1.1 正数和负数（讲义.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

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1.1 正数和负数
模型1 用正数、负数表示具有相反意义的量 3
模型2 正数、负数的定义 5
模型3 “0”的含义、“基准”的理解 6
模型4 用正数、负数表示误差范围 9
模型5 与正数、负数相关的规律探究题 11
1．具有相反意义的量
（1）具有相反意义的量包含三层含义：
①意义相反；②具有数量；③是同类量．
（2）具有相反意义的量的特点
①成对性：单独的一个量不能成为具有相反意义的量；
②同类性：具有相反意义的量必须是同类量，如上升10米与下降6度不是具有相反意义的量；
③不唯一性：具有相反意义的量不要求数量相等．如盈利300元与亏损100元是具有相反意义的量，盈利300元与亏损180元也是具有相反意义的量．
2．正数和负数
（1）概念：大于0的数叫做正数，小于0的数叫做负数．0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界．
（2）表示方法：
一般地，我们把上升、运进、零上、收入、前进、高出等规定为正的，而与它相反的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负的．正的量就用小学里学过的数表示，有时也在它前面放上一个“+”（读作正）号，如5、7、50、+14200等；负的量用小学学过的数前面放上“–”（读作负）号来表示，如–3、–8、–47、–4745等．
（3）“正”与“负”的辨析与对比：
符号 读法 举例 注意
+ 正 +2，读作正2 正数前面的“﹢”号一般省略不写，但有时为了明确表达意义，在正数前面也加上“﹢”号
– 负 –1，读作负1 负数前面的“﹣”号不能省略
3．用正数和负数表示具有相反意义的量
如果一个问题中出现具有相反意义的量，就可以用正数和负数分别表示它们通常我们把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它具有相反意义的量就可以用负数表示．例如，若规定收入1000元记作+1000元，则支出300元记作﹣300元；若规定前进10米记作+10米，则后退5米记作﹣5米．
有时，为了明确表达与负数的相反意义，在正数的前面加上符号“+”．
1．负数前面的“－”号不能省略，否则就变成正数了． 2．不要误认为带“+”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数，如：+（－5）就不是正数，－（－5）就不是负数． 3．0表示数时，既不是正数，也不是负数；0表示实际意义时，可以表示什么都没有，也可以表示一个具体的量． 4．利用符号判断正、负数的时候，必须把符号化到最简的形式，才能进行判断．（符号的化简：只需要数数字前面“-”号的个数，如果是偶数个，那么为正，如果是奇数个，那么为负）． 5．具有相反意义的量包含三层含义： ①意义相反；②具有数量；③是同类量． 6．用正数、负数表示具有相反意义的量： ①找→找具有相反意义的量． ②定→确定一个量为“﹢”． ③写→用正数、负数表示出具有相反意义的量．
模型1 用正数、负数表示具有相反意义的量
（2024 城厢区校级一模）如果温度上升，记作，那么温度下降记作 　　．
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，
如果温度上升，记作，
温度下降记作，
故答案为：．
点拨 （1）具有相反意义的量包含三层含义： ①意义相反；②具有数量；③是同类量． （2）具有相反意义的量不要求数量相等．
【变式练1】　（2024 尤溪县二模）若在记账本上把收入6元记为元，则支出3元应记为 　　元．
【答案】．
【分析】根据收入和支出相对，如果收入为正，那么支出就为负即可求解
【解答】解：在记账本上把收入6元记为元，
支出3元应记为元，
故答案为：．
【变式练2】　（2024 礼县模拟）小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家．小明向北走了记作“”，小佳向南走了500米应记作“　　”．
【答案】
【分析】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．
【解答】解：“正”和“负”相对，所以，小明和小佳是同班同学．放学后，两人同时从学校大门处向相反方向回家．小明向北走了记作“”，小佳向南走了500米应记作“”．
故答案为：
【变式练3】　（2024 南海区一模）如果零上记作，那么零下记作 　　．
【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解．
【解答】解：零上记作，那么零下记作．
故答案为：．
模型2 正数、负数的定义
（2024春 南安市期末）若是正数，则 　　0．（填“”或“”或“”
【答案】．
【分析】根据“正数”进行作答即可得出答案．
【解答】解：是正数，
．
故答案为：．
点拨 不要误认为带“+”号的数就是正数，带“－”号的数就是负数． 如：+（－5）就不是正数，－（－5）就不是负数．
【变式练1】　（2024 锦江区校级模拟）下列各数中，是负数的是　　
A． B．0 C． D．1
【答案】
【分析】根据负数的概念得出结论即可．
【解答】解：．是负数，故本选项符合题意；
．0既不是正数，也不是负数，故本选项不合题意；
．是正数，故本选项不合题意；
．1是正数，故本选项不合题意．
故选：．
【变式练2】　（2024 吴兴区二模）下列数中，属于负数的是　　
A．2024 B． C． D．1
【答案】
【分析】根据正数和负数的定义判断即可，注意：0既不是负数也不是正数．
【解答】解：．，是正数；
．，是负数；
．，是正数；
．，是正数；
故选：．
【变式练3】　（2024 雁塔区校级四模）在，0，，2这四个数中，是负数的是　　
A． B．0 C． D．2
【答案】
【分析】根据负数的定义即可求得答案．
【解答】解：是负数；，2是正数；0既不是正数也不是负数；
故选：．
模型3 “0”的含义、“基准”的理解
（2024春 西城区校级期中）在实际生活中，我们经常采用“角度距离”的方法来确定物体的相对位置．如图，以点为基准点，射线的方向为起始边，规定逆时针方向旋转为正角度，顺时针方向旋转为负角度，特别地，的反向延长线所在的方向记为．由于方向为方向绕点逆时针旋转，点与点的距离为，因此点可以用有序数对记为，类似地，点可以记为．以下点的位置标记正确的是　　
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】
【分析】根据题干中的例子，分别判断每个选项即可．
【解答】解：由题意可得：
、点可以记为，故不合题意；
、点表示从开始逆时针，与相距，与图中位置不符，故不合题意；
、点表示从开始顺时针，与相距，与图中位置不符，故不合题意；
、点表示从开始逆时针，与相距，与图中位置相符，故符合题意；
故选：．
点拨 0表示数时，既不是正数，也不是负数；0表示实际意义时，可以表示什么都没有，也可以表示一个具体的量．
【变式练1】　（2024秋 龙华区期末）据某次体检结果，某中学七年级（1）班的男生平均身高是，若以此身高为基准，将记为，则记为　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正负数的意义列式计算即可得解．
【解答】解：，
即记为．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 石景山区期末）以河岸边步行道的平面为基准，河面高，河岸上地面高，则地面比河面高　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据正数和负数的实际意义列式计算即可．
【解答】解：，
即地面比河面高，
故选：．
【变式练3】　（2024秋 连山区期中）下列说法正确的是　　
A．零是正数不是负数 B．不是正数的数一定是负数
C．零既是正数也是负数 D．零既不是正数也不是负数
【答案】
【分析】根据正负数的定义和性质进行选择即可．
【解答】解：零既不是正数也不是负数，
故选：．
模型4 用正数、负数表示误差范围
（2024 南山区校级一模）一小袋味精的质量标准为“克”，那么下列四小袋味精质量符合要求的是　　
A．50.35克 B．49.80克 C．49.72克 D．50.40克
【答案】
【分析】先根据味精的质量标识，计算出合格味精的质量的取值范围，然后再进行判断．
【解答】解：由题意，知：合格味精的质量应该在克到克之间；即49.75克至50.25克之间，符合要求的是选项．
故选：．
点拨 注意数据，有时候正负误差的数据并不一致．
【变式练1】　（2024秋 科左中旗期末）一次社会调查中，某小组了解到某种品牌的薯片包装上注明净含量为，则下列同类产品中净含量不符合标准的是　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据净含量为可得该包装薯片的净含量，再逐项判断即可．
【解答】解：薯片包装上注明净含量为，
薯片的净含量范围为：净含量，
故不符合标准，
故选：．
【变式练2】　（2024 九龙坡区自主招生）正式排球比赛对所用的排球重量是有严格规定的，现检查4个排球的重量，超过规定重量的克数记作正数，不足规定重量的克数记作负数，检查结果为：第一个克，第二个为克，第三个为克，第四个为克，则哪个排球质量最好　　
A．第一个 B．第二个 C．第三个 D．第四个
【答案】
【分析】根据题意，可以比较各个数的绝对值的大小，从而可以解答本题．
【解答】解：，
第三个排球质量最好．
故选：．
【变式练3】　（2024春 呼兰区校级月考）某粮店出售的三种品牌的面粉袋上分别标有质量为，，的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差　　
A． B． C． D．
【答案】
【分析】根据有理数的减法，用最多的减去最少的，可得答案．
【解答】解：第一种品牌的面粉的最大质量是，最小质量是；
第二种品牌的面粉的最大质量是，最小质量是；
第三种品牌的面粉的最大质量是，最小质量是；
，
故选：．
模型5 与正数、负数相关的规律探究题
（2024春 南岗区校级期中）观察下面的一列数：，，，请你找出其中排列的规律，并按此规律填空，第10个数是　 　　．
【分析】分子都是1，分母可以拆成两个连续自然数的乘积，奇数位置为正，偶数位置为负，由此得出第个数为，进一步代入求得答案即可．
【解答】解：第1个数为，
第2个数为，
第3个数为，
第4个数为，
第个数为，
第10个数是，
故答案为：．
点拨 探究数的规律的方法探究数的规律时，应全面分析所有数据 （1）要从符号和数（不考虑符号）两个方面进行观察； （2）若是分数还要分别观察分子、分母．
【变式练1】　（2024秋 九龙坡区期末）现有一列数：，2，，8，，32，，请你观察这列数前6个数的排列规律，并按此规律，写出这列数的第2023个数是 　　；0，6，，18，，66，，这一列数的第2024个数是 　　．
【答案】，．
【分析】观察所给数列，发现数列中数的变化规律即可解决问题．
【解答】解：观察第一列数发现，
后一个数总是前一个数的倍，且第一个数为，
所以这列数的第个数可表示为：，
当时，
，
即这列数的第2023个数是；
观察第二列数发现，
，，，，，，
所以这列数的第个数可表示为：，
当时，
，
即这列数的第2024个数是．
故答案为：，．
【变式练2】　（2024春 墨竹工卡县校级期末）按一定规律排列的一列数依次为，－，，－，，－，，按此规律排列下去，这列数中的第10个数是 　　．
【答案】－．
【分析】根据所给数字，观察其分子及分母的变化，发现规律即可解决问题．
【解答】解：由题知，
第1个数的分子为1，第2个数的分子为2，第3个数的分子为3，，
所以第个数的分子为；
第1个数的分母为，第2个数的分母为，第3个数的分母为，，
所以第个数的分母为，
第1个数的符号为正，第2个数的符号为负，第3个数的符号为正，……，第10个数的符号为负．
当时，
，
即这列数中的第10个数是－．
故答案为：－．
【变式练3】　观察下面一列数：，2，，4，，6，，8，，．
（1）请写出这一列数中的第100个数和第2011个数；
（2）在前2012个数中，正数和负数分别有多少个？
（3）2013和是否都在这一列数中，若在，请指出它们分别是第几个数？若不在，请说明理由．
【分析】（1）通过观察可得：奇数为负，偶数为正，由此可得第100个数和第2011个数；
（2）根据数据的排列方式，即可得出答案；
（3）奇数为负，所以可判断2013不在这一列数中．
【解答】解：（1）第100个数是100；第2011个数是；
（2）在前2012个数中，正数和负数分别有1006个；
（3）第奇数个数均为负，
不在这一列数中，在这一列数中，它是第2013数．
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