2026届高考数学一轮复习备考专题训练：指对幂函数（真题演练）（含答案）

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2026届高考数学一轮复习备考专题训练：指对幂函数（真题演练）
一、填空题
1．（2025·黄浦模拟）已知正实数满足，，则　 　.
2．（2025·湖南模拟）已知函数的定义域为R，且，当时，，则的值为　 　．
3．（2025·曲靖模拟）已知函数满足，且当时，，则的值为　 　．
二、选择题
4．（2025·湘阴模拟）已知函数图象上不同的两点，到直线的距离相等，则（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·北京市模拟）已知，则（　　）
A． B． C． D．
6．（2025·揭阳模拟）下列函数是奇函数且在上单调递增的为（　　）
A． B．
C． D．
7．（2025·枣庄模拟）将函数的图象上所有点向左平移2个单位长度后，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．1
8．（2025·天河模拟）已知奇函数和偶函数的定义域均为，且满足，则（　　）
A．1 B． C． D．
9．（2025·眉山模拟）纯电动汽车是以车载电源为动力，用电机驱动车轮行驶，符合道路交通 安全法规各项要求的车辆，它使用存储在电池中的电来发动．因其对环境影响较小，逐渐成为当今世界的乘用车的发展方向．研究发现电池的容量随放电电流的大小而改变，1898年Peukert提出铅酸电池的容量、放电时间和放电电流之间关系的经验公式：，其中为与蓄电池结构有关的常数（称为Peukert常数），在电池容量不变的条件下，当放电电流为时，放电时间为；当放电电流为时，放电时间为，则该萻电池的Peukert常数约为（　　）（参考数据：，）
A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.15
10．（2025·江岸模拟）在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为（为常数），其中表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型中，当时，学习率为0.25；当时，学习率为0.0625，则学习率衰减到0.05以下所需的训练迭代轮数至少为（　　）（已知）
A．31 B．32 C．33 D．34
11．（2025·海淀模拟）中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中，为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的最低一行“”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为眼睛到视标的距离（单位：米），如图1所示，是与无关的常量．图2是标准视力表的一部分，一个右眼视力值为5.0的人在距离该视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行视标为图2中虚线框部分．因条件所限，小明在距离该视力表3米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为图2中虚线框部分，不考虑其它因素的影响，则与小明右眼的实际视力值最接近的为（　　）（参考数据：）
A．4.5 B．4.6 C．4.8 D．5.0
三、多项选择题
12．（2024高三下·荔湾模拟）已知，则（　　）
A． B．
C． D．
13．（2025·湖州模拟）若函数与函数的图象关于直线对称，则函数的解析式可能是（　　）
A． B．
C． D．
14．（2025·湖南模拟）已知函数，则（　　）
A．
B．对任意实数
C．
D．若直线与函数和的图象共有三个交点，设这三个交点的横坐标分别为，则
四、解答题
15．（2025·宝山模拟）已知，函数.
（1）若，求函数的表达式及定义域；
（2）若关于的方程的解集中恰好只有一个元素，求实数的取值范围.
16．（2025·宝山模拟）已知函数，（且）
（1）若，求方程的解；
（2）已知，若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的最大值.
17．（2025·中山模拟）已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数．
（i）求的值；
（ii）证明：存在实数，使得曲线关于直线对称．
18．（2024·宁德模拟）已知函数是偶函数.
（1）求的值；
（2）设，，若对任意的，存在，使得，求的取值范围.
19．（2024高三上·静安模拟）如果函数满足以下两个条件，我们就称函数为型函数.
①对任意的，有；
②对于任意的，若，则.
求证：
（1）是型函数；
（2）型函数在上为增函数；
（3）对于型函数，有（为正整数）.
答案解析部分
1．【答案】
2．【答案】
3．【答案】
4．【答案】B
5．【答案】B
6．【答案】C
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】D
10．【答案】D
11．【答案】C
12．【答案】A,D
13．【答案】A,B,D
14．【答案】A,C,D
15．【答案】（1），定义域为
（2）
16．【答案】（1）解：因为，所以
解得，
则 ，
则方程为，
令，则，
所以，
则（舍负） ，
所以，方程的解为 .
（2）解：因为，
所以，整理得 ，
又因为，
所以 ，
则对任意恒成立，
又因为（当且仅当取等号），
所以，
则实数的最大值为.
17．【答案】（1）解：由题意可知，则的定义域为，
，
当时，，则在上单调递减；
当时，令，即，解得，
若，；
若，，
则在上单调递减，在上单调递增．
综上所述，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增．
（2）解：（i）函数，则，，故．
（ii）函数的定义域为．若存在，使得曲线关于直线对称，则关于直线对称，所以
．
可知曲线关于直线对称．
18．【答案】（1）解：因为是偶函数，
所以，
即，
，
，
，
，
，
，
，
所以，即.
（2）解：，
因为对任意的 ，存在，使得，
所以在上的最小值不小于在上的最小值，
因为在上单调递增，
所以，
因为，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，
所以，解得，
所以的取值范围为.
19．【答案】（1）证明：记；
对任意的，有，
对于任意的，若，
则，
即，
故函数是型函数.
（2）证明：设，且，则，
因此
，
可知在上为增函数.
（3）证明：因为，
所以
.
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