阶段质量评价(一)　平面向量及其应用（含解析）高中数学人教A版（2019）必修 第二册 第六章

阶段质量评价(一)　平面向量及其应用
(时间：120分钟　满分：150分)
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.如图，在正△ABC中，D，E，F均为所在边的中点，则以下向量和相等的是(　　)
A. B.
C. D.
2．在△ABC中，a＝1，b＝，B＝60°，则A＝(　　)
A．30° B．30°或150°
C．60° D．60°或120°
3．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则a与a－b夹角的余弦值为(　　)
A．0 B.
C．－ D．1
4．已知a，b是不共线的向量，＝λa＋μb，＝3a－2b，＝2a＋3b，若A，B，C三点共线，则实数λ，μ满足(　　)
A．λ＝μ－1 B．λ＝μ＋5
C．λ＝5－μ D．μ＝13－5λ
5．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
6．已知平行四边形ABCD中，AB＝3AD＝6，∠DAB＝60°，＝2.N为平面ABCD内一点，若AN＝NM，则·＝(　　)
A．28 B．14
C．12 D．6
7．已知△ABC中，A＝，AB＝2，若满足上述条件的三角形有两个，则BC的范围是(　　)
A．(，2] B．(，2)
C．(2，＋∞) D．(，＋∞)
8．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若sin2B＝2sin2C－2sin2A，c＝a，则cos A＝(　　)
A. B.
C. D.
二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．已知A，B，C是三个不同的点，＝a－b，＝2a－3b，＝3a－5b，则下列结论正确的是(　　)
A.＝2 B.＝
C.＝3 D．A，B，C三点共线
10．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则(　　)
A．|a|＝|b| B．(a－b)∥b
C．(a－b)⊥b D．a与b的夹角为
11．著名数学家欧拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半．此直线被称为三角形的欧拉线，该定理被称为欧拉线定理．已知△ABC的外心为O，垂心为H，重心为G，且AB＝2，AC＝4，则下列说法正确的是(　　)
A.·＝0 B.·＝4
C.·＝3 D.＝＋＋
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在题中的横线上)
12．已知向量a＝(－2,3)，b＝(x，－6)．若a∥b，则x＝________.
13．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝________.
14．高椅岭位于湖南省郴州市，属原生态丹霞景区．红岩绿水，险山奇涧，生态优美．如图，为了测高椅岭“椅背”的高度，甲和乙同时在海拔为300米的A，B两点观测“椅背”的最高点P，从A点和B点观测到P点的仰角分别为37°，60°，且AB＝28米，则高椅岭“椅背”的海拔约为________米．(结果精确到整数部分，取＝1.732，tan 37°＝0.754)
四、解答题(本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15．(13分)在△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，且满足a2＋b2－c2＝ab.
(1)求角C的大小；
(2)设向量a＝(2sin A,1)，向量b＝，且向量a，b共线，判断△ABC的形状.
16．(15分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量m＝(a，b)，n＝(cos A，sin B)，且m∥n.
(1)求角A；
(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.
17．(15分)如图，在△ABC中，点D是AC的中点，点E是BD的中点，设＝a，＝c.
(1)用a，c表示向量；
(2)若点F在AC上，且＝a＋c，求AF∶CF.
18．(17分)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若(a－c)sin A＋csin(A＋B)＝bsin B.
(1)求角B；
(2)若a＋c＝4，求△ABC周长的最小值，并求出此时△ABC的面积.
19．(17分)定义函数f(x)＝msin x＋ncos x的“源向量”为＝(m，n)，非零向量＝(m，n)的“伴随函数”为f(x)＝msin x＋ncos x，其中O为坐标原点．
(1)若向量的“伴随函数”为f(x)＝2sin ，求向量；　
(2)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若函数h(x)的“源向量”为＝(0,1)，且已知a＝8，h(A)＝.
①求△ABC周长的最大值；
②求|＋|的最大值.
阶段质量评价(一)
1．选D　∵DE是△ABC的中位线，
∴DE∥CB且DE＝CB，则与向量相等的有，.故选D.
2．选A　由正弦定理得＝，解得sin A＝.因为a＜b，所以A为锐角．所以A＝30°.故选A.
3．选B　根据题意，向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则a－b＝(1，－1)，则|a|＝2，|a－b|＝＝，a·(a－b)＝2，则cos〈a，a－b〉＝＝，故选B.
4．选D　＝－＝(λa＋μb)－(3a－2b)＝(λ－3)a＋(μ＋2)b，＝－＝(2a＋3b)－(3a－2b)＝－a＋5b，
因为A，B，C三点共线，所以∥，故－5(λ－3)＝μ＋2，所以μ＝13－5λ.
5．选B　由(a＋b)·(a－b)＝0，得a2－b2＝0，即|a|2－|b|2＝0，所以|a|＝|b|，当a＝(1,1)，b＝(－1,1)时，|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，故充分性不成立；当a＝－b或a＝b时，(a＋b)·(a－b)＝0，故必要性成立．所以“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝－b或a＝b”的必要不充分条件．
6.
选B　以A为原点，AB为x轴，垂直AB的直线为y轴建立平面直角坐标系，则A(0,0)，M(5，)，所以||＝＝2.因为AN＝NM，
所以点N在AM的中垂线上，所以·＝||||cos〈，〉＝||2＝×28＝14.故选B.
7.
选B　如图，点C在射线AC3上移动，从点B向射线AC3引垂线，垂足为D，由题意可知BD＝.若三角形有两个，则点C应在点D的两侧(如：C1，C2)，而AB＝2，所以BC的范围是(，2)．故选B.
8．选D　因为sin2B＝2sin2C－2sin2A，所以b2＝2c2－2a2.又c＝a，解得b＝2a.则cos A＝＝＝.故选D.
9．选ABD　由题意得＝－＝a－2b，＝－＝2a－4b，＝－＝a－2b，所以＝2，故A正确；＝，故B正确；＝2，故C错误；由＝2可得∥，A为公共点，故A，B，C三点共线，故D正确．故选A、B、D.
10．选CD　因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以|a|＝2，|b|＝.所以|a|≠|b|，故A错误；因为a＝(2,0)，b＝(1,1)，所以a－b＝(1，－1)．所以a－b与b不平行，故B错误；又(a－b)·b＝1－1＝0，故C正确；又cos〈a，b〉＝＝＝，所以a与b的夹角为，故D正确．故选C、D.
11.选ABD　因为H为垂心，则AH⊥BC，
所以·＝0，故A正确；设D是BC的中点，则A，G，D三点共线，OD⊥BC，则·＝(＋)·(－)＝(2－2)＝6，所以·＝·＝4，故B正确；设E是AB的中点，则OE⊥AB，可知 在上的投影向量的模为||＝||，所以·＝||||＝2＝2，故C错误；由AH∥OD得＝＝2，所以AH＝2OD，所以－＝＝2＝＋，即＝＋＋，故D正确．
12．解析：∵a＝(－2,3)，b＝(x，－6)，且a∥b，∴3x－12＝0，解得x＝4.
答案：4
13．解析：由题意，得S△ABC＝acsin B＝，即ac·＝，解得ac＝4.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accos B＝3ac－2ac·＝8，解得b＝2(负值已舍去)．
答案：2
14．解析：设PO＝h，
由题图可知，AB＝AO－BO＝－＝h，则h＝AB×＝28×≈37，所以高椅岭“椅背”的海拔约为37米．
答案：37
15．解：(1)因为a2＋b2－c2＝ab，所以cos C＝＝.因为C∈(0，π)，所以C＝.
(2)因为a＝(2sin A,1)，b＝共线，
所以sin A＝cos C＝，所以A＝或A＝(舍去)．
当A＝时，B＝，所以△ABC为直角三角形．
16．解：(1)因为m∥n，
所以asin B＝bcos A，
故由正弦定理得sin Asin B＝sin Bcos A.
又B∈，故sin B≠0，所以sin A＝cos A，即tan A＝.
又A∈，所以A＝.
(2)由(1)及余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A，得7＝4＋c2－2×2c×，
化简得c2－2c－3＝0，解得c＝3(负值已舍去)．所以S△ABC＝bcsin A＝×2×3×＝.
17．解：(1)因为＝－＝c－a，点D是AC的中点，所以＝＝(c－a)．
因为点E是BD的中点，所以＝(＋)＝＋＝－a＋(c－a)＝c－a.
(2)设＝λ(0＜λ＜1)，所以＝＋＝＋λ＝a＋λ(c－a)＝(1－λ)a＋λc.
又＝a＋c，所以λ＝.所以＝，所以AF∶CF＝4∶1.
18．解：(1)∵sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，
由已知结合正弦定理可得(a－c)a＋c2＝b2，
∴a2＋c2－b2＝ac.
∴cos B＝＝＝.
∵B∈(0，π)，∴B＝.
(2)∵b2＝a2＋c2－2accos B＝(a＋c)2－3ac＝16－3ac，即3ac＝16－b2，
∴16－b2≤32，解得b≥2，当且仅当a＝c＝2时取等号．
∴bmin＝2，△ABC周长的最小值为6，
此时△ABC的面积S＝acsin B＝.
19．解：(1)因为f(x)＝2sin ＝2sin xcos ＋2cos xsin ＝sin x＋cos x，
所以＝(，1)．
(2)①由于函数h(x)的“源向量”为＝(0,1)，所以h(x)＝cos x.
又因为h(A)＝，所以cos A＝.
因为A∈(0，π)，所以sin A＝.
在△ABC中，a＝8，由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccos A，即64＝b2＋c2－bc＝(b＋c)2－bc.由基本不等式得bc＝(b＋c)2－64≤(b＋c)2，
所以(b＋c)2≤64，即(b＋c)2≤320，所以b＋c≤＝8，当且仅当b＝c＝4时取等号．
所以a＋b＋c≤8＋8，即△ABC周长的最大值为8＋8.
②因为|＋|
＝
＝，64＝b2＋c2－bc，
所以b2＋c2＋bc＝64＋bc，
所以|＋|＝＝2.
因为64＝b2＋c2－bc≥bc，所以bc≤80，当且仅当b＝c＝4时取等号．
所以|＋|＝≤16，即|＋|的最大值为16.
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