2026届高考数学一轮复习备考专题训练：集合与常用逻辑用语（真题演练）（含答案）

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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：集合与常用逻辑用语（真题演练）
一、选择题
1．（2025·雨花模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2025·西城模拟）设平面向量与不共线，，则“与共线”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（2025·长沙模拟）数列是公比不为1的等比数列，前项积为，则“，”是“”的（　　）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2025·湖南模拟）设集合，，则（　　）
A． B． C． D．
5．（2025·苏州模拟）设全集，，，则等于（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·顺德模拟）设集合，则的元素个数为（　　）
A．6 B．5 C．4 D．3
7．（2025·黄石模拟）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2025·北京市模拟）设，则（　　）
A． B． C． D．
二、多项选择题
9．（2025·绵阳模拟）已知集合，对于中的任意两个元素都有，则集合的元素个数可以为（　　）
A．4个 B．7个 C．9个 D．10个
10．（2025·常德模拟）已知连续函数是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则下列说法正确的是（　　）
A．函数在上单调递增
B．函数在上单调递增
C．函数存在极小值点
D．“”是“”的充要条件
11．（2025·单县模拟）离散对数在密码学中有重要的应用．设是素数，集合，若，记为除以的余数，为除以的余数；设，两两不同，若，则称是以为底的离散对数，记为．则（　　）
A．若，则对应集合X有5个元素
B．若，，，则
C．若，，则
D．
三、填空题
12．（2025·上海市模拟）设集合，则　 　.
13．（2025·湖南模拟）已知集合且中至少含有2个元素，若对于中的任意两个不同元素，都有，则称具有性质，若，且同时具有性质和，则中至多有　 　个元素.
14．（2025·阳西模拟）已知全集，实数满足，集合，，则　 　.
四、解答题
15．（2025·眉山模拟）已知集合、集合（）.
（1）若，求实数的取值范围；
（2）设命题：；命题：，若命题是命题的必要不充分条件，求实数的取值范围.
16．（2025·芙蓉模拟）已知集合，实数满足.
（1）若集合，且，，是集合中最小的三个元素，求集合A；
（2）在（1）的条件下，若实数b构成的集合为B，且集合，若实数，且关于x的方程有实数解，请列出所有满足条件的有序数对.
17．（2025·湖南模拟）已知k、，函数的定义域为，直线l的方程为，记集合．
（1）若，求集合；
（2）若，且存在实数k、m使得集合中有且只有两个元素，求实数b的取值范围；
（3）若函数的图象是一条连续曲线，且其导函数是定义域为的严格减函数，求证：“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件．
18．（2025·邛崃模拟）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
（1）当时，证明；
（2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
19．（2024高三下·佛山模拟）已知A为有限个实数构成的非空集合，设，，记集合和其元素个数分别为，.设.例如当时，，，，所以.
（1）若，求的值；
（2）设A是由3个正实数组成的集合且，；，证明：为定值；
（3）若是一个各项互不相同的无穷递增正整数列，对任意，设，.已知，，且对任意，，求数列的通项公式.
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】C
3．【答案】B
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】C
8．【答案】B
9．【答案】A,B
10．【答案】A,C,D
11．【答案】B,C
12．【答案】
13．【答案】921
14．【答案】
15．【答案】（1）解：由题意可知，
又因为，
当时，，解得；
当时，，或，解得，
综上所述，实数的取值范围为.
（2）解：∵命题是命题的必要不充分条件，
∴集合是集合的真子集，
当时，，解得；
当时，（等号不能同时成立），解得，
综上所述，实数的取值范围为.
16．【答案】（1）解：因为随着的增大而增大，又因为，
故集合中最小的三个元素依次为：
，
故.
（2）解：因为，
当时，或b=1，
当时，与元素互异性矛盾，舍去，则满足要求，
当时，或b=2，两者均满足要求，
当时，（舍去），
综上所述，，，
因为，关于x的方程有实数解，
当时，，解得，满足要求，
故均可，满足条件的有序数对有：，
当，需满足，即，
若，则，满足条件的有序数对有；
若，则，满足条件的有序数对有；
若，则，满足条件的有序数对有；
若，则，满足条件的有序数对有，
综上所述，满足条件的有序数对有：，
.
17．【答案】（1）解：因为，
所以，
由，得，解得，
所以．
（2）解：存在实数k，m使得集合，
则的解集为，
所以的解集为，
所以方程有重根和，
因此恒成立，
则，
则是二次方程的两个不相等的实数解，
所以，
所以实数b的取值范围是．
（3）证明：记，
则，在上严格递减，
①若直线l是曲线在点处的切线，
则，
所以，
则当时，，
所以函数在是是s上严格递减，则；
当时，，
所以函数在上严格递增，则，
所以的解集为，
集合是单元素集合；
②若集合是单元素集合，
则当时，，
又因为函数的图象是一条连续曲线，
所以，
则在的附近其他自变量对应的函数值都小于，
所以，函数在处取得极大值，
所以，
所以曲线在点处的切线方程为，
则，直线l是曲线在点处的切线，
综上所述，“集合是单元素集合”是“直线l是曲线在点处的切线”的充要条件．
18．【答案】（1）证明：由，
则，
又因为与在函数图象上，
则，且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证，
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，
所以在上单调递减，
故，得证.
（2）解：①由等差数列且，
则，解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
则
又因为，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解，
当时，，故；
当时，，故，
故当时，，
令，且，则，
所以，
令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；
当时，；
当，且，
综上可知且，
所以且，且，
又因为，
所以若不存在三点，使成等差数列，则或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式，
令，，
则，
故在单调递增，则，
即，得证.
19．【答案】（1）解：当时，，，
，所以；
（2）证明：当时，，，
，所以；
（2）
设，其中，
则，
，
因，
，
因，
所以，，，，
又 ，
，，
所以，
因，，，
，
，
因，，，，
所以，，，，
，，，
所以
所以为定值；
（3）解：，
若，
则，
，
故，
，
此时，不符合题意，
故，
猜想，下面给予证明，
当时，显然成立，
假设当，时，都有成立，即，
此时，，
故，，
，符合题意，
，
则，
，
若，
的元素个数小于
的元素个数，
则有，
不符合题意，故，
综上，对于任意的，都有，
故数列的通项公式.
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