1.2 有理数及其大小比较（讲义.含解析）-2025-2026学年七年级上册数学人教版（2024）

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1.2 有理数及其大小比较
模型1 有理数的概念和分类 5
模型2 将有理数用数轴上的点表示 6
模型3 数轴的画法和应用 8
模型4 求一个数的相反数或绝对值 10
模型5 绝对值的非负性 12
模型6 有理数的大小比较 14
模型7 多重符号的化简 16
模型8 数轴上的动点问题 18
1．有理数的相关概念
（1）整数：正整数，0，负整数统称为整数．
（2）分数：正分数，负分数统称为分数．
（3）有理数：可以写成分数形式的数称为有理数．
其中，可以写成正分数形式的数为正有理数，可以写成负分数形式的数为负有理数． 这样，引入负数后，我们对数的认识就扩大到了有理数的范围．
（4）有理数的分类
2．数轴
（1）数轴的定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．
原点将数轴（原点除外）分成两部分，其中正方向一侧的部分叫作数轴的正半轴，另一侧的部分叫作数轴的负半轴．
（2）画数轴的步骤
①画一条水平的直线．
②在直线上适当选取一点为原点．
0是正数和负数的分界；原点是数轴的“基准点”．
③通常规定从原点向右为正方向，用箭头表示出来（箭头标在画出部分的最右边）．
④根据需要，选取适当的长度为单位长度，从原点向右每隔一个单位长度取一个点，依次为1，2，3，…，从原点向左，用类似的方法依次标出–1，–2，–3，…，如图所示：
（3）数轴上的点与有理数的关系
任意一个有理数，都可以用数轴上唯一的一个点来表示．
注意：数轴上的任意一点未必一定表示一个有理数（也可能表示无理数）．
3．相反数：
定义：只有符号不同的两个数，互为相反数．
（1）我们说其中一个是另一个的相反数． （2）0的相反数还是0． （3）相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数． （4）容易看出，在正数前面添上“－”号，就得到这个正数的相反数．在任意一个数前面添上“－’号，新的数就表示原数的相反数． 例如，－(＋5)=－5，－(－5)=＋5，－0=0．
4．绝对值：
（1）一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值(absolute value)，记作|a|．
（2）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
注意：绝对值的意义是数轴上表示某数的点离开原点的距离．
（3）绝对值可表示为：．
用字母表示数后，可以用含字母的式子表达一般规律． 绝对值的问题经常分类讨论．
5．有理数比大小：
（1）利用数轴（从形的角度）：
在水平的数轴上表示有理数，数学中规定：它们从左到右顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数．
（2）利用法则（从数的角度）：
①一般地，正数大于0，0大于负数，正数大于负数；
②两个负数，绝对值大的反而小．
1．事实上，有限小数和无限循环小数都可以化为分数，因此它们也可以看成分数． 2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度． 通常规定从原点向右为正方向，但是特殊情况规定其他方向为正方向也不是错误． 3．若a+b=0，则a，b互为相反数；反之，若a，b互为相反数，则a+b=0． 4．多重符号的化简方法： ①在一个数前面添加一个“+”，所得的数与原数相等；②在一个数前面添加一个“–”，所得的数是原数的相反数；③对于有三个或三个以上符号的数的化简，首先要注意，一个数前面不管有多少个“+”，都可以把“+”去掉，其次要看“–”的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”． 5．绝对值：若几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零． 6．有理数的大小比较 （1）正数的绝对值越大，这个数越大； （2）正数永远比0大，负数永远比0小； （3）正数大于一切负数； （4）两个负数比大小，绝对值大的反而小； （5）数轴上的两个数，右边的数总比左边的数大； （6）大数－小数 ＞ 0，小数－大数 ＜ 0．
模型1 有理数的概念和分类
（2024 娄底开学）在；0；0.1；1；；3；；；15；0.76中，有　　个整数．
A．2 B．3 C．4 D．6
【答案】
【分析】根据整数的定义，对所给出的数字，逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：在；0；0.1；1；；3；；；15；0.76中，
整数有：0，1，，3，，15；
有6个整数．
故选：．
点拨 1．π是无限不循环小数，不是有理数．小数并不都是有理数，如π． 2．分数和小数的范围不同，如π是无限不循环小数，但不能化为分数． 3．不是有理数（把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数．不是分数）．
【变式练1】　（2024 绍兴开学）在，，0，，，，7中，非负数有　　
A．6个 B．5个 C．4个 D．3个
【答案】
【分析】根据非负数的概念，要求是正数或0，对所给数字逐一判断，即可得到结果．
【解答】解：在，，0，，，，7中，
非负数是：，0，，7，共有4个．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 亳州期末）下列各数中，既是分数，又是负数的是　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】根据题意利用分数和负数定义即可得到本题答案．
【解答】解：分数是一个整数和一个正整数的不等于整数的比为分数，比0小的数为负数，
，符合负数和分数定义，
故选：．
【变式练3】　（2024秋 凉山州期末）　　
A．是负数，不是分数 B．不是分数，是有理数
C．是负数，也是分数 D．是分数，不是有理数
【答案】
【分析】根据负数、分数及有理数的定义进行判断即可．
【解答】解：是小数，是有理数，是负数也是分数．
故选：．
模型2 将有理数用数轴上的点表示
（2024秋 高阳县期末）如图所示的数轴上，被叶子盖住的点表示的数可能是　　
A． B．1.3 C．3.1 D．2.3
【分析】根据数轴的特点判断被叶子盖住的点表示的数应该在2与3之间即可得出答案．
【解答】解：若设被叶子盖住的点表示的数为，观察图形可知
故选：．
点拨 1．数轴上的一个点只能表示一个数，一个数也只能用一个点来表示．但数轴上的点与有理数并非一一对应． 2．任何一个有理数都可以用数轴上的点来表示．但数轴上的点并非都表示有理数，比如π不是无理数，也可以用用数轴上的点来表示．
【变式练1】　（2024秋 通州区期末）如图，数轴上点表示的数可能是　　
A． B． C． D．1.3
【答案】
【分析】在到之间的数即为答案．
【解答】解：，，，，
点表示的数可能是．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 阿勒泰地区期中）在数轴上表示出下列各有理数：，，0，3，．
【分析】根据数轴的特点在数轴上表示出各数即可．
【解答】解：如图所示：
．
【变式练3】　（2022秋 农安县期中）画一条数轴，并在数轴上标出下列各数．
，，，0，，4
【答案】见解答．
【分析】根据正数在原点右边，负数在原点左边即得．
【解答】解：如图：
模型3 数轴的画法和应用
（2024秋 恩施市校级月考）下列四个数轴的画法中，规范的是　　
A．
B．
C．
D．
【答案】
【分析】应用数轴三要素，原点，正方向，单位长度进行判定即可得出答案．
【解答】解：．因为选项中所画数轴单位长度不一致，故选项不符合题意；
．因为选项中所画数轴没有原点，故选项不符合题意；
．因为选项中所画数轴规范，故选项符合题意；
．因为选项中所画数轴没有正方向，故选项不符合题意．
故选：．
点拨 1．画数轴时数轴的“三要素”（原点、正方向、单位长度）缺一不可． 2．数轴是一条直线，但不具备“三要素”的直线不是数轴． 3．同一数轴上的单位长度必须一致．
【变式练1】　（2024秋 梁山县期末）下列表示数轴正确的是　　
A． B．
C． D．
【分析】根据数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向分析得出即可．
【解答】解：中的单位长度不一致，不正确；
中负数排列错误，应从原点向左依次排列，故错；
是正确的数轴，故此选项正确；
中正负数标颠倒，也不正确．
故选：．
【变式练2】　（2024秋 三元区期末）如图1，点，，是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为，，4，某同学将刻度尺如图2放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点，发现点对应刻度，点对应刻度．则数轴上点所对应的数为　　
A．2 B．1 C．0 D．
【答案】
【分析】根据数轴上，在直尺上的长度是5.4，得出数轴上一个单位长度是；直尺测得、两点的长度是，算出数轴上两点，继而得出点对应的数．
【解答】解：数轴上，
直尺测量，
，
数轴上一个单位长度的长是，
直尺测量，
，
数轴上，
点对应的数是0．
故选：．
【变式练3】　（2024 市南区校级开学）在数轴上表示数和2024的两点分别为和，则和两点间的距离为　　
A．2026 B．2025 C．2024 D．2023
【答案】
【分析】利用数轴知识计算数轴上两点间的距离．
【解答】解：
．
故选：．
模型4 求一个数的相反数或绝对值
（2024 凉州区三模）的相反数为　　
A．2 B． C． D．
【答案】
【分析】先根据绝对值的意义求出的绝对值，再根据相反数的定义写出它的相反数即可．
【解答】解：，
2的相反数是，
所以的相反数是．
故选：．
点拨 1．0的相反数是0．0是唯一一个相反数是它本身的数，即若，则． 2．求一个数的相反数，只需在这个数的前面添加“—”号，然后再化简． 3．求一个式子的相反数时，要先把式子加上括号，再在前面加“—”号． 4．求一个数的绝对值的步骤： 第一步，判断这个数的符号； 第二步，给这个数加上绝对值符号； 第三步，计算．
【变式练1】　（2024 天山区校级模拟）的相反数是　　
A． B． C． D．
【分析】根据相反数的概念，即一个数的相反数就是在这个数前面添上“”号．
【解答】解：根据概念，的相反数是，即．
故选：．
【变式练2】　（2024 静安区校级二模）下列各对数中，互为相反数的是　　
A．和2 B．6和 C．和 D．7和
【答案】
【分析】先化简、、三项中的相关数据，再根据相反数的定义逐项判断即得答案．
【解答】解：．和2不互为相反数，故本选项不符合题意；
．6和互为相反数，故本选项符合题意；
．和不互为相反数，故本选项不符合题意；
．7和不互为相反数，故本选项不符合题意．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 顺义区期末）若一个数的绝对值是4，则这个数是　　
A．4 B． C． D．
【分析】根据绝对值解答即可．
【解答】解：因为，
所以这个数是，
故选：．
模型5 绝对值的非负性
（2024 莱芜区校级开学）若，则　　．
【答案】．
【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可．
【解答】解：，
，，
，，
，
故答案为：．
点拨 正数和负数的绝对值都是正数，0的绝对值还是0，因此，任意一个数的绝对值都是非负的．
【变式练1】　（2024秋 林州市期末）若为有理数，则的最大值为 　　．
【答案】5．
【分析】根据非负数的性质可得：，那么即可求解．
【解答】解：，
，
有最大值5．
故答案为：5．
【变式练2】　（2024秋 郫都区期末）如果，那么的值为 　　．
【答案】．
【分析】根据绝对值的非负性求出、的值，再代入计算即可．
【解答】解：，
，
，，
解得，，
．
故答案为：．
【变式练3】　（2024春 道县校级月考）已知，那么　　，　　．
【答案】2，．
【分析】根据非负数的性质求出、的值即可．
【解答】解：根据题意得，，，
解得，，
故答案为：2，．
模型6 有理数的大小比较
（2024 莱芜区校级开学）比较大小：（1） 　　，（2）　　．
【答案】，．
【分析】利用有理数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可．
【解答】解：（1），，
，
；
（2），，
．
故答案为：（1），（2）．
点拨 1．利用数轴：在数轴上，右边的数总比左边的数大． 2．利用性质：正数大于0，0大于负数，正数大于负数．两个负数，绝对值大的反而小． 3．利用差值： 大数－小数 ＞ 0，小数－大数 ＜ 0．
【变式练1】　（2024秋 闽侯县期末）在，，0，2四个有理数中，最小的数是　　
A． B． C．0 D．2
【答案】
【分析】根据正数大于0，0大于负数，两个负数比较，绝对值大的反而小，即可解答．
【解答】解：，，
，
，
在，，0，2四个有理数中，
，
最小的数是，
故选：．
【变式练2】　（2024 潼关县一模）数1，0，，中最小的是　　
A． B．0 C． D．1
【答案】
【分析】根据有理数大小比较的方法即可得出答案．
【解答】解：，
所以最小的是．
故选：．
【变式练3】　（2024秋 西城区期末）比较大小： 　　（填“”或“” ．
【分析】根据两负数比较大小绝对值大的反而小，可得答案．
【解答】解：，，
，
故答案为：．
模型7 多重符号的化简
（2024秋 德化县校级月考）化简下列各数：
①　　；
②　　；
③　　；
④　　．
【答案】①8；②；③；④3.8．
【分析】利用化简多重符号的方法即可求解．
【解答】解：①；
②；
③；
④．
故答案为：①8；②；③；④3.8．
点拨 1．多重符号化简的依据：相反数的定义． 2．多重符号化简的方法： （1）省略所有“+”号； （2）只看“—”号的个数，当“–”的个数为偶数时，结果取“+”，当“–”的个数为奇数时，结果取“–”．
【变式练1】　化简下列各数：
①；②；③；④；⑤．
【分析】根据相反数的意义和表示方法逐个进行化简即可．
【解答】解：①；
②；
③；
④；
⑤．
【变式练2】　（2023春 南岗区校级月考）化简：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【答案】（1）68；
（2）；
（3）；
（4）3.6．
【分析】（1）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（2）先去括号，然后根据负号的个数为奇数个，即可化简求值；
（3）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值；
（4）先去括号，然后根据负号的个数为偶数个，即可化简求值．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【变式练3】　（2022秋 铁东区校级月考）化简下列各数：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
【分析】（1）根据去括号法则直接去括号得出即可；
（2）根据去括号法则直接去括号得出即可；
（3）根据去括号法则直接去括号得出即可；
（4）根据去括号法则直接去括号得出即可．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）；
（4）．
模型8 数轴上的动点问题
（2024 绍兴开学）已知点在数轴（向右为正方向）上表示的数是1，将点向左移动3个单位长度到点，则点对应的数是 　　．
【答案】．
【分析】利用数轴知识解答．
【解答】解：点表示的数为：．
故答案为：．
【变式练1】　（2024秋 恩施市校级月考）在数轴上，点， 在原点的两侧，分别表示数，2，将点向右平移2个单位长度，得到点．若是中点，则的值为　　
A． B． C． D．1
【答案】
【分析】根据点向右平移2个单位长度得到为，由是的中点得到，所以，即可求出的值．
【解答】解：点向右平移2个单位长度得到为，
由是的中点得到，
，
，
故选：．
【变式练2】　（2024 凤翔区二模）如图，点在数轴上表示的数为1，将点向左移动4个单位长度得到点，则点表示的数为　　
A． B． C． D．5
【答案】
【分析】由题意知，，即点表示的有数是，然后作答即可．
【解答】解：由题意知，，
点表示的有数是，
故选：．
【变式练3】　（2024 朝阳区校级一模）点在数轴上的位置如图所示，将点向左移动3个单位长度得到点，则点表示的数是　　
A．4 B．3 C． D．
【答案】
【分析】根据数轴上点平移规律：左减右加，直接求取即可得到答案．
【解答】解：由题意可得，
点向左移动3个单位长度得到点，
点代表的数字是：，
故选：．
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