(共27张PPT)
第2章 分式
2.4.3 整数指数幂的基本性质
01
教学目标
02
新知导入
03
新知讲解
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。
01
能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。
02
感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。
03
02
新知导入
计算： (1) ; (2) ; (3) .
解： (1) ;
(2);
(3).
同底数幂的除法法则：
03
新知探究
思考
(1)已知，填空：
(都是正整数);
(m，n都是正整数);
(n是正整数).
(2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？
动脑筋：应该怎么证明推广？
分类讨论
03
新知探究
设都是正整数，求证:
(1); (2);
(3); (4) ;
(5).
(注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 )
03
新知探究
证明：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
整数指数幂的基本性质1：
03
新知探究
设都是正整数，求证:
(1); (2)
(3); (4) ;
(5); (6);
(7).
03
新知探究
证明：(1);
(2)
(3);
(4) ;
03
新知探究
证明： (5);
(6);
(7).
整数指数幂的基本性质2：
03
新知探究
设是正整数，求证:
(1); (2).
证明： (1);
(2)
整数指数幂的基本性质3：
03
新知探究
设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得
因此
03
新知探究
设计算下列各式：
例6
解：(1)；
(2)；
(3)= ==.
(1)； (2)； (3).
03
新知探究
计算下列各式：(1); (2).
例7
解： (1) ;
(2).
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
1.下列运算结果为的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
04
课堂练习
2.下列各式正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．（，n为正整数）
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
3.已知x,y都是整数，且则的值是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
4.当时，如果，则 ．
5.计算： .（科学记数法表示）
6.计算：的结果为 ．
5
7
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
7.计算:(1)；
(2)．（结果只含有正整数指数幂）
（1）解：原式=；
（2）解：原式．
05
课堂小结
整数指数幂的基本性质1：
整数指数幂的基本性质2：
整数指数幂的基本性质3：
同底数幂的除法法则：
分式的乘方：
06
作业布置
【知识技能类作业】
1.下列运算正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
D
06
作业布置
2.计算的结果为（ ）
A．
B．
C．1
D．
B
06
作业布置
【知识技能类作业】
3.下列计算正确的有（ ）．
① ② ③
④ ⑤
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
C
06
作业布置
【综合拓展类作业】
4. 已知，求．
解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴原式．
07
板书设计
同底数幂的除法：
同底数幂的乘法：
幂的乘方：
积的乘方：
分式的乘方：
2.4.3 整数指数幂的基本性质
习题讲解书写部分
Thanks!
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 湘教版 册、章 上册第2章
课标要求 1.了解分式和最简分式的概念，能利用分式的基本性质进行约分和通分。 2.能对简单的分式进行加、减、乘、除运算。 3.能根据现实情境理解方程的意义，能针对具体问题列出分式方程； 4.能解可化为一元一次方程的分式方程。 5.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数（包括在计算器上表示）。
内容分析 本章是初中数学湘教版八年级上册第2章《分式》，属于《义务教育数学课程标准》中的“数与代数”领域中的“数与式”和“方程与不等式”。本章是衔接“整式运算”与“二次根式”“函数”的关键桥梁，系统构建了分式知识体系：从分式定义（分母含字母的代数式）→基本性质（约分/通分）→四则运算（乘除、加减）→整数指数幂（零/负指数幂）→分式方程（解法与应用）。通过本章的学习，学生能够掌握分式的基本概念和运算方法，能够解决简单的实际问题，培养学生分析问题、解决问题的能力
学情分析 知识基础 1.已掌握整式运算、因式分解及等式性质。 2.具备分数运算经验，但易混淆分式与整式的差异（如忽略“分母≠0”的条件）。 学习障碍 1.概念层面：分式值为零需“分子=0且分母≠0”，学生常遗漏分母限制。 2.运算层面：异分母加减通分时，最简公分母确定困难（尤其含多项式时）。 3.应用层面：将“至少”“不超过”等实际语言转化为分式方程时逻辑不清。
单元目标 （一）教学目标 1.了解分式的概念，明确分式与整式的区别，求分式有/无意义及值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，掌握分式的约分、通分方法。 3.掌握分式的加、减、乘、除、乘方的运算法则，能够熟练进行分式的运算。 4.了解整数指数幂的意义和基本性质，会用科学记数法表示一些绝对值较小的数。 5.会解可化为一元一次方程的分式方程，并能理解其解法和检验方法。 6.通过类比分数学习分式，体会数学知识之间的内在联系。 7.经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型。 8.培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流。 （二）教学重点、难点 重点 1.分式概念的理解。 2.分式的基本性质、运算法则以及整数指数幂。 3.分式的加法和减法运算规则。 4.分式方程的解法及应用 难点 1.分式有、无意义的条件，及分式值为零的条件。 2.理解分式的基本性质，并能运用这些性质解决实际问题。 3.理解分式加减运算的原理，能够灵活运用运算规则进行计算。 4.分式方程的解法和检验方法。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架 （二）课时安排 课时编号单元主要内容课时数2.1分式的概念及基本性质22.2分式的加法和减法32.3分式的乘法和除法22.4整数指数幂32.5可化为一元一次方程的分式方程2第2章小结与复习1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务2.1 分式的概念及基本性质（1）1.理解分式的定义，能够判断一个式子是否为分式。 2.掌握分式有、无意义的条件，以及分式值为零的条件。1.能够判断一个式子是否为分式。 2.在实际问题中正确识别分式模型，并能够根据条件判断分式的意义。任务一：情境导入，初步接触分式。 任务二：探究新知，理解分式的概念。 任务三：例题精讲，探究分式有意义的条件。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.1 分式的概念及基本性质（2）1.掌握分式基本性质，能运用性质进行分式变形。 2.熟练约分至最简分式（分子分母无公因式），能判断分式是否为最简形式。 3.类比分数的基本性质，自主探究分式的基本性质，提高类比推理能力和自主学习能力。 4.感受数学变形的简洁美，养成步步检验的习惯。1.能运用性质进行分式变形。 2.能约分至最简分式、能判断分式是否为最简形式。任务一：复习回顾，回顾分数的基本性质。 任务二：探究新知，探究分式的基本性质。 任务三：例题精讲，化分式为最简分式。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.2 分式的加法和减法（1）1.理解同分母分式的加减法规则，掌握同分母分式加减运算的方法。 2.能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 3.通过类比分数的加减运算，引导学生自主探究同分母分式的加减法规则，培养学生的类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行同分母分式的加减运算，并能够对结果进行化简。 任务一：复习导入，回顾同分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究同分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，运用法则进行计算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（2）1.理解最简公分母的概念，掌握求最简公分母的方法。 2.掌握通分的方法，能够将异分母分式化为同分母分式。 3.类比分式的通分自主探究分式的通分方法，提高类比推理能力和自主学习能力。能够正确进行通分。 任务一：复习导入，回顾异分母分数的运算法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式的加减运算法则。 任务三：例题精讲，进行通分。 任务四：巩固练习，课堂小结2.2 分式的加法和减法（3）1.理解异分母分式加减法的法则，能够正确进行异分母分式的加减运算。 2.会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果。 3.通过类比异分母分数的加减法，推导异分母分式加减法的法则，体会类比迁移的思想方法。会将异分母分式化为同分母分式后再进行加减运算，并化简结果，能够正确进行异分母分式的加减运算。 任务一：复习巩固，回顾异分母分式加减法的法则。 任务二：探究新知，探究异分母分式加减法。 任务三：例题精讲，进行异分母分式的加减运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（1）1.掌握分式乘除法则，能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.理解分式乘除混合运算的顺序（先乘除后加减，有括号先算括号内），能准确计算并化简结果。 3.通过类比分数运算，经历分式运算法则的推导过程，培养逻辑推理能力。1.能正确进行同分母、异分母分式的乘除运算。 2.能准确进行混合运算计算并化简结果。 任务一：复习导入，回顾分数的乘法运算法则。 任务二：新知探究，探究分式乘除法则。 任务三：例题精讲，进行分式的乘除运算。 任务四：巩固练习，课堂小结2.3 分式的乘法和除法（2）1.掌握分式乘方法则，能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。 2.理解运算顺序，能将混合运算统一为乘法（如除法转化为乘除数的倒数）。 3.类比分数的乘方运算自主探索分式乘方的法则，提高类比推理能力和自主学习能力。能正确计算单项式和多项式分式的乘方及混合运算。任务一：复习导入，回顾分数的乘方。 任务二：新知探究，探究分式的乘方。 任务三：例题精讲，进行分式的乘方及混合运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.1 同底数幂的除法1.能够理解并掌握同底数幂的除法法则，熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.自主探索同底数幂的除法法则，培养学生的观察、猜想、验证等自主学习能力和数学思维能力。1.熟练进行同底数幂的除法运算。 2.能够正确处理底数为多项式或负数的情况。任务一：新知导入，观察计算过程。 任务二：新知探究，同底数幂的除法法则的推导 任务三：例题精讲，进行同底数幂的除法运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.2 零次幂和负整数指数幂1.能够理解并掌握零次幂和负整数指数幂的概念及其性质，熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。 3.能够正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。1.能熟练进行零次幂和负整数指数幂的运算。 2.能用科学记数法表示微观数据，并解决分式化简问题。任务一：复习导入，回顾同底数幂的除法。 任务二：新知探究，零次幂和负整数指数幂 任务三：例题精讲，进行零次幂和负整数指数幂的运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.4.3 整数指数幂的基本性质1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。 2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。1.理解因式分解的概念，能够准确判断一个式子是否为因式分解。 2.明确因式分解与整式乘法的互逆关系，能够通过整式乘法验证因式分解的正确性。任务一：复习导入，回顾幂的运算性质。 任务二：新知探究，将指数的范围拓展 任务三：例题精讲，运用性质进行运算。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（1）1.学生能够理解并掌握分式方程的概念及其解法。 2.学生能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 3.学生能够正确处理增根问题，提高运算能力。能够熟练进行分式方程的解法，包括去分母、化简、检验等步骤。 任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的概念。 任务三：例题精讲，解分式方程。 任务四：巩固练习，课堂小结。2.5 可化为一元一次方程的分式方程（2）1.能够理解并掌握分式方程的实际应用，包括如何从实际问题中抽象出分式方程。 2.掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。 3.发展数学抽象思维和综合分析问题的能力。掌握“列→解→验→答”四步法，并验证实际合理性。任务一：情境导入，列分式方程。 任务二：新知探究，探究分式方程的应用。 任务三：例题精讲，建立模型。 任务四：巩固练习，课堂小结。第2章 小结与评价1.能够系统回顾和总结分式的基本概念、性质、运算规则以及分式方程的解法和应用。 2.能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题，提高运算能力和解题技巧。 3.通过知识结构图和典型例题，梳理分式章节的核心内容，形成知识体系。能够熟练进行分式的化简、加减乘除运算，解决分式方程及其应用问题。任务一：知识图谱，梳理本章知识点。 任务二：思考回顾，回顾重点知识，了解注意事项 任务三：自评互评，了解知识掌握情况 任务四：巩固练习，进行习题自测。
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分课时教学设计
第三课时《整数指数幂的基本性质》教学设计
课型 新授课 复习课 试卷讲评课 其他课
教学内容分析 《整数指数幂的基本性质》是湘教版八年级上册第2章《分式》的第四节第三课时的内容。本节课在数学体系中起着承上启下的作用。教材从正整数指数幂的性质出发，结合零指数幂和负整数指数幂，将指数幂的运算性质推广到整数范围。通过类比和推理，学生能够更好地理解指数运算的内在规律，为后续学习分式、二次根式以及高中数学中的指数函数等内容奠定坚实的基础。同时教材通过丰富的实例和练习，帮助学生逐步掌握整数指数幂的运算法则，培养学生的数学思维和运算能力。
学习者分析 八年级学生在学习本节内容之前，已经对正整数指数幂的概念和基本运算性质有了初步的了解，具备一定的数学基础和运算能力。然而，零指数幂和负整数指数幂的概念较为抽象，学生在理解上可能会存在困难。此外，学生正处于从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，思维能力不断发展，但抽象思维能力仍需进一步培养。因此，在教学过程中，需要通过具体的例子、类比推理以及多媒体辅助等方式，帮助学生更好地理解和掌握整数指数幂的基本性质。
教学目标 1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。 2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。 3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。
教学重点 整数指数幂的基本性质及其应用。
教学难点 混合运算中整数指数幂的优先级。
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：新知导入教师活动1： 计算：(1) ； (2) ； (3) . 解：(1) ； (2)； (3). 【回顾】 同底数幂的除法法则： 学生活动1： 认真思考，举手回答问题 回顾单项式与多项式相乘的法则 活动意图说明：复习导入有利于衔接新旧知识，提高学习效率。通过旧知识引入新的知识有利于活跃课堂教学氛围，激发学生学习动机。环节二：探究新知教师活动2： 探究：整数指数幂的基本性质 【思考】 (1)已知，填空： (都是正整数)； (m，n都是正整数)； (n是正整数). (2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？ 【同底数幂的乘法】 设都是正整数，求证: (1)； (2)； (3)； (4) ； (5). (注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 ) 【幂的乘方】 设都是正整数，求证: (1)； (2) (3)； (4)； (5)； (6)； (7). 【积的乘方】 设是正整数，求证: (1)； (2). 【分式的乘方】 设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得 因此 学生活动2： 回顾幂的运算性质 认真思考，探究整数指数幂的基本性质 合作交流，推广同底数幂的乘法 认真思考，推广幂的乘方 认真思考，推广积的乘方 认真思考，推广分式的乘方 活动意图说明：学生通过合作探究不仅促进了学生的合作意识，还有利于提高学生解决问题的能力，能促进学生的全面发展。环节三：例题精讲教师活动3： 例6设计算下列各式： (1)； (2)； (3). 解：(1)； (2)； (3)= ==. 例7计算下列各式：(1)； (2). 解： (1) ； (2).学生活动3： 学生认真思考，独立完成习题 认真听讲 活动意图说明：让学生通过具体例题的教学理解和巩固数学基础知识，把数学理论与实践相结合，掌握数学基础知识理论的用途和方法，从而达到提高分析问题解决问题的能力的目标。环节四：课堂总结教师活动4： 因式分解：一般地，把一个多项式表示成若干个多项式的乘积形式，称为把这个多项式因式分解，也称为分解因式. 多项式的因式分解与多项式的乘法之间的关系： 多项式的因式分解与多项式的乘法运算是互逆的变形过程。学生活动4： 学生跟随教师对学习内容进行归纳梳理 活动意图说明：对课堂教学进行归纳梳理，给学生一个整体印象，促进学生掌握知识总结规律。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列运算结果为的是（ ） A． B． C． D． 2.下列各式正确的是（ ） A． B． C． D．（，n为正整数） 3.已知x,y都是整数，且则的值是（ ） A． B． C． D． 选做题： 4.当时，如果，则 ． 5.计算： .（科学记数法表示） 6.计算：的结果为 ． 【综合拓展类作业】 7.计算 (1)； (2)．（结果只含有正整数指数幂）
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1.下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 2.计算的结果为（ ） A． B． C．1 D． 3.下列计算正确的有（ ）． ① ② ③ ④ ⑤ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【综合拓展类作业】 4.已知，求．
教学反思 在本节课的教学中，我采用了启发式和探究式教学方法，通过问题引导学生自主探究整数指数幂的性质。学生在小组讨论中表现积极，但仍有部分学生依赖他人，缺乏独立思考。在教学过程中，我通过具体的例子和类比方法，帮助学生理解零指数幂和负整数指数幂的概念，但在实际应用中，仍有部分学生出错。今后，我需要更多关注每个学生的参与度，通过更多的实例和变式训练，帮助学生加深理解。同时，我还需要更具体地评价学生的思维过程，帮助他们发现优点和不足，促进学习进步。
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第2章 分式
2.4.3 整数指数幂的基本性质
学习目标与重难点
学习目标：
1.掌握整数指数幂的四条基本性质（同底数幂、幂乘方、积乘方、商乘方），能规范化简复杂表达式。
2.学生能够熟练进行整数指数幂的综合运算，正确处理底数为多项式或负数的情况，提高运算能力。
3.感受数学的统一美（整数指数性质贯通），培养符号规范与步骤严谨意识。
学习重点：
整数指数幂的基本性质及其应用。
学习难点：
混合运算中整数指数幂的优先级。
教学过程
一、复习回顾
计算：(1) ； (2) ； (3) .
【回顾】
同底数幂的除法法则：
二、新知探究
探究：整数指数幂的基本性质
教材第47页
【思考】
(1)已知，填空：
(都是正整数)；
(m，n都是正整数)；
(n是正整数).
(2)上述三个等式，能否推广到m，n是整数？
【同底数幂的乘法】
设都是正整数，求证:
(1)； (2)；
(3)； (4) ；
(5).
(注意：可以用同底数幂的除法法则、零次幂、负整数指数幂 )
【幂的乘方】
设都是正整数，求证:
(1)； (2) (3)；
(4)； (5)； (6)；
(7).
【积的乘方】
设是正整数，求证:
(1)； (2).
【分式的乘方】
设是整数，利用整数指数幂的基本性质2和基本性质3得
因此
三、例题精讲
例6设计算下列各式：
(1)； (2)； (3).
例7计算下列各式：(1)； (2).
四、课堂练习
【知识技能类作业】
必做题
1.下列运算结果为的是（ ）
A． B． C． D．
2.下列各式正确的是（ ）
A． B．
C． D．（，n为正整数）
3.已知x,y都是整数，且则的值是（ ）
A． B． C． D．
选做题
4.当时，如果，则 ．
5.计算： .（科学记数法表示）
6.计算：的结果为 ．
【综合拓展类作业】
7.计算
(1)；
(2)．（结果只含有正整数指数幂）
五、课堂小结
这节课你收获了什么，在计算过程中须注意什么
六、作业布置
1.下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2.计算的结果为（ ）
A． B． C．1 D．
3.下列计算正确的有（ ）．
① ② ③
④ ⑤
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
4.已知，求．
答案解析
课堂练习：
1.【答案】D
【解析】解：A．
B．
C．
D．
故选D．
2.【答案】D
【解析】解：，故原选项计算错误，不合题意；
B、，故原选项计算错误，不合题意；
C、，故原选项计算错误，不合题意；
D、（，，n为正整数），故原选项计算正确，符合题意．
故选：D．
3.【答案】D
【解析】解：∵
∴
则
故选D
4.【答案】
【解析】解：∵
∴
∴
∴
故答案为：．
5.【答案】
【解析】
．
故答案为：．
6.【答案】7．
【解析】解：原式＝
＝
＝8＋1－2
＝7
7.【答案】（1）解：原式=；
（2）解：原式．
作业布置：
1.【答案】D
【解析】解：A、，原计算错误，不符合题意；
B、，原计算错误，不符合题意；
C、，原计算错误，不符合题意；
D、，原计算正确，符合题意，
故选：D．
2.【答案】B
【解析】
=
=
=
故选B．
3.【答案】C
【解析】解：①，故①正确；②，故②正确； ③当m是偶数时，，故③错误；④，故④错误；⑤，故⑤错误.
正确的有①②，共2个.
故选C
4．【答案】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴
．
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