13.3.2 三角形的外角
知识点1 三角形外角的概念
1如图,∠1,∠2,∠3中是△ABC外角的是( )
A.∠1,∠2 B.∠2,∠3
C.∠1,∠3 D.∠1,∠2,∠3
知识点2 三角形外角的性质
2下列说法正确的是 ( )
A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B.三角形的一个外角小于它的一个内角
C.三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
3如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为 ( )
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
4[教材再开发·P16练习(4)变式]如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=40°,∠ACE=65°,则∠A的度数为 ( )
A.95° B.90° C.85° D.80°
5(2024·凉山州中考)一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,点E在AB的延长线上,当DF∥AB时,∠EDB的度数为 ( )
A.10° B.15° C.30° D.45°
6如图,在△ABC中,∠B=35°,△ABC的外角∠ACE=100°,则∠A= .
知识点3 三角形内、外角性质的综合应用
7如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 ( )
A.65° B.70° C.75° D.85°
8如图,∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五角星ABCDE的五个内角,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= °.
9如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
10如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=30°,∠C=45°,则∠AFB的大小为 ( )
A.75° B.80°
C.100° D.110°
11若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍,等于与它相邻的内角的2倍,则三角形各角的度数为 ( )
A.45°,45°,90° B.30°,60°,90°
C.25°,25°,130° D.36°,72°,72°
12如图,在△ABC中,△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的平分线交于点P,已知∠APB=42°,则∠C的度数为 .
13 [教材再开发·P17习题T11变式]如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=30°,∠BAC=88°,求∠E的度数;
(2)若∠B=∠E=α°,请直接写出∠BAC的度数(用含α的代数式表示).
14几何直观、推理能力如图1,一张三角形纸片,点D,E分别是△ABC边上两点.
(1)如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA'与∠A的数量关系是 .
(2)如果折成图2的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系还成立吗 若成立,请说明理由;若不成立,直接写出它们的关系.
(3)如果折成图3的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系是 . 13.3.2 三角形的外角
知识点1 三角形外角的概念
1如图,∠1,∠2,∠3中是△ABC外角的是(C)
A.∠1,∠2 B.∠2,∠3
C.∠1,∠3 D.∠1,∠2,∠3
知识点2 三角形外角的性质
2下列说法正确的是 (D)
A.三角形的一个外角等于任意两个内角的和
B.三角形的一个外角小于它的一个内角
C.三角形的一个外角大于它的相邻的内角
D.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角
3如图,在△ABC中,点D,E在射线BA上,则∠1,∠2,∠B之间的大小关系为 (D)
A.∠1<∠2<∠B B.∠B<∠2<∠1
C.∠1<∠B<∠2 D.∠B<∠1<∠2
4[教材再开发·P16练习(4)变式]如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,若∠B=40°,∠ACE=65°,则∠A的度数为 (B)
A.95° B.90° C.85° D.80°
5(2024·凉山州中考)一副直角三角尺按如图所示的方式摆放,点E在AB的延长线上,当DF∥AB时,∠EDB的度数为 (B)
A.10° B.15° C.30° D.45°
6如图,在△ABC中,∠B=35°,△ABC的外角∠ACE=100°,则∠A= 65° .
知识点3 三角形内、外角性质的综合应用
7如图,点D在BC的延长线上,DE⊥AB于点E,交AC于点F.若∠A=35°,∠D=15°,则∠ACB的度数为 (B)
A.65° B.70° C.75° D.85°
8如图,∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五角星ABCDE的五个内角,则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 180 °.
9如图,AB∥CD,△EFG的顶点F,G分别落在直线AB,CD上,GE交AB于点H,GE平分∠FGD.若∠EFG=90°,∠E=35°,求∠EFB的度数.
【解析】∵在△EFG中,∠EFG=90°,∠E=35°,∴∠EGF=90°-∠E=55°.
∵GE平分∠FGD,
∴∠EGF=∠EGD=55°.
∵AB∥CD,∴∠EHB=∠EGD=55°.
又∵∠EHB=∠EFB+∠E,
∴∠EFB=∠EHB-∠E=55°-35°=20°.
10如图,点D,E分别在线段BC,AC上,连接AD,BE.若∠A=35°,∠B=30°,∠C=45°,则∠AFB的大小为 (D)
A.75° B.80°
C.100° D.110°
11若三角形的一个外角等于与它不相邻的一个内角的4倍,等于与它相邻的内角的2倍,则三角形各角的度数为 (B)
A.45°,45°,90° B.30°,60°,90°
C.25°,25°,130° D.36°,72°,72°
12如图,在△ABC中,△ABC的内角∠CAB和外角∠CBD的平分线交于点P,已知∠APB=42°,则∠C的度数为 84° .
13 [教材再开发·P17习题T11变式]如图,CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,CE交BA的延长线于点E.
(1)若∠B=30°,∠BAC=88°,求∠E的度数;
(2)若∠B=∠E=α°,请直接写出∠BAC的度数(用含α的代数式表示).
【解析】(1)∵∠B=30°,∠BAC=88°,
∴∠ACD=30°+88°=118°,∠EAC=180°-88°=92°,
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠ACE=59°,
∴∠E=180°-59°-92°=29°;
(2)∵∠B=∠E=α°,
∴∠ECD=2α°,
∵CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴∠ACD=4α°,∴∠BAC=4α°-α°=3α°
14几何直观、推理能力如图1,一张三角形纸片,点D,E分别是△ABC边上两点.
(1)如果沿直线DE折叠,使A点落在CE上,则∠BDA'与∠A的数量关系是 .
(2)如果折成图2的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系还成立吗 若成立,请说明理由;若不成立,直接写出它们的关系.
(3)如果折成图3的形状,猜想∠BDA',∠CEA'和∠A的数量关系是 .
【解析】(1)根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,∠BDA'是△A'DA的一个外角,
所以∠BDA'=∠A+∠DA'E,
即∠BDA'=2∠A.
答案:∠BDA'=2∠A
(2)∠BDA'+∠CEA'=2∠A.
理由:根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,∠ADE=∠A'DE,∠AED=∠A'ED,
∵∠A+∠AED+∠ADE=∠A'+∠A'ED+∠A'DE=180°,故∠A+∠DA'E+∠AEA'+∠ADA'=360°,即∠A+∠DA'E=360°-∠ADA'-∠A'EA,
∵∠BDA'+∠ADA'=180°,∠CEA'+∠A'EA=180°,∴∠BDA'+∠CEA'=360°-∠ADA'-∠A'EA,∴∠BDA'+∠CEA'=∠A+∠DA'E,
∴∠BDA'+∠CEA'=2∠A.
(3)理由:根据折叠的性质可得∠A=∠DA'E,
DA'交AC于点F,如图:
由三角形的外角性质得,∠BDA'=∠A+∠DFA,
∠DFA=∠A'+∠CEA',
∴∠BDA'=∠A+∠A'+∠CEA',
∴∠BDA'-∠CEA'=∠A+∠A',
即∠BDA'-∠CEA'=2∠A.
答案:∠BDA'-∠CEA'=2∠A
