第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例
(教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．认识实际测量中的有关名称和术语．
2．会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题．
1．基线的概念与选择原则
(1)定义：在测量过程中，我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线．
(2)性质：在测量过程中，为使测量具有较高的精确度，应根据实际需要选取合适的基线长度．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．
2．测量中的有关概念
(1)方位角：从正北方向顺时针转到目标方向线的角．如图所示的θ1，θ2即表示点A和点B的方位角．故方位角的范围是0°≤θ＜360°.
(2)方向角：指以观测者为中心，正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，它是方位角的另一种表示形式．如图，图1中表示北偏东30°，图2中表示南偏西60°.
(3)仰角和俯角：与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫做仰角；目标视线在水平视线下方时叫做俯角．如图3所示．
(4)视角：观测者的两条视线之间的夹角叫做视角．
(5)坡角与坡度：坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度，如图所示，α为坡角，坡比i＝＝tan α.
题型(一) 测量距离问题
[例1] 如图，A，B两点都在河的对岸(不可到达)，若在河岸选取相距20 m的C，D两点，测得∠BCA＝60°，∠ACD＝30°，∠CDB＝45°，∠BDA ＝60°，那么此时A，B两点间的距离是多少？
听课记录：
|思|维|建|模|
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题，若在一个三角形中，则直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的线段在多个三角形中，要根据条件选择适当的三角形，再利用正、余弦定理求解．
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边，分析所解三角形中已知哪些元素，还需要求出哪些元素，灵活应用正、余弦定理来解决．
[针对训练]
1.如图，从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B，C的俯角分别为75°，30°，若无人机的高度AD是15(＋1)，则此时峡谷的宽度BC是( )
A．60 B．60(＋1)
C．30 D．30(＋1)
题型(二) 测量高度问题
[例2] 如图，A，B是水平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D点是C点到水平面的垂足，求山高CD.
听课记录：
|思|维|建|模|
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．
[针对训练]
2.如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两点C与D.现测得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在点C测得塔顶A的仰角为θ，求塔高AB.
题型(三) 测量角度问题
[例3]
某公司想投资建设一个深水港码头，如图，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60 m，BC＝120 m，于A处测得水深AD＝120 m，于B处测得水深BE＝200 m，于C处测得水深CF＝150 m，则cos∠DEF＝________.
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度，确定目标的方位，观察某一物体的视角等问题．
(2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念，确定所求的角或距离在哪个三角形中，该三角形中已知哪些量，需要求哪些量．
[针对训练]
3．甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处，两船相距a n mile，乙船向正北方向行驶．若甲船的速度是乙船速度的倍，则甲船应沿____________方向前进才能最快追上乙船，相遇时乙船行驶了________n mile.
第3课时 余弦定理、正弦定理应用举例
[题型(一)]
[例1] 解：由正弦定理得
AC＝
＝＝＝10(1＋)(m)，
BC＝
＝＝20(m)．
在△ABC中，由余弦定理得
AB＝＝10(m)．
∴A，B两点间的距离为10 m.
[针对训练]
1．选A 由已知得∠ACB＝30°，∠ABD＝75°，
∴CD＝＝15(3＋)，BD＝＝15(－1)，∴BC＝CD－BD＝60.故选A.
[题型(二)]
[例2] 解：由于CD⊥平面ABD，∠CAD＝45°，所以CD＝AD.
在△ABD中，∠BDA＝180°－45°－120°＝15°，
由＝，
得AD＝＝＝800(＋1)(m)．即山的高度为800(＋1)m.
[针对训练]
2．解：在△BCD中，∠CBD＝π－(α＋β)．由正弦定理得＝.
∴BC＝＝.
在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝.
[题型(三)]
[例3] 解析：如图所示，作DM∥AC交BE于N，交CF于M，作FH∥AC交BE于H.
由题中所给数据得
DF＝
＝
＝10(m)，DE＝＝＝100(m)，
EF＝ ＝ ＝130(m)．
在△DEF中，由余弦定理的推论，
得cos∠DEF＝
＝＝－.
答案：－
[针对训练]
3．解析：
如图所示，设两船在C处相遇，并设∠CAB＝θ，乙船行驶距离BC为x n mile，则AC＝x，由正弦定理得sin θ＝＝，而θ<60°，∴θ＝30°.∴∠ACB＝30°，BC＝AB＝a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船，两船相遇时乙船行驶了a n mile.
答案：北偏东30° a(共60张PPT)
余弦定理、正弦定理应用举例
(教学方式:拓展融通课—习题讲评式教学)
第3课时
课时目标
1.认识实际测量中的有关名称和术语.
2.会用余弦定理、正弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量等问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 测量距离问题
题型(二) 测量高度问题
题型(三) 测量角度问题
4
课时跟踪检测
1.基线的概念与选择原则
(1)定义:在测量过程中,我们把根据测量的需要而确定的线段叫做基线.
(2)性质:在测量过程中,为使测量具有较高的精确度,应根据实际需要选取合适的基线长度.一般来说,基线越长,测量的精确度越高.
2.测量中的有关概念
(1)方位角:从正北方向顺时针转到目标方向线的角.如图所示的θ1,θ2即表示点A和点B的方位角.故方位角的范围是0°≤θ<360°.
(2)方向角:指以观测者为中心,正北或正南的方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角,它是方位角的另一种表示形式.如图,图1中表示北偏东30°,图2中表示南偏西60°.
(3)仰角和俯角:与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角,目标视线在水平视线上方时叫做仰角;目标视线在水平视线下方时叫做俯角.如图3所示.
(4)视角:观测者的两条视线之间的夹角叫做视角.
(5)坡角与坡度:
坡面的铅直高度与水平宽度之比叫做坡度,如图所示,α为坡角,坡比i==tan α.
题型(一) 测量距离问题
01
[例1] 如图,A,B两点都在河的对岸(不可到达),若在河岸选取相距20 m的C,D两点,测得∠BCA=60°,∠ACD=30°,∠CDB=45°,∠BDA =60°,那么此时A,B两点间的距离是多少
解:由正弦定理得
AC=
===10(1+)(m),
BC===20(m).
在△ABC中,由余弦定理得
AB= =10(m).
∴A,B两点间的距离为10 m.
|思|维|建|模|
三角形中与距离有关的问题的求解策略
(1)解决三角形中与距离有关的问题,若在一个三角形中,则直接利用正、余弦定理求解即可;若所求的线段在多个三角形中,要根据条件选择适当的三角形,再利用正、余弦定理求解.
(2)解决三角形中与距离有关的问题的关键是转化为求三角形中的边,分析所解三角形中已知哪些元素,还需要求出哪些元素,灵活应用正、余弦定理来解决.
1.如图,从无人机A上测得正前方的峡谷的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,若无人机的高度AD是15(+1),则此时峡谷的宽度BC是( )
A.60 B.60(+1)
C.30 D.30(+1)
√
针对训练
解析:由已知得∠ACB=30°,∠ABD=75°,
∴CD==15(3+),BD==15(-1),
∴BC=CD-BD=60.故选A.
题型(二) 测量高度问题
02
[例2] 如图,A,B是水平面上的两个点,相距800 m,在A点测得山顶C的仰角为45°,∠BAD=120°,又在B点测得∠ABD=45°,其中D点是C点到水平面的垂足,求山高CD.
解:由于CD⊥平面ABD,∠CAD=45°,
所以CD=AD.
在△ABD中,∠BDA=180°-45°-120°=15°,
由=,得AD===800(+1)(m).
即山的高度为800(+1)m.
|思|维|建|模|
测量高度问题的解题策略
(1)“空间”向“平面”的转化:测量高度问题往往是空间中的问题,因此先要选好所求线段所在的平面,将空间问题转化为平面问题.
(2)“解直角三角形”与“解斜三角形”结合,全面分析所有三角形,仔细规划解题思路.
2.如图,测量河对岸平面内的两点C与D.现测得∠BCD的塔高AB时,可以选与塔底B在同一水=α,∠BDC=β,CD=s,并在点C测得塔顶A的仰角为θ,求塔高AB.
针对训练
解:在△BCD中,∠CBD=π-(α+β).由正弦定理得=.
∴BC==.
在Rt△ABC中,AB=BCtan∠ACB=.
题型(三) 测量角度问题
03
[例3] 某公司想投资建设一个深水港码头,如图,工程师为了了解深水港码头海域海底的构造,在海平面内一条直线上的A,B,C三点进行测量.已知AB=60 m,BC=120 m,于A处测得水深AD=120 m,于B处测得水深BE=200 m,于C处测得水深CF=150 m,则cos∠DEF= .
解析:如图所示,作DM∥AC交BE于N,交CF于M,作FH∥AC交BE于H.由题中所给数据得
DF===10(m),
DE= = =100(m),
EF= = =130(m).
在△DEF中,由余弦定理的推论,得cos∠DEF===-.
|思|维|建|模|
(1)测量角度与追及问题主要是指在海上、空中或陆地进行测量或计算角度,确定目标的方位,观察某一物体的视角等问题.
(2)解决这类问题的关键是根据题意和图形以及相关概念,确定所求的角或距离在哪个三角形中,该三角形中已知哪些量,需要求哪些量.
3.甲船在A处观察到乙船在它的北偏东60°方向的B处,两船相距a n mile,乙船向正北方向行驶.若甲船的速度是乙船速度的倍,则甲船应沿_________方向前进才能最快追上乙船,相遇时乙船行驶了 n mile.
针对训练
北偏东30°
a
解析:如图所示,设两船在C处相遇,并设∠CAB=θ,
乙船行驶距离BC为x n mile,则AC=x,由正弦定
理得sin θ==,而θ<60°,∴θ=30°.
∴∠ACB=30°,BC=AB=a.
∴甲船应沿北偏东30°方向前进才能最快追上乙船,两船相遇时乙船行驶了a n mile.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
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解析:灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,
∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.故选B.
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2.已知A,B两地间的距离为10 km,B,C两地间的距离为20 km,现测得∠ABC=120°,则A,C两地间的距离为 ( )
A.10 km B.10 km
C.10 km D.10 km
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解析:如图所示,由余弦定理可得,AC2=100+400-2×10×20×cos 120°
=700,∴AC=10(km).
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3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为 ( )
A. n mile/h B.34 n mile/h
C. n mile/h D.34 n mile/h
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解析:如图所示,在△PMN中,=,∴MN==34.
∴v==(n mile/h).故选A.
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4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为 ( )
A.20 m B.30 m
C.40 m D.60m
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解析:如图,设O为建筑物的顶端A在地面的射影,在Rt△BOD
中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,OD=20.在Rt△AOD中,
OA=OD·tan 60°=60.∴AB=OA-OB=40.故选C.
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5.如图,在高速公路建设中需要确定隧道的长度,工程技术人员已测得隧道两端的两点A,B到点C的距离AC=BC=1 km,且C=120°,则A,B两点间的距离为 km.
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解析:在△ABC中,易得A=30°,由正弦定理=,得AB===(km).
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6.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为 h.
解析:设t h时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cos 45°=302.化简,得4t2-8t+7=0,∴t1+t2=2,t1t2=.从而|t1-t2|==1(h).
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7.如图,在一场足球比赛中,甲同学从点A处开始做匀速直线运动,到达点B时,发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动,已知cos∠BAC=,AB=3 m,AC=7 m.若忽略甲同学转身所需的时间,则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处 m的点.
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解析:如图,设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D,CD=x,则BD=2x,
AD=7-x,所以在△ABD中,cos A==,整理可得15x2+52x-164=(15x+82)(x-2)=0,解得x=2或x=-(舍去).故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点.
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8.(8分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度:A,B,C三地位于同一水平面上,在C处进行该仪器的垂直弹射,观测点A,B两地相距100 m,∠BAC=60°,在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒.A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
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(1)求A,C两地的距离.
解:由题意,设AC=x m,
则BC=x-×340=(x-40)m.
在△ABC中,由余弦定理,得
BC2=BA2+AC2-2BA·ACcos∠BAC,
即(x-40)2=10 000+x2-100x,解得x=420.
所以A,C两地间的距离为420 m.
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(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
解:在Rt△ACH中,AC=420 m,∠CAH=30°,
所以CH=ACtan∠CAH=140 m.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
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9.(10分)为保障高考的公平性,高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪,要求在考点周围1 km处不能收到手机信号,检查员抽查某市一考点,在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路,在此处检查员用手机接通电话,以每小时12 km的速度沿公路行驶,问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号,并至少持续多长时间该考点才算合格
解:如图所示,考点为A,检查开始处为B,
设检查员行驶到公路上C,D两点之间时收不到
信号,即公路上C,D两点到考点的距离为1 km.
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在△ABC中,AB=(km),
AC=1(km),∠ABC=30°,
由正弦定理,得sin∠ACB=×AB=,
∴∠ACB=120°(∠ACB=60°不合题意).
∴∠BAC=30°,∴BC=AC=1(km).
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在△ACD中,AC=AD=1,∠ACD=60°,
∴△ACD为等边三角形.∴CD=1(km).
∵×60=5,∴在BC上需5 min,CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号,并持续至少5 min才算合格.
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B级——重点培优
10.如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min,从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min,则该扇形的半径的长度为( )
A.50 m B.50 m
C.50 m D.50 m
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解析:设该扇形的半径为r,连接CO,如图所示.由题意,得CD=150(m),
OD=100(m),∠CDO=60°,在△CDO中,由余弦定理得,CD2+OD2-
2CD·OD·cos 60°=OC2,即1502+1002-2×150×100×=r2,解得
r=50(m).
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11.小华想测出操场上旗杆OA的高度,在操场上选取了一条基线BC,请从测得的数据①BC=12 m.②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC
=.⑤∠BOC=30°中选取合适的,计算出旗杆的高度为( )
A.10 m B.12 m
C.12 m D.12 m
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解析:选①②③⑤,如图所示,则∠ABO=60°,∠ACO=45°,
设OA=x,则OC=OA=x,OB= .在△BOC中,
利用余弦定理BC2=122=x2+-2x··,
解得x=12,即OA=12 m,故选D.
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12.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是 m.
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解析:如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知∠ACB
=120°,且AC=BC,过C作AB的垂线交AB于D,在Rt△CBD中,DB=500 m,
∠DCB=60°,所以BC= m.
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13.如图,在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD,为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ,在山坡的A处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达B处,又测得∠DBC=45°,根据以上数据得cos θ= .
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解析: ∵∠DBC=45°,∠DAC=15°,∴∠BDA=30°.在△ABD中,由正弦定理有=,即=,即BD=100sin 15°
=100×=25(-).在△BCD中,由正弦定理有=,即=,所以sin∠BCD=-1,
因此cos θ=sin(π-∠BCD)=sin∠BCD=-1.
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14.(10分)如图,渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处,且与岛屿A相距6 n mile,渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行,若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙,刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度;
解:依题意,知∠BAC=120°,AB=6,AC=5×2=10.
在△ABC中,由余弦定理,
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得BC2=AB2+AC2-2AB×AC×cos∠BAC=62+102-2×6×10×cos 120°
=196,
解得BC=14,v甲==7 n mile/h,
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
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(2)求sin α.
解:在△ABC中,AB=6,∠BAC=120°,BC=14,∠BCA=α.
由正弦定理,得=,
即sin α===.
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15.(13分)如图,AB是底部不可到达的一个建筑物,A为建筑物的最高点.某学习小组准备了三种工具:测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度).
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(1)请你利用准备好的工具(可不全使用),设计一种测量建筑物高度AB的方法,并给出测量报告;
注:测量报告中包括你使用的工具、测量方法的文字说明与图形说明,所使用的字母和符号均需要解释说明,并给出你最后的计算公式;
解:选用测角仪与米尺即可,如图所示.
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①选择一条水平基线HG,使H,G,B三点在同一条直线上;
②在G,H两点用测角仪测得A的仰角分别为α,β,CD=a,测得测角仪的高度是h;
③经计算得建筑物的高度
AB=+h.
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(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量,并将计算结果汇报给老师,发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差,请你针对误差原因进行说明.
解:①测量工具问题;
②两次测量时位置的间距差;
③用身高代替测角仪的高度.
(答案不唯一)课时跟踪检测(十六) 余弦定理、正弦定理应用举例
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
2．已知A，B两地间的距离为10 km，B，C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地间的距离为( )
A．10 km B．10 km
C．10 km D．10 km
3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A. n mile/h B．34 n mile/h
C. n mile/h D．34 n mile/h
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m C．40 m D．60 m
5.如图，在高速公路建设中需要确定隧道的长度，工程技术人员已测得隧道两端的两点A，B到点C的距离AC＝BC＝1 km，且C＝120°，则A，B两点间的距离为________ km.
6．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________ h.
7.如图，在一场足球比赛中，甲同学从点A处开始做匀速直线运动，到达点B时，发现乙同学踢着足球在点C处正以自己速度的向A做匀速直线运动，已知cos∠BAC＝，AB＝3 m，AC＝7 m．若忽略甲同学转身所需的时间，则甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处______ m的点.
8．(8分)某气象仪器研究所按以下方案测试一种“弹射型”气象观测仪器的垂直弹射高度：A，B，C三地位于同一水平面上，在C处进行该仪器的垂直弹射，观测点A，B两地相距100 m，∠BAC＝60°，在A地听到弹射声音的时间比在B地晚 秒．A地测得该仪器弹至最高点H时的仰角为30°.
(1)求A，C两地的距离．
(2)求该仪器的垂直弹射高度CH.(声音的传播速度为340米/秒)
9．(10分)为保障高考的公平性，高考时每个考点都要安装手机屏蔽仪，要求在考点周围1 km处不能收到手机信号，检查员抽查某市一考点，在考点正西 km有一条北偏东60°方向的公路，在此处检查员用手机接通电话，以每小时12 km的速度沿公路行驶，问最长需要多少分钟检查员开始收不到信号，并至少持续多长时间该考点才算合格？
B级——重点培优
10.如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB，C是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2 min，从D沿着DC走到C用了3 min.若此人步行的速度为50 m/min，则该扇形的半径的长度为( )
A．50 m B．50 m
C．50 m D．50 m
11．小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC＝12 m．②B处的仰角60°.③C处的仰角45°.④cos∠BAC＝.⑤∠BOC＝30°中选取合适的，计算出旗杆的高度为( )
A．10 m B．12 m
C．12 m D．12 m
12．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.
13.如图，在一个坡度一定的山坡AC的顶上有一高度为25 m的建筑物CD，为了测量该山坡相对于水平地面的坡角θ，在山坡的A处测得∠DAC＝15°，沿山坡前进50 m到达B处，又测得∠DBC＝45°，根据以上数据得cos θ＝________.
14．(10分)如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距6 n mile，渔船乙以5 n mile/h的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h追上.
(1)求渔船甲的速度；
(2)求sin α.
15．(13分)如图，AB是底部不可到达的一个建筑物，A为建筑物的最高点．某学习小组准备了三种工具：测角仪(可测量仰角与俯角)、米尺(可测量长度)、量角器(可测量平面角度)．
(1)请你利用准备好的工具(可不全使用)，设计一种测量建筑物高度AB的方法，并给出测量报告；
注：测量报告中包括你使用的工具、测量方法的文字说明与图形说明，所使用的字母和符号均需要解释说明，并给出你最后的计算公式；
(2)该学习小组利用你的测量方案进行了实地测量，并将计算结果汇报给老师，发现计算结果与该建筑物实际的高度有误差，请你针对误差原因进行说明.
课时跟踪检测(十六)
1.选B 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.
2.选D 如图所示，由余弦定理可得，AC2＝100＋400－2×10×20×cos 120°＝700，∴AC＝10(km)．
3.选A 如图所示，在△PMN中，＝，
∴MN＝＝34.
∴v＝＝(n mile/h)．故选A.
4.选C 如图，设O为建筑物的顶端A在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20.在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60.∴AB＝OA－OB＝40.故选C.
5．解析：在△ABC中，易得A＝30°，由正弦定理＝，得AB＝＝＝(km)．
答案：
6．解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cos 45°＝302.化简，得4t2－8t＋7＝0，
∴t1＋t2＝2，t1t2＝.从而|t1－t2|＝＝1(h)．
答案：1
7．解析：如图，设甲同学最快拦截乙同学的地点是点D，CD＝x，则BD＝2x，AD＝7－x，所以在△ABD中，cos A＝＝，整理可得15x2＋52x－164＝(15x＋82)(x－2)＝0，解得x＝2或x＝－(舍去)．故甲同学最快拦截乙同学的点是线段AC上离A处5 m的点．
答案：5
8．解：(1)由题意，设AC＝x m，
则BC＝x－×340＝(x－40)m.
在△ABC中，由余弦定理，得
BC2＝BA2＋AC2－2BA·ACcos∠BAC，
即(x－40)2＝10 000＋x2－100x，解得x＝420.
所以A，C两地间的距离为420 m.
(2)在Rt△ACH中，AC＝420 m，∠CAH＝30°，
所以CH＝ACtan∠CAH＝140 m.
所以该仪器的垂直弹射高度CH为140 m.
9．解：如图所示，考点为A，检查开始处为B，
设检查员行驶到公路上C，D两点之间时收不到信号，即公路上C，D两点到考点的距离为1 km.
在△ABC中，AB＝(km)，
AC＝1(km)，∠ABC＝30°，
由正弦定理，得sin∠ACB＝×AB＝，
∴∠ACB＝120°(∠ACB＝60°不合题意)．
∴∠BAC＝30°，∴BC＝AC＝1(km)．
在△ACD中，AC＝AD＝1，∠ACD＝60°，
∴△ACD为等边三角形．∴CD＝1(km)．
∵×60＝5，∴在BC上需5 min，CD上需5 min.
∴最长需要5 min检查员开始收不到信号，并持续至少5 min才算合格．
10.选B 设该扇形的半径为r，连接CO，如图所示．由题意，得CD＝150(m)，OD＝100(m)，∠CDO＝60°，在△CDO中，由余弦定理得，CD2＋OD2－2CD·OD·cos 60°＝OC2，即1502＋1002－2×150×100×＝r2，解得r＝50(m)．
11.选D 选①②③⑤，如图所示，则∠ABO＝60°，∠ACO＝45°，设OA＝x，则OC＝OA＝x，OB＝ .在△BOC中，利用余弦定理BC2＝122＝x2＋2－2x··，
解得x＝12，即OA＝12 m，故选D.
12．解析：
如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，所以BC＝ m.
答案：
13．解析：∵∠DBC＝45°，∠DAC＝15°，
∴∠BDA＝30°.在△ABD中，由正弦定理有＝，即＝，即BD＝100sin 15°＝100×＝25(－)．在△BCD中，由正弦定理有＝，即＝，所以sin∠BCD＝－1，因此cos θ＝sin(π－∠BCD)＝sin∠BCD＝－1.
答案：－1
14．解：(1)依题意，知∠BAC＝120°，AB＝6，AC＝5×2＝10.
在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos∠BAC＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，
解得BC＝14，v甲＝＝7 n mile/h，
所以渔船甲的速度为7 n mile/h.
(2)在△ABC中，AB＝6，∠BAC＝120°，BC＝14，∠BCA＝α.
由正弦定理，得＝，
即sin α＝＝＝.
15．解：(1)选用测角仪与米尺即可，如图所示．
①选择一条水平基线HG，使H，G，B三点在同一条直线上；
②在G，H两点用测角仪测得A的仰角分别为α，β，CD＝a，测得测角仪的高度是h；
③经计算得建筑物的高度
AB＝＋h.
(2)①测量工具问题；
②两次测量时位置的间距差；
③用身高代替测角仪的高度．
(答案不唯一)
