广东省佛山市顺德区普通高中2025届高三下学期5月适应性考试数学试题
1．（2025·顺德模拟）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：易知，，
则，．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数的几何意义求点坐标，即可得对应的复数，再根据复数的求模公式求解即可.
2．（2025·顺德模拟）设集合，则的元素个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，因为集合，
所以，则元素个数为5个．
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集求，确定元素个数即可.
3．（2025·顺德模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18 B．9 C．4 D．2
【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线上的点的横坐标为4 ，即，
由抛物线定义得：，解得．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据抛物线的焦半径公式直接求解即可.
4．（2025·顺德模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
A、 不是奇函数，故A错误；
B、不关于直线对称，故B错误；
C、当时，，则，故C正确；
D、当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，再根据奇函数的性质即可判断A；利用代入法求解即可判断BCD.
5．（2025·顺德模拟）若的展开式中的常数项为31，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，即，
要求常数项 ，即且，
则符合条件的，对应的系数为1；
，对应的系数为，
则，解得．
故答案为：C.
【分析】写出三项展开式的通项，找到指数为零的条件，列式求解参数即可.
6．（2025·顺德模拟）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A． B． C．8 D．
【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 以为圆心的圆与相切于， 则，，
则．
故答案为：A.
【分析】由题意，可得，根据等面积求得，用表示，结合向量数量积几何意义求解即可.
7．（2025·顺德模拟）在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】D
【知识点】基本不等式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由角平分线性质可知：，
即，
化简整理可得：，
，即，当且仅当时等号成立，
故．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线性质、结合等面积法以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求解即可.
8．（2025·顺德模拟）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
设定义域为，且满足，
则函数为偶函数，当时，单调递增，且单调递增，所以是单调递增，当时，是单调递减，
则当时，的最小值为，所以当时，，
当时，，因此，因为存在最小值，所以．
故答案为：A.
【分析】设定义域为，利用奇偶性的定义判断为偶函数，再判断函数的单调性，可得时，，结合时，，结合条件求解即可.
9．（2025·顺德模拟）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关．有人调查了10名男大学生的身高（单位：）及其父亲身高（单位：）的数据，已知其中一组数据为，且，求得经验回归方程为，并绘制了如下残差图（残差观测值预测值），则
A．这10名男大学生的身高的平均值为176.75
B．由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型
C．数据对应的残差为3.7
D．去掉数据后，重新求得的回归直线的决定系数变小
【答案】A,C
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由，可得，因为经验回归方程必过样本点中心，
所以，故A正确；
B、从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0，横轴为对称轴的水平带状区域内，满足上述回归模型，故B错误；
C、将代入回归方程，求得，则残差为，故C正确；
D、由残差图可知是一个极端数据，去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好，决定系数变大，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由，求得，由回归方程必过样本点中心求得，即可判断A；根据残差图即可判断B；根据残差计算公式求解即可判断C；根据决定系数即可判断D.
10．（2025·顺德模拟）如图，已知棱长为2的正方体中心为，将四棱锥绕直线顺时针旋转之后，得到新的四棱锥，则（ ）
A．
B．当时，四棱锥顶点运动的轨迹长度为
C．当时，平面平面
D．存在旋转的角度，使得四点共面
【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、取的中点，如图所示：
则，即为二面角的平面角，故，
而，故A错误；
B、当旋转了也绕着旋转，由于到的距离是正方体面对角线的一半，即，
因此旋转的轨迹长度是，故B正确；
C、把正方体的左边补多一个全等的正方体，则是补充正方体的中心．
因此，平面，平面，
从而平面，同理可得平面．
，平面，
因此平面平面，故C正确；
D、由C可知，当时，．
因此四边形是平行四边形，因此，即，
因此四点共面，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，根据二面角的平面角定义即可判断A；根据扇形弧长公式即可判断B；根据平面平行的判定定理即可判断C；当时可证明线线平行即可判断D.
11．（2025·顺德模拟）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、由，令，则，
因为，所以，故A错误；
B、令，则①，
即，
因为为奇函数，所以为偶函数，，
所以②，
由①－②并整理得，
即，
所以，
所以是周期为3的周期函数，故，故B正确；
C、因为，所以，
故C正确；
D、由上知，
在①中，令，得，所以，
所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性求解判断即可.
12．（2025·顺德模拟）已知函数，则 ．
【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：法1：函数，
当时，．
法2：令，得.
故答案为：.
【分析】法1：利用同角三角函数的基本关系化简原式为，将代入求值即可；解法2：求出满足的的一个值，将其直接代入解析式中求函数值即可.
13．（2025·顺德模拟）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
【答案】8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为，光线与双曲线的交点为，
由题意知：共线，则路径长．
故答案为：8.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
14．（2025·顺德模拟）有个大小外观一致、重量各不相同的小纸箱和一个天平，设为确保找到第二重的小纸箱时使用天平的最少次数．则 ； ．
【答案】9；34
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：从个小纸箱中选取最重的小纸箱，根据二分法，将纸箱两两分组（单数则最后1个轮空），采取分组晋级的方式，最后找出最重的小纸箱，记为，需要次（从淘汰的角度，每一次使用天平就会淘汰一个纸箱，因此最少需要使用次天平）；
从被淘汰的所有纸箱中，再一次使用二分法，找出最重的那个．
因此所需要的次数是（表示向上取整，即表示不小于的最小整数，
例如）；因此，
所以．
故答案为：9；34.
【分析】根据二分法的有关步骤进行求解即可.
15．（2025·顺德模拟）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
（1）求；
（2）设，求数列的前21项和．
【答案】（1）解：因为是关于的方程的两个根，所以，即，
则数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，即；
（2）解：由（1）可得：，
方程，由韦达定理得，即，
则，
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列的定义求解即可；
（2）由（1）可得，再由韦达定理可得，利用分组求和法、裂项相消求解即可.
（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
16．（2025·顺德模拟）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
（2）若存在两个极值点，求的取值范围．
【答案】（1）解：函数定义域为，，
且，，
则曲线在点处的切线为，
因为切线经过坐标原点，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，令，
因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点，
令，
令，求得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
数形结合可得，方程有2个变号零点的条件是，
即存在2个极值点的条件是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求切线方程，再根据切线过原点，求a的值即可；
（2）问题转化为有两个变号零点，分离参数得与的图象有2个交点，利用导数作出的图象，数形结合求解即可.
（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以，所以；
（2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点
令
令，求得
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
结合图象，方程有2个变号零点的条件是
即存在2个极值点的条件是
解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点，
所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，，即.
17．（2025·顺德模拟）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
【答案】（1）解：的面积为，则，解得，
则椭圆的左右焦点坐标为，
点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：
，解得，
又因为，所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：设直线的方程为，设，
联立，消去得，
由韦达定理可得：③，
因为，所以，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得，
因此的面积
.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据面积列方程求得，结合椭圆定义计算，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，由韦达定理结合列式计算求参即可.
（1）解法1：的面积，解得，
因此左右焦点坐标为，
，因此，
故椭圆的标准方程为；
解法2：的面积，解得，即①
把代入椭圆有②
①②联立解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解法1：设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程
，消去得，
因此③，
由于，因此，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得：，
因此的面积
；
解法2：由于，因此，
因为，即，因此，
直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程，解得，
因此直线的方程为，故的坐标，
因此的面积
.
18．（2025·顺德模拟）如图，在直三棱柱中，，．侧棱．分别为上的动点，当运动到的中点时，异面直线与所成角的余弦值为．
（1）证明：是正三棱柱；
（2）若运动时，总满足．当面积最小时，求二面角的大小．
【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为是直三棱柱，所以，
设，由于，
即为异面直线与所成角的大小，
根据勾股定理，
根据余弦定理，
即①，
在中，根据余弦定理得②，
联立①②，解得，
故是正三角形，三棱柱是正三棱柱；
（2）解：设高于，设，
则，由于，
因此，即，化简得，
因此，
当且仅当时等号成立．因此
设中点为中点为，连接，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设平面的法向量是，则，
即，解得，
，
设平面的法向量，
则，即，得，
设二面角为，则，故二面角的大小为.
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究二面角；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接，由题意推出为异面直线与所成角，根据勾股定理以及余弦定理，求得三角形边长，即可证明为正三棱柱；
（2）利用勾股定理以及三角形面积公式，求得各个边长，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.
（1）连接，如下图：
因为是直三棱柱，所以，
设，由于，
因此的大小就是异面直线与所成角的大小，
根据勾股定理，
根据余弦定理，
即①，
在中，根据余弦定理得②，
联立①②解得，
故是正三角形，因此是正三棱柱.
（2）设高于，设，
则，由于，
因此，即，化简得，
因此，
当且仅当时等号成立．因此
解法1：设中点为中点为，连接，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则：
．
设平面的法向量是，
则，即，解得
．
设平面的法向量，
则，得，得，
设二面角为，则，
故二面角的大小为，
解法2：取中点，连接，由于，因此．
由于平面，
因此平面．
故是在平面上的投影，
，
设二面角为，则，
故二面角的大小为.
19．（2025·顺德模拟）如图，四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成语，第1次由接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3枚硬币，如果3枚硬币都是反面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有1枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有2枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币都是正面朝上，则第2次由接龙．记第2次接龙的人（为或或或），再次掷3枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有枚硬币正面朝上，则按顺时针方向数，下一次由后面的第个人接龙（若，则下一次由接龙）．此后每次接龙以此类推．
（1）分别求出第2次由接龙的概率；
（2）记前3次中由接龙的次数为，求的分布列及期望；
（3）记第次由接龙的概率为，证明．
【答案】（1）解：记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
．
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率，
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率；
（2）解：由题意可知：随机变量的取值可能为1，2，3，
前3次中接龙的次数为3，即第2，3次均由进行接龙，
其概率为
前3次中接龙的次数为1，即第2，3次均没有接龙，
分三种情况：第2次接龙且第3次没有接龙；第2次接龙且第3次没有接龙；
第2次接龙且第3次没有接龙，
其概率为，
前3次中A接龙的次数为2的概率为，
的分布列为如下：
1 2 3
；
（3）证明：记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，
第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，则
①，
②，
③，
④，
①＋③得，
因为
所以，所以，
下证若，则，
①＋②得⑤，
①＋④得，代入，得⑥，
⑤－⑥得，所以
因此，若，则，
⑤＋⑥得，所以，
若，则，因此若，则，
因为，
所以.
【知识点】数列的递推公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，根据二项分布可求第2次由接龙的概率即可；
（2）由题意可知：随机变量的取值可能为1，2，3，根据独立事件的乘法公式可求取相应值时对应的概率，列分布列，求数学期望即可；
（3）记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，利用全概率公式可得它们的递推关系，结合构造法可证.
（1）记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
．
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率，
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率.
（2）的取值可能为1，2，3
前3次中接龙的次数为3，即第2，3次均由进行接龙，
其概率为
前3次中接龙的次数为1，即第2，3次均没有接龙，
分三种情况：第2次接龙且第3次没有接龙；第2次接龙且第3次没有接龙；
第2次接龙且第3次没有接龙．
其概率为，
前3次中A接龙的次数为2的概率为，
的分布列为如下：
1 2 3
.
（3）证明：记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，
第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，则
①②
③④
①＋③得，因为
所以，所以
下证若，则，
①＋②得⑤
①＋④得，代入，得⑥
⑤－⑥得，所以
因此，若，则
⑤＋⑥得，所以
因此，若，则，因此若，则
因为
所以
1 / 1广东省佛山市顺德区普通高中2025届高三下学期5月适应性考试数学试题
1．（2025·顺德模拟）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（ ）
A．17 B． C．13 D．
2．（2025·顺德模拟）设集合，则的元素个数为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
3．（2025·顺德模拟）已知抛物线上的点的横坐标为4，抛物线的焦点为．若，则的值为（ ）
A．18 B．9 C．4 D．2
4．（2025·顺德模拟）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则下列结论正确的是（ ）
A．是奇函数
B．的图象关于直线对称
C．在上的值域为
D．在上单调递增
5．（2025·顺德模拟）若的展开式中的常数项为31，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
6．（2025·顺德模拟）如图，已知矩形的边长满足，以为圆心的圆与相切于，则（ ）
A． B． C．8 D．
7．（2025·顺德模拟）在中，角的对边分别为．已知，且的内角平分线，则面积的最小值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
8．（2025·顺德模拟）已知函数，若存在最小值，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
9．（2025·顺德模拟）生活经验告诉我们，儿子的身高与父亲的身高不仅线性相关，而且还是正相关．有人调查了10名男大学生的身高（单位：）及其父亲身高（单位：）的数据，已知其中一组数据为，且，求得经验回归方程为，并绘制了如下残差图（残差观测值预测值），则
A．这10名男大学生的身高的平均值为176.75
B．由残差图可判定儿子身高与父亲身高的关系不符合上述回归模型
C．数据对应的残差为3.7
D．去掉数据后，重新求得的回归直线的决定系数变小
10．（2025·顺德模拟）如图，已知棱长为2的正方体中心为，将四棱锥绕直线顺时针旋转之后，得到新的四棱锥，则（ ）
A．
B．当时，四棱锥顶点运动的轨迹长度为
C．当时，平面平面
D．存在旋转的角度，使得四点共面
11．（2025·顺德模拟）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2025·顺德模拟）已知函数，则 ．
13．（2025·顺德模拟）圆锥曲线在物理光学上都有各自光学性质．在双曲线中，从一个焦点发出的光线，经双曲线反射后，反射光线会散开，但反射光线的反向延长线经过双曲线的另一个焦点．已知双曲线的方程为，一束光线从的右焦点射出．经过反射后到达点．则光线从到所经过的路径长为 ．
14．（2025·顺德模拟）有个大小外观一致、重量各不相同的小纸箱和一个天平，设为确保找到第二重的小纸箱时使用天平的最少次数．则 ； ．
15．（2025·顺德模拟）已知数列满足，且是关于的方程的两个根．
（1）求；
（2）设，求数列的前21项和．
16．（2025·顺德模拟）已知函数．
（1）若曲线在点处的切线经过坐标原点，求的值；
（2）若存在两个极值点，求的取值范围．
17．（2025·顺德模拟）设椭圆的左、右焦点分别为．已知在椭圆上，且的面积为．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，过点的直线与椭圆交于另一点与轴交于点，若，求的面积．
18．（2025·顺德模拟）如图，在直三棱柱中，，．侧棱．分别为上的动点，当运动到的中点时，异面直线与所成角的余弦值为．
（1）证明：是正三棱柱；
（2）若运动时，总满足．当面积最小时，求二面角的大小．
19．（2025·顺德模拟）如图，四人围成一圈玩成语接龙游戏，游戏开始时随机抽取一个成语，第1次由接龙，下一次接龙的人由掷硬币决定，规则如下：随机掷3枚硬币，如果3枚硬币都是反面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有1枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币中仅有2枚正面朝上，则第2次由接龙；如果3枚硬币都是正面朝上，则第2次由接龙．记第2次接龙的人（为或或或），再次掷3枚硬币决定下一次的接龙人，若掷出的硬币中有枚硬币正面朝上，则按顺时针方向数，下一次由后面的第个人接龙（若，则下一次由接龙）．此后每次接龙以此类推．
（1）分别求出第2次由接龙的概率；
（2）记前3次中由接龙的次数为，求的分布列及期望；
（3）记第次由接龙的概率为，证明．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】平面向量的坐标运算；复数在复平面中的表示；复数的模
【解析】【解答】解：易知，，
则，．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据复数的几何意义求点坐标，即可得对应的复数，再根据复数的求模公式求解即可.
2．【答案】B
【知识点】交集及其运算；一元二次不等式及其解法
【解析】【解答】解：解不等式，可得，
即集合，因为集合，
所以，则元素个数为5个．
故答案为：B.
【分析】先解一元二次不等式求得集合A，再根据集合的交集求，确定元素个数即可.
3．【答案】D
【知识点】抛物线的定义
【解析】【解答】解： 抛物线上的点的横坐标为4 ，即，
由抛物线定义得：，解得．
故答案为：D.
【分析】由题意，根据抛物线的焦半径公式直接求解即可.
4．【答案】C
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解： 将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数，
A、 不是奇函数，故A错误；
B、不关于直线对称，故B错误；
C、当时，，则，故C正确；
D、当时，，因为在上不单调，
所以在上不单调，故D错误．
故答案为：C.
【分析】根据三角函数图象的平移变换求得函数的解析式，再根据奇函数的性质即可判断A；利用代入法求解即可判断BCD.
5．【答案】C
【知识点】二项式定理；二项展开式的通项
【解析】【解答】解：展开式的通项为，即，
要求常数项 ，即且，
则符合条件的，对应的系数为1；
，对应的系数为，
则，解得．
故答案为：C.
【分析】写出三项展开式的通项，找到指数为零的条件，列式求解参数即可.
6．【答案】A
【知识点】平面向量数量积定义与物理意义；平面向量的数量积运算
【解析】【解答】解： 以为圆心的圆与相切于， 则，，
则．
故答案为：A.
【分析】由题意，可得，根据等面积求得，用表示，结合向量数量积几何意义求解即可.
7．【答案】D
【知识点】基本不等式；三角形中的几何计算
【解析】【解答】解：由角平分线性质可知：，
即，
化简整理可得：，
，即，当且仅当时等号成立，
故．
故答案为：D.
【分析】根据角平分线性质、结合等面积法以及基本不等式得，再根据三角形面积公式求解即可.
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；函数的奇偶性；含三角函数的复合函数的值域与最值
【解析】【解答】解：函数，
设定义域为，且满足，
则函数为偶函数，当时，单调递增，且单调递增，所以是单调递增，当时，是单调递减，
则当时，的最小值为，所以当时，，
当时，，因此，因为存在最小值，所以．
故答案为：A.
【分析】设定义域为，利用奇偶性的定义判断为偶函数，再判断函数的单调性，可得时，，结合时，，结合条件求解即可.
9．【答案】A,C
【知识点】回归分析；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【解答】解：A、由，可得，因为经验回归方程必过样本点中心，
所以，故A正确；
B、从残差图中可以看到残差比较均匀地分布在以均值为0，横轴为对称轴的水平带状区域内，满足上述回归模型，故B错误；
C、将代入回归方程，求得，则残差为，故C正确；
D、由残差图可知是一个极端数据，去掉后重新求得的回归直线拟合程度会变好，决定系数变大，故D错误．
故答案为：AC.
【分析】由，求得，由回归方程必过样本点中心求得，即可判断A；根据残差图即可判断B；根据残差计算公式求解即可判断C；根据决定系数即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；二面角及二面角的平面角
【解析】【解答】解：A、取的中点，如图所示：
则，即为二面角的平面角，故，
而，故A错误；
B、当旋转了也绕着旋转，由于到的距离是正方体面对角线的一半，即，
因此旋转的轨迹长度是，故B正确；
C、把正方体的左边补多一个全等的正方体，则是补充正方体的中心．
因此，平面，平面，
从而平面，同理可得平面．
，平面，
因此平面平面，故C正确；
D、由C可知，当时，．
因此四边形是平行四边形，因此，即，
因此四点共面，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】取的中点，根据二面角的平面角定义即可判断A；根据扇形弧长公式即可判断B；根据平面平行的判定定理即可判断C；当时可证明线线平行即可判断D.
11．【答案】B,C,D
【知识点】函数的奇偶性；抽象函数及其应用；函数的周期性；导数的四则运算
【解析】【解答】解：A、由，令，则，
因为，所以，故A错误；
B、令，则①，
即，
因为为奇函数，所以为偶函数，，
所以②，
由①－②并整理得，
即，
所以，
所以是周期为3的周期函数，故，故B正确；
C、因为，所以，
故C正确；
D、由上知，
在①中，令，得，所以，
所以，所以，故D正确．
故答案为：BCD.
【分析】由题意，利用赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性求解判断即可.
12．【答案】
【知识点】同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：法1：函数，
当时，．
法2：令，得.
故答案为：.
【分析】法1：利用同角三角函数的基本关系化简原式为，将代入求值即可；解法2：求出满足的的一个值，将其直接代入解析式中求函数值即可.
13．【答案】8
【知识点】双曲线的简单性质
【解析】【解答】解：设双曲线的左焦点为，光线与双曲线的交点为，
由题意知：共线，则路径长．
故答案为：8.
【分析】根据双曲线的性质求解即可.
14．【答案】9；34
【知识点】二分法求方程近似解
【解析】【解答】解：从个小纸箱中选取最重的小纸箱，根据二分法，将纸箱两两分组（单数则最后1个轮空），采取分组晋级的方式，最后找出最重的小纸箱，记为，需要次（从淘汰的角度，每一次使用天平就会淘汰一个纸箱，因此最少需要使用次天平）；
从被淘汰的所有纸箱中，再一次使用二分法，找出最重的那个．
因此所需要的次数是（表示向上取整，即表示不小于的最小整数，
例如）；因此，
所以．
故答案为：9；34.
【分析】根据二分法的有关步骤进行求解即可.
15．【答案】（1）解：因为是关于的方程的两个根，所以，即，
则数列是一个首项为1，公差为2的等差数列，即；
（2）解：由（1）可得：，
方程，由韦达定理得，即，
则，
．
【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；数列的求和
【解析】【分析】（1）利用韦达定理，结合等差数列的定义求解即可；
（2）由（1）可得，再由韦达定理可得，利用分组求和法、裂项相消求解即可.
（1）因为是关于的方程的两个根，
所以．
所以数列是一个首项为1，公差为2的等差数列．
因此．
（2）由（1）知，对于方程，
由韦达定理得，即．
所以
．
所以
．
16．【答案】（1）解：函数定义域为，，
且，，
则曲线在点处的切线为，
因为切线经过坐标原点，所以，解得；
（2）解：由（1）可得，令，
因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点，
令，
令，求得，
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
数形结合可得，方程有2个变号零点的条件是，
即存在2个极值点的条件是.
【知识点】导数的几何意义；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【分析】（1）求函数的定义域，再求导，根据导数的几何意义求切线方程，再根据切线过原点，求a的值即可；
（2）问题转化为有两个变号零点，分离参数得与的图象有2个交点，利用导数作出的图象，数形结合求解即可.
（1）由题意可得
，则
因为切线经过坐标原点，所以，所以；
（2）解法1：令，因为存在2个极值点，所以方程有2个变号零点，
即与的图象有2个交点
令
令，求得
当，，单调递减，当，，单调递增，
又因为当时，，且，当时，，作出图象如下：
结合图象，方程有2个变号零点的条件是
即存在2个极值点的条件是
解法2（半分离）：令，因为存在2个极值点，
所以方程有2个变号零点，即与的图象有两个交点，
先分析两个函数图象相切的情况，设是函数的切点，有
，所以
作出图象如下：
由图象可知，要使得有两个交点，，即.
17．【答案】（1）解：的面积为，则，解得，
则椭圆的左右焦点坐标为，
点在椭圆上，根据椭圆的定义可得：
，解得，
又因为，所以，解得，
则椭圆的标准方程为；
（2）解：设直线的方程为，设，
联立，消去得，
由韦达定理可得：③，
因为，所以，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得，
因此的面积
.
【知识点】椭圆的标准方程；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）根据面积列方程求得，结合椭圆定义计算，再根据椭圆中的关系求，即可得椭圆方程；
（2）设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程，由韦达定理结合列式计算求参即可.
（1）解法1：的面积，解得，
因此左右焦点坐标为，
，因此，
故椭圆的标准方程为；
解法2：的面积，解得，即①
把代入椭圆有②
①②联立解得，
故椭圆的标准方程为；
（2）解法1：设直线的方程为，设，联立直线与椭圆方程
，消去得，
因此③，
由于，因此，即，
于是，整理得，
代入③得，即，因此，
因此直线一定过，
由得直线方程为，
联立直线与椭圆方程，消去，解得：，
因此的面积
；
解法2：由于，因此，
因为，即，因此，
直线的方程为，
联立直线和椭圆的方程，解得，
因此直线的方程为，故的坐标，
因此的面积
.
18．【答案】（1）证明：连接，如图所示：
因为是直三棱柱，所以，
设，由于，
即为异面直线与所成角的大小，
根据勾股定理，
根据余弦定理，
即①，
在中，根据余弦定理得②，
联立①②，解得，
故是正三角形，三棱柱是正三棱柱；
（2）解：设高于，设，
则，由于，
因此，即，化简得，
因此，
当且仅当时等号成立．因此
设中点为中点为，连接，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，如图所示：
，
，
设平面的法向量是，则，
即，解得，
，
设平面的法向量，
则，即，得，
设二面角为，则，故二面角的大小为.
【知识点】棱柱的结构特征；用空间向量研究二面角；解三角形；余弦定理
【解析】【分析】（1）连接，由题意推出为异面直线与所成角，根据勾股定理以及余弦定理，求得三角形边长，即可证明为正三棱柱；
（2）利用勾股定理以及三角形面积公式，求得各个边长，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用二面角的向量公式求解即可.
（1）连接，如下图：
因为是直三棱柱，所以，
设，由于，
因此的大小就是异面直线与所成角的大小，
根据勾股定理，
根据余弦定理，
即①，
在中，根据余弦定理得②，
联立①②解得，
故是正三角形，因此是正三棱柱.
（2）设高于，设，
则，由于，
因此，即，化简得，
因此，
当且仅当时等号成立．因此
解法1：设中点为中点为，连接，
以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，
则：
．
设平面的法向量是，
则，即，解得
．
设平面的法向量，
则，得，得，
设二面角为，则，
故二面角的大小为，
解法2：取中点，连接，由于，因此．
由于平面，
因此平面．
故是在平面上的投影，
，
设二面角为，则，
故二面角的大小为.
19．【答案】（1）解：记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
．
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率，
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率；
（2）解：由题意可知：随机变量的取值可能为1，2，3，
前3次中接龙的次数为3，即第2，3次均由进行接龙，
其概率为
前3次中接龙的次数为1，即第2，3次均没有接龙，
分三种情况：第2次接龙且第3次没有接龙；第2次接龙且第3次没有接龙；
第2次接龙且第3次没有接龙，
其概率为，
前3次中A接龙的次数为2的概率为，
的分布列为如下：
1 2 3
；
（3）证明：记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，
第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，则
①，
②，
③，
④，
①＋③得，
因为
所以，所以，
下证若，则，
①＋②得⑤，
①＋④得，代入，得⑥，
⑤－⑥得，所以
因此，若，则，
⑤＋⑥得，所以，
若，则，因此若，则，
因为，
所以.
【知识点】数列的递推公式；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差；二项分布；全概率公式
【解析】【分析】（1）记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，根据二项分布可求第2次由接龙的概率即可；
（2）由题意可知：随机变量的取值可能为1，2，3，根据独立事件的乘法公式可求取相应值时对应的概率，列分布列，求数学期望即可；
（3）记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，利用全概率公式可得它们的递推关系，结合构造法可证.
（1）记为掷出的硬币中有枚正面朝上的概率，
．
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率，
第2次由接龙的概率，第2次由接龙的概率.
（2）的取值可能为1，2，3
前3次中接龙的次数为3，即第2，3次均由进行接龙，
其概率为
前3次中接龙的次数为1，即第2，3次均没有接龙，
分三种情况：第2次接龙且第3次没有接龙；第2次接龙且第3次没有接龙；
第2次接龙且第3次没有接龙．
其概率为，
前3次中A接龙的次数为2的概率为，
的分布列为如下：
1 2 3
.
（3）证明：记第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，
第次由接龙的概率为，第次由接龙的概率为，则
①②
③④
①＋③得，因为
所以，所以
下证若，则，
①＋②得⑤
①＋④得，代入，得⑥
⑤－⑥得，所以
因此，若，则
⑤＋⑥得，所以
因此，若，则，因此若，则
因为
所以
1 / 1
