湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
1.(2025高二下·开福期中)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2.(2025高二下·开福期中)已知复数满足,则的虚部是( ).
A.2. B.-2. C.2i. D.-2i.
3.(2025高二下·开福期中)已知平面向量,,若,则实数( )
A.1 B.-1 C.-4 D.4
4.(2025高二下·开福期中)已知,,则的值为( )
A. B. C. D.或
5.(2025高二下·开福期中)已知某羽毛球小组共有40名运动员,其中一级运动员8人,二级运动员12人,三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛,若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9,0.6,0.3,则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为( )
A.0.42 B.0.46 C.0.51 D.0.62
6.(2025高二下·开福期中)已知双曲线:的焦距为10,左、右焦点分别为,,过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于,两点.若的内切圆与直线相切于点H,且,则双曲线的渐近线方程为( ).
A. B. C. D.
7.(2025高二下·开福期中)已知正方体的棱长为4,点为的中点,若点,A,C,都在球O的表面上,则球O的表面积为( )
A.11π B.12π C.36π D.44π
8.(2025高二下·开福期中)对,设是关于x的方程的实数根,数列满足其中符号表示不超过的最大整数,则( )
A.1013 B.1015 C.2025 D.2027
9.(2025高二下·开福期中)下列说法正确的是( )
A.若回归方程为,则变量x与y负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C.若散点图中所有点都在直线上,则相关系数
D.若决定系数的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好
10.(2025高二下·开福期中)已知是抛物线:的焦点,过点且倾斜角为135°的直线与交于,两点,则( )
A.
B.
C.
D.以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
11.(2025高二下·开福期中)我们把称为双曲余弦函数,其函数表达式为,相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A,B,曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P,则( )
A.是奇函数
B.
C.在区间上随m的增大而减小,在区间上随m的增大而增大
D.的面积为定值
12.(2025高二下·开福期中)若随机变量服从二项分布,,则 .
13.(2025高二下·开福期中)在五一小长假期间,要从6人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班2天,则可能的安排方法有 种.
14.(2025高二下·开福期中)已知圆的方程为,直线的方程为,直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条.
15.(2025高二下·开福期中)记的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求B;
(2)设D为边的中点,若,,求的面积.
16.(2025高二下·开福期中)某汽车配件厂生产了一种塑胶配件,质检人员在这批配件中随机抽取了100个,将其质量指标值(单位:分)作为一个样本,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)当配件的质量指标值不小于80分时,配件为“优秀品”,以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品,随机变量表示:抽得的产品为“优秀品”的个数,求的分布列及数学期望.
17.(2025高二下·开福期中)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,设,讨论函数的单调性;
(3)若函数在上有且仅有2个零点,求实数的取值范围.
18.(2025高二下·开福期中)如图,在矩形纸片中,,,沿将折起,使点D到达点P的位置,点P在平面的射影H落在边上.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若M是棱上的一个动点,是否存在点M,使得平面与平面的夹角正切值为,若存在,求点M到平面的距离;若不存在,请说明理由.
19.(2025高二下·开福期中)已知椭圆:的左焦点为,椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M,N两点.
(i)当时,设直线,的斜率分别是,,求证:为定值;
(ⅱ)过点作垂直于的直线交于,交圆:于P,Q两点,记,的面积分别为,求的取值范围.
答案解析部分
1.【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵,∴,,求出,
∴,结合,
∴.
故答案为:B.
【分析】首先先求出分式不等式得解集,结合的范围,利用交集运算即可得到.
2.【答案】B
【知识点】复数的基本概念;共轭复数
【解析】【解答】由于,所以,则的虚部是-2,
故答案为:B.
【分析】根据共轭复数的概念,即可得到答案.
3.【答案】A
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【解答】因为,,且,所以,解得.
故答案为:A.
【分析】利用向量平行的坐标表示化简得到方程,求出答案即可得到结果.
4.【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为,,所以,
则,
故答案为:C.
【分析】根据同角的三角函数公式求出,结合两角和的余弦求出结果.
5.【答案】C
【知识点】全概率公式;条件概率;条件概率乘法公式
【解析】【解答】由题意,设事件B为“选出的运动员能晋级”,为“选出的运动员是一级运动员”,为“选出的运动员是二级运动员”,为“选出的运动员是三级运动员”,
所以,,,
由于,,,
则根据全概率公式有:
,
∴任选一名运动员能够晋级的概率:0.51.
故答案为:C.
【分析】由题意确定全概率公式中各个数量,再根据全概率公式计算可得.
6.【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质;圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意,记的内切圆分别切,于点,,
所以,,,
由双曲线定义得,
则,
所以,
则,所以,①
又,则,
则有,②,
结合①+②,有,所以,
根据题意,则,则,
故双曲线:的渐近线方程为,
即.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图像,结果图像联系三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得,再利用可求出,即可得到双曲线的渐近线方程.
7.【答案】D
【知识点】球内接多面体;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据题意,画出图像,由于图像为正方体,则有,平面,并且平面,则,
由于,平面,则平面,
并且平面,则,同理有,
因为,平面,则平面,
记,所以为的中点,记,
因为正方体的对称性得到为等边的中心,
根据图像,得到球心在上,
记,,,
则,
则,,
,
由于球的半径,则有,
化简有,则,所以球O表面积为.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图像,结合题意得到平面,则有球心在在上,假设设,则,所以,求出球体半径,利用公式即可得到结果.
8.【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意,求导有,
所以是正整数时,则,所以为增函数,
由于在,,
并且,
则此时,方程有唯一的实数根且,
则,,,
由于,所以.
故答案为:C
【分析】根据题意,对函数进行求导,结合导函数判断单调性,再结合零点存在定理判断,进而得到,即可求出的值.
9.【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项,因为回归方程为的斜率为负,所以变量x与y负相关,则A正确;
B选项,因为回归直线方程一定经过样本点的中心,B正确;
C选项,散点图中所有点都在直线上,所以相关系数,C错误;
D选项,决定系数的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好,D正确.
故答案为:ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB,根据散点图及相关系数概念判断C,采用决定系数概念判断D.
10.【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的应用;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A选项,因为是抛物线:的焦点,则,所以,则A错误;
B选项,因为,则抛物线方程为.
所以过点且倾斜角为135°的直线的斜率,结合点斜式可得直线的方程为,所以.
把代入,所以,所以.
由于,是直线与抛物线C的交点,
结合韦达定理有,则选项B正确;
C选项,因为抛物线的焦点弦长公式.
由于,,则,,
所以.
根据,则,则选项C正确;
D选项,记的中点为P,分别过M,N,P作抛物线C的准线的垂线,
垂足分别为,,,
利用抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,
所以,.
则.
所以得到为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径,
则为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点,所以选项D正确.
故答案为:BCD.
【分析】利用焦点坐标可确定抛物线方程进而判断选项A;利用直线与抛物线方程进行联立,利用韦达定理得到B选项的正误;结合B选项同时结合抛物线定义化简得到结果判断C;利用抛物线定义及梯形中位线定理得到即可得到D选项正误.
11.【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性;导数的几何意义;简单复合函数求导法则;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为,
则函数为奇函数,A正确;
接着,根据,
,
所以,B错误;
令,
求导得到,
并且对于,
所以,
所以曲线在点A处的切线方程,则,
曲线在点B处的切线方程,则,
所以,,
令,所以,
因为,所以;当,所以,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以C正确;
又因为的面积为,
所以的面积随的增大而减小,所以D错误.
故答案为:AC
【分析】首先结合给定的函数,利用奇偶函数的定义判断A;结合指数运算计算判断B;对函数进行求导,结合导数的几何意义,利用导数确定单调性判断C;利用三角形面积的函数关系判断D.
12.【答案】7
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由于X服从二项分布,所以,故.
故答案为:7
【分析】利用二项分布期望公式以及性质,求解即可.
13.【答案】150
【知识点】分类加法计数原理;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人;当人数为2,所以要一个人值班首尾两天,另外一个人值中间的那一天,所以方法数为:;当人数为3,所以每人值一天班,所以方法数为;所以总的方法有30+120=150种.
故答案为:
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。
14.【答案】9
【知识点】直线与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 直线:变形为,
联立求出,则直线过定点,
由于,则点在圆C内,
则当为直线被圆C截得的弦的中点时,弦长最短,点到圆心的距离,
则最短弦长为,
并且最长的弦为直径,长度为10,
则弦长的取值范围是.
由于弦长为6,7,8,9的直线各两条,弦长为10的直线有一条,
并且直线被圆C截得弦长为,不是整数,
则截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为:9
【分析】首先利用直线方程得到直线的定点,仅为联立方程,结合公式进而求得弦长最大、最小值,进而得到结果.
15.【答案】(1)利用正弦定理边化弦得,,
进而,
∵,∴,
∵,∴,∴,
因为,∴.
(2)根据余弦定理得,,啊u哦一,
①由于D为的中点,
则,则,
结合,∴,②
根据①②得到,所以,
∴的面积是.
【知识点】平面向量的数量积运算;解三角形;正弦定理的应用;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据正弦定理的边化弦进行变形化简即可得到结果;
(2)利用余弦定理:,中线的向量运算进行平方化简:,化简出,再结合三角形的面积公式即可求解.
(1)由正弦定理得,,
∴,
∵,∴,
∵,∴,∴,
又,∴.
(2)由余弦定理得,,即,①
因为D为的中点,
所以,则,
又,∴,②
联立①②有,解得,
∴的面积为.
16.【答案】(1)根据题意得到,,解得.
(2)设为样本数据的平均数,
所以,
所以样本数据的平均数为76.5.
(3)设p表示在这批产品中随机抽取一件产品,所抽取的产品为优秀品的概率,则,
并且随机变量,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
所以,
,
,
,
∴X的分布列如下
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
所以X的数学期望.
【知识点】频率分布直方图;众数、中位数、平均数;用样本的数字特征估计总体的数字特征;离散型随机变量的期望与方差;二项分布
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的面积之和等于1求出参数m的值;
(2)利用频率直方图结合加权平均数的运算公式求解即可;
(3)利用二项分布概率计算公式求解,列出分布列,计算期望即可得到结果。
(1)由题知,,解得.
(2)设为样本数据的平均数,
则,
故这组样本数据的平均数为76.5.
(3)设p表示在这批产品中随机抽取一件产品,
所抽取的产品为优秀品的概率,由题知,
随机变量,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则,
,
,
,
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
17.【答案】(1)当时,,求导得,
所以,并且,
则切线方程为,化简得.
(2)因为,则,,求导得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
(3)在,因为,所以,取,,
所以根据直线与函数在上的图象有两个交点,
而,当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
则函数的最大值为,同时,,
所以在上的大致图象如下所示,
所以,直线与函数在上的图象有两个交点,
则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意,对函数进行求导,求出切线斜率,进而利用点斜式求出方程;
(2)先求出,接着对函数进行求导,利用导函数的正负值判断函数的单调性;
(3)先对函数f(x)进行求导,结合导函数的正负值判断函数的单调性以及极值,进而画出函数的大致图像,结合极限思想,利用两个图象交点判断参数范围.
(1)当时,,所以,
则,而,
所以所求切线方程为,即.
(2)当时,,,所以,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减;
(3)当时,由,得,令,,
依题意,直线与函数在上的图象有两个交点,
,当时,,当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
所以函数的最大值为,且,,
画出在上的大致图象如图,
当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
所以实数的取值范围是.
18.【答案】(1)作,垂足为E,连接,如图所示.
因为点在平面的射影落在边上,所以平面,
由于平面,则,
并且,平面,则平面,
因为平面,则.
由题意四边形为矩形,则,所以,
因为,,所以,,.
则,.
因为,所以,所以,
所以.
在中,.
则.
(2)建系:以点H为坐标原点,以过点H且平行于的直线为y轴,分别以,所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
所以,,,,.
设,,
所以,
则.
因为,,,.
设平面的法向量为,
则,令,,所以,
设平面的法向量为,
,令,,所以,
由于平面与平面的夹角正切值为,
则平面与平面的夹角的余弦值为,
所以,
则,求出(舍去)或.
所以时,平面与平面的夹角的正切值为,
所以点到平面的距离为.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系;用空间向量研究二面角;锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)利用三垂线定理结合线面垂直的性质证明,,接着结合矩形判断出,利用相似比求出对应边长,进而求出边长,结合体积公式求解出结果;
(2)建立空间直角坐标系,利用假设出坐标,利用空间向量坐标运算平面的法向量,结合二面角的余弦值列出方程求解出参数即可得到结果.
(1)作,垂足为E,连接,如图所示.
由点在平面的射影落在边上,可得平面,
又平面,所以,
因为,且平面,所以平面,
又平面,所以.
因为四边形为矩形,所以,可得,
由,,可得,,.
所以,.
由,可得,即,
则.
在中,.
所以.
(2)根据题意,以点H为坐标原点,以过点H且平行于的直线为y轴,分别以,所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,.
设,,
可得,
所以.
易知,,,.
设平面的法向量为,
所以
解得,取,则,即,
设平面的法向量为,
所以
解得,取,则,即,
因为平面与平面的夹角正切值为,
所以平面与平面的夹角的余弦值为,
即,
整理可得,解得(舍去)或.
因此当时,平面与平面的夹角的正切值为,
此时点到平面的距离为.
19.【答案】(1)根据题意,并且,所以,
则,
所以椭圆方程为.
(2)(i)不妨设,,
联立,消去y值,
所以,由韦达定理得,,
并且
,即证.
(ii)因为,都是直角三角形,,,
根据圆的性质得,所以,
又因为,,
当时,,所以,
当时,直线方程为,所以,
因为,
则,令,所以,
则有,所以,
所以,.
【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;椭圆的应用;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的a,b,c之间的关系,结合列出式子求解即可得到方程;
(2)(i)先设,,将直线与椭圆方程进行联立,接着化简,结合韦达定理证明得定值为2;(ⅱ)根据,都是直角三角形,同时根据圆的性质得到,接着化简,得到,利用换元法,结合不等式求解即可得到结果。
(1)由题知,又,可得,,
则椭圆方程为.
(2)(i)不妨设,,
由,化简为,
显然,则,,
又
,即证.
(ii)由于,均为直角三角形,,,
由圆的性质知,故,
由于,,
当时,,则,
当时,直线方程为,则,
又,
所以,令,那么,
即,则,
综上可得,.
1 / 1湖南省长沙市第一中学2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题
1.(2025高二下·开福期中)已知集合,,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】∵,∴,,求出,
∴,结合,
∴.
故答案为:B.
【分析】首先先求出分式不等式得解集,结合的范围,利用交集运算即可得到.
2.(2025高二下·开福期中)已知复数满足,则的虚部是( ).
A.2. B.-2. C.2i. D.-2i.
【答案】B
【知识点】复数的基本概念;共轭复数
【解析】【解答】由于,所以,则的虚部是-2,
故答案为:B.
【分析】根据共轭复数的概念,即可得到答案.
3.(2025高二下·开福期中)已知平面向量,,若,则实数( )
A.1 B.-1 C.-4 D.4
【答案】A
【知识点】平面向量共线(平行)的坐标表示
【解析】【解答】因为,,且,所以,解得.
故答案为:A.
【分析】利用向量平行的坐标表示化简得到方程,求出答案即可得到结果.
4.(2025高二下·开福期中)已知,,则的值为( )
A. B. C. D.或
【答案】C
【知识点】两角和与差的余弦公式;同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为,,所以,
则,
故答案为:C.
【分析】根据同角的三角函数公式求出,结合两角和的余弦求出结果.
5.(2025高二下·开福期中)已知某羽毛球小组共有40名运动员,其中一级运动员8人,二级运动员12人,三级运动员20人.现举行一场羽毛球选拔赛,若一级、二级、三级运动员能够晋级的概率分别为0.9,0.6,0.3,则这40名运动员中任选一名运动员能够晋级的概率为( )
A.0.42 B.0.46 C.0.51 D.0.62
【答案】C
【知识点】全概率公式;条件概率;条件概率乘法公式
【解析】【解答】由题意,设事件B为“选出的运动员能晋级”,为“选出的运动员是一级运动员”,为“选出的运动员是二级运动员”,为“选出的运动员是三级运动员”,
所以,,,
由于,,,
则根据全概率公式有:
,
∴任选一名运动员能够晋级的概率:0.51.
故答案为:C.
【分析】由题意确定全概率公式中各个数量,再根据全概率公式计算可得.
6.(2025高二下·开福期中)已知双曲线:的焦距为10,左、右焦点分别为,,过点作斜率不为0的直线与双曲线的左、右支分别交于,两点.若的内切圆与直线相切于点H,且,则双曲线的渐近线方程为( ).
A. B. C. D.
【答案】D
【知识点】双曲线的简单性质;圆锥曲线的综合
【解析】【解答】根据题意,记的内切圆分别切,于点,,
所以,,,
由双曲线定义得,
则,
所以,
则,所以,①
又,则,
则有,②,
结合①+②,有,所以,
根据题意,则,则,
故双曲线:的渐近线方程为,
即.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图像,结果图像联系三角形内切圆的性质以及双曲线的定义可求得,再利用可求出,即可得到双曲线的渐近线方程.
7.(2025高二下·开福期中)已知正方体的棱长为4,点为的中点,若点,A,C,都在球O的表面上,则球O的表面积为( )
A.11π B.12π C.36π D.44π
【答案】D
【知识点】球内接多面体;直线与平面垂直的判定;直线与平面垂直的性质
【解析】【解答】根据题意,画出图像,由于图像为正方体,则有,平面,并且平面,则,
由于,平面,则平面,
并且平面,则,同理有,
因为,平面,则平面,
记,所以为的中点,记,
因为正方体的对称性得到为等边的中心,
根据图像,得到球心在上,
记,,,
则,
则,,
,
由于球的半径,则有,
化简有,则,所以球O表面积为.
故答案为:D.
【分析】根据题意画出图像,结合题意得到平面,则有球心在在上,假设设,则,所以,求出球体半径,利用公式即可得到结果.
8.(2025高二下·开福期中)对,设是关于x的方程的实数根,数列满足其中符号表示不超过的最大整数,则( )
A.1013 B.1015 C.2025 D.2027
【答案】C
【知识点】利用导数研究函数的单调性;函数零点存在定理
【解析】【解答】由题意,求导有,
所以是正整数时,则,所以为增函数,
由于在,,
并且,
则此时,方程有唯一的实数根且,
则,,,
由于,所以.
故答案为:C
【分析】根据题意,对函数进行求导,结合导函数判断单调性,再结合零点存在定理判断,进而得到,即可求出的值.
9.(2025高二下·开福期中)下列说法正确的是( )
A.若回归方程为,则变量x与y负相关
B.运用最小二乘法求得的经验回归直线方程一定经过样本点的中心
C.若散点图中所有点都在直线上,则相关系数
D.若决定系数的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好
【答案】A,B,D
【知识点】样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】A选项,因为回归方程为的斜率为负,所以变量x与y负相关,则A正确;
B选项,因为回归直线方程一定经过样本点的中心,B正确;
C选项,散点图中所有点都在直线上,所以相关系数,C错误;
D选项,决定系数的值越接近于1,表示回归模型的拟合效果越好,D正确.
故答案为:ABD.
【分析】利用回归方程及相关概念判断AB,根据散点图及相关系数概念判断C,采用决定系数概念判断D.
10.(2025高二下·开福期中)已知是抛物线:的焦点,过点且倾斜角为135°的直线与交于,两点,则( )
A.
B.
C.
D.以为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点
【答案】B,C,D
【知识点】抛物线的应用;直线与圆锥曲线的关系
【解析】【解答】A选项,因为是抛物线:的焦点,则,所以,则A错误;
B选项,因为,则抛物线方程为.
所以过点且倾斜角为135°的直线的斜率,结合点斜式可得直线的方程为,所以.
把代入,所以,所以.
由于,是直线与抛物线C的交点,
结合韦达定理有,则选项B正确;
C选项,因为抛物线的焦点弦长公式.
由于,,则,,
所以.
根据,则,则选项C正确;
D选项,记的中点为P,分别过M,N,P作抛物线C的准线的垂线,
垂足分别为,,,
利用抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,
所以,.
则.
所以得到为直径的圆的圆心P到准线的距离等于圆的半径,
则为直径的圆与抛物线C的准线只有1个公共点,所以选项D正确.
故答案为:BCD.
【分析】利用焦点坐标可确定抛物线方程进而判断选项A;利用直线与抛物线方程进行联立,利用韦达定理得到B选项的正误;结合B选项同时结合抛物线定义化简得到结果判断C;利用抛物线定义及梯形中位线定理得到即可得到D选项正误.
11.(2025高二下·开福期中)我们把称为双曲余弦函数,其函数表达式为,相应地双曲正弦函数的函数表达式为.若直线与双曲余弦函数曲线和双曲正弦函数曲线分别相交于点A,B,曲线在点A处的切线与曲线在点B处的切线相交于点P,则( )
A.是奇函数
B.
C.在区间上随m的增大而减小,在区间上随m的增大而增大
D.的面积为定值
【答案】A,C
【知识点】函数的奇偶性;导数的几何意义;简单复合函数求导法则;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】因为,
则函数为奇函数,A正确;
接着,根据,
,
所以,B错误;
令,
求导得到,
并且对于,
所以,
所以曲线在点A处的切线方程,则,
曲线在点B处的切线方程,则,
所以,,
令,所以,
因为,所以;当,所以,
所以在上单调递减,在上单调递增,所以C正确;
又因为的面积为,
所以的面积随的增大而减小,所以D错误.
故答案为:AC
【分析】首先结合给定的函数,利用奇偶函数的定义判断A;结合指数运算计算判断B;对函数进行求导,结合导数的几何意义,利用导数确定单调性判断C;利用三角形面积的函数关系判断D.
12.(2025高二下·开福期中)若随机变量服从二项分布,,则 .
【答案】7
【知识点】二项分布
【解析】【解答】由于X服从二项分布,所以,故.
故答案为:7
【分析】利用二项分布期望公式以及性质,求解即可.
13.(2025高二下·开福期中)在五一小长假期间,要从6人中选若干人在3天假期值班(每天只需1人值班),不出现同一人连续值班2天,则可能的安排方法有 种.
【答案】150
【知识点】分类加法计数原理;排列、组合的实际应用
【解析】【解答】由于值班的人数为2人或3人;当人数为2,所以要一个人值班首尾两天,另外一个人值中间的那一天,所以方法数为:;当人数为3,所以每人值一天班,所以方法数为;所以总的方法有30+120=150种.
故答案为:
【分析】利用分类加法计数原理结合排列组合求解。
14.(2025高二下·开福期中)已知圆的方程为,直线的方程为,直线被圆截得的弦中长度为整数的共有 条.
【答案】9
【知识点】直线与圆的位置关系;直线和圆的方程的应用
【解析】【解答】 直线:变形为,
联立求出,则直线过定点,
由于,则点在圆C内,
则当为直线被圆C截得的弦的中点时,弦长最短,点到圆心的距离,
则最短弦长为,
并且最长的弦为直径,长度为10,
则弦长的取值范围是.
由于弦长为6,7,8,9的直线各两条,弦长为10的直线有一条,
并且直线被圆C截得弦长为,不是整数,
则截得的弦中长度为整数的直线共有9条.
故答案为:9
【分析】首先利用直线方程得到直线的定点,仅为联立方程,结合公式进而求得弦长最大、最小值,进而得到结果.
15.(2025高二下·开福期中)记的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且.
(1)求B;
(2)设D为边的中点,若,,求的面积.
【答案】(1)利用正弦定理边化弦得,,
进而,
∵,∴,
∵,∴,∴,
因为,∴.
(2)根据余弦定理得,,啊u哦一,
①由于D为的中点,
则,则,
结合,∴,②
根据①②得到,所以,
∴的面积是.
【知识点】平面向量的数量积运算;解三角形;正弦定理的应用;三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)根据正弦定理的边化弦进行变形化简即可得到结果;
(2)利用余弦定理:,中线的向量运算进行平方化简:,化简出,再结合三角形的面积公式即可求解.
(1)由正弦定理得,,
∴,
∵,∴,
∵,∴,∴,
又,∴.
(2)由余弦定理得,,即,①
因为D为的中点,
所以,则,
又,∴,②
联立①②有,解得,
∴的面积为.
16.(2025高二下·开福期中)某汽车配件厂生产了一种塑胶配件,质检人员在这批配件中随机抽取了100个,将其质量指标值(单位:分)作为一个样本,得到如图所示的频率分布直方图.
(1)求的值;
(2)求这组数据的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表);
(3)当配件的质量指标值不小于80分时,配件为“优秀品”,以频率估计概率.在这批产品中有放回地随机抽取3件产品,随机变量表示:抽得的产品为“优秀品”的个数,求的分布列及数学期望.
【答案】(1)根据题意得到,,解得.
(2)设为样本数据的平均数,
所以,
所以样本数据的平均数为76.5.
(3)设p表示在这批产品中随机抽取一件产品,所抽取的产品为优秀品的概率,则,
并且随机变量,
所以X的可能取值为0,1,2,3,
所以,
,
,
,
∴X的分布列如下
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
所以X的数学期望.
【知识点】频率分布直方图;众数、中位数、平均数;用样本的数字特征估计总体的数字特征;离散型随机变量的期望与方差;二项分布
【解析】【分析】(1)利用频率分布直方图的面积之和等于1求出参数m的值;
(2)利用频率直方图结合加权平均数的运算公式求解即可;
(3)利用二项分布概率计算公式求解,列出分布列,计算期望即可得到结果。
(1)由题知,,解得.
(2)设为样本数据的平均数,
则,
故这组样本数据的平均数为76.5.
(3)设p表示在这批产品中随机抽取一件产品,
所抽取的产品为优秀品的概率,由题知,
随机变量,X的所有可能取值为0,1,2,3,
则,
,
,
,
∴X的分布列为
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
随机变量X的数学期望.
17.(2025高二下·开福期中)已知函数.
(1)当时,求曲线在点处的切线方程;
(2)当时,设,讨论函数的单调性;
(3)若函数在上有且仅有2个零点,求实数的取值范围.
【答案】(1)当时,,求导得,
所以,并且,
则切线方程为,化简得.
(2)因为,则,,求导得,
当时,,当时,,
所以在上单调递增,在上单调递减;
(3)在,因为,所以,取,,
所以根据直线与函数在上的图象有两个交点,
而,当时,,当时,,
所以函数在上单调递增,在上单调递减,
则函数的最大值为,同时,,
所以在上的大致图象如下所示,
所以,直线与函数在上的图象有两个交点,
则的取值范围为.
【知识点】导数的几何意义;利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【分析】(1)根据题意,对函数进行求导,求出切线斜率,进而利用点斜式求出方程;
(2)先求出,接着对函数进行求导,利用导函数的正负值判断函数的单调性;
(3)先对函数f(x)进行求导,结合导函数的正负值判断函数的单调性以及极值,进而画出函数的大致图像,结合极限思想,利用两个图象交点判断参数范围.
(1)当时,,所以,
则,而,
所以所求切线方程为,即.
(2)当时,,,所以,
当时,,当时,,
故在上单调递增,在上单调递减;
(3)当时,由,得,令,,
依题意,直线与函数在上的图象有两个交点,
,当时,,当时,,
故函数在上单调递增,在上单调递减,
所以函数的最大值为,且,,
画出在上的大致图象如图,
当时,直线与函数在上的图象有两个交点,
所以实数的取值范围是.
18.(2025高二下·开福期中)如图,在矩形纸片中,,,沿将折起,使点D到达点P的位置,点P在平面的射影H落在边上.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若M是棱上的一个动点,是否存在点M,使得平面与平面的夹角正切值为,若存在,求点M到平面的距离;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)作,垂足为E,连接,如图所示.
因为点在平面的射影落在边上,所以平面,
由于平面,则,
并且,平面,则平面,
因为平面,则.
由题意四边形为矩形,则,所以,
因为,,所以,,.
则,.
因为,所以,所以,
所以.
在中,.
则.
(2)建系:以点H为坐标原点,以过点H且平行于的直线为y轴,分别以,所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
所以,,,,.
设,,
所以,
则.
因为,,,.
设平面的法向量为,
则,令,,所以,
设平面的法向量为,
,令,,所以,
由于平面与平面的夹角正切值为,
则平面与平面的夹角的余弦值为,
所以,
则,求出(舍去)或.
所以时,平面与平面的夹角的正切值为,
所以点到平面的距离为.
【知识点】用空间向量研究平面与平面的位置关系;用空间向量研究二面角;锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】(1)利用三垂线定理结合线面垂直的性质证明,,接着结合矩形判断出,利用相似比求出对应边长,进而求出边长,结合体积公式求解出结果;
(2)建立空间直角坐标系,利用假设出坐标,利用空间向量坐标运算平面的法向量,结合二面角的余弦值列出方程求解出参数即可得到结果.
(1)作,垂足为E,连接,如图所示.
由点在平面的射影落在边上,可得平面,
又平面,所以,
因为,且平面,所以平面,
又平面,所以.
因为四边形为矩形,所以,可得,
由,,可得,,.
所以,.
由,可得,即,
则.
在中,.
所以.
(2)根据题意,以点H为坐标原点,以过点H且平行于的直线为y轴,分别以,所在直线为x,z轴建立空间直角坐标系,如图所示.
则,,,,.
设,,
可得,
所以.
易知,,,.
设平面的法向量为,
所以
解得,取,则,即,
设平面的法向量为,
所以
解得,取,则,即,
因为平面与平面的夹角正切值为,
所以平面与平面的夹角的余弦值为,
即,
整理可得,解得(舍去)或.
因此当时,平面与平面的夹角的正切值为,
此时点到平面的距离为.
19.(2025高二下·开福期中)已知椭圆:的左焦点为,椭圆上任意一点到的距离最大值为6.
(1)求椭圆的方程;
(2)过原点且斜率为的直线与椭圆交于M,N两点.
(i)当时,设直线,的斜率分别是,,求证:为定值;
(ⅱ)过点作垂直于的直线交于,交圆:于P,Q两点,记,的面积分别为,求的取值范围.
【答案】(1)根据题意,并且,所以,
则,
所以椭圆方程为.
(2)(i)不妨设,,
联立,消去y值,
所以,由韦达定理得,,
并且
,即证.
(ii)因为,都是直角三角形,,,
根据圆的性质得,所以,
又因为,,
当时,,所以,
当时,直线方程为,所以,
因为,
则,令,所以,
则有,所以,
所以,.
【知识点】椭圆的标准方程;椭圆的简单性质;椭圆的应用;直线与圆锥曲线的关系;直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1)根据椭圆的a,b,c之间的关系,结合列出式子求解即可得到方程;
(2)(i)先设,,将直线与椭圆方程进行联立,接着化简,结合韦达定理证明得定值为2;(ⅱ)根据,都是直角三角形,同时根据圆的性质得到,接着化简,得到,利用换元法,结合不等式求解即可得到结果。
(1)由题知,又,可得,,
则椭圆方程为.
(2)(i)不妨设,,
由,化简为,
显然,则,,
又
,即证.
(ii)由于,均为直角三角形,,,
由圆的性质知,故,
由于,,
当时,,则,
当时,直线方程为,则,
又,
所以,令,那么,
即,则,
综上可得,.
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