【单元学习指导与练习】知识巩固 第20讲 多边形和平行四边形（同步练习）
1．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，则下列结论中，一定正确的是（ ）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的邻边不相等，无法得到AB=BC，故此选项不合题意；
B、因为平行四边形的对边相等，故AD=BC，故此选项符合题意；
C、平行四边形的对角线不相等，无法得出AO=BO，故此选项不合题意；
D、平行四边形的对角线不垂直，无法得到ACLBD，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.
2．佩佩在黄峨古镇研学时学习扎染技术，得到了一个内角和1080°为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：(n-2)·180°=1080°，
解得：n=8，
则360°÷8=45°，
即这个正多边形的每个外角为45°
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式求得n的值，再利用多边形的外角和列式计算即可.
3． 如图所示，平行四边形ABCD 在中，点O是BD 的中点，EF 过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④S四边形ABOE=S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AD//BC，∠A=∠C，故③正确，
∴，∠ODE=∠OBF，
∵点O是BD的中点
∴OD=OB，
又∵∠DOE=∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴S△ODE=S△OBF，EO=FO≠ED，故②不正确；
∵S△ABD=S△CDB，S△ODE=S△OBF，
∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF，
即S四边形ABOE=S四边形CDOF，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB//DC，AD//BC，∠A=∠C，故①③正确，再证明△ODE≌△OBF(ASA)，得S△ODE=S△OBF，EO=FO≠ED，故②不正确，然后由S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF，得S四边形ABOE=S四边形CDOF，故④正确，即可得出结论.
4．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 组.
【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
5． 如图所示，在 ABCD中， ，将 ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，折痕AE 的长为 .
【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴
故答案为：3.
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可.
6． 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，2）， ，请确定点C 的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形： .（写出所有满足条件的点 C）
【答案】(4，0)或(-4，0)或(0，4)
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB=OC，
∵点A(2，2)，B(-2，2)，O(0，0)，
∴点C坐标(-4.0)或(4.0)
②当AB为该平行四边形的对角线时，C(0，4)
故答案为：(4，0)或(-4，0)或(0，4).
【分析】利用平行四边形的性质，考虑三种可能的对角线组合，通过中点坐标公式或向量相等求解点C的坐标.
7． 如图所示，在 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F， 若 的面积为a，求平行四边形ABCD 的面积.（结果用含a 的代数式表示）
【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∴S△DEF：S△CEB=(DE：CE)2，S△DEF：S△ABF=(DE：AB)2.
∵CD=2DE，
∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2.
∵S△DEF=a，
∴S△CBE=9a，S△ABF=4a，
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=8a.
∴S ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可判定△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案.
8． 如图甲所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是AB 中点，连结DE 并延长，交CB 的延长线于点F.
（1）求证：
（2）如图乙所示，连结CE，过点 A 作. 交DE 于点G.求证：EC
【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥FB，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BFE(AAS)
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADE=∠BFE，
由(1)得△ADE≌△BFE，
∴AD=FB，
∴FC=FB+BC=2AD，
∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠CEG，
∴∠AGD=∠CEF，
∴△ADG∽△CFE，
∴，
∴EC=2AG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质证得∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，再由点E是AB中点，得AE=BE，即可求解；
(2)由(1)可知△ADE≌△BFE，得出AD=FB，再由△ADG∽△CFE，即可推出结论.
9． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，点 E 在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE 为平行四边形.
（2）若 ，求线段AE 的长.
【答案】（1）证明：选择①，
证明：∵∠B=∠AED，
∴DE∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明：∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形
（2）解：由(1)得DE=BC=10，
∵AD⊥AB，AD=8，
∴AE==6
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)选择①，根据∠B=∠AED，推出DE//CB，再根据平行四边形的定义，即可求证；
选择②，根据AE=BE，AE=CD，可知BE=CD，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证；
(2)由平行四边形的性质可得DE=BC=10，再根据勾股定理即可求得AE的长.
10． 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点O， .过点A 作AE⊥BC 的垂线交BC 于点E，记BE 长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式中，值不变的是（ ）
A．x+y B．x-y C．xy D．
【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD//BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE=DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH=BE =x，
∵BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x，BH=BC+CH=y+x，
∵AE2=AC2-EC2，DH2=BD2-BH2
∴
∴xy=2.
故答案为：C.
【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB=DC，AD//BC，得到AE=DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，得到CH=BE=x，由勾股定理得到，得到xy=2.
11． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是边AB，BC 的中点，连结DE，DF，EF.若平行四边形 ABCD 的面积为 8，则. 的面积为 .
【答案】3
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点
∴，
∵F点为BC的中点，
∴F点到CD和AB的距离相等
∴，
∴S△DEF=S△DBE+S△DBF-S△BEF=2+2-1=3
故答案为：3.
【分析】利用菱形的性质得到，在根据三角形面积公式得到，由于F点到CD和AB的距离相等，所以，然后利用S△DEF=S△DBE+S△DBF-S△BEF进行计算.
12． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
13． 如图所示，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 上一点（不与点 A 重合）.CE∥AM，DE∥AB，DE交AC 于点F，连结AE.
（1）如图甲所示，当点 D 与点 M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形.
（2）如图乙所示，当点 D 不与点M 重合时，（1）中的结论还成立吗 请说明理由.
（3）如图丙所示，延长BD 交AC 于点H，若BH⊥AC且BH=AM，当 时，求 DH 的长.
【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM.∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB.
又∵AM是△ABC的中线，且点D与点M重合，∴BD=DC.在△ABD与△EDC中，
∴ △ABD≌△EDC(ASA)， ∴ AB=ED. 又∵ AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形
（2）解：结论成立.理由如下：如图甲所示，过点M作MG∥DE交EC于点G.∵CE∥AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，∴ED平行且等于GM.由(1)知AB平行且等于GM，
∴AB平行且等于ED，∴四边形ABDE为平行四边形
（3）解：如图乙所示，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，
∴MI平行且等于又∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°.
设DH=x，则AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x.
由(2)知四边形ABDE为平行四边形，即解得(不合题意，舍去)，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)l利用平行线的性质可知∠EDC=∠ABM，∠ECD=∠ADB，再利用ASA证明△ABD≌△EDC，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
(2)过点M作MG//DE交CE于G，由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
(3)取线段HC的中点I，连结MI，设DH=x，则AH=x，AD=2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出，解方程即可求解.
1 / 1【单元学习指导与练习】知识巩固 第20讲 多边形和平行四边形（同步练习）
1．如图所示，平行四边形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O，则下列结论中，一定正确的是（ ）
A．AB=BC B．AD=BC C．OA=OB D．AC⊥BD
2．佩佩在黄峨古镇研学时学习扎染技术，得到了一个内角和1080°为的正多边形图案，这个正多边形的每个外角为（ ）
A．36° B．40° C．45° D．60°
3． 如图所示，平行四边形ABCD 在中，点O是BD 的中点，EF 过点O，下列结论：①AB∥DC；②EO=ED；③∠A=∠C；④S四边形ABOE=S四边形CDOF，其中正确结论的个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．在四边形ABCD中，对角线AC，BD 相交于点O，给出下列四组条件：①AB∥CD，AD∥BC；②AB=CD，AD=BC；③AO=CO，BO=DO；④AB∥CD，AD=BC.其中一定能判定这个四边形是平行四边形的条件有 组.
5． 如图所示，在 ABCD中， ，将 ABCD 沿AE 翻折后，点B 恰好与点C 重合，折痕AE 的长为 .
6． 在平面直角坐标系中，已知点 A（2，2）， ，请确定点C 的坐标，使得以A，B，C，O为顶点的四边形是平行四边形： .（写出所有满足条件的点 C）
7． 如图所示，在 中，E 是CD 的延长线上一点，BE 与AD 交于点F， 若 的面积为a，求平行四边形ABCD 的面积.（结果用含a 的代数式表示）
8． 如图甲所示，在平行四边形 ABCD 中，E 是AB 中点，连结DE 并延长，交CB 的延长线于点F.
（1）求证：
（2）如图乙所示，连结CE，过点 A 作. 交DE 于点G.求证：EC
9． 如图所示，在四边形ABCD 中， ，点 E 在边AB 上， ▲ .请从“①∠B=∠AED；②AE=BE，AE=CD”这两组条件中任选一组作为已知条件，填在横线上（填序号），再解决下列问题：
（1）求证：四边形 BCDE 为平行四边形.
（2）若 ，求线段AE 的长.
10． 如图所示，在平行四边形 ABCD 中，AC，BD 相交于点O， .过点A 作AE⊥BC 的垂线交BC 于点E，记BE 长为x，BC长为y.当x，y的值发生变化时，下列代数式中，值不变的是（ ）
A．x+y B．x-y C．xy D．
11． 如图所示，在平行四边形ABCD 中，E，F 分别是边AB，BC 的中点，连结DE，DF，EF.若平行四边形 ABCD 的面积为 8，则. 的面积为 .
12． 如图所示，在 ABCD 中，AE，BF 分别平分∠DAB 和∠ABC，且交CD于点E，F，AE，BF 相交于点M.
（1）求证：AE⊥BF.
（2）若AD=3，DC=5，试求 EF 的长度.
13． 如图所示，AM 是△ABC 的中线，D 是线段AM 上一点（不与点 A 重合）.CE∥AM，DE∥AB，DE交AC 于点F，连结AE.
（1）如图甲所示，当点 D 与点 M 重合时，求证：四边形ABDE 是平行四边形.
（2）如图乙所示，当点 D 不与点M 重合时，（1）中的结论还成立吗 请说明理由.
（3）如图丙所示，延长BD 交AC 于点H，若BH⊥AC且BH=AM，当 时，求 DH 的长.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：A、平行四边形的邻边不相等，无法得到AB=BC，故此选项不合题意；
B、因为平行四边形的对边相等，故AD=BC，故此选项符合题意；
C、平行四边形的对角线不相等，无法得出AO=BO，故此选项不合题意；
D、平行四边形的对角线不垂直，无法得到ACLBD，故此选项不合题意；
故答案为：B.
【分析】利用平行四边形的性质一一判断即可解决问题.
2．【答案】C
【知识点】多边形的内角和公式；多边形的外角和公式
【解析】【解答】解：设这个正多边形的边数为n，
由题意得：(n-2)·180°=1080°，
解得：n=8，
则360°÷8=45°，
即这个正多边形的每个外角为45°
故答案为：C.
【分析】设这个正多边形的边数为n，利用多边形的内角和公式求得n的值，再利用多边形的外角和列式计算即可.
3．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的面积；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AB//DC，AD//BC，∠A=∠C，故③正确，
∴，∠ODE=∠OBF，
∵点O是BD的中点
∴OD=OB，
又∵∠DOE=∠BOF，
∴△ODE≌△OBF(ASA)，
∴S△ODE=S△OBF，EO=FO≠ED，故②不正确；
∵S△ABD=S△CDB，S△ODE=S△OBF，
∴S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF，
即S四边形ABOE=S四边形CDOF，故④正确，
综上所述，正确结论的个数为3个，
故答案为：C.
【分析】由平行四边形的性质得AB//DC，AD//BC，∠A=∠C，故①③正确，再证明△ODE≌△OBF(ASA)，得S△ODE=S△OBF，EO=FO≠ED，故②不正确，然后由S△ABD-S△ODE=S△CDB-S△OBF，得S四边形ABOE=S四边形CDOF，故④正确，即可得出结论.
4．【答案】3
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①根据平行四边形的判定定理：两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可知①能判断这个四边形是平行四边形；
②根据平行四边形的判定定理：两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可知②能判断这个四边形是平行四边形；
③根据平行四边形的判定定理：两条对角线互相平分的四边形是平行四边形，可知③能判断这个四边形是平行四边形；
④根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知④不能判断这个四边形是平行四边形；
故给出下列四组条件中，①②③能判断这个四边形是平行四边形，
故答案为：3.
【分析】根据平行四边形的判断定理可作出判断.
5．【答案】3
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：∵翻折后点B恰好与点C重合，
∴AE⊥BC，BE=CE，
∵BC=AD=4，
∴BE=2，
∴
故答案为：3.
【分析】由点B恰好与点C重合，可知AE垂直平分BC，根据勾股定理计算AE的长即可.
6．【答案】(4，0)或(-4，0)或(0，4)
【知识点】坐标与图形性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：如图，①当AB为该平行四边形的边时，AB=OC，
∵点A(2，2)，B(-2，2)，O(0，0)，
∴点C坐标(-4.0)或(4.0)
②当AB为该平行四边形的对角线时，C(0，4)
故答案为：(4，0)或(-4，0)或(0，4).
【分析】利用平行四边形的性质，考虑三种可能的对角线组合，通过中点坐标公式或向量相等求解点C的坐标.
7．【答案】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∴S△DEF：S△CEB=(DE：CE)2，S△DEF：S△ABF=(DE：AB)2.
∵CD=2DE，
∴DE：CE=1：3，DE：AB=1：2.
∵S△DEF=a，
∴S△CBE=9a，S△ABF=4a，
∴S四边形BCDF=S△CEB-S△DEF=8a.
∴S ABCD=S四边形BCDF+S△ABF=8a+4a=12a
【知识点】平行四边形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应面积
【解析】【分析】由四边形ABCD是平行四边形，根据平行四边形对边平行且相等，即可得AB∥CD，AD∥BC，AB=CD，然后由平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似，即可判定△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，又由相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可求得答案.
8．【答案】（1）证明：四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，即AD∥FB，
∴∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，
∵点E为AB的中点，
∴AE=BE，
∴△ADE≌△BFE(AAS)
（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，∠ADE=∠BFE，
由(1)得△ADE≌△BFE，
∴AD=FB，
∴FC=FB+BC=2AD，
∵AG∥EC，
∴∠AGE=∠CEG，
∴∠AGD=∠CEF，
∴△ADG∽△CFE，
∴，
∴EC=2AG.
【知识点】平行四边形的性质；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】(1)由平行四边形的性质证得∠ADE=∠BFE，∠A=∠EBF，再由点E是AB中点，得AE=BE，即可求解；
(2)由(1)可知△ADE≌△BFE，得出AD=FB，再由△ADG∽△CFE，即可推出结论.
9．【答案】（1）证明：选择①，
证明：∵∠B=∠AED，
∴DE∥CB，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形；
选择②，
证明：∵AE=BE，AE=CD，
∴CD=BE，
∵AB∥CD，
∴四边形BCDE为平行四边形
（2）解：由(1)得DE=BC=10，
∵AD⊥AB，AD=8，
∴AE==6
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】(1)选择①，根据∠B=∠AED，推出DE//CB，再根据平行四边形的定义，即可求证；
选择②，根据AE=BE，AE=CD，可知BE=CD，再根据有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求证；
(2)由平行四边形的性质可得DE=BC=10，再根据勾股定理即可求得AE的长.
10．【答案】C
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；勾股定理；平行四边形的性质；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD//BC，
∵AE⊥BC，DH⊥BC，
∴AE=DH，
∴Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，
∴CH=BE =x，
∵BC=y，
∴EC=BC-BE=y-x，BH=BC+CH=y+x，
∵AE2=AC2-EC2，DH2=BD2-BH2
∴
∴xy=2.
故答案为：C.
【分析】过D作DH⊥BC，交BC延长线于H，由平行四边形当性质推出AB=DC，AD//BC，得到AE=DH，判定Rt△DCH≌Rt△ABE(HL)，得到CH=BE=x，由勾股定理得到，得到xy=2.
11．【答案】3
【知识点】三角形的面积；菱形的性质
【解析】【解答】解：连接BD，
∵四边形ABCD为菱形，
∴，
∵点E、F分别是边AB、BC的中点
∴，
∵F点为BC的中点，
∴F点到CD和AB的距离相等
∴，
∴S△DEF=S△DBE+S△DBF-S△BEF=2+2-1=3
故答案为：3.
【分析】利用菱形的性质得到，在根据三角形面积公式得到，由于F点到CD和AB的距离相等，所以，然后利用S△DEF=S△DBE+S△DBF-S△BEF进行计算.
12．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD//BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°
∵AE，BF分别平分∠DAB和∠ABC，
∴
∴∠BMA=90°，
∴AE⊥BF
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=3，AB=DC=5，
∴CD//AB，
∴∠DEA=∠EAB，
又∵AE平分∠DAB，
∴∠DAE=∠EAB，
∵AB//CD，
∴∠EAB=∠DEA
∴∠DAE=∠DEA
∴DE=DA=3，
同理可得，BC=CF=AD=3，
∴CE=DC-DE=AB-DE=5-3=2，
∴EF=CF-CE=3-2=1
【知识点】平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【分析】(1)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠MAB+∠MBA=90°，即可得出结论；
(2)根据平行四边形的性质结合角平分线的定义得出∠DAB=∠DEA，同法可得CF=BC，进而即可得出结论.
13．【答案】（1）证明：∵DE∥AB，∴∠EDC=∠ABM.∵CE∥AM，∴∠ECD=∠ADB.
又∵AM是△ABC的中线，且点D与点M重合，∴BD=DC.在△ABD与△EDC中，
∴ △ABD≌△EDC(ASA)， ∴ AB=ED. 又∵ AB∥DE，
∴四边形ABDE为平行四边形
（2）解：结论成立.理由如下：如图甲所示，过点M作MG∥DE交EC于点G.∵CE∥AM，
∴四边形DMGE为平行四边形，∴ED平行且等于GM.由(1)知AB平行且等于GM，
∴AB平行且等于ED，∴四边形ABDE为平行四边形
（3）解：如图乙所示，取线段HC的中点I，连结MI，则MI是△BHC的中位线，
∴MI平行且等于又∵BH⊥AC，且BH=AM，∴MI=AM，MI⊥AC，∴∠CAM=30°.
设DH=x，则AH=x，AD=2x，∴AM=4+2x，∴BH=4+2x.
由(2)知四边形ABDE为平行四边形，即解得(不合题意，舍去)，
【知识点】平行四边形的判定与性质；三角形全等的判定-ASA；三角形的中位线定理；全等三角形中对应边的关系；两直线平行，同位角相等
【解析】【分析】(1)l利用平行线的性质可知∠EDC=∠ABM，∠ECD=∠ADB，再利用ASA证明△ABD≌△EDC，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
(2)过点M作MG//DE交CE于G，由四边形DMGE是平行四边形，推出ED=GM，且ED//GM，由(1)可知AB=GM，AB//GM，可知AB//DE，AB=DE，即可推出四边形ABDE是平行四边形；
(3)取线段HC的中点I，连结MI，设DH=x，则AH=x，AD=2x，由四边形ABDE是平行四边形，推出，解方程即可求解.
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