6.4.1 平面几何中的向量方法
6.4.2 向量在物理中的应用举例
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题．
2．体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力．
题型(一) 向量在平面几何证明问题中的应用
[例1]
如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AB，BC的中点，求证：AF⊥DE.
听课记录：
|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用向量共线定理证明线段平行或点共线；
②利用向量的模证明线段相等；
③利用向量的数量积为0证明线段垂直．
(2)常用的两个方法
基底法 选取已知的不共线的两个向量作为基底，用基向量表示相关向量，转化为基底之间的向量运算进行证明
坐标法 先建立平面直角坐标系，表示出点、向量的坐标，利用坐标运算进行证明
[针对训练]
1．如图，已知AD，BE，CF是△ABC的三条高，且交于点O，DG⊥BE于G，DH⊥CF于H.求证：HG∥EF.
题型(二) 利用平面向量求几何中的长度问题
[例2] 如图，在平行四边形ABCD中，AD＝1，AB＝2，对角线BD＝2，求对角线AC的长．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度的求解．一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积转化，用公式|a|2＝a2求解；二是建立平面直角坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式求解．若a＝(x，y)，则|a|＝.
[针对训练]
2．已知Rt△ABC中，∠C＝90°，设AC＝m，BC＝n.
(1)若D为斜边AB的中点，求证：CD＝AB；
(2)若E为CD的中点，连接AE并延长交BC于F，求AF的长度(用m，n表示)．
题型(三) 平面向量在物理中的应用
[例3] 在风速为75(－)km/h的西风中，飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题的向量，转化为数学问题；
(2)建立以向量为主体的数学模型；
(3)利用向量的线性运算或数量积运算，求解数学模型；
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题．
[针对训练]
3．在长江南岸某渡口处，江水以12.5 km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如何确定？
4．已知两恒力F1＝(3,4)，F2＝(6，－5)作用于同一质点，使之由点A(20,15)移动到点B(7,0)，求F1，F2分别对质点所做的功．(力的单位：牛顿，位移单位：米)
6．4.1 平面几何中的向量方法
6．4.2 向量在物理中的应用举例
[题型(一)]
[例1] 证明：法一：设＝a，＝b，则|a|＝|b|，a·b＝0.又＝＋＝－a＋b，＝＋＝b＋a，
所以·＝·＝－a2－a·b＋b2＝－|a|2＋|b|2＝0.
故⊥，即AF⊥DE.
法二：
如图，建立平面直角坐标系，
设正方形的边长为2，则A(0,0)，D(0,2)，E(1,0)，F(2,1)，＝(2,1)，＝(1，－2)．因为·＝(2,1)·(1，－2)＝2－2＝0，所以⊥，即AF⊥DE.
[针对训练]
1．证明：∵⊥，⊥，∴∥.
设＝λ(λ≠0)，则＝λ.同理＝λ.于是＝－＝λ(－)＝λ，
∴∥，即HG∥EF.
[题型(二)]
[例2] 解：法一：设＝a，＝b，则＝a－b，＝a＋b.
∵||＝|a－b|＝ ＝＝＝2，
∴5－2a·b＝4.
∴a·b＝.又||2＝|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝1＋4＋2a·b＝6，∴||＝，即AC＝.
法二：由平行四边形对角线长与边长之间的关系，得AC2＋BD2＝2(AD2＋AB2)．
∴AC2＝2(12＋22)－4＝6，∴AC＝.
[针对训练]
2．解：(1)证明：以C为坐标原点，以边CB，CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，m)，B(n,0)．
∵D为AB的中点，
∴D，
∴||＝ ，||＝，
∴||＝||，即CD＝AB.
(2)∵E为CD的中点，∴E.
设F(x,0)，则＝，＝(x，－m)．
∵A，E，F三点共线，∴＝λ.
即(x，－m)＝λ，
则解得λ＝，x＝，
∴F，∴||＝，
即AF＝.
[题型(三)]
[例3] 解：设ω＝风速，va＝有风时飞机的航行速度，vb＝无风时飞机的航行速度，vb＝va－ω.如图所示．
设||＝|va|，||＝|ω|，||＝|vb|，作AD∥BC，CD⊥AD于点D，BE⊥AD于点E，则∠BAD＝45°.
设||＝150，则||＝75(－)．
∴||＝||＝||＝75，||＝75.
从而||＝150，∠CAD＝30°.∴|vb|＝150，即没有风时飞机的航速为150 km/h，方向为北偏西60°.
[针对训练]
3．解：如图，设表示水流的速度，表示渡船的速度，表示渡船实际垂直过江的速度．∵＋＝，
∴四边形ABCD为平行四边形．在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，||＝||＝12.5，||＝25，所以∠CAD＝30°，即渡船要垂直地渡过长江，其航向应为北偏西30°.
4．解：设物体在力F作用下的位移为s，则所做的功为W＝F·s.∵＝(7,0)－(20,15)＝(－13，－15)．
∴W1＝F1·＝(3,4)·(－13，－15)
＝3×(－13)＋4×(－15)＝－99(焦)，
W2＝F2·＝(6，－5)·(－13，－15)
＝6×(－13)＋(－5)×(－15)＝－3(焦)．(共47张PPT)
6.4.1
平面几何中的向量方法
6.4.2
向量在物理中的应用举例
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
课时目标
1.能用向量方法解决简单的平面几何问题、力学问题和其他实际问题.
2.体会向量在解决数学和实际问题中的作用,培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 向量在平面几何证明问题中的应用
题型(二) 利用平面向量求几何中的长度问题
题型(三) 平面向量在物理中的应用
4
课时跟踪检测
题型(一)
向量在平面几何证明问题中的应用
01
[例1] 如图,在正方形ABCD中,E,F分别是AB,BC的中点,求证:AF⊥DE.
证明:法一:设=a,=b,则|a|=|b|,a·b=0.又=+=-a+b,
=+=b+a,所以·=·=-a2-
a·b+b2=-|a|2+|b|2=0.故⊥,即AF⊥DE.
法二:如图,建立平面直角坐标系,
设正方形的边长为2,则A(0,0),D(0,2),E(1,0),F(2,1),=(2,1),=(1,-2).因为·=(2,1)·(1,-2)=2-2=0,所以⊥,即AF⊥DE.
|思|维|建|模|
平面几何中利用向量证明的常见问题及方法
(1)常见的利用向量证明的问题
①利用向量共线定理证明线段平行或点共线;
②利用向量的模证明线段相等;
③利用向量的数量积为0证明线段垂直.
(2)常用的两个方法
基底法 选取已知的不共线的两个向量作为基底,用基向量表示相关向量,转化为基底之间的向量运算进行证明
坐标法 先建立平面直角坐标系,表示出点、向量的坐标,利用坐标运算进行证明
1.如图,已知AD,BE,CF是△ABC的三条高,且交于点O,DG⊥BE于G,
DH⊥CF于H.求证:HG∥EF.
针对训练
证明: ∵⊥,⊥,∴∥.
设=λ(λ≠0),则=λ.同理=λ.于是=-=λ(-)=
λ,
∴∥,即HG∥EF.
题型(二)
利用平面向量求几何中的长度问题
02
[例2] 如图,在平行四边形ABCD中,AD=1,AB=2,对角线BD=2,求对角线AC的长.
解:法一:设=a,=b,则=a-b,=a+b.
∵||=|a-b|= ===2,
∴5-2a·b=4.
∴a·b=.又||2=|a+b|2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6,∴||=,
即AC=.
法二:由平行四边形对角线长与边长之间的关系,得AC2+BD2=2(AD2+AB2).
∴AC2=2(12+22)-4=6,∴AC=.
|思|维|建|模|
利用向量法解决长度问题的策略
向量法求平面几何中的长度问题,即向量长度的求解.一是利用图形特点选择基底,向向量的数量积转化,用公式|a|2=a2求解;二是建立平面直角坐标系,确定相应向量的坐标,代入公式求解.若a=(x,y),则|a|=.
2.已知Rt△ABC中,∠C=90°,设AC=m,BC=n.
(1)若D为斜边AB的中点,求证:CD=AB;
解:证明:以C为坐标原点,以边CB,CA所在的直线分别为x轴、y轴建立平面直角坐标系,如图所示,则A(0,m),B(n,0).
∵D为AB的中点,
∴D,
针对训练
∴||= ,||=,
∴||=||,即CD=AB.
(2)若E为CD的中点,连接AE并延长交BC于F,求AF的长度(用m,n表示).
解:∵E为CD的中点,∴E.
设F(x,0),则=,=(x,-m).
∵A,E,F三点共线,∴=λ.
即(x,-m)=λ,则
解得λ=,x=,∴F,
∴||= ,
即AF= .
题型(三) 平面向量在物理中的应用
03
[例3] 在风速为75(-)km/h的西风中,飞机以150 km/h的航速向西北方向飞行,求没有风时飞机的航速和航向.
解:设ω=风速,va=有风时飞机的航行速度,vb=
无风时飞机的航行速度,
vb=va-ω.
如图所示.
设||=|va|,||=|ω|,||=|vb|,作AD∥BC,CD⊥AD于点D,BE⊥AD于点E,则∠BAD=45°.
设||=150,则||=75(-).
∴||=||=||=75,||=75.
从而||=150,∠CAD=30°.∴|vb|=150,即没有风时飞机的航速为150 km/h,方向为北偏西60°.
|思|维|建|模|
利用向量法解决物理问题的步骤
(1)抽象出物理问题的向量,转化为数学问题;
(2)建立以向量为主体的数学模型;
(3)利用向量的线性运算或数量积运算,求解数学模型;
(4)用数学模型中的数据解释或分析物理问题.
3.在长江南岸某渡口处,江水以12.5 km/h的速度向东流,渡船的速度为25 km/h.渡船要垂直地渡过长江,其航向应如何确定
解:如图,设表示水流的速度,表示渡船的速度,表示渡船实际垂直过江的速度.
针对训练
∵+=,
∴四边形ABCD为平行四边形.
在Rt△ACD中,∠ACD=90°,||=||=12.5,||=25,
所以∠CAD=30°,
即渡船要垂直地渡过长江,其航向应为北偏西30°.
4.已知两恒力F1=(3,4),F2=(6,-5)作用于同一质点,使之由点A(20,15)移动到点B(7,0),求F1,F2分别对质点所做的功.(力的单位:牛顿,位移单位:米)
解:设物体在力F作用下的位移为s,则所做的功为W=F·s.∵=(7,0)-(20,15)=(-13,-15).
∴W1=F1·=(3,4)·(-13,-15)
=3×(-13)+4×(-15)=-99(焦),
W2=F2·=(6,-5)·(-13,-15)
=6×(-13)+(-5)×(-15)=-3(焦).
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间,正确的是( )
A.船垂直到达对岸所用时间最少
B.当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C.沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D.船垂直到达对岸时航行的距离最短
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解析:根据向量将船速v分解,当v垂直河岸时,用时最少.船垂直到达对岸时航行的距离最短.
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2.在△ABC中,若·+=0,则△ABC是( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.直角三角形 D.等腰直角三角形
解析:因为·+=0,所以·(+)=0,所以·=0,所以⊥,所以∠BAC是直角,△ABC是直角三角形.
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3.在四边形ABCD中,若=(1,3),=(-6,2),则该四边形的面积为( )
A. B.2
C.5 D.10
解析: ∵·=0,∴AC⊥BD,
∴四边形ABCD的面积S=||||=××2=10.
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4.已知两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90°时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120°时,合力大小为 ( )
A.40 N B.10 N
C.20 N D.40 N
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解析:如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.
由题意,易知当它们的夹角为90°时,|F|=|F1|=20 N,
∴|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120°时,以F1,F2为邻边的平行四边形为菱形,此时|F|=|F1|=10 N.故选B.
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√
5.已知一物体在共点力F1=(lg 2,lg 2),F2=(lg 5,lg 2)的作用下产生位移s=(2lg 5,1),则共点力对物体做的功W为 ( )
A.lg 2 B.lg 5
C.1 D.2
解析: W=(F1+F2)·s=(lg 2+lg 5,2lg 2)·(2lg 5,1)=(1,2lg 2)·(2lg 5,1)=2lg 5+
2lg 2=2.故选D.
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6.坐标平面内一只小蚂蚁以速度v=(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处,其所用时间长短为 .
解析:设所用时间长短为t,则=tv,即(3,6)=t(1,2),所以t=3.
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7.一条河宽400 m,一船从A出发垂直到达正对岸的B处,船速为20 km/h,水速为12 km/h,则船到达B处所需时间为 min.
解析: ∵合速度|v合|==16(km/h)=(m/min),
∴t=400÷=1.5(min).
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8.已知直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AB=2,DC=1,AB∥DC,则当AC⊥BC时,AD= .
解析:建立如图所示的平面直角坐标系,则A(0,0),
B(2,0).设AD=a,则C(1,a),=(1,a),=(-1,a).因为
AC⊥BC,所以⊥.所以·=-1+a2=0,所以a=1(负值舍去).
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9.(8分)求证:直径所对的圆周角为直角.
证明:如图,设=a,=b,则=a+b,=a,=a-b,|a|=|b|.
因为·=(a+b)·(a-b)=|a|2-|b|2=0,所以⊥,
所以∠ABC=90°.所以直径所对的圆周角为直角.
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10.(10分)如图,若D是△ABC内的一点,且AB2-AC2=DB2-DC2,求证:AD⊥BC.
证明:设=a,=b,=e,=c,=d,则a=e+c,b=e+d,
∴a2-b2=(e+c)2-(e+d)2=c2+2e·c-2e·d-d2.
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由已知a2-b2=c2-d2,
∴c2+2e·c-2e·d-d2=c2-d2,即e·(c-d)=0.
∵=+=d-c,∴·=e·(d-c)=0,
∴⊥,即AD⊥BC.
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B级——重点培优
11.(多选)如图,小船被绳索拉向岸边,船在水中运动时设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列四个选项正确的是( )
A.绳子的拉力不断增大
B.绳子的拉力不断减小
C.船的浮力不断减小
D.船的浮力保持不变
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解析:设水的阻力为f,绳的拉力为F,绳AB与水平方向夹角为θ,则|F|cos θ=|f|,∴|F|=.∵θ增大,cos θ减小,
∴|F|增大.∵|F|sin θ增大,∴船的浮力减小.
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12.点O是△ABC所在平面内的一点,满足·=·=·,则点O是△ABC的 心.
解析: ∵·=·,∴(-)·=0.∴·=0.
∴OB⊥AC.同理OA⊥BC,OC⊥AB,∴O为三条高所在直线的交点,
即垂心.
垂
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13.(15分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h,河水的流速为4 km/h,现此人在河中游泳.如果他垂直游向河对岸,那么他实际沿什么方向前进 实际前进的速度为多少
解:如图,设此人在静水中游泳的速度为,水流的速度为,
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以OA,OB为邻边作平行四边形OACB,则此人的实际速度为+=.
由题意,⊥且||=4,||=4,
所以||= =8.
在Rt△OAC中,tan∠AOC==,
所以∠AOC=60°.
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进,速度大小为8 km/h.
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14.(15分)如图,点O是平行四边形ABCD的中心,E,F分别在边CD,AB上,且==.
求证:点E,O,F在同一直线上.
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证明:设=m,=n,由==,知E,F分别是CD,AB的三等分点,
∴=+=+=-m+(m+n)=m+n,
=+=+=(m+n)-m=m+n.
∴=.又O为和的公共点,故点E,O,F在同一直线上.课时跟踪检测(十三) 平面几何中的向量方法 向量在物理中的
应用举例
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)关于船从两平行河岸的一岸驶向另一岸所用的时间，正确的是( )
A．船垂直到达对岸所用时间最少
B．当船速v的方向与河岸垂直时用时最少
C．沿任意直线运动到达对岸的时间都一样
D．船垂直到达对岸时航行的距离最短
2．在△ABC中，若·＋2＝0，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
3．在四边形ABCD中，若＝(1,3)，＝(－6,2)，则该四边形的面积为( )
A. B．2
C．5 D．10
4．已知两个大小相等的共点力F1，F2，当它们的夹角为90°时，合力大小为20 N，当它们的夹角为120°时，合力大小为( )
A．40 N B．10 N
C．20 N D．40 N
5．已知一物体在共点力F1＝(lg 2，lg 2)，F2＝(lg 5，lg 2)的作用下产生位移s＝(2lg 5,1)，则共点力对物体做的功W为( )
A．lg 2 B．lg 5
C．1 D．2
6．坐标平面内一只小蚂蚁以速度v＝(1,2)从点A(4,6)处移动到点B(7,12)处，其所用时间长短为________.
7．一条河宽400 m，一船从A出发垂直到达正对岸的B处，船速为20 km/h，水速为12 km/h，则船到达B处所需时间为________min.
8．已知直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AB＝2，DC＝1，AB∥DC，则当AC⊥BC时，AD＝________.
9．(8分)求证：直径所对的圆周角为直角.
10．(10分)如图，若D是△ABC内的一点，且AB2－AC2＝DB2－DC2，求证：AD⊥BC.
B级——重点培优
11．(多选)如图，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项正确的是( )
A．绳子的拉力不断增大
B．绳子的拉力不断减小
C．船的浮力不断减小
D．船的浮力保持不变
12．点O是△ABC所在平面内的一点，满足·＝·＝·，则点O是△ABC的________心.
13．(15分)已知某人在静水中游泳的速度为4 km/h，河水的流速为4 km/h，现此人在河中游泳．如果他垂直游向河对岸，那么他实际沿什么方向前进？实际前进的速度为多少？
14．(15分)如图，点O是平行四边形ABCD的中心，E，F分别在边CD，AB上，且＝＝.
求证：点E，O，F在同一直线上.
课时跟踪检测(十三)
1．选BD 根据向量将船速v分解，当v垂直河岸时，用时最少．船垂直到达对岸时航行的距离最短．
2．选C 因为·＋2＝0，所以·(＋)＝0，所以·＝0，所以⊥，所以∠BAC是直角，△ABC是直角三角形．
3．选D ∵·＝0，∴AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S＝||||＝××2＝10.
4.选B 如图，以F1，F2为邻边作平行四边形，F为这两个力的合力．
由题意，易知当它们的夹角为90°时，|F|＝|F1|＝20 N，
∴|F1|＝|F2|＝10 N．当它们的夹角为120°时，以F1，F2为邻边的平行四边形为菱形，此时|F|＝|F1|＝10 N．故选B.
5．选D W＝(F1＋F2)·s＝(lg 2＋lg 5，2lg 2)·(2lg 5,1)＝(1,2lg 2)·(2lg 5,1)＝2lg 5＋2lg 2＝2.故选D.
6．解析：设所用时间长短为t，则＝tv，即(3,6)＝t(1,2)，所以t＝3.
答案：3
7．解析：∵合速度|v合|＝＝16(km/h)＝(m/min)，∴t＝400÷＝1.5(min)．
答案：1.5
8．解析：建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0,0)，B(2，0)．设AD＝a，则C(1，a)，＝(1，a)，＝(－1，a)．因为AC⊥BC，所以⊥.所以·＝－1＋a2＝0，所以a＝1(负值舍去)．
答案：1
9．证明：如图，设＝a，＝b，则＝a＋b，＝a，＝a－b，|a|＝|b|.
因为·＝(a＋b)·(a－b)＝|a|2－|b|2＝0，所以⊥，所以∠ABC＝90°.所以直径所对的圆周角为直角．
10．证明：设＝a，＝b，＝e，＝c，＝d，则a＝e＋c，b＝e＋d，
∴a2－b2＝(e＋c)2－(e＋d)2＝c2＋2e·c－2e·d－d2.
由已知a2－b2＝c2－d2，
∴c2＋2e·c－2e·d－d2＝c2－d2，即e·(c－d)＝0.
∵＝＋＝d－c，∴·＝e·(d－c)＝0，
∴⊥，即AD⊥BC.
11．选AC 设水的阻力为f，绳的拉力为F，绳AB与水平方向夹角为θ，
则|F|cos θ＝|f|，∴|F|＝.
∵θ增大，cos θ减小，∴|F|增大．
∵|F|sin θ增大，∴船的浮力减小．
12．解析：∵·＝·，∴(－)·＝0.∴·＝0.∴OB⊥AC.同理OA⊥BC，OC⊥AB，∴O为三条高所在直线的交点，即垂心．
答案：垂
13．解：如图，设此人在静水中游泳的速度为，水流的速度为，
以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则此人的实际速度为＋＝.
由题意，⊥且||＝4，||＝4，所以||＝ ＝8.
在Rt△OAC中，tan∠AOC＝＝，所以∠AOC＝60°.
故此人沿与河岸成60°的夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8 km/h.
14．证明：设＝m，＝n，由＝＝，知E，F分别是CD，AB的三等分点，
∴＝＋＝＋＝－m＋(m＋n)＝m＋n，＝＋＝＋＝(m＋n)－m＝m＋n.∴＝.又O为和的公共点，故点E，O，F在同一直线上．
