专题强化练2　带电粒子在磁场中运动的多解问题

专题强化练2　带电粒子在磁场中运动的多解问题
题组一　临界状态不唯一造成多解
1.(多选题)长为l的水平极板间有垂直于纸面向里的匀强磁场,磁感应强度为B,板间距离为l,极板不带电。现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力),从左边、极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场,如图所示。欲使粒子不打在极板上,可采用的办法是(　　)
A.使粒子的速度v<
B.使粒子的速度v>
C.使粒子的速度v>
D.使粒子的速度v满足题组二　带电粒子电性不确定造成多解
2.(多选题)平面OM和平面ON之间的夹角为35°,其横截面(纸面)如图所示,平面OM上方存在匀强磁场,磁感应强度大小为B,方向垂直于纸面向外。一质量为m、电荷量为q、电性未知的带电粒子从OM上的某点向左上方射入磁场,速度方向与OM成20°角,运动一会儿后从OM上另一点射出磁场。不计粒子重力。则下列几种情形可能出现的是(　　)
A.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个交点,在磁场中运动的时间是
B.粒子在磁场中运动的轨迹与ON只有一个交点,在磁场中运动的时间是
C.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个交点,在磁场中运动的时间是
D.粒子在磁场中运动的轨迹与ON共有两个交点,在磁场中运动的时间是
题组三　磁场方向不确定造成多解
3.(多选题)如图所示,A点的离子源沿垂直OQ方向向上射出一束负离子,离子的重力忽略不计。为把这束负离子约束在OP之下的区域内,可加垂直于纸面的匀强磁场。已知O、A两点间的距离为s,离子的比荷为,速率为v,OP与OQ间的夹角为30°,则所加匀强磁场的磁感应强度B的大小和方向可能是(　　)
A.B>,垂直于纸面向里
B.B>,垂直于纸面向里
C.B>,垂直于纸面向外
D.B>,垂直于纸面向外
题组四　运动的周期性造成多解
4.(多选题)如图所示,两方向相反、磁感应强度大小均为B的匀强磁场被边长为L的等边三角形ABC分开,三角形内的磁场方向垂直于纸面向里,三角形顶点A处有一质子源,能沿∠BAC的角平分线发射速率不同的质子(质子的重力不计),所有质子均能通过C点,质子比荷=k,则质子的速度可能为　(　　)
A.BkL　　　B.　　　C.　　　D.
5.(经典题)(多选题)如图甲所示的平行金属极板M、N之间存在交替出现的匀强磁场和匀强电场,取垂直纸面向外为磁场正方向,磁感应强度B随时间t周期性变化的规律如图乙所示,取垂直极板向上为电场正方向,电场强度E随时间t周期性变化的规律如图丙所示。t=0.5t0时,一不计重力、带正电的粒子从极板左端以大小为v的速度沿板间中线平行极板射入板间,最终平行于极板中线射出,已知粒子在t=1.5t0时速度为零,且整个运动过程中始终未与两极板接触,则下列说法正确的是(　　)
　　
A.粒子可能在2.5t0时刻射出极板
B.极板间距大于+
C.极板长度为(n=1,2,3,…)
D.=
6.如图,空间存在方向垂直于纸面(xOy平面)向里的磁场,在x≥0的区域,磁感应强度的大小为B0;x<0区域,磁感应强度的大小为λB0。一质量为m、电荷量为q(q>0)的带电粒子以速度v0从坐标原点O沿x轴正方向射入磁场,此时开始计时。粒子所受重力忽略不计。
(1)若λ>1,求从计时开始到第一次速度方向沿x轴正方向的过程中粒子的平均速度;
(2)若此后粒子能再一次经过坐标原点,求λ应满足的条件。
题组五　运动方向不确定造成多解
7.如图,匀强磁场的磁感应强度大小为B。磁场中的水平绝缘薄板与磁场的左、右边界分别垂直相交于M、N,MN=L,粒子打到板上时会被反弹(碰撞时间极短),反弹前后水平分速度不变,竖直分速度大小不变、方向相反。质量为m、电荷量为-q的粒子速度一定,可以从左边界的不同位置水平射入磁场,在磁场中做圆周运动的半径为d,且d(1)求粒子运动速度的大小v;
(2)欲使粒子从磁场右边界射出,求入射点到M的最大距离xm;
(3)从P点射入的粒子最终从Q点射出磁场,PM=d,QN=d,求粒子从P到Q的运动时间t。(结果用L、d、m、q、B等物理量表示)
答案与分层梯度式解析
1.AB 2.ABD 3.BD 4.ABD 5.ABD
1.AB　当粒子恰好打到上极板的右边缘时,设轨迹半径为r1,由几何关系可得=l2+,解得r1=l;由r1=可得v==;故要使粒子从极板右侧飞出,应满足v>。当粒子恰好打到上极板的左边缘时,轨迹半径r2=,由r2=可得v==;可知当v<时,粒子不能打在极板上。综上可知,欲使粒子不打在极板上,粒子的速度v应满足v<或v>,选A、B。
2.ABD　
图形剖析　电性不确定,造成多解,轨迹图如下:
带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动,由洛伦兹力提供向心力,有qvB=m,T=,得到r=,T=。若粒子带负电,它将做逆时针方向的匀速圆周运动,粒子回到OM时,由对称性可知速度方向必与OM成20°角,由于35°>20°,则粒子轨迹与ON只可能有一个交点,故粒子回到OM时速度偏转角只可能为40°,运动时间t=×=,A符合题意,C不符合题意。若粒子带正电,将做顺时针方向的匀速圆周运动,轨迹与ON可能有一个或两个交点,无论轨迹与ON有几个交点,粒子回到OM时,由对称性可知速度方向必与OM成20°角,粒子速度偏转角为360°-40°=320°,则粒子运动的时间为t=×=,B、D符合题意。
3.BD　当所加匀强磁场方向垂直于纸面向里时,由左手定则知负离子向右偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子的运动轨迹与OP相切,如图中的大圆弧,由几何知识知R2=OB sin 30°=OB,而OB=s+R2,解得R2=s,
所以当离子轨迹的半径小于s时满足约束条件;由牛顿第二定律可得qvB=m,则B>,故A不符合题意,B符合题意。当所加匀强磁场方向垂直于纸面向外时,由左手定则知负离子向左偏转,约束在OP之下的区域的临界条件是离子运动轨迹与OP相切,如图中的小圆弧,由几何知识可得R1=,所以当离子轨迹的半径小于时满足约束条件;由牛顿第二定律可得qvB=m,所以得B>,故C不符合题意,D符合题意。
4.ABD　质子带正电,且经过C点,由于质子可能多次穿过边界AC,画出可能的两种情况如图,所有圆弧所对圆心角均为60°,根据几何关系可得质子运动的半径可能为r=(n=1,2,3,…);根据洛伦兹力提供向心力,可得qvB=m,解得v==(n=1,2,3,…),故A、B、D符合题意,C不符合题意。
关键点拨　解答本题,关键是明确所有圆弧对应的圆心角都是60°。AC是两磁场的边界,粒子从同一直线边界射入和射出磁场时,速度方向与边界的夹角相等,速度方向的偏转角等于其轨迹对应的圆心角。
5.ABD
模型构建　带电粒子在交替出现的磁场和电场中运动,根据题意分析1个运动周期内粒子的运动情况。
在0.5t0~t0内,粒子只受洛伦兹力,在磁场中做匀速圆周运动,且转了周;
在t0~1.5t0内,粒子在电场中向下做减速运动到速度为零;
在1.5t0~2t0内,粒子在电场中向上做加速运动到速度大小为v;
在2t0~2.5t0内,粒子在磁场中做匀速圆周运动,转了周,2.5t0时,粒子回到极板中线,速度平行于极板中线,接下来粒子周期性地重复以上运动,粒子在一个运动周期内的轨迹如图所示:
粒子一个运动周期为T=2.5t0-0.5t0=2t0。
由模型构建可知,粒子射出极板的时刻可能为t=0.5t0+nT=(0.5+2n)t0(n=1,2,3,…),当n=1时,t=2.5t0,A正确;设粒子在磁场中的轨迹半径为r,则有T磁==2t0,解得r=,粒子在电场中向下减速的位移大小为y=×0.5t0=,极板间距d应满足d>2(r+y)=+,B正确;极板长度可能为L=n·2r=(n=1,2,3,…),C错误;粒子在磁场中,有T磁==2t0,解得B0=,粒子在电场中,有v=a×0.5t0=×0.5t0,解得E0=,可得=,D正确。故选A、B、D。
6.答案　(1),方向沿y轴正方向
(2)见解析
解析　(1)设粒子在x≥0的区域做匀速圆周运动的轨迹半径为r1,周期为T1,由洛伦兹力提供向心力,有qv0B0=m,T1=,
解得r1=,T1=,
设粒子在x<0区域做匀速圆周运动的轨迹半径为r2,周期为T2,有λqv0B0=m,T2=,
解得r2=,T2=,
粒子的运动轨迹示意图如图所示。
则平均速度为=,
解得=,方向沿y轴正方向。
(2)当λ=1时,粒子运动一周恰好回到坐标原点;
λ>1时,粒子回旋一个周期后轨迹向上平移,将远离O点,无法再一次通过坐标原点;
当λ<1时,粒子回旋一个周期后轨迹向下平移,有可能再一次通过坐标原点O;
如图所示,当λ<1时,每次回旋一个周期粒子下移距离为Δy=2(r2-r1),
要使粒子再次经过坐标原点,应该满足NΔy=2r1,
即2N(r2-r1)=2r1,
将上述r1、r2代入可得λ=(N=1,2,3,…)。
7.答案　(1)　(2)d　(3)见解析
解析　(1)粒子在磁场中做匀速圆周运动,洛伦兹力提供向心力,有qvB=
解得粒子运动速度的大小v=。
(2)如图所示,粒子与水平绝缘薄板第一次碰撞后的运动轨迹恰好与磁场左边界相切,此时入射点到M的距离最大,由几何关系得xm=d
整理得xm=d。
(3)粒子做匀速圆周运动,有T==。
粒子从P点垂直边界射入磁场,粒子做圆周运动的半径为d,且PM=d,则粒子垂直打到水平薄板上。设粒子最后一次与水平薄板碰撞到射出磁场的时间为t',则粒子从P到Q的运动时间为t=n+t'。
(a)当L=nd+d=nd+d(n=1,3,5…)时,粒子斜向上射出磁场,粒子从最后一次与水平薄板碰撞到射出磁场转过的圆心角为,故t'=T=,联立代入数据,得t=。
(b)当L=nd+d=nd+d(n=1,3,5…)时,粒子斜向下射出磁场,粒子从最后一次与水平薄板碰撞到射出磁场转过的圆心角为π,故t'=T=T,联立代入数据,得t=。
10