2026届高考数学一轮复习备考专题训练：导数及其应用（真题演练）（含答案）

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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：导数及其应用（真题演练）
一、选择题
1．（2025·夏津模拟）曲线在点处的切线方程为（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·安化模拟）若函数有两个零点，则a的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·阳西模拟）已知函数在处取得极小值，则m的值为（　　）
A． B．1 C．或1 D．或2
4．（2025·黄浦模拟）若、，则“”成立是“”成立的（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
5．（2025·襄阳模拟）已知函数， 则的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·绍兴模拟）在函数中，其定义域内每一个x都有一个确定的y值与之对应．而在绘制其反函数或的图象时可能会出现一个x对应多个y值的情况．此时取|y|最小时所对应的y值，并且在此条件下优先取正数．已知函数，则其定义域为（　　）
A． B． C． D．
7．（2025·浦东模拟）已知的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则以下关于“”的选项，结论正确的是（　　）
A．存在满足 B．存在锐角满足
C．该表达式不存在最大值 D．该表达式不存在最小值
8．（2025·长沙模拟）已知函数，方程（）有两个不等实根，则下列选项正确的是（　　）
A．2是的极大值点
B．函数无零点
C．a的取值范围是
D．，，使
二、多项选择题
9．（2025·四川模拟）已知是函数的极大值点，则（　　）
A．函数的极小值为0
B．若，则
C．若，则有3个相异的零点
D．若（其中），则
10．（2025·苏州模拟）已知，则下列说法正确的是（　　）
A．时，有唯一的零点
B．时，存在极小值
C．时，存在极大值
D．若，则的范围为
11．（2025·阳西模拟）已知函数（　　）
A．若在上单调递增，则实数的取值范围是
B．若在上存在单调递减区间，则实数的取值范围是
C．当在区间上不单调，则实数的取值范围是
D．若的单调递减区间为，则.
三、填空题
12．（2025·阳江模拟）已知均为实数，若的解集是且，则函数的极大值为　 　.
13．（2025·湘阴模拟）已知函数有零点，则的最小值为　 　．
14．（2025·诸暨模拟）如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合，得到三棱锥．当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为　 　．
四、解答题
15．（2025·阳江模拟）已知函数.
（1）讨论的极值点个数；
（2）若存在实数使得轴为的切线，求的最大值.
16．（2025·汕头模拟）已知函数.
（1）当时，讨论的单调性；
（2）若有两个零点，为的导函数.
（i）求实数的取值范围；
（ii）记较小的一个零点为，证明：.
17．（2025·长沙模拟）设函数在处的切线经过坐标原点，
（1）求；
（2）是否存在实数使得函数关于直线对称，若存在，求出的值，若不存在，说明理由；
（3）若恒成立，求的取值范围．
18．（2025·安化模拟）已知函数，其中．
（1）若在点处的切线与两坐标轴所围成三角形的面积为，求a的值；
（2）若是的极小值点，试比较与的大小．
19．（2025·浙江模拟）空气中的尘埃，天上的云朵飘忽随机不定、这些动态随机现象的研究有着重要的意义.在平面直角坐标系中，粒子从原点出发，等可能向四个方向移动，即粒子每秒向左、向右、向上或向下移动一个单位，如在1秒末，粒子会等可能地出现在，，，四点处.
（1）求粒子在第2秒末移动到点的概率；
（2）记第秒末粒子回到原点的概率为.
（i）已知求以及；
（ii）令，记为数列的前项和，若对任意实数，存在，使得，则称粒子是常返的.已知证明：该粒子是常返的.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】A
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】D
9．【答案】A,C,D
10．【答案】A,C
11．【答案】A,D
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】（1）当时，无极值点；时，有唯一极小值点，无极大值点
（2）1
16．【答案】（1）解：当时，，函数的定义域为，
，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
综上所述，函数在上单调递减，在单调递增.
（2）（i）解：函数的定义域为，，①当时，，函数在单调递减，至多有一个零点，不符合题意；
②当时，令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增.
∴当时，取得最小值，最小值为.
因为函数有两个零点，且时，，时，，所以.
设，易知函数在单调递增.
因为，所以的解集为.
综上所述，实数的取值范围是.
（ii）证明：因为，由，结合（i）知，
要证，即证，即，
当时，因为，，不等式恒成立；
当时，由得.
即证.
即证.
即证.
设，，由，
所以在单调递增.
所以，故原不等式成立.
所以.
17．【答案】（1）
（2）存在，，
（3）
18．【答案】（1）解：函数，求导得，则，
因此在点处的切线为，
令，则；令，则，
切线与两坐标轴所围成三角形的面积，所以.
（2）解：由（1）知，，，令，
求导得，当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
当时，，则，函数在上单调递增，无极值；
当时，，而，，
令，求导得，函数在上单调递增，
，因此，存在，使得，
当或时，，即；当时，，即，
函数在上单调递增，在上单调递减，是的极小值点，即，
所以.
19．【答案】（1）解：粒子在第2秒末，每一步分别是四个不同方向，共有16种方法，
粒子在第2秒可能运动到点有2种方法，分别为。
所以粒子在第2秒末移动到点的概率.

（2）解：（i）粒子奇数秒不可能回到原点，所以，
粒子在第4秒回到原点，分两种情况考虑：
每一步分别是四个不同方向的排列，例如“上下左右”，共有种情形；
每一步分别是两个相反方向的排列，例如“左左右右、上上下下”，共有种情形；
所以，
第秒末粒子要回到原点，则必定向左移动步，向右移动步，向上移动步，
向下移动步，
所以
.
（ii）证明：因为，
所以，
所以，
令，所以，
所以在上单调递增，所以，即，
所以，
即为不超过的最大整数，
则对任意常数，当时，，
所以，
综上所述，当时，成立，因此该粒子是常返的.
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