2024-2025学年河南省商丘市百师联盟高二（下）期末数学试卷（PDF版，含答案）

2024-2025 学年河南省商丘市百师联盟高二（下）期末数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 ≤ ≤ 3}， = { | > 0}，则 ∩ ( ) =( )
A. [ 2,0] B. [ 2,3] C. ( ∞,0] D. ( ∞,3]
2.已知 ( 2 1) = 2 + 3，则 (6)的值为( )
A. 15 B. 7 C. 31 D. 17
3.命题“ ∈ ， ≥ + 1”的否定是( )
A. ∈ ， < + 1 B. 0 ∈ , 0 ≥ 0 + 1
C. ， < + 1 D. ∈ , 0 0 < 0 + 1
4.某初级中学对本校八年级的 500 名男生进行 1000 米跑步体能测试，据统计，500 名男生跑完 1000 米所
用的时间 (分钟)服从正态分布 (5, 2)，若 ( ≤ 4) = 0.01，则这 500 名男生跑完 1000 米所用的时间不
少于 6 分钟的人数大约为( )
A. 1 B. 5 C. 9 D. 50
5.若 = 0.20.3， = 0.30.2， = 20.3，则( )
A. > > B. > > C. > > D. > >
6 ( 1. 3 )8的展开式中所有有理项的系数和为( )
A. 85 B. 29 C. 27 D. 84
7.函数 ( ) = + ( + )2的图象如图所示，则( )
A. > 0， > 0， > 0 B. < 0， > 0， > 0
C. > 0， > 0， < 0 D. < 0， < 0， < 0
8.已知函数 ( )的定义域为 ， (1) = 1， (1 ) + (3 ) = 0，将 ( )的图象绕原点旋转 180°后所得
图象与原图象重合，若 ( ) = ( ) ( 2)，则2025 =1 ( ) =( )
A. 1 B. 1013 C. 1 D. 1013
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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9.下列函数中，在区间(1, + ∞)上单调递增的是( )
1
A. = | 2| B. = 3 C. = 11 D. =
2 4| |
10.下列说法正确的是( )
A. ∈ ( ∞,0)， 2 2 8 ≥ 0
B.若 1 1， 都是非零实数，且 < ，则 2 > 2
C. 1 1若 0 < < 1，则 + 1 的最小值为 5
D.若 ， 满足 2 | | + 2 = 1，则 2 + 2的最大值为 2
11.苏格兰数学家约翰 纳皮尔( )发现并证明了当 > 0 且 → 0 时 → 1.根据约翰 纳皮尔的这
个发现以及我们所学的数学知识，关于函数 ( ) = 2 ( > 0)，下列说法正确的是( )
A. ( )有且只有一个极值点
1
B. ( ) 的最小值为 2
C. ( ) 1的单调递减区间是(0, )
2
D.存在两个不相等的正实数 ， ，使 ( ) = ( ) = 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若函数 ( ) = 2 (3 ) + 1( > 0，且 ≠ 1)的图象过定点 ，则点 的坐标是______．
13.身高不相等的 5 人站成一排照相，要求最高的人排在中间，按身高向两侧递减，则共有______种不同的
排法．
14.若 , ∈ { 12 , 2,3,4}，则在“函数 ( ) = ln(
2 + + 1)的定义域为 ”的条件下，“函数 ( ) =
为奇函数”的概率为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
2 1
已知集合 = { | 3 ≥ 1}, = { |
2 + (1 ) < 0}．
(1)用区间表示集合 ；
(2)若 < 0， ∩ = ，求 ， 的取值范围．
16.(本小题 15 分)
某兴趣小组研究发现昼夜温差变化的大小与患感冒人数之间具有较强的线性相关关系，该兴趣小组在惠民
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医院抄录了 2025 年 2～5 月份每月 5 日的昼夜温差情况以及附近的居民因患感冒到惠民医院就诊的人数，
得到如下数据：
日期 2 月 5 日 3 月 5 日 4 月 5 日 5 月 5 日
昼夜温差 (℃) 11 13 12 8
因患感冒就诊人数 (人) 25 29 26 16


(1)求因患感冒到惠民医院就诊的人数 关于昼夜温差 的线性回归方程 = + ；
(2)如果 8 月 5 日昼夜温差是 9℃时，试预测因患感冒到惠民医院就诊的人数(精确到整数)．



附：线性回归直线 = + 中， = =1

2 , = ． =1 2
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 2 ， ∈ ．
(1)判断 ( )的奇偶性；
(2)若函数 ( ) = ( ) + 在 = 1 和 = 3 处取得极值，且关于 的方程 ( ) = 有 3 个不同的实根，求
实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
六一儿童节，某商场为了刺激消费提升营业额，推出了消费者凭当天在该商场的消费单据参加抽奖的活动，
奖品是 4 款不同造型的玩具摩托车与 4 款不同造型的玩具跑车(每款车的数量都充足)，主办方将大小相同
的 8 个乒乓球上分别标注 1，2，3，4，5，6，7，8，其中标注数字 1，2，3，4 的乒乓球分别代表 4 款不
同造型的摩托车，5，6，7，8 的乒乓球分别代表 4 款不同造型的跑车，并将这 8 个乒乓球放在一个不透明
箱子内.活动规定：儿童节当天在该商场消费满 100 元的消费者可从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，然后再放回
箱内；消费满 200 元可先从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒乓球，然后再放回箱内；
消费满 300 元可先从摸奖箱内摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒乓球，放回后再从中摸出 1 个乒
乓球，然后再放回箱内； ，依此类推，消费者根据自己摸出的乒乓球标注的数字即可获得相应的奖品．
(1)若小明的家长当天在该商场消费恰好满 400 元，求这位家长能获得 2 款相同造型摩托车与 2 款不同造型
跑车的概率；
(2)若本次活动小明家获得的奖品是 2 台不同造型的摩托车和 2 台不同造型的跑车，小英家也获得 2 台不同
造型的摩托车和 2 台不同造型的跑车．
①从他们两家获得的这 8 台车中随机抽取 5 台，如果抽出的 5 台车中有 台摩托车，求 的分布列和数学期
望；
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②若小明和小英将他们家本次活动获得的奖品每次各取一件进行交换，第一次交换的奖品也可以参加第二
次交换，求两次交换后小明家仍有 2 台摩托车和 2 台跑车的概率．
19.(本小题 17 分)
“洛必达法则”是研究微积分时经常用到的一个重要定理，洛必达法则之一的内容是：若函数 ( )， ( )
的导数 ′( )， ′( )都存在，且 ′( ) ≠ 0，如果 → ( 是常数)时， ( ) → ∞或+∞， ( ) → ∞或+∞，
′( )
且 = ( 是常数)，则 → ( )时
′( ) ( )
→ ．
已知函数 ( ) = 1 ， ( ) = + 1, ∈ ．
(1)证明： = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线与曲线 = ( )也相切；
(2)若函数 ( )有两个零点 1， 2( 1 < 2)，函数 ( )有两个零点 3， 4( 3 < 4).
①指出 1， 2， 3， 4的大致范围(不必说明理由)，并求出 的取值范围；
②试探究 1 + 2与 3 + 4的大小关系．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(2,1)
13.6
14.49
15(1) 2 1 +2由 3 ≥ 1，得 3 ≥ 0，
即( + 2)( 3) ≥ 0，且 3 ≠ 0，
解得 ≤ 2 或 > 3，
所以 = ( ∞, 2] ∪ (3，+∞)；
(2)因为 ∩ = ，所以 ，
不等式 2 + (1 ) < 0 可化为( + 1)( ) < 0．
当 = 0 时，不等式化为 < 0，
解得 < ，不满足 ，舍去，
当 > 0 时，因为 4 ∈ 但 4 ，不满足 ，舍去，
当 < 0 时，解得 < 或 > 1 ，
2 < < 0,
因为 ，所以 0 < 1 ≤ 3,
解得 ≤ 13 , 2 < < 0，
1所以 的取值范围为( ∞, 3 ]， 的取值范围为( 2,0)．
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16. (1)根据题意可知， = 11, = 24，
4 2 =1 = 11
2 + 132 + 122 + 82 = 498，
4 =1 = 11 × 25 + 13 × 29 + 12 × 26 + 8 × 16 = 1092，

∴ = 1092 4×11×24 18498 4×112 = 7，

= 24 18 × 11 = 307 7，

∴ 18 30所求线性回归方程为 = 7 7；

(2) = 9 = 18时， 7 × 9
30
7 ≈ 19，
因此如果 8 月 5 日昼夜温差是 9℃时，预测因患感冒到惠民医院就诊的人数大约为 19．
17.解：(1)因为 ( ) = 2 ，所以 ( )图像的对称轴为直线 = 2，
所以 = 0 时， ( )图像的对称轴为 轴，此时 ( )为偶函数；
≠ 0 时， ( 1) = 1 + ， (1) = 1 ，则 ( 1) ≠ (1)，且 ( 1) ≠ (1)，
所以 ( )为非奇非偶函数．
(2)由题意知 ( ) = 2 + ，所以 ′( ) = 2 + ，
因为 ( )在 = 1 和 = 3 处取得极值，
′(1) = 2 + = 0
. = 8所以 解得 ，
′(3) = 6 + 3 = 0
= 6
2
所以 ( ) = 2 8 + 6 ， ( )的定义域为(0, + ∞)， 6′( ) = 2 8 + =
2 8 +6 = 2( 1)( 3) ．
令 ′( ) > 0，得 0 < < 1，或 > 3；
令 ′( ) < 0，得 1 < < 3，
所以 ( )在(0,1)及(3, + ∞)上单调递增，在(1,3)上单调递减，
所以 ( )极大值 = (1) = 7， ( )极小值 = (3) = 6 3 15，
又当 = 10时， ( ) = 20 8 10 60 < 6 3 15；
当 = 5时， ( ) = 10 8 5 + 30 > 0，
要使 ( ) = 有 3 个不同的实数根，当且仅当 6 3 15 < < 7，
故实数 的取值范围为(6 3 15, 7)．
18.(1)记“小明的家长得到 2 台相同造型摩托车与 2 台不同造型跑车”为事件 ，
1 1 1 1
则 ( ) = 4 1 4 3 384 = 256；
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(2)①易知 的所有可能取值为 1，2，3，4，
1 4
( = 1) = 4 4 = 1
2 3 3 2 4 1
所以 5 14 , ( = 2) =
4 4 3 4 4 3 4 4 1
5 = 7 , ( = 3) = 5 = 7 , ( = 4) = 5 = 14， 8 8 8 8
则 的分布列为：
1 2 3 4
1 3 3 1
14 7 7 14
( ) = 1 × 1 + 2 × 3 + 3 × 3 + 4 × 1 = 5故 14 7 7 14 2；
②两次交换后小明家仍有 2 台摩托车和 2 台跑车，包括 3 种情况：
( )第一次交换后小明家是 2 台摩托车 2 台跑车，
1 1 1 1 1 1 1 1
此时概率 = [( 2 × 2 ) + ( 2 × 2 )][( 2 × 2 ) + ( 2 × 2 )] = 1 × 1 1 1 1 1 1 14 4 4 4 4 14 14 14 2 2
= 4；
( )第一次交换后小明家是 1 台摩托车 3 台跑车，
1 1 1 1
此时概率 = ( 2 × 2 )( 3 × 3 2 2 3 3 9 1 1 1 1 ) = 4 × 4 × 4 × = ；4 4 4 4 4 64
( )第一次交换后小明家是 3 台摩托车 1 台跑车，
= (
1 12 × 2 )(
1
3 ×
1
3 ) = 2 × 2 × 3 3 9此时概率 1 1 1 14 4 4 4 4 4 4
× 4 = 64，
则两次交换后小明家仍有 2 2 1 9 9 17台摩托车和 台跑车的概率 = + + = 4 + 64 + 64 = 32．
19.(1)证明： = 1 时， ( ) = 1 1， ( ) = + 1( > 0)，
( ) = 1 1 ( ) = 1 1′ ， ′ 2 ( > 0)，
又 (1) = 0， ′(1) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
因为 ( ) = 0， ′( ) = 0，
所以曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线方程是 0 = 0 × ( 1)，即 = 0．
所以 = 1 时曲线 = ( )在点(1, (1))处的切线 = 0 与曲线 = ( )也相切．
(2)①0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ．
由 ( ) = 0 ，得 = 0； ( ) = 0，得 (1 ) = 0，
令 ( ) = , ( ) = (1 ) ，则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
( ) = (1 )又 ′ , ′( ) = ，
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> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减； < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
> 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
所以 ( )和 ( )在(1, + ∞)上都是减函数，在(0,1)上都是增函数，
所以 0 < < 1 时， = (0) < ( ) < (1) = 1 ， > 1 时， < ( ) < (1) = 1 ，
因为 ( )有两个零点，即 ( )有两个零点，
0 < < 1 < < 0,所以 1 2，且 1 > 0,解得 0 < < 1．
当 0 < < 1 时， (1) = 1 > 0， ( ) = < 0，
1
又 → 0 ( )′时 = = → 0，
(1 )′
1
2

根据洛必达法则可知， → 0 时， = 1 → 0, (1 ) = → ，

所以 → 0 时 ( ) < 0，
所以 0 < < 1 时， ( )在区间(0,1)和(1, )上各有一个零点，
所以 0 < 3 < 1 < 4 < ，
因此，若函数 ( )， ( )各有两个零点， 的取值范围是(0,1)．
( ) = ( ) ( )②令 ，
则 ( )与 ( )的零点相同， ( )与 ( )的零点相同，
( )在区间(0,1)上是增函数，

(1 )+ ( ) = = + 1，

( ) = + 1 = ′ ，
令 ( ) = ( > 0)，则 ′( ) = ( > 0)，
> 1 时 ′( ) > 0， ( )单调递增；0 < < 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
所以 > 0 时 ( ) ≥ (1) = 0，
于是 > 0 时 ′( ) ≥ 0 等号仅当 = 1 时成立，
所以 ( )在(0, + ∞)上是增函数．
所以 0 < < 1 时， ( ) < (1) = 0， ( ) ( ) < 0，即 0 < < 1 时， ( ) < ( )；
> 1 时， ( ) > (1) = 0， ( ) ( ) > 0，即 > 1 时 ( ) > ( )；
由①知 0 < 1 < 1 < 2，0 < 3 < 1 < 4 < ，
所以 0 = ( 1) < ( 1)，
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又 ( 1) = 0， ( 3) = 0，
所以 ( 1) > ( 3)，
又 ( )在区间(0,1)上是增函数，且 1， 3 ∈ (0,1)，
所以 0 < 3 < 1 < 1.同理可证 1 < 4 < 2，
于是 1 + 2 > 3 + 4．
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