13.3三角形的内角和外角（讲义.含解析）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

中小学教育资源及组卷应用平台
13.3 三角形的内角和外角
模型1 三角形内角和定理 4
模型2 直角三角形 6
模型3 三角形的外角性质 8
一、三角形的内角
1．三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于．
2．三角形内角和定理的证明思路：
（1）测量法：用量角器测量．
（2）拼合法：运用平行线的性质，将三个内角拼在一个顶点处，合并成一个平角．
（3）利用“平行线的性质”证明．
原理：运用平行线的性质，将三角形的三个内角转化为一个平角或者一对同旁内角．
3．因为三角形三个内角的和等于，所以任何一个三角形中至少有两个锐角，最多有一个钝角或直角．
二、直角三角形的性质与判定
1．直角三角形的两个锐角互余．
2．有两个角互余的三角形是直角三角形．
三、三角形的外角
1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．
如图，∠ACD 是 △ABC 的一个外角．
2．性质：
（1）三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角．
（3）三角形的外角和为360°．
（4）三角形的外角与其相邻内角互为邻补角．
1．三角形内角和 （1）三角形内角和定理的证明思路是通过平行线将三角形的内角进行转化，可从构造平角、构造邻补角、构造同旁内角这几方面进行思考． （2）由三角形内角和定理可知，三角形的三个内角中至少有两个锐角，最多有一个直角或钝角，且三角形中最大的内角不小于60°． （3）三角形内角和定理是关于以三角形为背景的题目的隐含条件． 2．直角三角形 （1）判定：三角形中若有两个角互余，即它们的和为，则另一个角一定为角，是直角，从而可确定这个三角形为直角三角形． （2）符号“Rt△”不可单独使用，直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母． 3．三角形的外角 （1）三角形外角的特点：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形内角的一边；③另一条边是该三角形内角的另一边的反向延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角，因而证明角不相等时，应设法把求证中的大角放在三角形外角的位置上，把小角放在内角的位置上． （4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，主要有以下几方面的应用：①已知外角及与它不相邻的两个内角中的一个，求另一个；②可证一个角等于另两个角的和；③经常利用它证明两个角相等．
模型1 三角形内角和定理
（2024春 龙亭区校级期末）具备下列条件的中，不是直角三角形的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】利用三角形的内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断的形状．
【解答】解：．因为，
所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意；
．因为，，
所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意；
．因为，，
所以，即是直角三角形，故此选项不符合题意；
．因为，，
所以，即是锐角三角形不是直角三角形，故此选项符合题意．
故选：．
点拨 （1）三角形内角和定理适用于任何三角形． （2）在三角形中，当已知两个内角的度数或已知三角形中三个内角的数量关系时，可利用三角形内角和等于180°求出各内角的度数．
【变式练1】　（2024春 射洪市期末）已知中，，则一定是　　
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不能确定
【答案】
【分析】由题意设，，，根据三角形内角和定理，进而可解决此题．
【解答】解：由题意可设，，．
，
．
．
．
是直角三角形．
故选：．
【变式练2】　（2024春 乾县期末）如图，在中，是的角平分线，过点作，垂足为，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】因为是的角平分线，所以，由，得，，在中，，即可作答．
【解答】解：因为是的角平分线，
，
由，得，
在中，，
因为在中，，
把，代入，
得，
那么，
所以，
故选：．
【变式练3】　（2024春 东方期末）如图，在中，，，是的平分线，那么等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】先根据角平分线定义求出的度数，再由三角形内角和定理和邻补角的性质即可得出结论．
【解答】解：，是的平分线，
．
，
，
．
故选：．
模型2 直角三角形
（2024春 益阳期末）在直角三角形中，其中一个锐角是，则另一个锐角的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直角三角形两锐角互余进行求解即可．
【解答】解：在直角三角形中，其中一个锐角是，
另一个锐角的度数是，
故选：．
点拨 （1）符号“Rt△”不可单独使用，直角三角形用符号“Rt△”表示时，后面必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母． （2）利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数时，必须指明是在直角三角形中．
【变式练1】　（2024春 渭滨区期末）在中，，，则的度数为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】用表示出，再根据直角三角形两锐角互余列方程求解即可．
【解答】解：中，，
，
，
，
，
，
故选：．
【变式练2】　（2024春 潍坊期末）若直角三角形的一个锐角等于，则它的另一个锐角等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】直接根据直角三角形的两个锐角互余解答即可．
【解答】解：直角三角形的一个锐角等于，
它的另一个锐角的度数为：，
故选：．
【变式练3】　（2024春 道县期末）在中，，，则等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据直角三角形两锐角互余可得，再代入的度数可得的度数．
【解答】解：，
，
，
．
故选：．
模型3 三角形的外角性质
（2024春 泉州期末）如图，，，，则的度数是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】延长交于点，根据三角形外角性质得，，则，由此可得的度数．
【解答】解：延长交于点，如图所示：
是的一个外角，
，
又是的一个外角，
，
，
，，，
．
故选：．
点拨 三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角，通常只取其中一个，因此，我们常说三角形有三个外角．因为三角形的每个外角同与它相邻的内角是邻补角，所以由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．
【变式练1】　（2024 泗阳县二模）一天，李明和爸爸一起到建筑工地去，看见了一个如图所示的人字架，爸爸说：“李明，我考考你这个人字架中的，你能求出比大多少吗？”请你帮李明计算一下，正确的答案是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由邻补角的性质求出，由三角形外角的性质得到．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练2】　（2024春 北碚区校级期末）如图，在中，外角，，则的度数　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据，先求出，然后根据三角形内角和定理求出即可．
【解答】解：，
，
．
故选：．
【变式练3】　（2024春 邗江区期末）如图，中，，，则三角形的外角等于　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】由是的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，即可求出的度数．
【解答】解：是的外角，
．
故选：．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)