专题强化练1　匀强磁场中的临界、极值问题

专题强化练1　匀强磁场中的临界、极值问题
题组一　平行边界匀强磁场
1.(多选题)如图所示,左右边界分别为PP'、QQ'的匀强磁场的宽度为d,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸
面向里。一个质量为m、电荷量为q的粒子沿图示方向以速度v0垂直射入磁场,欲使粒子不能从边界QQ'射出,粒子入射速度v0的最大值可能是(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
题组二　圆边界匀强磁场
2.如图所示,在虚线所包围的圆形区域内有方向垂直于平面向里的匀强磁场,从磁场边缘的A点沿半径方向射入速率不等的质子,这些质子在磁场里运动的过程中(　　)
A.运动时间均相等
B.速率越大的质子运动时间越长
C.运动半径越大的质子运动时间越短
D.运动半径越大的质子向心加速度越小
3.如图所示,圆形区域有一匀强磁场,磁感应强度为B,方向垂直于纸面向里,边界跟y轴相切于坐标原点O。O点处有一放射源,沿纸面向各方向射出速率均为v的某种带电粒子,带电粒子在磁场中做圆周运动的半径是圆形磁场区域半径的两倍。已知该带电粒子的质量为m、电荷量为q,不考虑带电粒子的重力和粒子间的相互作用。求:
(1)带电粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径;
(2)带电粒子通过磁场的最大速度偏转角。
题组三　环边界匀强磁场
4.2022年10月,中核集团核工业西南物理研究院科研团队再传佳绩,中国新一代“人造太阳”科学研究取得突破性进展,HL-2M等离子体电流突破100万安培,创造了我国可控核聚变装置运行新纪录,技术水平居国际前列。如图为核聚变中磁约束的托卡马克装置的简化图,圆环状匀强磁场区域的内半径为R1,外半径为R2,磁感应强度大小为B,方向垂直于环面,中空区域内带电粒子的质量为m,电荷量为q,具有各个方向的速度。欲使带电粒子被约束在半径为R2的区域内,则带电粒子的最大速度为(　　)
A.　　　　B.
C.　　　　D.
题组四　单直线或双直线边界匀强磁场
5.(多选题)如图所示,空间中存在方向垂直纸面的匀强磁场,一粒子发射源P位于足够大的绝缘平板MN上方,到MN的距离为d,粒子发射源在纸面内向各个方向发射速率均为v的同种带电粒子,不考虑粒子间的相互作用和粒子重力,已知粒子在磁场中做圆周运动的半径大小也为d,则粒子(　　)
A.能打在平板MN上的区域长度为d
B.能打在平板MN上的点与P点的最大距离为d
C.在磁场中运动的最长时间为
D.在磁场中运动的最短时间为
6.如图,在平面直角坐标系xOy的第四象限内,有垂直于纸面向里的匀强磁场。现有一质量为m=5.0×10-8 kg、电荷量为q=1.0×10-6 C的带正电粒子,从静止开始经U0=10 V的电压加速后,从图中P点沿图示方向进入磁场时速度方向与y轴负方向夹角为37°。已知OP=30 cm,粒子重力不计,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
(1)带电粒子到达P点时速度v的大小是多少
(2)若磁感应强度的大小B=2 T,粒子从x轴上的Q点离开磁场,则OQ间的距离是多少
(3)若粒子不能从x轴上方射出,则磁感应强度B的最小值是多少
题组五　矩形边界匀强磁场
7.(多选题)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,那么下列说法中正确的是(　　)
A.若该带电粒子在磁场中运动的时间是t0,则它一定从cd边射出磁场
B.若该带电粒子在磁场中运动的时间是t0,则它一定从ad边射出磁场
C.若该带电粒子在磁场中运动的时间是t0,则它一定从bc边射出磁场
D.若该带电粒子在磁场中运动的时间是t0,则它一定从ab边射出磁场
答案与分层梯度式解析
1.AC 2.C 4.B 5.AC 7.AC
1.AC　粒子在磁场中做匀速圆周运动,由R=知,粒子的入射速度v0越大,R越大,当粒子的运动轨迹和边界QQ'相切时,粒子刚好不从QQ'射出,此时其入射速度v0应为最大。若粒子带正电,其运动轨迹如图(a)所示(轨迹圆心为O点),根据几何关系有R1 cos 45°+d=R1,且R1=,联立解得v0=;若粒子带负电,其运动轨迹如图(b)所示(轨迹圆心为O'点),根据几何关系有R2+R2 cos 45°=d,且R2=,联立解得v0=,故选A、C。
　　　　　图(a)　　　　　　　　　图(b)
规律方法
临界、极值问题的特点
以题目中“恰好”“最大”“最高”“至少”等词语为突破口,找出临界条件,如:
　　(1)刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切;
　　(2)当速率v一定时,弧长(或弦长)越长,圆心角越大,则带电粒子在有界匀强磁场中运动的时间越长;
　　(3)圆形匀强磁场中,当运动轨迹半径大于磁场区域半径,入射点和出射点为磁场区域直径的两端点时,轨迹对应的偏转角最大。
2.C　设质子运动的轨迹半径为R,圆形磁场半径为r,由qvB=m可得R=,则v越大,R越大;周期T=,可知周期与运动速度大小无关,运动时间t=T,其中tan=,所以v越大、R越大、α越小、t越小,故A、B错误,C正确;向心加速度a==,由于粒子运动半径R越大,v越大,所以向心加速度a也越大,D错误。
3.答案　(1)　(2)60°
思路点拨　粒子的速率均相同,因此粒子轨迹圆的半径均相同,但粒子射入磁场的速度方向不确定,故可以保持圆的大小不变,只改变圆的位置,画出“旋转圆”。
甲　　　　　　　　　　　　　乙
解析　(1)带电粒子进入磁场后,在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,由牛顿第二定律可得Bqv=m,
解得r=。
(2)如图甲所示,通过“旋转圆”可以观察到粒子运动轨迹均为劣弧,对于劣弧而言,弧越长,弧所对应的圆心角越大,速度偏转角等于弧所对应的圆心角,则速度偏转角越大。
当粒子的轨迹圆的弦长等于磁场区域直径时,粒子在磁场中的速度偏转角最大,如图乙所示,则sin ==,可得φmax=60°。
4.B　由r=可知,带电粒子的速度越大,在磁场中做圆周运动的半径就越大,要使带电粒子被约束在环形匀强磁场区域内,如图所示,可得带电粒子圆周运动的最大半径为Rmax=,可得vmax=,B正确。
5.AC　根据题意,假设打在平板MN上的粒子轨迹的临界状态如图甲所示,由几何关系得,打在平板上最左边的点A与P点的距离为d,打在平板最右边的点B与P点的距离为2d,A、B两点相距(+1)d,则粒子能打在平板MN上的区域长度为(+1)d,打在平板上的点与P点的最大距离为2d,故A正确,B错误;
甲
乙
粒子在磁场中运动的最长时间和最短时间对应的轨迹分别如图乙中的1、2所示,粒子在磁场中运动的周期为T==,由几何关系得粒子运动的最长时间为t1=T=,最短时间为t2=T=,故C正确,D错误。
方法技巧
“旋转圆法”巧解临界、极值问题
当定点粒子源发射速度大小相等、方向不同,比荷和电性都相同的带电粒子时,由r=可知轨迹半径大小不变。将一半径为r=的圆以入射点为轴(入射点为圆上一点)进行旋转,可以看出轨迹圆的圆心共圆,即带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的圆心在以入射点为圆心、
半径r=的圆上,从而探索粒子的临界条件。
6.答案　(1)20 m/s　(2)0.90 m　(3) T
解析　(1)对带电粒子的加速过程,由动能定理得qU0=mv2,
代入数据解得v=20 m/s。
(2)带电粒子仅在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动,有qvB=m,
得R=,代入数据得R=0.50 m,
而=0.50 m,
故粒子的轨迹圆心一定在x轴上,粒子到达Q点时速度方向垂直于x轴,轨迹如图甲所示。由几何关系可知OQ=R+R cos 37°,故OQ=0.90 m。
甲　　　　　　　　　　　　　乙
(3)若带电粒子不从x轴射出(如图乙),由几何关系得OP≥R'+R' sin 37°,
有R'=,
联立并代入数据得B≥ T,则磁感应强度B的最小值是 T。
7.AC　粒子从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0,刚好从c点射出磁场,假设粒子在磁场中做匀速圆周运动的周期为T,则有t0=。带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°方向的速度射入正方形内,若粒子从cd边射出磁场,如轨迹④所示,由几何关系可知粒子运动轨迹对应的圆心角为θ1=300°,可知粒子在磁场中运动的时间为t1=T==t0,故A正确。假设粒子的运动轨迹刚好与ad边相切,如轨迹①所示,可知粒子运动轨迹对应的圆心角为θ2=60°,则有t2=T==t0,粒子如果从ad边射出,在磁场中运动的
时间一定小于t0,B错误。假设粒子的运动轨迹刚好与ab边相切,如轨迹②所示,可知粒子运动轨迹对应的圆心角为θ3=150°,则有t3=T==t0,粒子如果从ab边射出,则在磁场中运动的时间t满足t0≤t方法技巧
“放缩圆法”巧解临界、极值问题
粒子源发射的速度方向一定、大小不同的带电粒子进入匀强磁场时,这些带电粒子在磁场中做匀速圆周运动的轨迹半径随速度的变化而变
化,如图所示,以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放大缩小作轨迹圆,从而找出临界条件。
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