲每小时加工(x+2)个这种零件,
根据题意得:=,
解得:x=8,
经检验,x=8是所列方程的解,且符合题意.
答:乙每小时加工8个这种零件.
6(2024·自贡中考)为传承我国传统节日文化,端午节前夕,某校组织了包粽子活动.已知七(3)班甲组同学平均每小时比乙组多包20个粽子,甲组包150个粽子所用的时间与乙组包120个粽子所用的时间相同.求甲,乙两组同学平均每小时各包多少个粽子.
【解析】设乙组同学平均每小时包x个粽子,
则甲组同学平均每小时包(x+20)个粽子,
根据题意得=,
解得x=80,
经检验,x=80是原方程的解,
x+20=100.
答:甲组同学平均每小时包100个粽子,乙组同学平均每小时包80个粽子.
7某家具厂要在开学前赶制540套桌凳,为了尽快完成任务,厂领导合理调配,加强第一线人力,使每天完成的桌凳比原计划多2套,结果提前3天完成任务.问原计划每天完成多少套桌凳.设原计划每天完成x套桌凳,则所列方程正确的是(C)
A.-=3 B.-=3
C.-=3 D.-=3
8某厂接到在规定时间内加工1 500顶帐篷支援灾区人民的任务.在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的1.5倍,于是提前4天完成任务,则原来每天加工帐篷 100 顶.
9(2024·泰安中考)随着快递行业的快速发展,全国各地的农产品有了更广阔的销售空间,某农产品加工企业有甲、乙两个组共35名工人.甲组每天加工3 000件农产品,乙组每天加工2 700件农产品,已知乙组每人每天平均加工的农产品数量是甲组每人每天平均加工农产品数量的1.2倍,求甲、乙两组各有多少名工人.
【解析】设甲组有x名工人,则乙组有(35-x)名工人,
根据题意得:=×1.2,
解得:x=20,
经检验,x=20是所列方程的解,且符合题意,
∴35-x=35-20=15.
答:甲组有20名工人,乙组有15名工人.
10运算意识、应用意识正所谓“道路通达,百业兴旺”,某村决定对村里的部分道路进行整改,将工程交由甲、乙两个工程队来完成.已知甲工程队每天比乙工程队多修0.4 km,如果甲工程队修6.4 km所用的天数是乙工程队修9.6 km所用天数的一半.
(1)求甲、乙两个工程队每天各修路多少千米.
(2)现计划再修建长度为24 km的道路,由甲、乙两个工程队来完成.若甲队每天所需费用为2.4万元,乙队每天所需费用为1.5万元,求在总费用不超过33.6万元的情况下,至少安排乙工程队施工多少天.
【解析】(1)设乙工程队每天修路x km,则甲工程队每天修路(x+0.4)km,
根据题意得=×,
解得:x=1.2,
经检验,x=1.2是所列方程的解,且符合题意,
∴x+0.4=1.2+0.4=1.6.
答:甲工程队每天修路1.6 km,乙工程队每天修路1.2 km;
(2)设安排乙工程队施工m天,则安排甲工程队施工天,
根据题意得2.4×+1.5m≤33.6,
解得m≥8,∴m的最小值为8.
答:至少安排乙工程队施工8天.第4课时 分式方程的实际应用——销售问题
知识点 分式方程的应用
1(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是(C)
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15 000元购买科普类图书的本数与用12 000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本x元,则下列方程正确的是(B)
A.= B.=
C.= D.=+8
3某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,但数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元,根据题意可列方程为(A)
A.=-40
B.-40=
C.+40=
D.+40=
4某校组织学生进行劳动实践活动,用1 000元购进甲种劳动工具,用2 400元购进乙种劳动工具,乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍,但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元,则x满足的分式方程为 =2× .
5新课标·中华优秀传统文化“四书五经”是中国的“圣经”,“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》和《孟子》(四书)及《诗经》《尚书》《易经》《礼记》《春秋》(五经)的总称,这是一部被中国人读了几千年的教科书,包含了中国古代的政治理想和治国之道,是我们了解中国古代社会的一把钥匙.某学校计划分阶段引导学生读这些书,先购买《论语》和《孟子》供学生阅读.已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同,《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元.
【解析】设《孟子》的单价为x元,则《论语》的单价为(x+15)元,
依题意,得=,
解得:x=25,
经检验,x=25是所列方程的解,且符合题意,
∴x+15=25+15=40.
答:《论语》和《孟子》这两种书的单价分别为40元和25元.
6(2024·广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是(C)
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
7“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.
根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:
甲:=+30,解得x=5,经检验x=5是原方程的解.
乙:=1.6×,解得x=65,经检验x=65是原方程的解.
则甲所列方程中的x表示 ,乙所列方程中的x表示 .
(2)该经营者准备用1 350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个
【解析】(1)根据所列方程即可知,甲所列方程中的x表示B型玩具的单价;乙所列方程中的x表示A型玩具的数量;
答案:B型玩具的单价 A型玩具的数量
(2)设可购进A型玩具a个,则B型玩具(200-a)个,根据题意得:8a+5(200-a)≤1 350,
a≤116,∴整数a最大值是116,
答:最多可购进A型玩具116个.
8应用意识、运算能力金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积:40升 油价:9元/升 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元 新能源车 电池电量:60千瓦时 电价:0.6元/千瓦时 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
【解析】(1)由题中表格可得,新能源车的每千米行驶费用为=(元),
即新能源车的每千米行驶费用为元;
(2)①∵燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元,
∴-=0.54,解得a=600,
经检验,a=600是原分式方程的解,
∴=0.6,=0.06,
答:燃油车的每千米行驶费用为0.6元,新能源车的每千米行驶费用为0.06元;
②设每年行驶里程为x千米,
由题意得0.6x+4 800>0.06x+7 500,解得x>5 000,
答:当每年行驶里程大于5 000千米时,买新能源车的年费用更低.18.5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
知识点1 分式方程的概念
1下列方程中,是分式方程的是(D)
A.+=3 B.x-4y=7
C.2x=3(x-5) D.=1
练易错 混淆π为数字并非字母,故类似=3的方程并非分式方程.
2下列方程:①=2,②=3,③-=,④+=5,⑤+1=0中,关于x的分式方程有(填写序号): ⑤ .
知识点2 分式方程的解法
3(2024·济宁中考)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是(A)
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
4(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是(D)
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
5已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为(B)
A.-2 B.2 C.-4 D.4
6当x= 10 时,分式与互为倒数.
7新趋势·过程性学习小丁和小迪分别解方程-=1,过程如下:
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2,
去括号,得x-x+3=x-2,
合并同类项,得3=x-2,
解得,x=5,
∴原方程的解是x=5.
小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1,
去括号,得x+x-3=1,
合并同类项,得2x-3=1,
解得,x=2,
经检验x=2是方程的增根,
原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解析过程.
【解析】小丁和小迪的解法都不正确,正确步骤如下:-=1,
两边同乘(x-2),去分母得:x+x-3=x-2,
移项,合并同类项得:x=1,
检验:将x=1代入(x-2)中可得:1-2=-1≠0,
则x=1是原分式方程的解,
故原分式方程的解是x=1.
8(2024·陕西中考)解方程:+=1.
【解析】方程两边都乘(x+1)(x-1),
得2+x(x+1)=(x+1)(x-1),
解得x=-3,
检验:当x=-3时,(x+1)(x-1)≠0,
所以分式方程的解是x=-3.
9关于x的分式方程=1,下列说法中正确的是(B)
A.方程的解是x=a-3
B.当a>3时,方程的解是正数
C.当a<3时,方程的解为负数
D.以上答案都正确
10(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为(B)
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
练易错 确定分式方程中参数的取值范围时,同时注意分母不为0.
11(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 2或-1 .
12代数式与代数式的值互为相反数,则x= 7 .
13解方程:(1)+1=.
(2)=+1.
【解析】(1)原方程两边都乘(x+2)(x-2),
去分母得:3(x-2)+(x+2)(x-2)=x(x+2),
整理得:3x-10=2x,
解得x=10,
检验:当x=10时,(x+2)(x-2)≠0,
故原方程的解为x=10.
(2)=+1,方程两边都乘(x-1)(x+1),得x(x+1)=4+(x-1)(x+1),解得x=3,
检验:当x=3时,(x-1)(x+1)=8≠0.
故x=3是原方程的解.
14已知关于x的方程:=-2.
(1)当m为何值时,方程无解.
(2)当m为何值时,方程的解为负数.
【解析】(1)由原方程,得2x=mx-2x-6,①整理,得(4-m)x=-6,当4-m=0,即m=4时,原方程无解;
②当分母x+3=0,即x=-3时,原方程无解,故2×(-3)=-3m-2×(-3)-6,解得m=2,综上所述,m=2或4;
(2)由(1)得到(4-m)x=-6,当m≠4时.x=<0,解得m<4.综上所述,m<4且m≠2.
15运算能力、应用意识解分式方程+=3时小甲采用了以下的方法:
解:设=y,则原方程可化为y+2y=3,
解得y=1,
即=1,去分母得x+1=1,所以x=0,检验:当x=0时,x+1≠0,所以x=0是原方程的解.
上面的方法叫换元法,请用换元法解方程+=3.
【解析】设=y,
则==y,
原方程可化为y+y=3,解得y=,
即=,
去分母得7x=9x-18,所以x=9,
检验:当x=9时,x-2=9-2=7≠0,
所以x=9是原方程的解.第4课时 分式方程的实际应用——销售问题
知识点 分式方程的应用
1(2024·临夏州中考)端午节期间,某商家推出“优惠酬宾”活动,决定每袋粽子降价2元销售.细心的小夏发现,降价后用240元可以比降价前多购买10袋,求:每袋粽子的原价是多少元 设每袋粽子的原价是x元,所得方程正确的是( )
A.-=10 B.-=10
C.-=10 D.-=10
2学校为了丰富学生知识,需要购买一批图书,其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格多8元,已知学校用15 000元购买科普类图书的本数与用12 000元购买文学类图书的本数相等.设文学类图书平均每本x元,则下列方程正确的是( )
A.= B.=
C.= D.=+8
3某镇的“脆红李”深受广大市民的喜爱,也是馈赠亲友的尚佳礼品,首批“脆红李”成熟后,当地某电商用12 000元购进这种“脆红李”进行销售,面市后,线上订单猛增供不应求,该电商又用11 000元购进第二批这种“脆红李”,由于更多“脆红李”成熟,单价比第一批每件便宜了5元,但数量比第一批多购进了40件,求购进的第一批“脆红李”的单价,设购进的第一批“脆红李”的单价为x元,根据题意可列方程为( )
A.=-40
B.-40=
C.+40=
D.+40=
4某校组织学生进行劳动实践活动,用1 000元购进甲种劳动工具,用2 400元购进乙种劳动工具,乙种劳动工具购买数量是甲种的2倍,但单价贵了4元.设甲种劳动工具单价为x元,则x满足的分式方程为 .
5新课标·中华优秀传统文化“四书五经”是中国的“圣经”,“四书五经”是《大学》《中庸》《论语》和《孟子》(四书)及《诗经》《尚书》《易经》《礼记》《春秋》(五经)的总称,这是一部被中国人读了几千年的教科书,包含了中国古代的政治理想和治国之道,是我们了解中国古代社会的一把钥匙.某学校计划分阶段引导学生读这些书,先购买《论语》和《孟子》供学生阅读.已知用500元购买《孟子》的数量和用800元购买《论语》的数量相同,《孟子》的单价比《论语》的单价少15元.求《论语》和《孟子》这两种书的单价各是多少元.
6(2024·广元中考)我市把提升城市园林绿化水平作为推进城市更新行动的有效抓手,从2023年开始通过拆违建绿、见缝插绿等方式在全域打造多个小而美的“口袋公园”,现需要购买A,B两种绿植,已知A种绿植单价是B种绿植单价的3倍,用6 750元购买的A种绿植比用3 000元购买的B种绿植少50株.设B种绿植单价是x元,则可列方程是( )
A.-50= B.-50=
C.+50= D.+50=
7“人间烟火味,最抚凡人心”,地摊经济、小店经济是就业岗位的重要来源.某经营者购进了A型和B型两种玩具,已知用520元购进A型玩具的数量比用175元购进B型玩具的数量多30个,且A型玩具单价是B型玩具单价的1.6倍.
(1)求两种型号玩具的单价各是多少元.
根据题意,甲、乙两名同学分别列出如下方程:
甲:=+30,解得x=5,经检验x=5是原方程的解.
乙:=1.6×,解得x=65,经检验x=65是原方程的解.
则甲所列方程中的x表示 ,乙所列方程中的x表示 .
(2)该经营者准备用1 350元以原单价再次购进这两种型号的玩具共200个,则最多可购进A型玩具多少个
8应用意识、运算能力金师傅近期准备换车,看中了价格相同的两款国产车.
燃油车 油箱容积:40升 油价:9元/升 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元 新能源车 电池电量:60千瓦时 电价:0.6元/千瓦时 续航里程:a千米 每千米行驶费用: 元
(1)用含a的代数式表示新能源车的每千米行驶费用.
(2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.54元.
①分别求出这两款车的每千米行驶费用.
②若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 800元和7 500元.问:每年行驶里程为多少千米时,买新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)第3课时 分式方程的实际应用——行程问题
知识点 分式方程的实际应用
1(2024·新疆中考)某校九年级学生去距学校20 km的科技馆研学,一部分学生乘甲车先出发,5 min后其余学生再乘乙车出发,结果同时到达.已知乙车的速度是甲车速度的1.2倍,设甲车的速度为x km/h,根据题意可列方程(D)
A.-=5 B.-=5
C.-= D.-=
2(2024·巴中中考)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动,目的地距学校60 km,一部分学生乘慢车先行0.5 h,另一部分学生再乘快车前往,他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km,求慢车的速度.设慢车的速度为x km/h,则可列方程为(A)
A.-= B.-=
C.-= D.-=
3《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目,其白话译文为:一份文件,若用慢马送到900里远的城市,所需时间比规定时间多1天;若改为快马派送,则所需时间比规定时间少3天,已知快马的速度是慢马的2倍,求规定时间.设规定时间为x天,则可列出正确的方程为(B)
A.=2× B.=2×
C.=2× D.=2×
4(2024·绥化中考)一艘货轮在静水中的航速为40 km/h,它以该航速沿江顺流航行120 km所用时间,与以该航速沿江逆流航行80 km所用时间相等,则江水的流速为(D)
A.5 km/h B.6 km/h C.7 km/h D.8 km/h
5(2024·云南中考)某旅行社组织游客从A地到B地的航天科技馆参观,已知A地到B地的路程为300千米,乘坐甲型车比乘坐乙型车少用2小时,甲型车的平均速度是乙型车的平均速度的3倍,求乙型车的平均速度.
【解析】设乙型车的平均速度是x千米/时,则甲型车的平均速度是3x千米/时,根据题意得:-=2,解得x=100.
经检验,x=100是所列方程的解,且符合题意.
答:乙型车的平均速度是100千米/时.
6某次列车平均提速v千米/小时,用相同的时间,列车提速前行驶s千米,相同的时间,提速后比提速前多行驶50千米,根据以上信息,下列说法正确的是(B)
A.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时,则可列方程为=
B.若设提速后这次列车的平均速度为x千米/小时,则可列方程为=
C.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时,则可列方程为=
D.若设提速前这次列车的平均速度为y千米/小时,则可列方程为=
7[教材再开发·P169T3变式]“爱劳动,劳动美.”甲、乙两同学同时从家里出发,分别到距家12 km和20 km的实践基地参加劳动.若甲、乙的速度比是3∶4,结果甲比乙提前10 min到达基地,求甲、乙的速度.设甲的速度为3x km/h,则依题意可列方程为(A)
A.+= B.+10=
C.-= D.-=10
8随着国家提倡节能减排,新能源车将成为时代“宠儿”.端午节,君君一家驾乘新购买的新能源车,去相距180 km的古镇旅行,原计划以速度v km/h匀速前行,因急事以计划速度的1.2倍匀速行驶,结果就比原计划提前了0.5 h到达,则原计划的速度v为 60 km/h.
9刘峰和李明相约周末去野生动物园游玩,根据他们的谈话内容,求李明乘公交车、刘峰骑自行车每小时分别行多少千米.
刘峰:我查好地图,你看看.
李明:好的,我家门口的公交车站,正好有一趟经过野生动物园那站的公交车,我明天8:30的车.
刘峰:从地图上看,我家到野生动物园的距离比你家近5千米,我就骑自行车去了.
李明:行,根据我的经验,公交车的速度一般是你骑自行车速度的2倍,那你明天早上8:00从家出发,如果顺利,咱们同时到达.
【解析】设刘峰骑自行车每小时行x千米,则李明乘公交车每小时行2x千米,
由题意得=+,解得:x=15,
经检验,x=15是原方程的解,且符合题意,
∴2x=2×15=30,
答:李明乘公交车每小时行30千米,刘峰骑自行车每小时行15千米.
10推理能力、应用意识周日琪琪要骑车从家去书店买书,一出家门,遇到了邻居亮亮.亮亮说:“今天有风,而且去时逆风,要吃亏了.”琪琪回答说:“去时逆风,回来时顺风,和无风往返一趟所用时间相同.”(顺风速度=无风时骑车速度+风速;逆风速度=无风时骑车速度-风速).
(1)如果家到书店的路程是12 km,无风时琪琪骑自行车的速度是8 km/h,她逆风去书店所用时间是顺风回家所用时间的倍,求风速是多少.
(2)如果设从家到书店的路程为s km,无风时骑车速度为v km/h,风速为
a km/h(v>a),分别求出有风往返一趟的时间和无风往返一趟的时间,请你通过计算说明琪琪和亮亮谁说得对.
【解析】(1)设当天的风速为x km/h.根据题意,得=×,解得x=2.经检验x=2是所列方程的解.
答:当天的风速为2 km/h.
(2)有风往返一趟的时间为(+) h,无风往返一趟的时间为 h.
∵+-=,v>a,
∴>0,即+>,
∴有风往返一趟的时间>无风往返一趟的时间,即亮亮说得对.18.5 分式方程
第1课时 分式方程及其解法
知识点1 分式方程的概念
1下列方程中,是分式方程的是( )
A.+=3 B.x-4y=7
C.2x=3(x-5) D.=1
练易错 混淆π为数字并非字母,故类似=3的方程并非分式方程.
2下列方程:①=2,②=3,③-=,④+=5,⑤+1=0中,关于x的分式方程有(填写序号): .
知识点2 分式方程的解法
3(2024·济宁中考)解分式方程1-=-时,去分母变形正确的是( )
A.2-6x+2=-5 B.6x-2-2=-5
C.2-6x-1=5 D.6x-2+1=5
4(2024·泸州中考)分式方程-3=的解是( )
A.x=- B.x=-1
C.x= D.x=3
5已知x=1是方程-=3的解,那么实数m的值为( )
A.-2 B.2 C.-4 D.4
6当x= 时,分式与互为倒数.
7新趋势·过程性学习小丁和小迪分别解方程-=1,过程如下:
小丁:
解:去分母,得x-(x-3)=x-2,
去括号,得x-x+3=x-2,
合并同类项,得3=x-2,
解得,x=5,
∴原方程的解是x=5.
小迪:
解:去分母,得x+(x-3)=1,
去括号,得x+x-3=1,
合并同类项,得2x-3=1,
解得,x=2,
经检验x=2是方程的增根,
原方程无解.
你认为小丁和小迪的解法是否正确 若正确,请在框内打“√”;若错误,请在框内打“×”,并写出你的解析过程.
9关于x的分式方程=1,下列说法中正确的是( )
A.方程的解是x=a-3
B.当a>3时,方程的解是正数
C.当a<3时,方程的解为负数
D.以上答案都正确
10(2024·遂宁中考)分式方程=1-的解为正数,则m的取值范围为( )
A.m>-3 B.m>-3且m≠-2
C.m<3 D.m<3且m≠-2
练易错 确定分式方程中参数的取值范围时,同时注意分母不为0.
11(2024·达州中考)若关于x的方程-=1无解,则k的值为 .
12代数式与代数式的值互为相反数,则x= .
13解方程:(1)+1=.
(2)=+1.
14已知关于x的方程:=-2.
(1)当m为何值时,方程无解.
(2)当m为何值时,方程的解为负数.
15运算能力、应用意识解分式方程+=3时小甲采用了以下的方法:
解:设=y,则原方程可化为y+2y=3,
解得y=1,
即=1,去分母得x+1=1,所以x=0,检验:当x=0时,x+1≠0,所以x=0是原方程的解.
上面的方法叫换元法,请用换元法解方程+=3.
