2.1 有理数的加法与减法（讲义.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

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2.1 有理数的加法与减法
模型1 有理数的加法运算 3
模型2 有理数的减法运算 5
模型3 有理数的加减混合运算 6
模型4 有理数的加法运算律 9
模型5 关于有理数加减混合运算的新定义题 11
模型6 有理数的加减法在实际生活中的应用 14
1．有理数加法法则：
（1）同号两数相加，和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和．
（2）绝对值不相等的异号两数相加，和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差，互为相反数的两个数相加得0．
（3）一个数与0相加，仍得这个数．
显然，两个有理数相加，和是一个有理数．
2．有理数的减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
符号语言：a﹣b=a+（﹣b）．
3．有理数加减混合运算的步骤：
（1）运用减法运算法则，将有理数加减混合运算转化为加法运算，转化为加法后的式子是几个正数或负数的和的形式．
（2）适当运用加法运算律简化运算，在和式里可以把加号及加数的括号省略不写．
省略加号和括号的和式通常有两种读法，如﹣9﹣12+3按式子所表示的意义读，读作“负9、负12、正3的和”，按运算的意义读，读作“负9减12加3”．
4．有理数的加法运算律：
（1）加法交换律：
文字语言：两个数相加，交换加数的位置，和不变．
符号语言：a+b=b+a．
（2）加法结合律：
文字语言：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．
符号语言：（a+b）+c=a+（b+c）．
1．在有理数运算中，“+”“﹣”有两种含义： （1）表示运算符号：加号与减号． （2）表示性质符号：正号与负号． 性质符号中的“+”号可以省略，但运算符号中的“+”号必须保留． 2．用字母表示有理数加法法则： （1）同号两数相加： 若a>0，b>0，则； 若a<0，b<0，则． （2）异号两数相加： 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则； 若a>0，b<0，且时，则a+b=0． （3）a+0=a． 3．一个有理数由符号和绝对值两部分组成，所以进行加减运算时，要先确定符号，后确定绝对值． 4．两数相减时差的符号： （1）较大的数﹣较小的数=正数，即若a>b，则a﹣b>0． （2）较小的数﹣较大的数=负数，即若a模型1 有理数的加法运算
（2024秋 拜城县月考）计算的结果是　　
A． B． C．3 D．13
【答案】
【分析】根据有理数的加法法则：异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，进行计算即可．
【解答】解：
，
故选：．
点拨 1．有理数加法的运算步骤： 一看：看两个加数是同号还是异号，有没有0； 二定：确定用法则的哪一条； 三计算：先定和的符号，再算和的绝对值． 2．当一个加数为负数时，这个负数必须用括号括起来，即两个符号要用括号隔开，如（–2）+（–1）中–1必须用括号括起来，不能写成–2+–1这样的形式．
【变式练1】　（2024 临潼区二模）计算的结果是　　
A．2 B． C．8 D．
【答案】
【分析】根据有理数的加法法则求解即可．
【解答】解：，
故选：．
【变式练2】　（2024 保德县三模）计算的结果是　　
A．5 B． C．1 D．
【分析】直接利用有理数加法运算法则计算得出答案．
【解答】解：．
故选：．
【变式练3】　（2024 龙亭区校级一模）下列各数中，比大2的数是　　
A．3 B．1 C． D．
【答案】
【分析】根据题意列出算式，然后根据有理数的加法法则计算即可．
【解答】解：由题意得，，
即比大2的数是1，
故选：．
模型2 有理数的减法运算
（2024 兰陵县三模）计算的结果是　　
A．1 B． C． D．
【分析】根据有理数的减法运算法则，减去一个数等于加上这个数的相反数进行计算即可得解．
【解答】解：，
，
．
故选：．
点拨 减法是加法的逆运算，做有理数的减法运算时，常将减法转化为加法再计算，转化过程中，应注意“两变一不变”．“两变”是指运算符号“﹣”变成“+”，减数变成它的相反数；“一不变”是指被减数不变．
【变式练1】　（2024 太原一模）计算的结果是　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数，由此计算即可．
【解答】解：，
故选：．
【变式练2】　（2024 溧阳市模拟）计算的结果等于　　
A． B．8 C． D．2
【分析】减去一个数，等于加上这个数的相反数． 依此计算即可求解．
【解答】解：．
故选：．
【变式练3】　（2024春 馆陶县期中）比少　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】计算即可求解．
【解答】解：，
故选：．
模型3 有理数的加减混合运算
（2024秋 吉林月考）计算：．
【答案】15．
【分析】先根据有理数的减法法则，把减法化为加法，再根据加法法则进行计算，即可作答．
【解答】解：
．
点拨 1．有理数加减混合运算的运算顺序： 加减运算是同级运算，若没有括号，则按照从左向右的顺序进行计算；若有括号，先算括号里面的． 2．当有理数的加减混合运算中．有分数也有小数时，通常把分数和小数用运算律分别结合，再计算，或把分数化为小数（小数化为分数）的形式计算． 3．引入相反数的概念后，加减混合运算可以统一为加法运算： ．
【变式练1】　（2024秋 前郭县月考）．
【答案】18．
【分析】利用加法交换律、结合律进行简便计算即可．
【解答】解：
．
【变式练2】　（2024秋 桐城市月考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）10；（2）．
【分析】（1）根据有理数加减混合运算解答即可．
（2）根据有理数加减混合运算解答即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【变式练3】　（2024秋 揭东区校级月考）计算：．
【答案】0．
【分析】先化简绝对值，再根据有理数的减法法则，把减法化成加法，再写成省略加号和的形式，然后进行简便计算即可．
【解答】解：
．
模型4 有理数的加法运算律
（2022秋 馆陶县期末）甲、乙两人用简便方法进行计算的过程如下所示，下列判断正确的是　　
甲：
乙：
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确
C．只有甲正确 D．只有乙正确
【答案】
【分析】由有理数的加减的运算法则进行判断，即可进行判断．
【解答】解：根据题意，
甲：，故甲错误；
乙：；故乙正确；
故选：．
点拨 1．在运用运算律时，一定要根据需要灵活运用，以达到化简的目的，通常有下列规律： （1）互为相反数的两个数先相加——“相反数结合法”； （2）符号相同的两个数先相加——“同号结合法”； （3）分母相同的数先相加——“同分母结合法”； （4）几个数相加得到整数，先相加——“凑整法”； （5）整数与整数、小数与小数相加——“同形结合法”． 2．使用有理数加法运算律的注意事项： （1）使用有理数加法的交换律时，要连同加数的符号一起交换，必要时要加括号． （2）有理数加法运算律也适用于三个或三个以上的数相加． （3）算式中的第一个加数如果是省略了加号的正数，交换时要补上加号．
【变式练1】　（2023 衡山县二模）嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是　　
A． B．
C． D．
【答案】
【分析】原式利用加法交换律和结合律将分母相同的结合即可．
【解答】解：嘉琪同学在计算时，运算过程正确且比较简便的是．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 西峰区校级月考）利用简便方法计算下列各题：
（1）；
（2）；
（3）．
【答案】（1）； （2）； （3）．
【分析】根据有理数的汇合运算法则，利用结合律，交换律等计算求值即可．
【解答】解：（1）．
（2）
．
（3）
．
【变式练3】　（2024秋 天桥区校级月考）简便运算：
（1）；
（2）．
【答案】（1）100；（2）12.5．
【分析】（1）根据有理数的加法交换律和结合律计算即可；
（2）据有理数的加法交换律和结合律计算即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
模型5 关于有理数加减混合运算的新定义题
（2024秋 韩城市月考）对于任意的两个有理数、，定义，．如，．
（1）计算的值；
（2）计算，，的值．
【答案】（1）6；
（2）．
【分析】（1）根据新定义运算求解即可；
（2）根据新定义运算，代入数值求解即可．
【解答】解：（1）
；
（2），，
．
点拨 新定义问题常见的类型有两种：定义新概念和定义新运算．这类题在各种测试中都频繁出现，且与阅读理解题有部分类似，即题中除了给出新概念的含义或新运算规则外，还会给出例子，以帮助理解新定义的概念或新运算规则．解答有理数加减中的新定义运算问题需要深刻理解新定义的运算规则，从而将新定义的运算转化为熟悉的有理数加减混合运算，再根据有理数加减法的运算法则进行计算．
【变式练1】　（2024秋 七星关区月考）定义一种新运算，其规则为，如：，那么的值是 　　．
【答案】．
【分析】代入新运算计算，即可求解．
【解答】解：根据题意得：
．
故答案为：．
【变式练2】　（2024 肇源县三模）若定义一种新运算例如：；，下列说法：①；②若，则或3.5；③若，则或；④与直线为常数）有2个交点，则．其中正确的个数是　　
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】
【分析】根据新运算可判断①正确；根据新运算分两种情况结合一元二次方程可判断②正确；根据新运算分两种情况结合一元一次不等式可判断③正确；根据新运算分两种情况结合一次函数的性质可判断④正确，即可．
【解答】解：①，故①正确；
②若，即，
则，
解得：，不符合题意，应舍去；
若，即，
则，
解得：，不符合题意，应舍去，故②错误；
③若，即，
此时，
解得：，
若，即，
此时，
解得：，
，
若，则或，故③错误；
④若，即，
此时，
此时与直线为常数）不可能有2个交点；
若，即，
此时，
此时与直线为常数）不可能有2个交点，
综上所述，正确的个数有1个．
故选：．
【变式练3】　定义运算，则　　．
【分析】先根据减去一个数等于加上这个数的相反数求出，再根据新定义解答．
【解答】解：，
．
故答案为：．
模型6 有理数的加减法在实际生活中的应用
（2024秋 德惠市校级月考）每年6月份是樱桃采摘旺季．某樱桃农场安排5位员工进行樱桃采摘工作，规定：采摘数据以为标准，超出部分记作正数，下表是5位员工某一天采摘樱桃的实际情况． “”表示超出，“”表示不足）．
员工 员工1 员工2 员工3 员工4 员工5
采摘总量
（1）员工2采摘樱桃是 　　；
（2）该农场预计采摘樱桃，通过计算说明5位员工樱桃采摘实际数量是否能够达到预计数量
【答案】（1）88；
（2）5位员工樱桃采摘实际数量能够达到预计数量．
【分析】（1）根据题意可知以为标准，超出部分记作正数，从而得到员工2采摘的为负，即为不足，列出算式进行计算即可求解；
（2）根据题意，列出算式，然后进行计算，即可求解．
【解答】解：（1）采摘数据以为标准，超出部分记作正数，
员工2采摘樱桃是，
故答案为：88；
（2）根据题意得：
，
位员工樱桃采摘实际数量能够达到预计数量．
点拨 解题步骤： （1）读题列式，将实际问题转化为有理数加减法问题． （2）按照有理数的加减法法则进行变形． （3）根据运算法则、运算律进行计算．
【变式练1】　（2024秋 商南县校级期末）小虫从某点出发在一条直线上来回爬行，假设向右爬行的路程记为正，向左爬行的路程记为负，爬行的路程依次为（单位：，，，，，，．
（1）小虫离开出发点最远是 　　厘米．
（2）小虫是否回到了原点？
（3）在爬行过程中，如果每爬行奖励一粒芝麻，则小虫共可得到多少粒芝麻？
【答案】（1）12；（2）小虫最后回到出发点；（3）54粒．
【分析】（1）分别计算每次距地的距离，进行比较即可；
（2）直接将所有数据相加得出答案；
（3）所有记录数的绝对值的和，即可得出答案．
【解答】解：（1）由题意得，第一次距点；第二次距点；
第三次距点；第四次距点；
第五次距点；第六次距点；
第七次距点；
所以在第三次小虫距点最远，为；
故答案为：12；
（2），
故小虫最后回到出发点；
（3）由题意可得：，
（粒，
则小虫一共可以得到54粒芝麻．
【变式练2】　（2024秋 朝阳区校级期末）一名足球守门员练习折返跑，从球门线出发，向前记作正数，返回记作负数，他的记录如下：单位（米，，，，，，．请你通过计算说明：
（1）守门员最后是否回到了球门线的位置？
（2）在练习过程中，守门员离开球门线最远的距离是多少米？
（3）守门员全部练习结束后，他共跑了多少米？
【答案】（1）没有回到球门线的位置；
（2）13米；
（3）46米．
【分析】（1）将所有记录数据相加，即可求出守门员离球门线的位置；
（2）观察记录的数据，取绝对值最大的作为守门员离开球门线最远距离；
（3）将所有记录数据取绝对值，再相加即可．
【解答】解：（1）（米，
，
守门员没有回到球门线的位置；
（2）（米，（米，（米，（米，（米，（米，
守门员离开球门线最远的距离是13米；
（3）（米，
他共跑了46米．
【变式练3】　（2024秋 玉门市期末）宜宾叙州区水泥厂仓库6天内进出水泥的吨数如下 “”表示进库，“”表示出库）
、、、、、．
（1）经过这6天，仓库里的水泥是增多还是减少了？增多或减少了多少吨？
（2）经过这6天，仓库管理员结算发现库里还存200吨水泥，那么6天前，仓库里存有水泥多少吨？
（3）如果进出仓库的水泥装卸费都是每吨5元，那么这6天要付多少元装卸费．
【分析】（1）根据有理数的加法运算，可得答案；
（2）根据有理数的减法运算，可得答案；
（3）根据装卸都付费，可得总费用．
【解答】解：（1）
．
答：仓库里的水泥减少了，减少了65吨；
（2）（吨
答：6天前，仓库里存有水泥265吨；
（3）
（元
答：这6天要付1305元的装卸费．
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