高考试题中函数概念问题的类型与解法

高考试题中函数概念问题的类型与解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数定义及运用；②函数图像及运用；③求函数值的问题；④求函数值域（或最值）的问题；⑤函数零点及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=f(x)+f(y)，则（ ）（2023全国高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函数 D x=0为f(x)的极小值点
2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数解析式即运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
1、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=的图像大致为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
2、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
3、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
4、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数图像及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；⑦函数图像的识图和变图；⑧函数图像的运用问题；
（2）作函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
(3)函数图像的识图与辨图问题主要包括：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（4）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（5）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
（6）函数图像的运用问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（7）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
〔练习2〕解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
2、函数y=在［-6，6］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标III）
【典例3】解答下列问题：
1、已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高 +a，x0，三零诊）
A - B 0 C 1 D 2
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
3、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
4、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
+1，x1,
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数值的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求值；③抽象函数求值，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出结果；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果；
（4）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，
A B C D
2、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)=+2x，x≤0，的值域为[-1，+），则实数a的取值范围是 。
-3x+a，x>0，（成都市2022级高三三诊）
2、已知函数f(x)=x|x-a|-2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是（ ）（成都市2022级高三一诊）
A （-，1] B [-2，1] C [-1，2] D [-1，+）
3、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
『思考问题4』
（1）【典例4】求函数值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值域（或最值）的基本方法；
（2）求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求值域；
（3）求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
〔练习4〕解答下列问题：
1、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
2、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国
高考新高考II）
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
2、已知f(x)为函数y=cos（2x+ ）向左平移个单位所得函数，则y=f(x)与y=x-的交点个数为（ ）（2023全国高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
3、（理）若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B C e D
4、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个
x，x0，数有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
5、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
6、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
『思考问题5』
（1）【典例5】是与函数零点及运用的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。
〔练习5〕解答下列问题：
1 、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
2、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）
高考试题中函数概念问题的类型与解法
函数概念问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数概念的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能是大题；难度系数为低（或中）档，但也有可能出现高档难度的问题。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数概念问题主要包括：①函数定义及运用；②函数图像及运用；③求函数值的问题；④求函数值域（或最值）的问题；⑤函数零点及运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数概念问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、已知函数f(x)的定义域为R，f(xy)=f(x)+f(y)，则（ ）（2023全国高考新高考I）
A f(0)=0 B f(1)=0 C f(x)是偶函数 D x=0为f(x)的极小值点
【解析】
【考点】①抽象函数定义与性质；②抽象函数求值的基本方法；③抽象函数判断奇偶性的基本方法；④确定函数极值的基本方法。
【解题思路】根据抽象函数的性质，运用抽象函数求值，判断奇偶性和确定极值的基本方法，对各个选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，当x=y=0时，f(0)=0f(0)+0f(0)=0，A正确；对B，当x=y=1时，f(1)=f(1)+f(1)=0，f(1)=0，B正确；对C，当x=y=-1时，f(1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0，f(-1)=0，当x=x，y=-1时，f(-x)=f(x)+f(-1)=f(x)，函数f(x)是偶函数，C正确；对D，对任意的实数b，当x=y=b时，f(bb)=f(b)+f(b)=2f(b)=f()，f(b)=f()=0，函数f(x)=0在R是恒成立，f(x)不存在极值点，D错误，综上所述，ABC正确，选ABC。
2、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正确，选D。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数解析式即运用的问题，解答这类问题需要理解函数解析式的定义，掌握求函数解析式的基本方法；
（2）函数解析式是指表示函数y与自变量x之间的关系的式子；
（3）求函数解析式的基本方法有：①待定系数法；②拼凑法；③换元法；④运用方程思想求解函数解析式；⑤直接代入法；⑥运用轴对称图形和中心对称图形的性质求函数解析式；⑦根据应用问题的类型与特征求函数解析式。
〔练习1〕解答下列问题：
1、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020全国高考新高考I）（答案：B）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
2、在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能够完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压，为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作，已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新增订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：B）
A 10名 B 18名 C 24名 D 32名
【典例2】解答下列问题：
1、函数f(x)=的图像大致为（ ）（成都市高2020级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数图像定义与性质；②求定义域的基本方法；③判断函数单调性的基本方法；④判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据函数图像的性质，运用求函数定义域，判断函数单调性与奇偶性的基本方法，求出函数的定义域，判断函数f(x)的单调性与奇偶性，从而确定出函数f(x)的大致图像就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)的定义域为（-，-）（-，）（，+），可以排除D；f(-x)===f(x)，函数f(x)是偶函数，当x（-，）时，f(x)=<0，当x（-，-）（，+）时，f(x)=>0，可以排除C；当x相当大时，函数f(x)单调递增，可以排除B，A正确，选A。
2、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
3、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图
像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ，
u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关
于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，
综上所述，A正确，选A。
4、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数对称性定义与性质；③函数周期性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，对称性和周期性的性质，运用判断函数奇偶性和周期性的基本方法，得到函数f(x)是以4为周期的偶函数，结合问题条件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从而求出=的值，就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)，g(x)的定义域均为R，y=g(x)的图像关于直线x=2对称， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函数f(x)是R上的偶函数， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，
=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正确，选D。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数图像及运用的问题，这类问题主要包括：①已知函数解析式，求作函数图像；②函数图像的平移变换；③函数图像的伸缩变换；④函数图像的对称变换；⑤函数图像的翻折变换；⑥函数图像的旋转变换；解答这类问题需要理解函数图像的定义，掌握函数图像的基本作法；⑦函数图像的识图和变图；⑧函数图像的运用问题；
（2）作函数图像的基本方法有：①直接作图法；②描点作图法；③图像变换法；
(3)函数图像的识图与辨图问题主要包括：①已知函数图像，确定函数解析式选；②已知函数解析式，确定函数的图像；
（4）已知函数图像，确定函数解析式的基本方法是：①从图像的左右，上下分布观察函数定义域域和函数的值域；② 从图像的变化趋势观察函数的单调性；③ 从图像的对称性观察函数的奇偶性；④从图像的循环往复观察函数的周期性；
（5）已知函数的解析式，确定函数图像的基本方法是：①从函数的定义域判断图像的左右位置，从函数的值域判断图像上下位置；②从函数的单调性，判断图像的变化趋势；③从函数的奇偶性，判断图像的对称性；④从函数的周期性，判断图像的循环往复；⑤从函数的极值点判断函数的最值点。
（6）函数图像的运用问题主要包括：①运用函数图像研究函数的性质；②运用函数图像求解不等式；③运用函数图像求函数的零点；
（7）解答函数图像运用问题的常用方法是：①定性分析法；②定量分析法；③函数模型法。
〔练习2〕解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：B）
2、函数y=在［-6，6］的图像大致为（ ）（2019全国高考新课标III）（答案：B）
【典例3】解答下列问题：
已知函数f(x)= ，x>0，若f(f(-1))=4，且a>-1，则a=（）（成都市2020级高三零诊）
+a，x0，
A - B 0 C 1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②幂函数定义与性质；③指数函数定义与性质；④分段函数求值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，幂函数和指数函数的性质，运用分段函数求值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】 f(-1)=1+a，a>-1，1+a >0，f(f(-1))= =4=，1+a=2，即a=1，
C正确，选C。
2、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
3、已知函数f(x)= |x-1|，x0，则f(f())=（ ）（2021成都市高三零诊）
A 0 lnx， x>0， B 1 C e-1 D 2
【解析】
【考点】①分段函数的定义与性质；②分段函数求值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数的性质和求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(f())的函数值就可得出选项。
【详细解答】 f()=ln=-1， f(-1)=|-1-1|=2， f(f()) =2，D正确，选D。
4、函数f(x)= -x，x＜1，若f(a)=2，则a的值为 。（2021成都市高三二诊）
【解析】 +1，x1,
【考点】①一元二次函数的定义与性质；②指数函数的定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据一元二次函数和指数函数的性质，运用求函数值的基本方法求得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a＜1时， f(a)= -a=2，a=-1或a=2， a=-1，②当a1时, f(a)= +1=2，a=0＜1，此时无解，综上所述，若f(a)=2，则a的值为-1。
『思考问题3』
（1）【典例3】是求函数值的问题，这类问题主要包括：①已知函数的解析式，求函数值；②分段函数求值；③抽象函数求值，解答这类问题需要理解函数值的定义，掌握求函数值的基本方法；
（2）已知函数的解析式，求函数值的基本方法是：①把给定的自变量x的值代入函数解析式；②通过运算求出结果；
（3）分段函数求值的基本方法是：①确定给定的自变量属于哪一段，在此基础上选定函数求值时符合的解析式；②把自变量代入选定的解析式，并通过运算求出结果；
（4）抽象函数求值的基本方法是赋值法，其基本步骤是：①确定求所求函数值需要求出哪些自变量的函数值；②确定求各个自变量函数值时需要赋的值；③求出所求自变量的函数值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)= sin(x+)，x0，则f(-2)+ f(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
+1， x>0，（答案：C）
A B C D
2、已知函数f(x)= -3x，则“a>1”是“f(a)> f(1)”的（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：A ）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件 C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【典例4】解答下列问题：
1、若函数f(x)=+2x，x≤0，的值域为[-1，+），则实数a的取值范围是 。
-3x+a，x>0，（成都市2022级高三三诊）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③函数值域定义与性质；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，一元二次函数和函数值域的性质，运用求函数值域的基本方法，结合问题条件得到关于实数a的不等式，求解不等式就可求出实数a的取值范围。
【详细解答】当x≤0时，函数f(x)=+2x的最小值为f(-1)=1-2=-1，函数f(x)的值域为[-1，+）；当x>0时，函数f(x)=-3x+a的最小值为f()=-+a=-+a，函数f(x)的值域为[-1，+），-+a≥-1，解之得：a≥，若函数f(x)的值域为[-1，+），则实数a的取值范围是[，+）。
已知函数f(x)=x|x-a|-2，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是（ ）（成都市2022级高三一诊）
A （-，1] B [-2，1] C [-1，2] D [-1，+）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②一元二次函数定义与性质；③函数值域定义与性质；④
参数分类讨论的原则和基本方法；⑤求函数值域的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，一元二次函数和函数值域的性质，运用参数分类讨论的原则与基本方法和求函数值域的基本方法，结合问题条件求出实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当x≥a>2时，f(x)=-ax-2，f(2)=4-2a-2≥0，解之得：-2≤a≤1，显然此时无解；当22时，f(x)>0不符；当02时，f(x)=-ax-2，f(2)=4-2a-2≥0，解之得：-2≤a≤1，从而得到02时，f(x)>0，则a的取值范围是（0，1]；当a=0，x>2时，f(x)=>0在R上恒成立，符合当x>2时，f(x)>0；当a<0，x>2时，f(x)=-ax-2，f(2)=4-2a-2≥0，解之得：-2≤a≤1，从而得到-2≤a<0，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是[-2，0）；综上所述，若当x>2时，f(x)>0，则a的取值范围是 [-2，1]，B正确，选B。
3、下列函数最小值为4的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A y=+2x+4 B y=|sinx|+ C y=+ D y=lnx+
【解析】
【考点】①一元二次函数定义与性质；②基本不等式及运用；③指数函数定义与性质；④对数函数定义与性质；⑤求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据一元二次函数，指数函数，对数函数的性质和基本不等式，运用求函数最值的基本方法，分别求出各选项函数的最小值就可得出选项。
【详细解答】对A，函数y=+2x+4当且仅当x=- =-1时，=1+2 （-1）+4=3
4，排除A；对B，由|sinx|=，得|sinx|=2，而|sinx|1，等号不能成立，函数y=|sinx|+不存在最小值，排除B，对C，+=+2224，当且仅当=，即x=1时，等号成立，函数y=+最小值为4，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】求函数值域（或最值）的问题，解答这类问题需要理解函数值域（或最值）的定义，掌握求函数值域（或最值）的基本方法；
（2）求函数值域的常用方法有：①运用基本函数的值域求值域；②常数分离法；③配方法；④判别式法；⑤换元法；⑥运用重要不等式求函数的值域；⑦数形结合法；⑧运用函数的单调性求值域；⑨运用函数的导数求值域；
（3）求函数最值的基本方法是：①求出函数的值域；②确定函数的最值。
〔练习4〕解答下列问题：
1、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）（答案：函数f(x)的最小值为1。）
2、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国
高考新高考II）（答案：取的取值范围是（0，1）。）
【典例5】解答下列问题：
1、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数为（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数函数定义与性质；③分段函数函数定义与性质；④确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据分段函数，指数函数和函数零点的性质，运用确函数零点的基本方法，结
合问题条件得出、函数f(x)= -2023|x-2|的零点个数就可得出选项。 y
【详细解答】 f(x)= -2023|x-2|=0，=2023|x-2|， 1
在同一直角坐标系中作出函数y=和函数y=2023|x-2|的 0 1 2 x
图像如图所示，由图知函数y=和函数y=2023|x-2|有三个不同的交点，函数f(x)=
-2023|x-2|的零点个数为3个，D正确，选D。
2、已知f(x)为函数y=cos（2x+ ）向左平移个单位所得函数，则y=f(x)与y=x-的交点个数为（ ）（2023全国高考甲卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
【解析】
【考点】①三角函数图像平移定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③正弦型三角函数定义与性质；④函数零点定义与性质；⑤确定函数零点的基本方法。
【解答思路】根据三角函数图像平移的性质和三角函数诱导公式，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，运用正弦型三角函数，函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，求出函数y=f(x)与y=x-的交点个数就可得出选项。
【详细解答】f(x)=cos[2（x+）+ ] y
=cos(2x+）=-sin2x，在同一直角坐标系中
作出函数f(x)与y=x-的图像如图所示， - ---0 x
由图知，函数f(x)与y=x-的交点有3个， C正确，选C。
3、（理）若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的
一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A B C e D
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数确定函数零点的基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解答思路】根据函数零点的性质，结合问题条件得到（-1）= ，（-e）（ln-1）=，从而得到（-e）=，（ln-1）（-e）=（ln-1）（-e）=，由此得到（-e）=（ln-1）（-e），设函数h(x)=x(-e)，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），由（x）0在（0，+）上恒成立，得到函数h(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到=（ln-1），求出的值就可得出选项。
【详细解答】正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，--=0.，（-e）（ln（-1）-=0，（-1）=，（-e）（ln-1）=，（-e）=，（-e）（ln-1）=（ln-1）（-e）=，（-e）=（ln-1）（-e）=，设函数h(x)=x(-e)（x>0），（x）=-e+x=(x+1) -e0在（0，+）上恒成立，函数h(x) 在（0，+）上单调递增， h()= h(ln-1)=， =ln-1，===e，C正确，选C。
4、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个
x，x0，数有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和
基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；⑤函数图像及运用；⑥数学换元
法及运用。
【解题思路】（理）根据和零点的性质和函数求导公式，法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数导函数判断函数单调性和确定函数零点的基本方法，作出函数f(x)的图像，由数学换元法得到e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，利用方程e t-at-1=0(aR)，的根，结合函数f(x)图像确定出方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个数的所有可能值就可得出选项。（文）根据函数零点的性质和函数图像，运用确定函数零点的基本方法，得到函数g(x) 的三个不同的零点，，，从而求出..的值就可得出选项。
【详细解答】（理）当x>0时， (x)= =，令 (x)=解得：x=1，,当x（0，1）时，（x）>0，当x（1，+）时，（x）<0，函数f(x)在（0，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，= f(1)= =1， y y=
f()==0，当 x0时， (x)=（x+1）， 1
令 (x)= 0解得：x=-1，当x（-，-1）时， -1 0 1 y=
EMBED Equation.DSMT4 （x）<0，当x（-1，0）时，（x）>0， -
函数f(x)在（-，-1）上单调递减，在（-1，0）上单调递增，= f(-1)=- =-，作出函数f(x)的图像如图所示，设t= f(x)， e f(x) -a f(x)-1=0(aR)， e t-at-1=0(aR)，
= +4e>0，. =-，①当>1时，-<=-.<0，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)有3个不同的解；②当=1时，=
-.=-，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1
=0(aR)有3个不同的解；③当0<<1时，=-.<-，如图此时函数f(x)的图像与直线y=t仍有三个不同的交点，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，综上所述，方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)仍有3个不同的解，D正确，选D。（文）函数g(x)的零点，方程f(x) =m(mR)的根，函数f(x)的图像与直线y=m的交点的横坐标，作出函数f(x)的图像如图所示，①当m>时，直线y=m和函数f(x)的图像至多有两个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符；②当m=时，直线y=m和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，|ln|=-ln，|ln|=ln，-ln= ln， ln+ ln
=ln(.)=0，.=1，.. =-1 y
=- ； ③当0图像有四个不同的交点，与函数g(x)= f(x) –m - - 0 1 x
(mR)有三个不同的零点不符；④当m=时，
直线y=m和函数f(x)的图像有三个不同的交点，此时=-，=0，=1，.. =-01=0；⑤当m<0时，直线y=m和函数f(x)的图像只有一个交点，与函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点不符，综上所述，..的值为或0，D正确，选D。
5、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③一元二次函数定义与性质；④函数图像及运用；⑤求函数零点的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。（文）根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，由g(x)= f(x)- 的零点，函数f(x)与函数y=的交点，在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像，运用函数图像确定出函数g(x)= f(x)- 的所有零点，就可求出所有零点之和。
【详细解答】（理）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)
与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有两个交点<，且+=92=18，在[-6，-2]上有两个交点<，且+=-52=-10，函数g(x)共有9个零点<<<<<<<<，+++++++
+=-10+0+10+18=18。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足 y
f(x)= f(2-x)， f(-x)= f(2+x)， f(x) 1
= -f(2+x)=f(x+4)，函数f(x)是以4为周期 -2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 x
的周期函数，当x[0，1]时，f(x)=，
在同一直角坐标系中，作出函数f(x)与函数y=的图像如图所示，由图知函数f(x)与函数y=的图像在[-2，2]上有三个交点，<<，且+=-2，=2，+ +=-2+2=0，在（2，6]上有两点交点<，且+=52=10，在[6，10]上有一个交点=10，在[-6，-2]上有,一个交点=-5，, 函数g(x)共有7个零点<<<<<<，且++++++=-5+0+10+9=14。
6、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数定义与性质；③对数定义与性质。
【解题思路】（理）根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于的指数与对数表达式，运用指数和对数的性质，求出（-1）的值就可得出选项。（文）设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 （理）函数f(x)= + 的零点为，+=0，=-，=，+=+（），g（）= g（），=，=，（-1）=1，B正确，选B。（文）函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
『思考问题5』
（1）【典例5】是与函数零点及运用的问题，解答这类问题需要理解函数零点的定义，同时注意方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系；
（2）方程的解，函数图像与X轴的交点，函数零点之间的关系是：方程f(x)=0有解函数y=f(x)的图像与X轴有交点函数y=f(x)有零点；
（3）判断函数是否有零点（或零点个数）的基本方法是：①解方程法：令f(x)=0，如果方程有解，则方程有几个解函数y=f(x)就有几个零点；②运用函数零点存在定理，具体运用定理时应该注意：1＞函数y=f(x)在区间〔a,b〕上的图像是连续的曲线，2＞f(a).f(b)<0，3＞结合函数的图像和性质得出结果；③数形结合法：把问题转化为函数图像与X轴的交点问题（或两个函数图像的交点的问题）。
〔练习5〕解答下列问题：
1 、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）（答案：A ）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
2、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A （- 2，0）（2，+） B （- 2，0）（0，2）
C （- e，0）（e，+） D （- e，0）（0，e）（答案：D ）
（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：A ）
A （- 1，0）（0，1） B （- 1，0）（1，+）
C （- e，0）（0，e） D （- e，0）（e，+）高考试题中函数性质问题的类型与解法
函数性质问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数性质的问题。从题型上看是选择题(或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能是高档。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若函数f(x)=-ax的单调递增区间为（1，+），则a的值为 。（成都市2022级高三零诊）
2、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
3、设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
-1，05、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性及运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
2、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
3、（理）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）
A 是偶函数，且在（，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（-，）上单调递减C 是偶函数，且在（-，-）上单调递增 D 是奇函数，且在（-，-）上单调递减
（文）设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
【典例2】解答下列问题：
1、设f(x)是定义在R上且|周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f(-)=（ ）（2025全国高考新高考I）
A - B - C D
2、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
3、已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
4、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2013全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
5、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
6、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
7、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
8、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性，周期性及运用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数，函数周期的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性，周期性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
（5）用定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出结果；
周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
2、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022
全国高考新高考II卷）
A - 3 B -2 C 0 D 1
4、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）
5、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
6、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
8、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）
9、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标III）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x [1，2]时，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，则f()=（ ）
A - B - C D
（文）设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
2、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0。
〔练习3〕解答下列问题：
1、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）
高考试题中函数性质问题的类型与解法
函数性质问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及到函数性质的问题。从题型上看是选择题(或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有可能是高档。纵观近几年各种考试试卷，归结起来函数性质问题主要包括：①函数单调性及运用；②函数奇偶性，周期性及运用；③函数单调性，奇偶性和周期性的综合运用等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数性质问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若函数f(x)=-ax的单调递增区间为（1，+），则a的值为 。（成都市2022级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数单调性定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数单调性的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件就可求出a的值。
【详细解答】（x）=-a，若a≤0，，（x）>0在R上恒成立，函数f(x)在R上
单调递增，与题意不符；若a>0，令（x）=0解之得：x=lna，x（-，lna）时，（x）
<0，，x（lna，+）时，（x）>0，函数f(x)在（-，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，函数f(x)=-ax的单调递增区间为无重（1，+），lna=1，即a=e。
2、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。
3、设函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考新高考I）
A （-，-2] B [-2，0） C （0，2] D [2，+）
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②指数函数定义与性质；③判断复合函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，区间不等式求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】设g(x)=x（x-a）=-ax，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（0，1）
上单调递减，函数g(x)在（0，1）上单调递减，x=-=≥1，a≥2，即若函数f(x)=在区间（0，1）上单调递减，则a的取值范围是[2，+），D正确，选D。
4、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数导函数判断函数单调性的基本方法得到关于k的不等式，求解不等式求出实数k的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 (x)= k-=，①当k0时， (x)<0在（1，+）恒成立，函数f(x)在（1，+）上单调递减，与题意不符；②当k>0时，令 (x)=0解得x=，函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增， 1，k2，综上所述，若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是[2，+），B正确，选B。 -1，05、已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，有下列结论：
①函数f(x)在（-6，-5）上单调递增；②函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有2个不同的交点；③若关于x的方程-（a+1）f(x)+a=0（aR）恰有4个不相等的实数根，则这4个根之和为8；④记函数f(x)在[2k-1，2k]（k）上的最大值为，则数列{}的前7项和为。其中所有正确结论的编号是 （成都市2019级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数零点定义与性质；③函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性的性质，结合问题条件作出函数f(x)的图像如图所示，对①，由函数图像得到函数f(x)在（5，6）上单调递增，从而得到函数f(x)在（-6，-5）上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点，由奇函数的性质得到函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，从而得到②错误；对③，设f(x)=t，由方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，得到t=0或t=1，当t=1时，根据图像f(x)=1只有一个根=2，由方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，由f(x)= ，结合函数图像得到+=2，=4，从而得到+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，由f(x)= -，结合函数图像得到+=-2，=-4，从而得到+++=2-2-4=-4，③错误；对④，由函数图像可知，当x[1，2]时，= f(2)=1，得到=1，从而得到数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；就可得出其中所有正确结论的编号。 -1，0【详细解答】函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0时，f(x)= f(x-2)，x>2，作出函数f(x)的图像如图所示，对①，函数f(x)在 y
（5，6）上单调递增，函数f(x)在（-6，-5） 1
上单调递增，结论①正确；对②，当x>0时，
函数f(x)的图像与直线y=x只有一个交点， 0 1 2 3 4 5 6 x
函数f(x)的图像与直线y=x有且仅有3个交点，
②错误；对③，设f(x)=t，方程-（a+1）f(x)+a=0，-（a+1）t+a=0，解得t=0或t=1，当t=1时，f(x)=1只有一个根=2，方程恰有4个不同的根，有两种可能：（1）t=a=，f(x)= 得到+=2，=4，+++=2+2+4=8，（2）t=a=-，f(x)= -，得到+=-2，=-4， +++=2-2-4=-4，③错误；对④，当x[1，2]时，= f(2)=1，=1，数列{}是以=1为首项，为公比的等比数列，===，④正确；其中所有正确结论的编号是①④。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数单调性及运用的问题，解答这类问题需要理解增函数，减函数，函数单调性的定义，掌握增函数，减函数，函数单调性的性质和判断（或证明）函数单调性的基本方法，判断（或证明）函数单调性的基本方法有：①定义法；②图像法；
（2）图像法的基本方法是：①作出函数的图像；②确定判断（或证明）的区间；③在函数的图像上找到相应的区间；④根据函数图像得出结果；
（3）定义法的基本方法是：①求出函数的定义域；②确定判断（或证明）的区间；③在相应的区间上任取，，且＜； ④比较函数值f()，f()的大小；⑤根据④得出结果。
（4）比较函数值f()，f()的大小的基本方法是：①求差法；②求商法；
（5）求差法的基本方法是：①求出函数值f()-f()的差；②把①中的差与数0作比较；③根据②得出结果；
（6）求商法的基本方法是：①求出函数值的商；②把①中的商与数1作比较；③根据②得出结果；
（7）对含参数的函数，在判断（或证明）函数的单调性时，应注意对参数的可能情况先进行分别考虑，然后再综合得出结论。
〔练习1〕解答下列问题：
1、下列函数中是增函数的为（ ）（2021全国高考甲卷）（答案：D）
A f(x)=-x B f(x)= C f(x)= D f(x)=
2、若定义在R上的奇函数f(x)在（-，0）上单调递减，且f(2)=0，则满足x f(x-1) 0的取值范围是（ ）（2020全国高考新高考I）（答案：D）
A [-1,1] [3，+） B [-3,-1] [0，1] C[-1,0] [1，+） D [-1,0] [1，3]
3、（理）设函数f(x)=ln|2x+1|-ln|2x-1|，则f(x)（ ）（答案：D）
A 是偶函数，且在（，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（-，）上单调递减C 是偶函数，且在（-，-）上单调递增 D 是奇函数，且在（-，-）上单调递减
（文）设函数f(x)= - ，则f(x)（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：A ）
A 是奇函数，且在（0，+）上单调递增 B 是奇函数，且在（0，+）上单调递减
C 是偶函数，且在（0，+）上单调递增 D 是偶函数，且在（0，+）上单调递减
【典例2】解答下列问题：
1、设f(x)是定义在R上且|周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，则f(-)=（ ）（2025全国高考新高考I）
A - B - C D
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③函数值定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解题思路】根据偶函数，周期函数和函数值的性质，运用求函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-)的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)是定义在R上且|周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f(x)=5-2x，f(-)=f(2-)=f()=f(-))=f(4-)=f()=5-2=-，A正确，选A。
2、（多选）已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x>0时，f(x)=（-3）+2，则（ ）（2025全国高考新高考II）
A f(0)=0 B 当x<0时，f(x)=-（-3）-2，
C f(x)≥2，当且仅当x≥ D x=-1是函数f(x)的极大值点
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②函数导函数定义与性质；③函数求导公式，法则与基本方法；④运用函数导函数判断函数极值点的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数判断函数极值点的基本方法，结合问题条件对各选项的结论是否正确进行判断就可得出选项。
【详细解答】对A，函数f(x)是定义在R上的奇函数， f(0)=0 ，A正确；对B，设x（-，0），-x（0，+），函数f(x)是定义在R上的奇函数，x>0时，f(x)=（-3）+2，f(x)=-f(-x)=-（-3）-2，B正确；对C，当x>0时，f(x)=（-3）+2≥2，
（-3）≥0，-3≥0，解之得：x≥，当x<0时，f(-1)=-（1-3）e-2=2e-2=2
（e-1）>2，C错误；对D，当x>0时，f(x)=（-3）+2，（x）=（+2x-3），令（x）=0解之得，x=1，x（0，1）时，（x）<0，x（1，+）时，（x）>0， x=1是函数f(x)的极小值点；当x<0时，f(x)=-（-3）-2，（x）=（-+2x+3），令（x）=0解之得，x=-1，x（-1，0）时，（x）<0，x（-，-1）时，（x）>0， x=-1是函数f(x)的极大值点，D正确，，综上所述，A，B，D正确，选A，B，D。
3、若y=+ax+sin(x+)为偶函数，则a= （2023全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②三角函数诱导公式及运用；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用三角函数诱导公式和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数y=+ax+sin(x+)=+ax+cosx为偶函数， -ax
+cosx=+ax+cosx,(4-2a)x=0，a=2。
4、已知函数f(x)= 是偶函数，则a=（ ）（2023全国高考乙卷）
A - 2 B -1 C 1 D 2
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解答思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)= 是偶函数，f(-x)===f(x)=，
==0，x0，=0，ax=2x，a=2，D正确，
选D。
5、若f(x)=（x+a）ln是偶函数，则a=( )(2023全国高考新高考II)
A -1 B 0 C D 1
【解析】
【考点】①偶函数定义与性质；②判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据偶函数的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=（x+a）ln是偶函数， f(-x)=（-x+a）ln =-（-x+a）ln ，2a ln =0, a=0， B正确，选B。
6、若奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)，且当x[0,1]时，f(x)=，则f(23)=（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A -1 B - C 0 D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②周期函数定义与性质；③求函数值的基本方法。
【解题思路】根据奇函数和周期函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用求函数值的基本方法，求出f(0)，f(1)，f(2)，f(3)的值，从而求出f(23)的值就可得出选项。
【详细解答】奇函数f(x)满足f(x)=f(2-x)， f(x+2)=-f(2-x)，f(x+2)=-f(x+4)，f(x)=-f(x+2)=f(x+4)， 函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x[0,1]时，f(x)=， f(0)==0，f(1)==，f(2)=-f(0)=0，f(3)=f(-1)=-f(1)=-， f(23)=f(45+3)
=f(3)=-，f(23)=-，B正确，选B。
7、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
8、如图是下列四个函数中的某个函数在区间[-3，3]的大致图像，则该函数是（ ）（2022全国高考乙卷文）
A y= B y= C y= D y=
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③正弦三角函数定义与性质；④幂函数定义与性质；⑤判断函数奇偶性的基本方法；⑥函数图像及运用。
【解题思路】根据函数奇偶性，幂函数，余弦三角函数和正弦三角函数的性质，运用函数图像和判断函数奇偶性的基本方法，对各选项的函数进行判断，就可得出选项。
【详细解答】对A，设f(x)= ， f(-x)= = =-
=- f(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； f(1)
= =1，f(3)= =-<0，与已知图像符合，A正确；对B，设g(x)= ， g(-x) ===-=- g(x)，函数g(x)奇函数，函数g(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合； g(1)= =0，，g(3)= =>0，与已知图像不符合，B错误；对C，h(x)= ， h(-x)= = =-=- h(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< h(1)= =cos1<1，与已知图像不符合，C错误；对D，u(x)= ， u(-x)= = =-=- u(x)，函数f(x)奇函数，函数f(x)的图像关于原点对称，与已知图像符合；0< u(1)= =sin1<1，与已知图像不符合，D错误，综上所述，A正确，选A。
9、已知函数f(x)，g(x)的定义域均为R，且f(x)+g(2-x)=5， g(x)- f(x-4)=7，若y=g(x)的图像关
于直线x=2对称，g(2)=4，则=（ ）（2022全国高考乙卷理）
A - 21 B -22 C -23 D -24
【解析】
【考点】①函数奇偶性定义与性质；②函数对称性定义与性质；③函数周期性定义与性质；④判断函数奇偶性的基本方法；⑤判断函数周期性的基本方法。
【解题思路】根据函数奇偶性，对称性和周期性的性质，运用判断函数奇偶性和周期性的基本方法，得到函数f(x)是以4为周期的偶函数，结合问题条件求出f(1)，f(2)，f(3)，f(4)的值，从而求出=的值，就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)，g(x)的定义域均为R，y=g(x)的图像关于直线x=2对称， g(2-x)= g(2+x)， f(x)+g(2-x)=5，f(-x)+g(2+x)=5， f(x)= f(-x)，函数f(x)是R上的偶函数， g(2)=4，f(x)+g(2-x)=5， f(0)+g(2)= f(0)+4=5， f(0)=1， g(x)- f(x-4)=7，g（2-x)=f(-x
-2)+7，5- f(x)= f(-x-2)+7， f(x)+ f(-x-2)=-2， f(x)+ f(x+2)=-2， f(x+2)+ f(x+4)=-2，
f(x)= f(x+4)，函数f(x)是以4为周期的周期函数， f(0)+ f(2)=-2，f(0)=1， f(2)=-3，
f(3)= f(4-1)= f(-1)= f(1)=-1，f(4)= f(4+0)= f(0)=1， f(1)+ f(2)+ f(3)+ f(4)=-3-1-1+1=-4，
=-45+ f(21)+ f(22)=-20+ f(1)+ f(2)=-20-1-3=-24，=-24，D正确，选D。
『思考问题2』
（1）【典例2】是函数奇偶性，周期性及运用的问题，解答这类问题需要理解奇函数，偶函数，函数周期的定义，掌握判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法；
(2)判断（或证明）函数奇偶性，周期性的基本方法是：①图像法；②定义法；
（3）在具体判断（或证明）函数的奇偶性，周期性时，如果已知函数的解析式，一般应该采用定义法；如果已知函数的图像（或函数的图像容易作出）应该采用图像法；
（4）分段函数判断（或证明）奇偶性时，在验证f(-x)与f(x)时，需要分段分别进行验证。
（5）用定义法判断（或证明）函数周期性的基本方法是：①确定一个常数T；②验证f(x+T)
与f(x)的值是否相等；③得出结果；
周期函数的周期有无数个，最小正周期也是周期函数的一个周期。
〔练习2〕解答下列问题：
若函数f(x)=ln|a+|+b是奇函数，则a= ，b= （2022全国高考乙卷文）
（答案：a=-，b=ln2。）
2、已知函数f(x)及其到函数（x）的定义域均为R，记g(x)=（x），若f(-2x)，g（2+x)均为偶函数，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）（答案：B，C。）
A f(0) = 0 B g(-)=0 C f(-1)= f(4) D g(-1)= g(2)
3、若函数f(x)的定义域为R，且f(x+y)+ f(x-y)= f(x). f(y)，f(1)=1，则=（ ）（2022
全国高考新高考II卷）（答案：A）
A - 3 B -2 C 0 D 1
4、（理）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 。（答案：函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 18。）
（文）定义在R上的奇函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且当x[0，1]时，f(x)=，则函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 （成都市2019级高三二诊）（答案：函数g(x)= f(x)- 的所有零点之和为 14。）
5、设函数f(x)= ，则下列函数中为奇函数的是（ ）（2021全国高考乙卷）（答案：B）
A f(x-1)-1 B f(x-1)+1 C f(x+1)-1 D f(x+1)+1
6、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）（答案：a=1。）
7、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）（答案：具有性质①②③的函数f(x)= 。）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
8、函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)=2-17，则f(f())= （2021成都市高三一诊）（答案：f(f())=-1。）
9、关于函数f(x)=sinx+ 有如下四个命题：①f(x)的图像关于y轴对称；②f(x)的图像关
于原点对称；③f(x)的图像关于直线x=对称；④f(x)的最小值为2.其中所有真命题的序号是
（2020全国高考新课标III）（答案：其中所有真命题的序号是②③。）
【典例3】解答下列问题：
1、（理）设函数f(x)的定义域为R，f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，当x [1，2]时，f(x)=a+b，若f(0)+ f(3)=6，则f()=（ ）
A - B - C D
（文）设f(x)的定义域在R上的奇函数，且f(x+1)= f(-x)，若f(-)=，则f()=（ ）（2021全国高考甲卷）
A - B - C D
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】（理）根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用周期函数性质得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值得到当x [1，2]时，函数f(x)的解析式，利用求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。（文）根据奇函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以2为周期的周期函数，运用周期函数的性质和求函数值的基本方法求出f()的值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x+1)为奇函数，f(x+2)为偶函数，f(x+1)=- f(-x+1)，f(x+2)= f(-x+2)， f(x+4)=- f(x+2)，函数f(x)是以4为周期的周期函数，当x [1，2]时，f(x)=a +b， f(1)=a+b=0①，f(0)=- f(2)=-（4a+b）=-4a-b，f(3)= -f(1)=0，f(0)+ f(3)=6， f(0)+ f(3)= f(0)=- 4a-b =6②，联立①②解得：a=-2，b=2，当x [1，2]时，f(x)=-2+2， f()=f(4+)= f()=-f()=-（-2+2）=， f()=，D正确，选D。（文） f(x)是定义在R上的奇函数，f(x+1)= f(-x)，f(x)=- f(x+1)， f(x)= f(x+2)， 函数f(x)是以2为周期的周期函数， f(-)=， f()=f(2-) = f(-) =，C正确，选C。
2、已知函数f(x)的定义域为R，f(x+2)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则（ ）（2021全国高考新高考II）
A f(-)=0 B f(-1)=0 C f(2)=0 D f(4)=0
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③周期函数定义与性质；④求函数值的基本方法。
【解答思路】根据奇函数和偶函数的性质，结合问题条件得到函数f(x)是以4为周期的周期函数，运用奇函数和周期函数的性质得到f(-1)=0就可得出选项。
【详细解答】函数y= f(x+2)为偶函数，函数y=f(2x+1)为奇函数， f(-x+2)= f(x+2)，f(-2x+1)
=- f(2x+1)， f(x+3)= f(1-x)，f(1-x)=- f(x+1)，f(x+3)= - f(x+1)， f(x)= f(x+4)，函数
f(x)是以4为周期的周期函数，g(x)= f(2x+1)为R上的奇函数， g(0)= f(0+1)= f(1)=0， f(0+3)=- f(0+1)， f(3)=- f(1)=0， f(3)= f(4-1)= f(-1)， f(-1)= f(3)= - f(1)=0，B正确，选B。
『思考问题3』
（1）【典例3】是函数性质综合运用的问题，解答这类问题需要理解函数的单调性，奇偶性和周期性，并能灵活运用函数的单调性，奇偶性和周期性解答相关问题；
（2）对于具体问题首先应该弄清楚它与函数单调性，奇偶性和周期性的哪些性质相关，然后结合函数的相应性质进行解答；
（3）解答函数性质综合问题的关键是将未知区间上的问题转化为已知区间上的问题，注意两个常用结论：①f(x)为偶函数f(x)=f(|x|)；②若奇函数在x=0处与意义，则有f(0)=0。
〔练习3〕解答下列问题：
1、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（答案：b=f(0.03)< c=f()（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(
0.3),b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（20
21成都市高三二诊）（答案： b=f(0.1)< c=f()指数与指数函数（或对数与对数函数）问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有指数与指数函数(或对数与对数函数）的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有出现高档问题的可能。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来指数与指数函数（或对数与对数函数）问题主要包括：①指数，对数的运算；②指数函数，对数函数概念及运用；③指数函数，对数函数图像及运用；④指数函数，对数函数性质及运用；⑤指数函数，对数函数的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数与指数函数（或对数与对数函数）问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若实数x，y，z满足2+x=3+y=5+z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）（2025全国高考新高考I）
A x>y>z B x>z > y C y>x>z D y>z >x
2、已知实数x，y满足=，则下列不等式一定成立的是（ ）（成都市2022级高三三诊）
A x+y≥ 2 B （x+y）（x-y）≥0 C 0≤xy≤1 D xy≤|x+y|
3、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，以织女星的亮度为标准，天体的星等m与亮度I满足m=-lg，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）（成都市2022级高三二诊）
A B C D
4、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
声源 与声源的距离/m声压级/dB
5、噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力汽车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
6、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
7、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c8、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c『思考问题1』
（1）【典例1】是指数和对数运算的问题，解答时需要理解指数和对数的定义，掌握指数和对数的运算法则和基本方法，同时注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）求解根式的运算（或化简）问题的基本方法是：①把根式化为分数指数幂；②运用指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简；
（3）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（4）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（5）在解答实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
2、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
3、计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）
4、（理）已知<，<，设a=3，b=5，c=8，则（ ）
A a（文）设a=2，b=3，C=，则（ ）（2020全国高考新课标III）
A a5、已知a=，b=，c=ln ，则（ ）（2020成都市高三一诊）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（a>0，a1），若f(ln2)f(ln4)=8，则a= 。（成都市2022级高三一诊）
2、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 13、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
4、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
5、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
6、已知函数f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，则f(6-a)=（ ）（2020全国高考新课标I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
『思考问题2』
（1）【典例2】是指数函数和对数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数和对数函数的定义，注意指数函数和对数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x；
（3）理解的是函数的定义时，需要注意对数函数的结构特征，对数函数的结构特征是：①解析式是y=x；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③真数是自变量x。
〔练习2〕解答下列问题：
1、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k为最大确诊病例数，当I（）=0.95k时，标志已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）（2020全国高考新课标III）
A 60 B 63 C 66 D 69
2、基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020
全国高考新高考I）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
3、已知函数f(x)= -，则f(3)=（ ）（2020成都市高三三诊）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
2、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，
+）
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数和对数函数图像运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数和对数函数的图像，注意指数函数和对数函数的底数取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题；
（5）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）
【典例4】解答下列问题：
1、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A b2、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A a3、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
4、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A a函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国
高考新高考II）
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数和对数函数性质运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数和对数函数的性质，注意指数函数和对数函数底数的取值对函数性质的影响；
（2）指数函数和对数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数和对数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；④指数函数和对数函数的应用问题；
（3）运用指数函数（或对数函数）的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数（或对数函数）的大致图像；③分辨问题与指数函数（或对数函数）的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数（或对数函数）的相关性质解答问题；
（4）求解指数函数（或对数函数）的复合函数单调性问题，对函数y=（或y= g(x)）的单调性，单调区间的问题时，需要注意底数取值对指数函数（或对数函数）性质的影响，其解答的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则判断函数的单调性；
（5）解答指数函数（或对数函数）的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的指数函数（或对数函数）模型；②借助于指数函数（或对数函数）的图像并结合指数函数（或对数函数）的性质解答问题；③结合实际应用问题的实际意义得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）
（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）
2、（理）若+a=+2b，则（ ）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）设函数y=f(x)的图像与y=的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+ f(-4)=1，则a=（）
（2020全国高考新课标I）
A -1 B 1 C 2 D 4
3、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列问题：
1、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
2、已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若
<，则a的取值范围是 （2022全国高考乙卷理）
3、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
4、写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程： ， （2022全国高考新高考II卷）
5、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数和对数函数的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数（或对数函数）的图像，性质，注意指数函数（或对数函数）底数的取值对函数图像，性质的影响；
（2）求解指数函数（或对数函数）的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数（或对数函数）；②运用指数函数（或对数函数）的性质并借助于指数函数（或对数函数）的图像来解答问题；
（3）解答指数函数和对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）
（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
2、（理）若x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，则f(x)的极小值为（ ）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，则（ ）（2020全国高考新课标II）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0
高考试题中指数与指数函数（或对数与对数函数）问题的类型及解法
指数与指数函数（或对数与对数函数）问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必有指数与指数函数(或对数与对数函数）的问题。从题型上看是选择题（或填空题），难度系数为低（或中）档，但也有出现高档问题的可能。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来指数与指数函数（或对数与对数函数）问题主要包括：①指数，对数的运算；②指数函数，对数函数概念及运用；③指数函数，对数函数图像及运用；④指数函数，对数函数性质及运用；⑤指数函数，对数函数的综合问题等几种类型。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答指数与指数函数（或对数与对数函数）问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过近几年高考（或高三诊断考试）试题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若实数x，y，z满足2+x=3+y=5+z，则x，y，z的大小关系不可能是（ ）（2025全国高考新高考I）
A x>y>z B x>z > y C y>x>z D y>z >x
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数的运算法则与基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用对数的运算法则与基本方法和比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出x，y，z的大小关系就可得出选项。
【详细解答】实数x，y，z满足2+x=3+y=5+z，x-1=y=2+z
=t，x=，y=，z=，当t=-1时，x=1，y=，z=，x>y>z ，A 成立；当t=2时，x=8，y=9，z=1，y>x>z ，C成立；当t=5时，x=64，y=243，z=125， y>z >x ，D成立，综上所述，B不可能成立，选B。
2、已知实数x，y满足=，则下列不等式一定成立的是（ ）（成都市高2022级高三三诊）
A x+y≥ 2 B （x+y）（x-y）≥0 C 0≤xy≤1 D xy≤|x+y|
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件对各选项的不等式是否一定成立进行判断就可得出选项。
【详细解答】设==M（M>0）,则x=M,y=M,对A ，当0y=M<0,x+y<0，2>0，显然x+y≥ 2不成立，A 错误；对B，当00 ；当M=1时，x=M=0,y=M=0,x+y=0，x-y=0，（x+y）（x-y）=0 ；当M>1时，x=M>0,y=M>0,x+y>0，x-y>0，（x+y）（x-y）>0 ，综上所述，（x+y）（x-y）≥0 一定成立，B正确，选B 。
3、在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，以织女星的亮度为标准，天体的星等m与亮度I满足m=-lg，已知北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，则北极星与牛郎星的亮度之比为（ ）（成都市高2022级高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①星等定义与性质；②亮度定义与性质；③对数定义与性质；④对数运算的法则和基本方法；⑤求两星亮度之比的基本方法。
【解题思路】根据星等，亮度和对数的性质，运用对数运算的法则与基本方法和求两星亮度之比的基本方法，结合问题条件求出这北极星与牛郎星的亮度之比就可得出选项。
【详细解答】 女星的亮度为标准，天体的星等m与亮度I满足m=-lg，北极星的星等为2，牛郎星的星等为0.8，-lg=2=，或-lg=0.8=，=，
或=，北极星与牛郎星的亮度之比为=，D正确，选D。
4、已知函数f(x)=，记a=f()，b=f()，c=f()，则（）（2023全国高考甲卷文）
A b>c>a B b>a>c C c>b>a D c>a>b
【解析】
【考点】①复合函数定义与性质；②判断复合函数单调性的基本方法；③运用函数单调性比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据复合函数的性质，运用判断复合函数单调性的基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的单调性，利用函数单调性比较实数大小的基本方法，求出a，b，c的大小关系就可得出选项。 y
【详细解答】设g(x)=-，作出函数g(x)的 0 1 x
图像如图所示，由图知函数g(x)在（-，1）上
单调递增，在（1，+）上单调递减，函数f(g(x))在R上单调递增，函数f(x)在（-，1）上单调递增，在（1，+）上单调递减，<<1，>1，-1-1+=
-2<-2=2-2=0，-1-1+=-2>-2=2-2=0，b=f()>c
=f()>a=f()， A正确，选A。 声源 与声源的距离/m声压级/dB
5、噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量 燃油汽车 10 60-90
声音的强弱，定义声压级=20lg，其中常数 混合动力汽车 10 50-60
（>0）是听觉下限固值，P是实际声压，如表 电动汽车 10 40
为不同声源的声压级，已知在距离燃油汽车，混合动力汽车，电动汽车10m处测得实际声压分别为，，，则（）（2023全国高考新高考I）
A ≥ B >10 C =100 D ≤100
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③对数的运算法则与基本方法；④指数的运算法则与基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用对数和指数的运算法则与基本方法，结合问题条件得到实际声压p的表示式，从而判断各选项的正确与错误就可得出选项。
【详细解答】压级=20lg，p=，=，=，=，对A，≥， ≥ ，A正确；对B，≤=≤10，
≤10，B错误；对C，==100， =100，C正确；对D，
=≤100， ≤100 ，D正确，综上所述，A，C，D正确，选ACD。
6、日光射入海水后，一部分被海水吸收（变为热能），同时另一部分被海水中的有机物和无机物有选择性地吸收与散射，因而海水中的光照强度随着深度增加而减弱，可用=
表示其总衰减规律，其中K是平均消光系数（也称衰减系数），D（单位：米）是海水深度，（单位：坎德拉）和（单位：坎德拉）分别表示在深度D处和海面的光强，已知某海区10米深处的光强是海面光强的30%，则该海区消光系数K的值约为（参考数据：ln20.7，ln31.1，ln51.6）（ ）（成都市高2020级高三一诊）
A 0.12 B 0.11 C 0.07 D 0.01
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③对数运算法则和基本方法。
【解答思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件得到=30%，运用对数运算法则和基本方法，求出K的近似值就可得出选项。
【详细解答】海区10米深处的光强是海面光强的30%，=30%，-10K=ln0.3
=ln3-1n2-ln51.1-0.7-1.6-1.2，K0.12，A正确，选A。
7、已知a=，b=，c=，则（ ）（成都市高2020级高三二诊）
A c解析】
【考点】①对数定义与性质；②对数运算法则与基本方法；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和对数运算法则，运用对数运算和比较实数大小的基本方法，结合问题条件得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】b-c=2024-1-1+2023=-2+>-2
+>0，b>c，可以排除C；a-b=-2024+1=
-2024=>0，a>b，可以排除B，D，A正确，选A。
8、已知a=2，b=3，c=，则下列判断正确的是（ ）（2021全国高考新高考II）
A c【解析】
【考点】①对数定义与性质；②求对数值的基本方法；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质和求对数值的基本方法，分别求出a，b的近似值，运用实数比较大小的基本方法，得到a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 1<2<，0< a=2<，3>， b=3> =， c=， a『思考问题1』
（1）【典例1】是指数和对数运算的问题，解答时需要理解指数和对数的定义，掌握指数和对数的运算法则和基本方法，同时注意分数指数幂与n次根式之间的关系；
（2）求解根式的运算（或化简）问题的基本方法是：①把根式化为分数指数幂；②运用指数的运算法则和基本方法进行运算；③将运算结果进行化简；
（3）运用对数的基本运算性质解答问题时应该注意：①对数运算性质成立的条件；②灵活运用公式，作为一个公式既要能够从左边用到右边，也要能够从右边用到左边；
（4）对数的换底公式主要用来解决底数不同的对数运算问题，对数的恒等式通常用于指数和对数的混合式子的运算；
（5）在解答实际问题，到底是从左边用到右边还是从右边用到左边，必须依据问题给定的条件和需要解决的问题结合起来综合考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）（答案：A ）
A b>c>a B b>a>c C a>b>c D a>c>b
（文）已知函数f(x)=- +2|x|+3，若a= f(ln2),b= f(-ln3),c= f(e),则a，b，c的大小关系为（ ）(2021成都市高三零诊)（答案：A ）
A b>a>c B b>c>a C a>b>c D a>c>b
2、设a=，b=ln，c=，则a，b，c的大小关系是（ ）(2021成都市高三一诊)（答案：C）
A a＞b＞c B a＞c＞b C c＞a＞b D c＞b＞a
3、计算+ - 3的值为 （2021成都市高三三诊）（答案：原式的值为。 ）
4、（理）已知<，<，设a=3，b=5，c=8，则（ ）（答案：A ）
A a（文）设a=2，b=3，C=，则（ ）（2020全国高考新课标III）（答案：A ）
A a5、已知a=，b=，c=ln ，则（ ）（2020成都市高三一诊）（答案：C）
A a>b>c B a>c>b C b>a>c D b>c>a
【典例2】解答下列问题：
1、已知函数f(x)=（a>0，a1），若f(ln2)f(ln4)=8，则a= 。（成都市2022级高三一诊）
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③指数运算的法则和基本方法；④对数运算的法则和基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，运用指数和对数运算的法则与基本方法，结合问题条件就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)=（a>0，a1），f(ln2)f(ln4)=.===8，a=e。
2、已知实数a，b满足2>2>1，则（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 1【解析】
【考点】①对数定义与性质；②实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出1，a，b，2的大小关系就可得出选项。
【详细解答】实数a，b满足2>2>1， 2>b>a＞1，B正确，选B。
3、在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v（单位：km/s）与燃料的质量M（单位：kg），火箭(除燃料外)的质量m（单位：kg）的函数关系是v=2000ln(1+)，当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s，若要使火箭的最大速度达到2km/s，则燃料质量与火箭质量的比值应为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A 2 B + C 2 D +2
【解析】
【考点】①对数定义与性质；②函数解析式定义与性质；④已知函数解析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据对数和函数解析式的性质，运用函数解析式和已知函数解析式，函数值，确定自变量值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出的值就可得出选项。
【详细解答】当燃料质量与火箭质量的比值为时，火箭的最大速度可达到km/s， =2000ln(1+)，v=2000ln(1+)=2=22000ln(1+), ln(1+)=2ln(1
+)=ln, 1+=, =+2,D正确，选D。
4、已知函数f(x)= （a. - ）是偶函数，则a= （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②偶函数定义与性质；③判断函数奇偶性的基本方法。
【解题思路】根据奇函数，偶函数的性质和判断函数奇偶性的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】函数f(x)= （a. - ）是偶函数，函数y=是R上的奇函数，函数y= a. - 是R上奇函数， a. -=-（a. - ）=（a-1）+(a-1) =（a-1）（+）=0，+>0，a-1=0，即a=1。
5、某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物数量p（mg/L）与时间t(h)之间的关系为p=,如果前2小时消除了20%的污染物，则污染物减少50%大约需要的时间为（ ）（参考数据：ln20.69,ln31.10,ln51.61）（2021成都市高三二诊）
A 4h B 6h C 8h D 10h
【解析】
【考点】①指数定义与性质；②对数定义与性质；③函数解析式定义与性质；④已知函数解
析式与函数值，确定自变量值的基本方法。
【解题思路】根据指数和对数的性质，结合问题条件求出函数p关于时间t的解析式，运用函数解析式和函数值，确定自变量值的基本方法确定出污染物减少50%大约需要的时间就可得出选项。
【详细解答】前2小时消除了20%的污染物，80%=，-2k=3ln2-ln5-ln2=2ln2-ln5
=-0.23, k=0.115, p=,50%=,-0.115t=-ln2=-0.69，即t=
=6(h)，B正确，选B。
6、已知函数f(x)= -2，x1，且f(a)=-3，则f(6-a)=（ ）（2020全国高考新课标I）
A - -（x+1），x>1， B - C - D -
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③分段函数定义与性质；④求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据指数函数，对数函数和分段函数的性质，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值，运用分段函数求证的基本方法求出f(6-a)的值就可得出选项。
【详细解答】当 x1时，0<1，-2< f(x)=-2-1， f(a)=-3， f(a)= -（a+1）
=-3，（a+1）=3， a+1=8，a=7， f(6-a)= f(6-7)= f(-1)= -2=-2=-，A正确，选A。
『思考问题2』
（1）【典例2】是指数函数和对数函数定义及运用的问题，解答这类问题需要理解指数函数和对数函数的定义，注意指数函数和对数函数的结构特征；
（2）指数函数的结构特征是：①解析式是y=；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③指数是自变量x；
（3）理解的是函数的定义时，需要注意对数函数的结构特征，对数函数的结构特征是：①解析式是y=x；②底数a是常数，满足a＞0,且a≠1；③真数是自变量x。
〔练习2〕解答下列问题：
1、Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I（t）（t的单位：天）的Logistic模型，I（t）= ，其中k为最大确诊病例数，当I（）=0.95k时，标志已初步遏制疫情，则约为（ ）（ln193）（2020全国高考新课标III）（答案：C）
A 60 B 63 C 66 D 69
基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数，基本再生数指一个感染者传
染的平均人数，世代间隔是指相邻两代间传染所需的平均时间。在新冠肺炎疫情初始阶段，
可以用指数模型：I（t）= 描述累计感染病例数，I（t）随时间t（单位：天）的变化规律，
指数增长率r与.T近似满足=1+rT，有学者基于已有数据估计出=3.28，T=6，据此，
在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍，需要的时间约为（ ）（ln20.69）（2020
全国高考新高考I）（答案：B）
A 12天 B 18天 C 25天 D 35天
3、已知函数f(x)= -，则f(3)=（ ）（2020成都市高三三诊）（答案：B ）
A 2 B C 3 D
【典例3】解答下列问题：
1、函数y=（-）cosx在区间[-，]的图像大致为（ ）（2022全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②余弦三角函数定义与性质；③函数奇偶性定义与性质；
④判断函数奇偶性的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】根据指数函数，余弦三角函数和函数奇偶性的性质，运用判断函数奇偶性的基本方法，得到函数y=（-）cosx是奇函数，从而排除B，D；当x（0，]时，->0，cosx>0，从而得到y=（-）cosx>0，可以排除C，就可得出选项。
【详细解答】设f(x)= （-）cosx，区间[-，]关于原点对称，f(-x)=（-）
cos（-x ）=-（-）cosx =- f(x)， 函数f(x)在[-，]上是奇函数，图像关于原点对称，B，D错误；当x（0，]时，->0，cosx,>0， f(x)=（-）cosx>0，C错误，A正确，选A。
2、（理）若函数f(x)= + 的零点为，则（-1）=（ ）
A B 1 C D 2
（文）若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②指数定义与性质；③对数定义与性质。
【解题思路】（理）根据函数零点的性质，结合问题条件得到关于的指数与对数表达式，运用指数和对数的性质，求出（-1）的值就可得出选项。（文）设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 （理）函数f(x)= + 的零点为，+=0，
=-，=，+=+（），g（）= g（），=，=，（-1）=1，B正确，选B。（文） 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
3、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，若关于x的方程f(x)-kx+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）
A（- 2，0） （2，+）B（- 2，0） （0，2）C（- e，0） （e，+）D（- e，0） （0，e）（文）已知定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=x，若关于x的方程f(x)=k（x-2）+2有三个不相等的实数根，则实数k的取值范围是（ ）（2020成都市高三一诊）
A（- 1，0）（0，1）B（- 1，0）（1，+）C（- e，0）（0，e）D（- e，0）（e，+）
【解析】
【考点】①轴对称图形的定义与性质；②函数零点的定义与性质；③求函数函数零点的基本方法；④函数图像及运用。
【解题思路】（理）根据轴对称图形定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，设g(x)=kx-2k+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，从而以得到实数k的取值范围。（文）根据轴对称图形定义与性质，结合问题条件作出函数f(x)图像，由方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)=kx-2k+e-1，g(x)=kx-2k
+e-1，在同一直角坐标系中作出函数g(x)，依据条件可知方程有三个不相等的实数根，从而得到函数f(x)与函数g(x)应该有三个不同的交点，进一步可以得到实数k的取值范围。
【详细解答】（理）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)
= f(x+2)，当x 2时，函数f(x)=（x-1）-1，函数f(x) y f(x)
的图像关直线x= =2对称，作出函数f(x)的图像如图
(1)所示， EMBED Equation.DSMT4 方程f(x)-kx+2k-e+1=0方程 f(x)+1=kx-2k+e，
设g(x)= f(x)+1, h(x)=kx-2k+e，在同一直角坐标系中作出函 0 1 2 3
数g(x)，函数 h(x)的图像如图（2）所示，方程f(x) -kx -1 (图1)
+2k-e+1=0有三个不相等的实数根，函数g(x)与函数h(x)
有三个不同的交点，令h(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
h(x)=-2k+e,函数h(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+e）,①当k>0时，如图函数g(x)与函 h(x)
数h(x)有三个不同的交点，2- <1，k②当k<0时，如图函数f(x)与函数g(x)有三个不同的交点， -1 （图2）
EMBED Equation.DSMT4 2- >3， k>-e，-e（文）定义在R上的函数f(x)满足f(2-x)= f(x+2)， y
当x 2时，函数f(x)=x，函数f(x)的图像关直线x= f(x)
=2对称，作出函数f(x)的图像如图(1)所示，
设g(x)=k(x-2)+2，在同一直角坐标系中作出函数f(x)， 0 1 2 3 4 x
函数g(x)的图像如图（2）所示，方程f(x)=k(x-2)+2 (图1)
有三个不相等的实数根，函数f(x)与函数g(x)的图像
有三个不同的交点，令g(x)=0，得x=2- ，令x=0，得 y
g(x)=-2k+2，函数g(x)的图像与X，Y轴的交点分别为（2- g(x) h(x)
，0），（0，-2k+2）,①当k>0时，如图函数f(x)与函 h(x)
数g(x)的图像有三个不同的交点，2- <0，k<1， 0 1 2 3 4
0的交点，2- >4， k>-1，-1程f(x) =k(x-2) +2有三个不相等的实数根时，实数k的取值范围是（- 1，0） （0，1），A正确，选A。
『思考问题3』
（1）【典例3】是指数函数和对数函数图像运用的问题，解答这类问题需要掌握指数函数和对数函数的图像，注意指数函数和对数函数的底数取值对图像的影响；
（2）比较两个指数幂大小时，应尽量化为同底数（或同指数），①底数相同，可运用指数函数的单调性解答问题；②指数相同，可转化为底数相同（或借助函数图像）解答问题；③底数不同，指数也不同，解答问题时需要借助一个中间量；
（3）指数函数的底数a＞0,且a≠1是一个隐含条件，指数函数的单调性与底数相关，实际解答问题时，应该根据问题的条件确定底数的取值范围（不能确定时，应分两种不同情况分别考虑），然后依据指数函数的图像和性质得到问题的结果；
（4）对数函数与指数函数互为反函数，其图像关于直线y=x对称；解答相关问题时注意分辨底数a的取值，确定问题涉及对数函数图像两种基本类型的哪一种，再根据相关基本类型的特征去解答问题；
（5）已知函数的解析式判断其图像的基本方法是：①取函数的特殊点（一般是三个关键点中的某一点）；②看函数的图像是否经过所取的点；③得出结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、函数f(x)=cosx.ln(-x)在［-1，1］的图像大致为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：B ）
【典例4】解答下列问题：
1、设a=ln，b= ，c =3，则a，b，c的大小关系为（ ）（成都市2020级高三零诊）
A b【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③比较实数大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用比较实数大小的基本方法，结合问题条件得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=ln=-ln3<-1，2、设a=0.1，b=，c=-ln0.9，则（ ）（2022全国高考新高考I卷）
A a【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】设a=x，b=，c=-ln（1-x），lna-lnb=lnx+x-lnx+ln（1-x）= x+ln（1-x），
令f(x)= x+ln（1-x），x(0，0.1]，（x）=1-=<0在(0，0.1]恒成立，函数f(x) 在(0，0.1]上单调递减，当x(0，0.1]时，f(x)< f(0)=0+ln(1-0)=0, lna-lnb
<0，a0在(0，0.1]恒成立，函数u（x）在(0，0.1]上单调递增，
当x(0，0.1]时，u（x）>u（0）=（1-0）1-1=0，（x）=>0在(0，0.1]恒成立，函数g(x)在(0，0.1]上单调递增，当x(0，0.1]时，g(x)> g(0)=0+ln(1-0)=0，
a-c>0，a>c，可以排除A，D，C正确，选C。
3、已知函数f(x)= （2-x），x<1，则f(-2)+ f(ln4)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 ，x 1， B 4 C 6 D 8
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②求分段函数值的基本方法。
【解题思路】根据分段函数的性质，运用求分段函数值的基本方法，结合问题条件求出f(-2)+ f(ln4)的值就可得出选项。
【详细解答】 -2<1， f(-2)= （2+2）=4=2，ln4>1， f(ln4)= =4，f(-2)+ f(ln4)=2+4=6，C正确，选C。
4、设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A a【解析】
【考点】①对数定义与性质；②指数定义与性质；③实数比较大小的基本方法。
【解题思路】根据对数和指数的性质，运用实数比较大小的基本方法，得出a，b，c的大小关系就可得出选项。
【详细解答】 a=2ln1.01=ln =ln1.0201> b=ln1.02，a>b，可以排除A，D；设f(x)
=2ln(1+x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=，2ln(1+x)- +1，2ln-t+1，g(t)= 2ln-t+1，(t)= -1=
=->0在(1，)上恒成立，函数g(t) 在(1，)上单调递增，当t(1，)时，g(t)> g(1)= 2ln-1+1=0， a>c；设g(x)=ln(1+2x)- +1，x(0，1)，令t=，t(1，)，x=， ln(1+2x)- +1， ln -t+1，u(t)= ln -t+1，
上单调递减，，当t(1，)时，u(t)< u(1)= ln-1+1=0， c>b，综上所述， (t) = -1==-<0在(1，)上恒成立，函数u(t) 在(1，)上单调
递减， b5、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①分段函数定义与性质；②对数函数定义与性质；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据分段函数和对数函数的性质；运用求函数最值的基本方法就可求出函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=|2x-1|-2lnx=2x-1-2lnx，x，（x）=2-=，
令（x）=0得：x=1，x[，1）时，（x）<0，x[1，+ ）时，（x）0，
函数f(x)在[，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增，= f(x)=21-1-2ln1=1；②当0f()=1-2-2ln=2ln2>2ln>2>1，综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
6、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
『思考问题4』
（1）【典例4】是指数函数和对数函数性质运用的问题，解答这类问题需要理解并掌握指数函数和对数函数的性质，注意指数函数和对数函数底数的取值对函数性质的影响；
（2）指数函数和对数函数性质的运用问题主要包括：①指数函数和对数函数单调性的运用；②复合函数的单调性问题；③求函数的值域或最值；④指数函数和对数函数的应用问题；
（3）运用指数函数（或对数函数）的性质解答问题的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②作出指数函数（或对数函数）的大致图像；③分辨问题与指数函数（或对数函数）的哪些性质相关；④借助函数的图像，结合指数函数（或对数函数）的相关性质解答问题；
（4）求解指数函数（或对数函数）的复合函数单调性问题，对函数y=（或y= g(x)）的单调性，单调区间的问题时，需要注意底数取值对指数函数（或对数函数）性质的影响，其解答的基本方法是：①根据问题条件确定底数的取值范围（如果条件不明确，则应该分两种情况分别考虑）；②判断内层函数和外层函数的单调性；③运用复合函数单调性的判断法则判断函数的单调性；
（5）解答指数函数（或对数函数）的应用问题的基本方法是：①分辨清楚问题的类型，建立相应的指数函数（或对数函数）模型；②借助于指数函数（或对数函数）的图像并结合指数函数（或对数函数）的性质解答问题；③结合实际应用问题的实际意义得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、（理）已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)= f(2-x)，且对任意的，[1，+），当时，都有f()+f()0.03)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（答案： b=f(0.03)< c=f()（文）已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在 [0，+）上单调递减，若a=f(0.3),
b=f(0.1)，c=f()，则a，b，c的大小关系为 （用符号“<”连接）（2021成都市高三二诊）（答案：b=f(0.1)< c=f()2、（理）若+a=+2b，则（ ）（答案： B）
A a>2b B a<2b C a> D a<
（文）设函数y=f(x)的图像与y=的图像关于直线y=-x对称，且f(-2)+ f(-4)=1，则a=（）
（2020全国高考新课标I）（答案： B）
A -1 B 1 C 2 D 4
3、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）（答案： C）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案： D）
A -1 B - C - D -
【典例5】解答下列问题：
1、当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，则（2）=（ ）（2022全国高考甲卷）
A -1 B - C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，运用函数导函数求函数最值的基本方法，得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出（2）的值就可得出选项。
【详细解答】当x=1时，函数f(x)=alnx+ 取得最大值-2，（x）=-， （1）
a-b=0①，f(1)= aln1+b=b=-2②，联立①②解得：a=b=-2，（2）=-=-1+=-， B正确，选B。
2、已知x=和x=分别是函数f(x)=2-e（a>0且a1）的极小值点和极大值点，若
<，则a的取值范围是 （2022全国高考乙卷理）
【解析】
【知识点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；⑤判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数极值的性质和判定函数在某点存在极值的基本方法对各选项进行判断就可得出选项。
【详细解答】（x）=2lna-2ex=2(lna—ex)，设函数g(x)= 2lna-2ex，（x）=2lna-2e=2(lna-e)，①当a>1时，存在R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）<0，x（，+∞）时，（x）>0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，必有>，与题意不符；②当0R，使（）=0，x（-∞，）时，（x）>0，x（，+∞）时，（x）<0，函数（x）=g(x)在（-∞，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减，此时，函数f(x)=2-e（a>0且a1）在x=和x=分别取得极小值和极大值，且<，
（）>0，2 lna-2e >0，>，000且a1）的极小值点和极大值点，且<，则a的取值范围是（0，）。
3、若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 （2022全国高考新高考I卷）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数在某点导数的几何意义及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设f(x)= (x+a) ，根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线的切线方程，由切线过坐标原点，得到关于点横坐标的一元二次方程，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】设f(x)= (x+a) ，曲线y= f(x)与切线的切点为（，（+a）），（x）=+ (x+a) = (x+a+1) ，（）=（+a+1），曲线y= f(x)在点（，（+a））处的切线方程为：y-（+a）=（+a+1）(x-)，y=（+a+1）x+（+a）-（+a+1），切线过坐标原点，（--a-++a）=-（+a-a）=0，+a-a=0，过坐标原点的切线有两条，=+4a=a(a+4)>0，a<-4或a>0，
若曲线y=(x+a) 有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是（-∞，-4）（0，+∞）。
4、写出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程： ， （2022全国高考新高考II卷）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数在某点导数的几何意义及运用；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】设f(x)= ln|x|，由绝对值的性质，分x>0和x<0两种情况考虑问题，根据函数导函数的性质，函数求导公式，法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），运用函数在某点导数的几何意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线的切线方程，由切线过坐标原点，得到关于切点横坐标的方程，求解方程求出切点横坐标，从而就可求出曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程。
【详细解答】①当x>0时，设f(x)= ln|x|= lnx，曲线y= f(x)与切线的切点为（，ln），
（x）= ，（）=，曲线y= f(x)在点（，ln）处的切线方程为：y- ln
=(x-)，即y=x+ ln-1，切线过坐标原点， ln-1=0，=e，曲线过坐标原点的切线方程为y=；②当x<0时，设f(x)= ln|x|= ln（-x），曲线y= f(x)与切线的切点为（，ln （-）），（x）= ，（）= ，曲线y= f(x)在点（，ln(-)）处的切线方程为：y- ln（-）= (x-)，即y=x+ ln（-）-1，切线过坐标原点， ln（-）-1=0，=-e，曲线过坐标原点的切线方程为y=-，综上所述，曲线y=ln|x|过坐标原点的切线方程是y=或y=-。
5、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2021成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
【解析】
【考点】①函数导函数的定义与求法；②运用导函数求函数最值的基本方法；③运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解题思路】运用不等式在某区间恒成立的意义与性质，结合问题条件分离常数k，根据函数导函数的求法和运用导函数求函数最值的基本方法求出函数的值域，从而求出k的最大整数就可得出选项。
【详细解答】关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，不等式>
k在（2，+）内恒成立，设g(x)= ，(x)= =
，令h(x)=x-2lnx-3， h(6)=6–2ln6-3= 3-2ln6<0，h()=-6-3=-9>0，
存在（6，），使h()=0，当x（6，）时，(x)= <0 ，x（，）时，(x)= >0，函数g(x)在（6，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g()『思考问题5』
（1）【典例5】是指数函数和对数函数的综合应用问题，解答这类问题需要熟悉指数函数（或对数函数）的图像，性质，注意指数函数（或对数函数）底数的取值对函数图像，性质的影响；
（2）求解指数函数（或对数函数）的定义域，值域（或最值），单调性，奇偶性问题的基本方法是：①把问题化归于指数函数（或对数函数）；②运用指数函数（或对数函数）的性质并借助于指数函数（或对数函数）的图像来解答问题；
（3）解答指数函数和对数函数综合问题的基本方法是：①图像法，在同一直角坐标系中分别作出问题涉及的所有函数的图像，借助于图像寻找结论；②代数法，分别运用指数函数，对数函数的性质求出问题中涉及的所有元素的取值范围，再根据结果得出结论。
〔练习5〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）（答案： C）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）
（2021成都市高三一诊）（答案： C）
A B C - D -
2、（理）若x=-2是函数f(x)=（+ax-1）的极值点，则f(x)的极小值为（ ）（答案：A ）
A -1 B -2 C 5 D 1
（文）若-<-，则（ ）（2020全国高考新课标II）（答案：A ）
A ln(y-x+1)>0 B ln(y-x+1)<0 C ln|x-y|>0 D ln|x-y|<0高考试题中函数导函数及运用问题的类型与解法
函数导函数及运用问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及函数导函数及运用的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能渗透到函数的大题，这里主要探导函数导函数及运用的5分小题；难度系数为中，高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来函数导函数及运用问题主要包括：①函数在某点导函数的定义及运用；②运用函数导函数判断函数的单调性；③运用函数导函数求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数求函数的零点；⑤运用函数导函数证明不等式等几种类型问题。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若直线y=2x+5是曲线y=+x+a的切线，则a= 。（2025全国高考新高考I）
2、设函数f(x)=2+a+bx，若函数f(x)的图像过点P（1，3），且曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线也过点P，则a= 。（成都市高2022级高三二诊）
3、曲线y=sinx在点（0，0）处的切线方程为（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A x-y=0 B x+y=0 C x-y=0 D x+y=0
4、（理）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则（1-）（1+）的值为 。
（文）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则的值为 （成都市高2021级高三零诊）
5、曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）（2023全国高考甲卷文）
A y=x B y=x C y=x + D y=x +
6、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
7、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
8、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
9、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 10、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
8、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的
两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
11、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
12、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数在某点的导数定义与性质及运用的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
（4）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
（5）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运用求导公式，法则和求导的基本方法求出函数的导函数；
（6）求函数导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（7）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕.(x)求函数导函数时应注意：①利用复合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（8）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题；
（9）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（10）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（11）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（12）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（13）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）
A 3 B -3 C 1 D -1
2、（理）设函数f(x)= +（a-1）+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程为（ ）（2020全国高考新课标I）
A y=-2x B y=-x C y=2x D y=x
（文）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）
3、（理）若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
（文）设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）
4、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
5、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
【典例2】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用函数导函数解答函数单调性的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性的基本方法，同时注意参数分类讨论的原则和基本方法；
（2）运用函数导函数解答函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出结论；
（3）运用函数导函数解答含参数函数单调性问题的基本方法是：①确定函数定义域；②求函数导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出结论；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
2、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab>
【典例3】解答下列问题：
1、若x=2是函数f(x)=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，则f(0)= 。（2023全国高考新高考II）
2、若函数f(x)=ln（x+1）有极值，则a的取值范围为（ ）（成都市高2022级高三二诊）
A （-，0）（e，+） B （-，0）（，+）
C （-，-1）（1，+） D （-，-1）（，+）
3、已知函数f(x)=lnx+（aR）的最小值为1，则a=（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A B e C D 1
（多选）已知函数f(x)=ax（a0），则（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A 若a=c=1，则函数g(x)=f(x)-2有且仅有1个零点 B 若f(x)在x=2处取得极值，则c=2
C 若f(x)无极值，则c=0 D 若f(x)的最小值小于0，则ac>0
4、若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
5、（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
6、（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
7、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
8、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
9、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
10、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
11、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）
lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
12、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，解答这类问题应该理解函数极值（或最值）的定义，掌握函数极值（或最值）存在定理和求函数极值（或最值）的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值；
（6）运用函数导函数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（7）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（8）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）
2、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）
A -1 B - C - D -
【典例4】解答下列问题：
函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A （-，-2） B （-，-3） C （-4，-1） D (-3，0)
2、（理）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（ ）
A （1，+） B （2，+） C （e，+） D （3，+）
（文）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （4，+） B （3，+） C （e，+） D （2，+）
3、若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个
大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊理）
A B C e D
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函
数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个x，x0，数的所有可能值为（ ）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x-1）（-e），g(x)=lnx-ax，其中aR，若对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为（ ）（成都市2020级高三零诊文）
A 0 B 1 C D e
2、记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为（x），且（x）- f(x)>0，f(1)=1，则不等式f(x)>的解集为 （成都市2019级高三三珍）
3、（理）设k，bR，若关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，则
的最小值是（ ）
A - B - C - D -e-1
（文）设k，bR，若关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，则的最小值是（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B - C - D -e
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
〔练习5〕解答下列问题：
1、若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大值为（ ）（2020成都市高三零诊）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，则不等式f(x)sin2x<1的解集为 。
（文）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sinx+2 f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为 （2020成都市高三零诊）
高考试题中函数导函数及运用问题的类型与解法
函数导函数及运用问题是近几年高考的热点内容之一，可以这样毫不夸张地说，只要是高考试卷，就必然涉及函数导函数及运用的问题。从题型上看可能是选择题（或填空题），也可能渗透到函数的大题，这里主要探导函数导函数及运用的5分小题；难度系数为中，高档。纵观近几年高考（或高三诊断考试）试卷，归结起来函数导函数及运用问题主要包括：①函数在某点导函数的定义及运用；②运用函数导函数判断函数的单调性；③运用函数导函数求函数的极值（或最值）；④运用函数导函数求函数的零点；⑤运用函数导函数证明不等式等几种类型问题。各种类型问题结构上具有某些特征，解答方法也有一定的规律可寻。那么在实际解答函数导数问题时，到底应该如何抓住问题的结构特征，快捷，准确地给予解答呢？下面通过典型例题的详细解析来回答这个问题。
【典例1】解答下列问题：
1、若直线y=2x+5是曲线y=+x+a的切线，则a= 。（2025全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数某点处导数定义与性质；②求函数导函数的公式，法则和基本方法；③求曲线某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数某点处导数的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法和求曲线某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出a的值。
【详细解答】设曲线的切点为（，），（）=+1=2，=0，=1+0+a
=1+a，曲线y=+x+a在点（，）处的切线方程为y=2x+1+a=2x+5，1+a=5，解
得a=4。
2、设函数f(x)=2+a+bx，若函数f(x)的图像过点P（1，3），且曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线也过点P，则a= 。（成都市高2022级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②曲线在某点处切线方程定义与性质；③求函数导函数的公司，法则与基本方法；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和曲线在某点处切线方程的性质，运用求函数导函数的公司，法则与基本方法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件就可求出a的值。
【详细解答】 函数f(x)=2+a+bx，若函数f(x)的图像过点P（1，3），2+a+b=3，b=1-a， f(x)=2+a+（1-a）x，(x）=6+2ax+1-a， (0）=0+0+1-a=1-a，
曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线方程为y=（1-a）x，曲线y=f(x)在点（0，0）处的切线也过点P，3=（1-a），a=1-3=-2。
曲线y=sinx在点（0，0）处的切线方程为（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A x-y=0 B x+y=0 C x-y=0 D x+y=0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数在某点处导函数值的结合意义及运用；③函数求导公式，法则和基本方法；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数在某点处导函数值的结合意义，函数求导公式，法则与基本方法和求曲线在某点处切线方程的基本方法，结合问题条件求出曲线y=sinx在点（0，0）处的切线方程就可得出选项。
【详细解答】（x）=cosx，（0）=cos0=1，曲线y=sinx在点（0，0）处的切线方程为y-0=x-0，即x-y=0 ，A正确，选A。
3、（理）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则（1-）（1+）的值为 。
（文）一条直线与函数y=lnx和y=的图像分别相切于点P（，）和点Q（，），则的值为 （成都市高2021级高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导函数的几何意义；③曲线在某点处切线方程定义与性质；④求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法分别求出函数y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）的导函数值，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程，由两条切线为同一条直线，得到关于，的等式，从而就可求出（1-）（1+）的值。
（文）根据函数求导公式，法则和基本方法分别求出函数y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）的导函数值，运用求曲线在某点处切线方程的基本方法分别求出曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程，由两条切线为同一条直线，得到关于，的等式，从而就可求出的值。
【详细解答】（理）函数y=lnx和y=分别在点P（，）和点Q（，）的导函
数值为和y=，曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程分别为：y=（x-）+ln，y=（x-）+，两切线为同一直线，=，-1+ln=（1-），1-=1-，-1-=(1-)，--=1-，1--
+=（1-）（1+）=2，=，（1-）（1+）=（1-） （1+） =2。
（文）函数y=lnx和y=分别在点P（，）和点Q（，）的导函数值为和y=，曲线y=lnx和y=在点P（，）和点Q（，）处的切线方程分别为：y=（x-）+ln，y=（x-）+，两切线为同一直线，=，-1+ln=（1-），-1-=(-1)，=-1。
4、曲线y=在点（1，）处的切线方程为（ ）（2023全国高考甲卷文）
A y=x B y=x C y=x + D y=x +
【解析】
【考点】①函数在某点导函数定义与性质；②曲线在某点切线定义与性质；③直线点斜式方程及运用。
【解题思路】根据函数在某点导函数和曲线在某点切线的性质，运用直线点斜式方程，结合问题条件求出曲线y=在点（1，）处的切线方程就可得出选项。
【详细解答】（x）==，（1）==，y-=
（x-1），曲线y=在点（1，）处切线方程为 y=x + ， C正确，选C。
5、记函数f(x)的导函数为 (x)，若f(x)= sin2x，则 (0)=（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 2 B 1 C 0 D -1
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 (0)的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= sin2x+ 2cos2x=( sin2x+2cos2x)， (0)= (sin0
+2cos0)=1(0+21)=2， A正确，选A。
6、若曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行，则实数a的值为（ ）（成都市2019级高三二诊）
A -4 B -3 C 4 D 3
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的几何意义及运用；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求出函数y的导函数，从而求出函数y在点x=1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和两条直线平行的充分必要条件得到关于a的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。
【详细解答】=+2x， =1+21=1+2=3， 曲线y=lnx++1在点（1，2）处的切线与直线ax+y-1=0平行， -a=3,即a=-3, B正确，选B。
7、曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为 （2021全国高考甲卷）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，从而求出导函数在点x=-1的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和求曲线在某点处切线方程的基本方法就可求出曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程。
【详细解答】==，==5，切线过点（-1，-3），曲线y=在点（-1，-3）处的切线方程为y+3=5(x+1)，即：5x-y+2=0。
8、若过点（a，b）可以做曲线y=的两条切线，则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，求出曲线y=过点（a，b）的两条切线方程，从而得到关于a，b的方程组，求解方程组求出a，b之间的关系就可得出选项。
【详细解答】如图，设过点（a，b）与曲线y=的两条切线的切点分别为A（，）， B（，），=， =，=， y
EMBED Equation.DSMT4 过点（a，b）与曲线y=的两条切线方程分别为： B (a，b)
y=(x-+1)，y= (x-+1)，由图知，当
EMBED Equation.DSMT4 -时，切线y=0，当+时，切线y
=+，点（a，b）在第一象限，且位于曲线y=，即 09、写出一个同时具有下列性质①②③的函数f(x) （2021全国高考新高考II）
①f()= f(). f()；②当x,（0，+）时，（x）>0；③（x）是奇函数。
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②奇函数定义与性质。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用奇函数的性质，结合问题条件，就可求出函数f(x)。
【详细解答】设函数f(x)= ，f()==.，f(). f()=.， f()= f(). f()满足①；（x）=2x，当x,（0，+）时，（x）>0满足②；函数
（x）=2x的定义域为R关于原点对称，（-x）=2（-x）=-2x=-（x），函数（x）是奇函数满足③，同时具有下列性质①②③的函数f(x)= 。
10、已知函数f(x)=| -1|，<0，>0，函数f(x)在点A（，f()）和B（，f()）的两条切线互相垂直，且分别交Y轴于M，N两点，则取值范围是 （2021全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数定义与性质；③求曲线在某点处切线方程的基本方法；④两条直线垂直的充分必要条件及运用；⑤两点之间距离公式及运用。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数y的导函数，运用函数在某点导数的性质和求曲线在某点处切线方程的基本方法，分别求出曲线y= f(x)在点A，B处的切线方
程，从而得到点M，N的坐标，运用两条直线垂直的充分必要条件和两点之间的距离公式得
到关于的表示式，利用指数函数的性质就可求出的取值范围。
【详细解答】<0，>0， A（，1-），B（，-1），（）=-，（）=，曲线y= f(x)在点A，B处的切线方程分别为：y=-(x-+1)+1，y= (x-+1)
-1，M(0，-(-+1)+1)，N（0， (-+1)-1），直线AM垂直直线BN，-.
=-1，+=0，|AM|==-，|BN|=
==-，
==，<0，0<<1，即的取值范围是（0，1）。
11、设函数f(x)的导函数是 (x)，若f(x)= ()-cosx，则 ()=（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B C D -
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②求函数在某点导数值的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数 (x)，运用求函数在某点导数值的基本方法求出 ()的值就可得出选项。
【详细解答】 (x)= 2 ()x+sinx， ()= 2 ()+sin， ()=0， ()=2 ()+sin=0+=，B正确，选B。
12、函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 （2021成都市高三零诊）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②函数在某点导数的结合意义；③求函数图像在某点处切线方程的基本方法。
【解题思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数f(x)的导函数，从而求出函数f(x)在点x=0处的导数值，运用函数在某点导数的结合意义和求函数图像在某点处切线方程的基本方法就可求出函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程。
【详细解答】 (x)=4， (0)=41=4， f(0)=-21+3=-2+3=1，函数f(x)=-2+3的图像在x=0处的切线方程为 y-1=4(x-0)，即：y=4x+1。
『思考问题1』
（1）【典例1】是函数在某点的导数定义与性质及运用的问题，解答这类问题需要理解函数在某点的导数的定义，掌握求函数在某点导数的基本方法；
（2）函数在某点导数的定义中，增量的形式是多样的，但无论如何变化，其实质是分子中y的增量与分母中x的增量必须一致，否则需要通过一些适当的变换使之一致；
（3）用函数在某点导数的定义求函数在该点导数的基本方法是：①求出当自变量给定一个增量时对应的函数增量；②求出对应函数增量与自变量增量的比值（平均变化率）；③求出当自变量增0时，=的极限值。
（4）函数在某点导数的几何意义是曲线在该点处切线的斜率，在质点的运动过程中是质点在该点的瞬时速度。
（5）已知函数f(x)的解析式，求函数f(x)的导函数的基本原则是先化简，再运用求导公式，法则和求导的基本方法求出函数的导函数；
（6）求函数导函数的基本方法是：①若函数f(x)的解析式是连乘形式，则应先化为多项式，再求导函数；②若函数f(x)的解析式是根式形式，则先化为指数幂，再求导函数；③若函数f(x)的解析式是复杂的分式，则先把解析式化为几个简单分式的和或差，再求导函数；
（7）运用复合函数求导法则：（x）=〔g(x)〕.(x)求函数导函数时应注意：①利用复
合函数求导法则求导时，一定要把中间变量换成自变量的函数；②需要分清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导，不能混淆；
（8）若问题的已知条件中没有函数的解析式，求函数的导函数或函数在某点的导数值时，需要首先根据条件求出函数的解析式，然后再求解问题；
（9）已知一点的坐标，求曲线过已知点的切线方程的问题主要包括：①已知点在曲线y= f(x)上；②已知点在曲线y= f(x)外，解答这类问题时，应注意判断已知点是否在曲线y= f(x)上；
（10）求已知点在曲线y= f(x)上切线方程的基本方法是：①求出函数f(x)在该点的导数值，②运用点斜式求出切线的方程；
（11）求已知点在曲线y= f(x)外切线方程的基本方法是：①设出切线切点的坐标P（，f()）；②求出过点P（，f()）的切线方程；③把已知点代入切线方程求出；④把的值代入切线方程得出答案；
（12）已知切线斜率或切线方程，求参数值的基本方法是：①求出曲线y=f(x)的切线方程；②把求出的切线方程与已知方程相比较得到关于参数的方程或方程组；③求解方程或方程组得出参数的值；
（13）对导数与函数图像的关系问题，应注意运用导数与函数变化之间的联系并结合问题的具体情况进行考虑。
〔练习1〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=lnx+（mR）的图像在点（1，f(1)）处的切线l的斜率为2，则直线l在Y轴上的截距为（ ）（2021成都市高三三诊）（答案：B）
A 3 B -3 C 1 D -1
2、（理）设函数f(x)= +（a-1）+ax，若f(x)为奇函数，则曲线y= f(x)在点（0，0）处的切线方程为（ ）（2020全国高考新课标I）（答案：D）
A y=-2x B y=-x C y=2x D y=x
（文）曲线y=lnx+x+1的一条切线的斜率为，则该切线的方程为 （2020全国高考新课标I）（答案：该切线的方程为y=2x 。）
3、（理）若直线l与曲线y=和圆+=相切，则l的方程为（ ）（答案：D）
A y=2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
（文）设函数f(x)= ，若（1）=，则a= （2020全国高考新课标III）（答案：a=1。）
4、设函数f(x)的导函数为(x)，若f(x)=lnx+ -1，则(1)=（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：C）
A e-3 B e-2 C e-1 D e
5、曲线y= -x在点（1，0）处的切线方程为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A 2x-y=0 B 2x+y-2=0 C 2x+y+2=0 D 2x-y-2=0
【典例2】解答下列问题：
1、（理）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)<(x)tanx成立，则（ ）
A f（-）>f（-） B f（-）>-f（）
C f（）>f（） D f（-）（文）记函数f(x)的导函数为(x)，若函数f(x)为奇函数，且当x（ -，0）时恒有f(x)cosx<
(x)sinxx成立，则（ ）（成都市高2021级高三零诊）
A f（-）>f（-） B f（）>-f（-）
C f（）>f（） D f（-）>-f（）
【解析】
【考点】①奇函数定义与性质；②正切三角函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】（理）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。（文）根据奇函数和正切三角函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，对各选项的正确与错误进行判断，就可得出选项。
【详细解答】（理）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，f(x)-(x)tanx=+）=（cosx+）<0恒成立，
且函数设函数f(x)奇函数，函数f(x)=符合题意，对A，f（-）=
=-，f（-）=-1，-<-1，f（-）f（-）==-，-f（）=-=-3，->-3，f（-）>-f（），B正确；对C，f（）==，f（）=-=，<，f（）-3，f（-）>f（-），D错误，综上所述，D正确，选D。
（文）设函数f(x)=，(x) ==-，当x（ -，0）时，cosxf(x)-(x)sinx=+）=<0恒成立，且函数设函数f(x)奇函数，
函数f(x)=符合题意，对A，f（-）==-，f（-）==-，
-<-，f（-）1，f（）>-f（），B正确；对C，f（）==1，f（）==，1<，f（）2、设a（0，1），若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是
（2023全国高考乙卷理）
【解析】
【考点】①指数函数定义与性质；②函数导函数定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据指数函数和函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式就可求出a的取值范围。
【详细解答】（x）=lna+ln(1+a)，函数f(x)=+在（0，+）时单
调递增，（x）=lna+ln(1+a)≥0在（0，+）上恒成立，设g(x)=（x）=lna+ln(1+a)，（x）=lna+ln(1+a)>0在（0，+）上恒成立，
函数g(x)=（x）在（0，+）时单调递增，>g(0)=（0）=lna+ln(1+a)
=ln(+a)≥0，+a-1≥0，a≤或a≥，a（0，1），≤a<1，
即若函数f(x)=+在（0，+）时单调递增，则a的取值范围是[，1）。
3、已知函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为（ ）（2023全国高
考新高考II）
A e B e C D
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）= a-,函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，（x）= a-0, a，若函数f(x)=a-lnx在区间（1，2）上单调递增，则a的最小值为， C正确，选C。
『思考问题2』
（1）【典例2】是运用函数导函数解答函数单调性的问题，解答这类问题需要理解函数导函数与函数单调性的关系定理，掌握运用函数导函数判定函数单调性的基本方法，同时注意参数分类讨论的原则和基本方法；
（2）运用函数导函数解答函数单调性问题的基本方法是：①确定函数的定义域；②求函数的导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号，根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的增减性；⑤得出结论；
（3）运用函数导函数解答含参数函数单调性问题的基本方法是：①确定函数定义域；②求函数导函数（x），令（x）=0求出在定义域内的所有实根（注意参数对实根的影响）；③用函数f(x)的间断点（不属于f(x)定义域的点）和②中求出的实根按由小到大的顺序把函数f(x)的定义域分成若干个小区间；④判断导函数（x）在各个小区间上的符号（注意参数对不等式的影响），根据（x）的符号由定理判断函数f(x)在各个小区间的单调性；⑤得出函数的单调性（或单调区间）；
（4）含参数的函数的单调性问题一般要对参数分类讨论，常见的分类讨论标准是：①方程（x）=0是否有根；②若方程（x）=0有根，需要判断求出的根是否在定义域内；③若方程（x）=0的根在定义域内且有两个需要比较根的大小。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若函数f(x)=kx-2lnx，在区间（1，+）单调递增，则实数k的取值范围是（ ）（成都市2020级高三零诊）（答案：B）
A [1，+） B [2，+） C （0，1] D （0，2]
2、（理）设a=2ln1.01，b=ln1.02，c=-1，则（ ）（答案：B）
A a（文）设a0，若x=a为函数f(x)=a(x-b)的极大值点，则（ ）（2021全国高考乙卷）
A ab C ab< D ab> （答案：D）
【典例3】解答下列问题：
1、若x=2是函数f(x)=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，则f(0)= 。（2023全国高考新高考II）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值点定义与性质；③求函数导函数的公式，法
则与基本方法；④运用函数导函数确定函数极值点的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值点的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法和运用函数导函数确定函数极值点的基本方法，结合问题条件就可求出|f(0)的值。
【详细解答】（x）=（x-2）（x-a）+（x-1）（x-a）+（x-1）（x-2）=3-（6+2a）x+3a+2，x=2是函数f(x)=（x-1）（x-2）（x-a）的极值点，（2）=12-12-4a+3a+2=-a+2
=0，解之得：a=2，f(0)=（0-1）（0-2）（0-2）=-4。
2、若函数f(x)=ln（x+1）有极值，则a的取值范围为（ ）（成都市高2022级高三二诊）
A （-，0）（e，+） B （-，0）（，+）
C （-，-1）（1，+） D （-，-1）（，+）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值率定义与性质；③求函数导函数公式，法则与基本方法；④参数分类讨论的法则与基本方法；⑤运用函数导函数判断函数存在极值。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值的性质，运用求函数导函数的公式，法则与基本方法，参数分类讨论的法则与基本方法和判断函数存在极值的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】函数f(x)=ln（x+1），函数f(x)的定义域为（-1，+），(x）=aln（x+1）+.=（aln（x+1）+），设函数g(x)=aln（x+1）+，(x）=
-=，当a=0时，g(x)>0在（-1，+）上恒成立，(x）)>0在（-1，+）上恒成立，函数f(x)在（-1，+）上单调递增，此时函数f(x)无极值；当a0时，由(x）=0解之得：x=-1，若a<0，(x）<0在（-1，+）上恒成立，函数g(x)在（-1，+）上单调递减，x→-1时，g(x)→+，x→+时，g(x)→-，存在（-1，+），使(）=g()=0，,函数f(x)=ln（x+1）有极值；若a>0，x=-1>-1，x（-1，-1）时，(x）<0，x（-1，+）时，(x）>0，函数g(x)在（-1，-1）上单调递减，函数g(x)在（-1，+）上单调递增，函数g(x)的最小值为g(-1)=-alna+a=a（-lna
+1），设函数h(x)=-xlnx+x，x（0，+），(x）=-lnx-1+1=-lnx，x（0，1）时，(x）>0，x（1，+）时，(x）<0，函数h(x)在（0，1）上单调递增，函数h(x)在（1，+）上单调递减，数h(e)=-elne+e=0，若00在（-1，+）上恒成立，函数f(x)在（-1，+）上单调递增，此时函数f(x)无极值；若a>e，函数h(x)的最小值g(-1)=-alna+a<0，x→-1时，g(x)→+，x→+时，g(x)→-，存在（-1，+），使(）=g()=0，,函数f(x)=ln（x+1）有极值，综上所述，若函数f(x)=ln（x+1）有极值，则a的取值范围为（-，0）（e，+），A 正确，选A 。
3、已知函数f(x)=lnx+（aR）的最小值为1，则a=（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A B e C D 1
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数最值定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数最值的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件得到关于a的方程，求解方程求出a的值就可得出选项。
【详细解答】（x）=-=，若a≤0，（x）>0在（0，+）上恒成立，
函数f(x)在（0，+）上单调递增，此时函数f(x)没有最值，显然与题意不符；若a>0，由
（x）=0解得x=a，x（0，a）时，（x）<0，，x（a，+）时，（x）>0，
函数f(x)在（0，a）上单调递减，在（0，+）上单调递增，=f(a)=lna+1=1，
lna=0，即a=1，D正确，选D。
（多选）已知函数f(x)=ax（a0），则（ ）（成都市高2022级高三零诊）
A 若a=c=1，则函数g(x)=f(x)-2有且仅有1个零点 B 若f(x)在x=2处取得极值，则c=2
C 若f(x)无极值，则c=0 D 若f(x)的最小值小于0，则ac>0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数极值（或最值）定义与性质；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数和函数极值（或最值）的性质，运用函数求导公式，法则与基本方法和运用函数导函数求函数极值（或最值）的基本方法，结合问题条件对各选项的正确与错误进行判断就可得出选项。
【详细解答】当a=c=1时，函数g(x)=f(x)-2=-2+x-2=(x-2)(+1)，令g(x)=0解得：x=2，函数g(x)有且仅有一个零点x=2，A正确；（x）=3a-4acx+a=a（3x-c）(x-c)，令（x）=0解之得：x=，或x=c，函数f(x)在x=2处取得极值，c=2，或c=6，B错误；当c=0时，（x）=3a，若a>0，（x）≥0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递增，此时函数f(x)无极值；若a<0，（x）≤0在R上恒成立，函数f(x)在R上单调递减，此时函数f(x)无极值，C正确；若a>0，c>0，x（，c）时，（x）<0，，x（c，+）时，（x）>0，函数f(x)在（，c）上单调递减，在（c，+）上单调递增，=f(c)=0，；若a<0，c<0，x（c，）时，（x）>0，，x（-，c）时，（x）<0，函数f(x)在（-，c）上单调递减，在（c，）上单调递增，=f(c)=0，D错误，综上所述，A，C正确，选A，C。
4、若函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，则（ ）（2023全国高考新高
考II）
A bc＞0 B ab＞0 C b+8ac＞0 D ac＜0
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③函数极值定义与性质；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数判断函数单调性的基本方法，结合问题条件得到关于a的不等式，求解不等式求出a的最小值就可得出选项。
【详细解答】（x）=--=，函数f(x)=alnx++(a0)既有极大值又有极小值，方程 a-bx-2c=0在（0，+∞）有不同的两个根，= b+8ac＞0，且b/a＞0，且-2c/a＞0， b+8ac＞0，且a，b同号，a，c异号，综上所述，A错误，B，C，D正确，选BCD。
5、（理）若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
（文）若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为（ ） （成都市高2020级高三一诊）
A 1 B -1或-3 C -1 D -3
【解析】
【考点】①函数极值定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③判断函数在某点存在极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a的值就可得出选项。（文）根据函数求导法则和基本方法，求出函数f(x)的导函数 (x)，运用
函数极值的性质和判断函数在某点存在极值的基本方法得到关于的方程，求解方程求出实数a
的值就可得出选项。
【详细解答】（理） (x)=+2x（x+a）=（x+2）(3x+a)，函数f(x)=x在x=1处有极大值， (1)=（1+2）(3+a)=0，a=-3，若函数f(x)=x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3，D正确，选D。
（文） (x)=3+4ax+=（3x+a）(x+a)，函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值， (1)=（3+a）(1+a)=0，a=-3，或a=-1，若函数f(x)=+2a+x在x=1处有极大值，则实数a的值为-3或-1，B正确，选B。
6、（理）若函数f(x)=xlnx-a存在极大值点，且2f（）>，则实数a的取值范为 。
（文）函数f(x)=-+1的最大值为 （成都市高2020级高三二诊）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导法则和基本方法；③运用函数导函数求函数极值的基本方法；④参数分类讨论原则与基本方法；⑤运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数求函数极值的基本方法，结合问题条件就可求出实数a的取值范围。（文）根据函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数(x)，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最大值。
【详细解答】（理）(x)=lnx+1-ax，设函数g(x)=lnx+1-ax，(x)=-a，①当a≤0时，(x)=-a＞0在（0，+）上恒成立，函数g(x)=(x)在（0，+）上单调递增，(1)=0+1-a>0，存在点（0，1）使()=0，x（0，）时，(x)<0，x（，1）时，(x)>0，此时函数f(x)存在极小值点，与题意不符；②当a>0时，令(x)=-a=0，解得x=，x（0，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数g(x)=(x)在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减，g()=()=-lna+1-1=-lna，若a≥1，()=-lna<0，函数g(x)=(x)<0在（0，+）上恒成立，函数f(x)在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)不存在极大值点；若00，存在点（，+）使()=ln+1-a=0，即a=，x（，）时，(x)>0，x（，+）时，(x)<0，函数f(x)存在极大值点，2f（）=2ln-
=ln-）>（（，+）），设函数h(x)=xlnx-x-，（x（，+）），(x)=lnx+1-1=lnx，令(x)=lnx=0解得x=1，(x)>0在（，+）上恒成立，函数h(x)在（，+）上单调递增，h()=2--=0，>，a=（x（，+）），设函数u（x）=（x（，+）），(x)==<0在（，+）上恒成立，函数u（x）在（，+）上单调递减，0，则实数a的取值范围为（0，）。
（文）(x)=-2x，令(x)=0解得：x=0或x=2，x（-，0）（2，+）时，(x)>0，x（0，2）时，(x)<0，函数f(x)在（-，0），（2，+）上单调递增，在（0，2）上单调递减，函数f(x)的最大值为f(0)=0-0+1=1。
7、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
（文）已知函数f(x)= +lnx，若对任意， （0，2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（ ）（成都市2019级高三零诊）
A （-，] B （-，2] C （-，] D （-，8]
【解析】
【考点】①函数单调性定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数h(x)= + lnx+x（0，2]上单调递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设M（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数M（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。（文）根据函数单调性的性质，结合问题条件得到函数g(x)= + lnx+x在（0，2]上单调
递增，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数（x），得到（x）0在（0，2]恒成立，从而得到a，设h（x）=，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出函数h（x）的最小值，从而得到实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理）设<，对任意， （0，2]，且<，都有
>-1成立，对任意， （0，2]，且<，都有f()+ g()+>f()+ g()+
成立，函数h(x)= f(x)+ g(x)+x= + lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数M（x）=，（x）===，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数M（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= M（）==，若对任意， （0，2]，且，都有 >-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。（文）设<，对任意， （0，2]，且<，都有>-1成立，
对任意， （0，2]，且<，都有f()+>f()+成立，函数g(x)= f(x)-+x=
+ lnx +x在（0，2]上单调递增，函数（x）=- + +10在（0，2]恒成立， a在（0，2]恒成立，设函数h（x）=，（x）==，令（x）=0解得：x=-1或x= ，-1（0，2]，当x（0，）时，（x）<0，当x（，2]时，（x）>0， 函数h（x）在（0，）上单调递减，在（，2]上单调递增，当x（0，2]，= h（）==，若对任意， （0， 2]，且，都有>-1，则实数a的取值范围是（-，]，A正确，选A。
8、若函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为（ ）（成都市2019级高三三珍文）
A 0 B 1 C 2 D 3
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②对数定义与性质；③运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】设t= x，t（0，+ ），结合问题条件得到函数f(t)=t-lnt-1，根据函数零点的性质，运用函数导函数求函数最值的基本方法，求出函数f(t)在（0，+ ）上的最小值为0，从而得到函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数就可得出选项。
【详细解答】 函数f(x)= x-x-lnx-1，函数f(x)= x-ln（x）-1，设t= x，t（0，
+ ），函数f(x)= x-ln（x）-1，函数f(t)=t-lnt-1，（t）=1-=，令（t）=0解得：t=1，当t（0，1）时，（t）<0，当t[1，+ ）时，（t）>0，函数f(t)在（0，1）上单调递减，在[1，+ ）上单调递增， f(1)=1-ln1-1=1-0-1=0，函数f(x)= x-x-lnx-1的零点个数为1，B正确，选B。
9、函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为 （2021全国高考新高考I）
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法求出函数f(x)的导函数，运用函数导函数求函数最值的基本方法，结合问题条件就可求出函数f(x)的最小值。
【详细解答】①当x时，f(x)=2x-1-2lnx，（x）=2-=，令（x）=0解得x=1，当x[，1）时，（x）<0，当x,（1，+）时，（x）>0，
= f(1)=2-1-0=1；②当0上恒成立，函数f(x)在（0，）上单调递减，> f()=1-1+2ln2=2ln2>1, 综上所述，函数f(x)=|2x-1|-2lnx的最小值为1。
10、若函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为（ ）（2021成都市高三一诊）
A （-，0）（4，+） B （-，-8）（0，+） C ［0，4］ D (-8，0)
【解析】
【考点】①函数零点的定义与性质；②确定函数零点的基本方法；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数极值的基本方法。
【解题思路】根据函数零点的性质和确定函数零点的基本方法，得到f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数g(x)的导函数，利用函数导函数确定函数极值的基本方法求出函数g(x)的极值，作出函数g(x)的大致图像，由函数图像求出函数f(x)= -3+a有且仅有一个零点时，实数a的取值范围就可得出选项。
【详细解答】 f(x)= -3+a=0，-+3=a，设g(x)= -+3，（x）=-3+6x=-3x(x-2)，令（x）=0解得：x=0或x=2，当x（-，0）（2，+）时，（x）＜0，当x（0，2）时，（x）＞0，函数g(x)在（-，0），（2，+）上单调递减，在（0，2）上单调递增，
= g(0)=-0+0=0，= g(2)=-8+12=4，作出函数 y y=a
g(x)的大致图像如图所示，函数f(x)= -3+a有 g(x)= -+3
且仅有一个零点，直线y=a与函数g(x)的图像有且 0 1 2
仅有一个交点，由图知实数a的取值范围是（-，0）（4，+），A正确，选A。
11、（理）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=1+2lnt，g()=，则（-）lnt的最小值为（ ）
A B C - D -
（文）已知函数f(x)=x+ln(x-1)，g(x)=xlnx，若f()=lnt，g()=t，则lnt的最小值为（ ）（2021成都市高三一诊）
A B C - D -
【解析】
【考点】①对数的定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法； ③运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数
h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到（-）lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出（-）lnt的最小值就可得出选项。（文）根据对数的性质，结合问题条件得到(-1)= ln,构造函数h(x)=x x（0，+）,运用函数导函数判断函数单调性的基本方法，可知函数h(x)在（0，+）上单调递增，得到，的等式，从而得到lnt关于t的函数表示式，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数的导函数，利用函数导函数求函数最值的基本方法求出lnt的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理） f(x)=x+ln(x-1)，f()=+ln(-1)=ln (-1)=1+2lnt=lne， (-1)= e， (-1)= , g(x)=xlnx，g()=ln= ln=， (-1)= ln,设h(x)=x,x（0，+），（x）=+x= (x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h(-1)= h(ln)，-1= ln，（-）lnt=（-1）lnt=ln lnt= lnt，设函数u（t）=lnt， t（0，+）， (t)=2tlnt+t=t(2lnt+1)，令 (t)=0解得：t=0或t=，当t（0，）时， (t)＜0，当t［，+）时， (t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u（）=ln=-,（-）lnt的最小值为-,C正确，选C。（文） f(x)=x+lnx，f()=+ln=ln=lnt，= t， g(x)=xlnx，g()=ln= ln=t， = ln,设h(x)=x,x（0，+），（x）=+x= (x+1)＞0在（0，+）上恒成立，函数h(x)在（0，+）上单调递增， h()= h(ln)，= ln，lnt=ln lnt=t lnt，设函数u（t）=tlnt， t（0，+）， (t)=lnt+1，令 (t)=0解得：t=，当t（0，）时， (t)＜0，当t［，+）时，
(t) 0，函数u（t）在（0，）上单调递减，在［，+）上单调递增，= u
（）=ln=-,lnt的最小值为-,C正确，选C。
12、已知P是曲线y=sinx+cosx(x［0, ］)上的动点，点Q在直线x+y-6=0上运动，则当|PQ|取最小值时，点P的横坐标为（ ）（2021成都市高三二诊）
A B C D
【解析】
【考点】①正弦三角函数的定义与性质；②点到直线的距离公式及运用；③函数求导公式，法则和基本方法；④运用函数导函数求函数最值的基本方法。
【解题思路】根据y=sinx+cosx=sin(x+)和点到直线的距离公式，得到|PQ|关于x的三
角函数式，运用函数求导公式，法则和基本方法，利用函数导函数求函数最值的基本方法，求出|PQ|取最小值时，点P横坐标x的值就可得出选项。
【详细解答】 y=sinx+cosx=sin(x+)，x［0, ］, x+ ［,］，
点P（x, sin(x+)）, |PQ|=,设函数g(x)=x
+sin (x+),(x)=1+ cos(x+),令(x)=0解得：x+=，即
x=，当x［,）时， (x)＞0，当x［,］时， (x)＜0，函数g(x)在［,）上单调递增，在［,］单调递减，= g()， |PQ|取最小值时，点P的横坐标为，C正确，选C。
『思考问题3』
（1）【典例3】是运用函数导函数求函数极值（或最值）的问题，解答这类问题应该理解函数极值（或最值）的定义，掌握函数极值（或最值）存在定理和求函数极值（或最值）的基本方法；
（2）函数在某点存在极值的必要条件是该点的导数值为0；函数的导数在某点的导数值为0，函数在该点的极值可能存在，也可能不存在；
（3）判定函数在某点的极值是否存在或确定函数在某点存在极大值还是极小值的基本方法是：①求出该点的导数值，看是否为0，②判定函数在该点左右的导数值的符号，③运用极值存在定理判定该点是否是极值点，④运用极大值或极小值的判断方法确定函数在该点是极大值还是极小值并求出该点的函数值，⑤得出结果；
（4）与函数极值相关问题的常见题型有：①根据函数图像判断函数的极值；②求函数的极值；③已知函数的极值求参数的值或取值范围；
（5）求函数极值的基本方法是：①求函数的导函数，②求出导函数等于0这个方程的根，③判定这些点哪些极值点，④确定极值点是极大值还是极小值，⑤求出函数在该点的极大值或极小值；
（6）运用函数导函数求函数的最大值与最小值的理论依据是函数最值存在定理；
（7）函数的极值与最值的关系是：①区别：函数的极值是定义域上某一区间函数的最值，而函数最值是函数在整个定义域上的最值；②联系：当函数在某一开区间上只有一个极值点时，函数的极值就是函数的最值，当函数在区间上的极值点有多个时函数的极值不一定是函数的最值 ；
（8）求函数f(x)在闭区间〔a，b〕上的最值的基本方法是：①求出函数在闭区间〔a，b〕上的所有极值；②求出函数的端点值f(a) ，f(b)；③比较函数在闭区间〔a，b〕上的极值与端点值f(a) ，f(b)的大小，④得出函数的最值。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知函数f(x)=2sinx+sin2x，则f(x)的最小值是 （2020全国高考新课标I）（答案：函数f(x)=2sinx+sin2x的最小值为-。）
2、已知函数f(x)=（+x+1），则“a=”是“函数f(x)在x=-1处取得极小值”的（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A）
A 充分而不必要条件 B 必要而不充分条件 C 充要条件 D 既不充分也不必要条件
3、（理）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()=k（k<0）成立，则的最大值为（ ）（答案：C）
A B e C D
（文）已知函数f(x)= ，g(x)=x，若存在（0，+），R，使得f()=g()<0成立，则的最小值为（ ）（2020成都市高三二诊）（答案：D）
A -1 B - C - D -
【典例4】解答下列问题：
1、函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是（ ）（2023全国高考乙卷文）
A （-，-2） B （-，-3） C （-4，-1） D (-3，0)
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③参数分类讨论原则与基本方法，运用函数导函数确定函数零点的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用函数求导公式，法则和基本方法，结合问题条件求出函数的导函数，利用参数分类讨论原则与基本方法和函数导函数确定函数零点的基本方法得到关于a的不等式组，求解不等式组求出a的取值范围就可可得出选项。
【详细解答】（x）=3+a，①当a≥0时，（x）=3+a≥0在R上恒成立，函数f(x)在R是单调递增，函数f(x)至多有一个零点，与题意不符；②当a<0时，令（x）=3+a
=0解得：x=-或x=，x（-，-）（，+）时，（x）>0，
x（-，）时，（x）<0，函数f(x)在（-，-），（，+）上单调递增，在（-，）上单调递减，=f(-)=-a+2
=-+2，=f(-)=-+a+2=+2，函数f(x)存在
3个零点，-+2>0且+2<0，解之得：a<-3，若函数f(x)=+ax+2存在3个零点，则a的取值范围是 （-，-3），B正确，选B。
2、（理）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（ ）
A （1，+） B （2，+） C （e，+） D （3，+）
（文）已知函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数m的取值范围是（ ）（成都市高2020级高三三珍）
A （4，+） B （3，+） C （e，+） D （2，+）
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数导函数定义与性质；③求函数导函数的法则和基本方法；④运用函数导函数确定函数极值的基本方法。
【解题思路】（理）根据函数零点的性质，结合问题条件得到=1，从而得到m=m，运用函数导函数的性质和函数求导法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），利用函数导函数确定函数极值的基本方法，求出m的取值范围就可得出选项。（文）根据函数导函数的性质和求函数导函数的法则与基本方法，求出函数f(x)的导函数（x），从而求出函数（x）的导函数（x），运用数导函数确定函数极值的基本方法，结合问题条件求出实数m的取值范围就可得出选项。
【详细解答】（理） 函数f(x)有三个零点，，，=1，m=m，（x）=1+-，（x）=-+，①当m≤0时，（x）=-+<0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)在（0，+）上不可能有三个不同的零点；②当m>0时，函数f(x)在（0，+）上有三个不同的零点，（x）=1+-=在（0，+）上有两个不同的零点，=-4>0，m>2，即若函数f(x)=x--mlnx有三个零点，，，其中mR，则m的取值范围是（2，+），B正确，选B。
（文） （x）=1+-，（x）=-+，①当m≤0时，（x）=-+<0在（0，+）上恒成立，函数（x）在（0，+）上单调递减，此时函数f(x)在（0，+）上不可能有三个不同的零点；②当m>0时，函数f(x)在（0，+）上有三个不同的零点，（x）=1+-=在（0，+）上有两个不同的零点，=-4>0，m>2，综上所述，若函数f(x)=x--mlnx有三个零点，则实数的取值范围是（2，+），D正确，选D。
3、若正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，则的值为（ ）（成都市2020级高三零诊理）
A B C e D
【解析】
【考点】①函数零点定义与性质；②函数求导公式，法则和基本方法；③运用函数导函数确定函数零点的基本方法；④运用函数导函数判断函数单调性的基本方法。
【解答思路】根据函数零点的性质，结合问题条件得到（-1）= ，（-e）（ln-1）=，从而得到（-e）=，（ln-1）（-e）=（ln-1）（-e）=，由此得到（-e）=（ln-1）（-e），设函数h(x)=x(-e)，运用函数求导公式，法则和基本方法求出函数h(x)的导函数（x），由（x）0在（0，+）上恒成立，得到函数h(x) 在（0，+）上单调递增，从而得到=（ln-1），求出的值就可得出选项。
【详细解答】正实数是函数f(x)=x-x-的一个零点，是函数g(x)=（x-e）(lnx-1)- 的一个大于e的零点，--=0.，（-e）（ln（-1）-=0，（-1）=，（-e）（ln-1）=，（-e）=，（-e）（ln-1）=（ln-1）（-e）=，（-e）=（ln-1）（-e）=，设函数h(x)=x(-e)（x>0），（x）=-e+x=(x+1) -e0在（0，+）上恒成立，函数h(x) 在（0，+）上单调递增， h()= h(ln-1)=， =ln-1，===e，C正确，选C。
『思考问题4』
（1）【典例4】是运用函数导函数探导方程的根（或函数的零点）的问题，解答这类问题需
要理解方程的根（或函数的零点）的定义，掌握求方程的根(或函数零点)的基本方法，注意函数图像与X轴的交点与方程的根（或函数的零点）之间的内在联系；
求解方程的根（或函数的零点）的基本方法是：①运用函数导函数判断函数的单调性并求出函数的极值（或最值）；②借助函数图像，根据方程的根（或函数的零点）与函数图像与X轴交点之间的关系建立含参数的不等式（或不等式组）；③求解不等式（或不等式组）得出结果。
〔练习4〕解答下列问题：
1、（理）已知函数f(x)= ，x>0，则关于x的方程e f(x) -a f(x)-1=0(aR)的解的个x，x0，数的所有可能值为（ ）（答案：D）
A 3或4或6 B 1或3 C 4或6 D 3
（文）已知函数f(x)= |lnx|，x>0，若函数g(x)= f(x) –m(mR)有三个不同的零点，，，
-3-x，x0，则..的值为（ ）（成都市2019级高三一诊）
A 0 B - C 0或- D 0或-（答案：D）
【典例5】解答下列问题：
1、设函数f(x)=（x-1）（-e），g(x)=lnx-ax，其中aR，若对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为（ ）（成都市2020级高三零诊文）
A 0 B 1 C D e
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数判断函数单调性的基本方法；③运用函数导函数证明不等式的基本方法。
【解答思路】根据函数求导公式，法则和基本方法，求分别出函数f(x)，g(x)的导函数（x），（x），运用函数导函数求函数最值的基本方法，分别求出函数f(x)的最小值，函数g(x)的最大值，由对任意的正实数，，不等式f()g()恒成立，函数f(x)的最小值函数g(x)的最大值，从而求出实数a的取值范围，就可求出实数a的最小值得出选项。
【详细解答】（x）=+（x-1）-e= x-e，令（x）=0解得：x=1，当x（-，1）时，（x）<0，当x（1，+）时，（x）>0， 函数f(x) 在（-，1）上单调递减，在（1，+）上单调递增， =f（1）=0-0-e+e=0，（x）=-a=，①当 a0时，（x）>0在（0，+）上恒成立，函数g（x）在（0，+）上单调递增， g（1）=0-a 0，与题意不符；②当a>0时，令（x）=0解得：x=，当x（0，）时，（x）>0，当x（，+）时，（x）<0， 函数g（x）在（0，）上单调递增，在（，+）上单调递减， = g（）=-lna-1，由-lna-10解得：a， 若对任意， ，不等式f()g()恒成立，则实数a的最小值为，C正确，选C。
2、记定义在R上的可导函数f(x)的导函数为（x），且（x）- f(x)>0，f(1)=1，则不等式f(x)>的解集为 （成都市2019级高三三珍）
【解析】
【考点】①函数导函数定义与性质；②求函数导函数公式，法则和基本方法；③指数定义与性质；求解指数不等式的基本方法。
【解题思路】根据函数导函数的性质，运用求函数导函数公式，法则和基本方法，结合问题条件得到函数f(x)的解析式，从而得到关于x的不等式，运用求解指数不等式的基本方法就可求出不等式f(x)>的解集。
【详细解答】设函数f(x)=x，（x）=+x=（x+1），（x）- f(x)= （x+1）- x=>0在R上恒成立，且f(1)=1=1，函数f(x)=x是符合定义在R上的可导函数，且（x）- f(x)>0，f(1)=1的函数，不等式f(x)>，不等式x>， 不等式(x-1)>0，解之得x>1, 不等式f(x)>的解集为（1，+）。
3、（理）设k，bR，若关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，则的最小值是（ ）
A - B - C - D -e-1
（文）设k，bR，若关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，则的最小值是（ ）（2021成都市高三零诊）
A - B - C - D -e
【解析】
【考点】①函数求导公式，法则和基本方法；②运用函数导函数证明不等式的基本方法；③求函数最值的基本方法。
【解答思路】（理）根据函数求导公式，法则和基本方法求所构造函数的导函数，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于k，b的不等式，利用求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。（文）根据函数求导公式，法则和基本方法求所构造函数的导函数，运用函数导函数证明不等式的基本方法，结合问题条件得到关于k，b的不等式，利用求函数最值的基本方法求出的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）关于x的不等式ln(x-1)+xkx+b在（1，+）上恒成立，关于x的不等式ln(x-1)-（k-1）x-b0在（1，+）上恒成立，设函数f(x)= ln(x-1)-（k-1）x-b， (x)=
-（k-1）==，令 (x)=0解得x=，①当<1即k<1时， (x)>0在（1，+）上恒成立，函数f(x) 在（1，+）上单调递增，f(e+1)
=1-(k-1)(e+1)-b,若b0，则f(e+1)>0与题设不符；②当>1即k>1时，x（1，
）时， (x)>0，x（，+）时， (x)<0，函数f(x) 在（1，）上
单调递增，在（，+）上单调递减，= f()=ln（-1）-k-b
=ln-k-b， ln(x-1)-（k-1）x-b0在（1，+）上恒成立， ln-k-b0，b-1
-ln（k-1）-（k-1）-2在（1，+）上恒成立， -1，设函数g(x)= -1，x（1，+），（x）= ， 令（x）=0解得x= ， x（1，）时， （x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数g(x) 在（1，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g() =
-e-1，-e-1，即的最小值是-e-1，D正确，选D。（文）关于x的不等式kx+b+1lnx在（0，+）上恒成立，关于x的不等式lnx –kx-b-10在（0，+）上恒成立，设函数f(x)= lnx-kx-b-1， (x)= -k=，令 (x)=0解得x=，①当<0即k<0时， (x)>0在（0，+）上恒成立，函数f(x) 在（0，+）上单调递增，f(e)=1
-ke-b-1,若b0，则f(e)>0与题设不符；②当>0即k>0时，x（0，）时， (x)>0，x（，+）时， (x)<0，函数f(x) 在（1，）上单调递增，在（，+）上单调递减，= f()=ln-1-b-1=ln-b-2， lnx –kx-b-10在（0，+）上恒成立， ln-b-20，b- lnk-2在（0，+）上恒成立， ，设函数g(x)= ，x（0，+），（x）= ， 令（x）=0解得x=， x（0，）时， （x）<0，x（，+）时，（x）>0，函数g(x) 在（0，）上单调递减，在（，+）上单调递增，= g() = =-e，-e，即的最小值是-e，D正确，选D。
『思考问题5』
（1）【典例5】是运用函数导函数证明不等式的问题，解答这类问题需要理解不等式的定义和性质，掌握运用函数导函数证明不等式的基本方法；
（2）运用导函数证明不等式的基本方法是：①构造一个新函数（一般是所证明的不等式两边之差）；②运用函数导函数和参数分类讨论的原则与基本方法分别证明函数的最大值（或最小值）小于或等于零（或大于或等于零）在某区间上恒成立；③由②判断不等式在某区间上是否恒成立；④综合得出证明的结论。
〔练习5〕解答下列问题：
若关于x的不等式xlnx-kx+2k+1>0在（2，+）内恒成立，则满足条件的整数k的最大
值为（ ）（2020成都市高三零诊）（答案：A ）
A 2 B 3 C 4 D 5
2、（理）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sin2x+2 f(x)cos2x>0，则不等式f(x)sin2x<1的解集为 。（答案： 不等式f(x)sin2x<1的解集为（- ，）。）
（文）已知f(x)是定义在（-，）上的奇函数，其导函数(x)，f ()=，且当x（0，）时， (x)sinx+2 f(x)cosx>0，则不等式f(x)sinx<1的解集为 （2020成都市高三零诊）（答案： 不等式f(x)sin2x<1的解集为（- ，）。）