第1章　安培力与洛伦兹力 复习提升（含答案解析）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　不能将立体图转化为平面图
1.如图所示,倾角为θ的光滑导轨平行放置,两导轨间距离为L。所在空间中存在竖直方向的匀强磁场,磁感应强度大小为B,质量为m的导体杆ab水平放在导轨上,通以恒定电流I时恰好静止。下列说法正确的是 (　　)
A.若磁场方向竖直向上,电流方向必由a到b,且BIL=mg sin θ
B.若磁场方向竖直向上,电流方向必由b到a,且BIL=mg tan θ
C.若磁场方向竖直向下,电流方向必由a到b,且BIL=mg sin θ
D.若磁场方向竖直向下,电流方向必由b到a,且BIL=mg tan θ
易错点2　霍尔效应中电势高低判断出错
2.霍尔元件是把磁学量转换为电学量的电学元件,如图所示,某元件的宽度为h,厚度为d,磁感应强度为B的磁场垂直于该元件的工作面向下,元件内通入图示方向的电流I,稳定后,C、D两侧面间电势差为U,设元件中能够自由移动的电荷带正电,电荷量为q,且元件单位体积内自由电荷的个数为n,则下列说法正确的是 (　　)
A.C侧面的电势低于D侧面的电势
B.自由电荷受到的电场力为F=q
C.C、D两侧面间电势差与磁感应强度的关系为U=
D.元件中自由电荷由正电荷变为负电荷,C、D两侧的电势高低不会发生变化
易错点3　不能正确画出运动轨迹
3.如图所示,直径分别为D和2D的同心圆处于同一竖直面内,O为圆心,GH为大圆的水平直径。两圆之间的环形区域(Ⅰ区)存在垂直于圆面向里的匀强磁场。间距为d的两平行金属极板间有一匀强电场,上极板开有一小孔。一质量为m、电荷量为+q(q>0)的粒子在小孔下方处由静止释放,加速后粒子以竖直向上的速度v射出电场,由H点紧靠磁场边界射入磁场。不计粒子的重力。
(1)求极板间电场强度的大小。
(2)若粒子运动轨迹与小圆相切,求Ⅰ区磁场的磁感应强度大小。
思想方法练
一、放缩圆思维的应用
1.(多选题)如图所示,垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形abcd区域内,O点是cd边的中点。一个带正电的粒子仅在洛伦兹力的作用下,从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0后刚好从c点射出磁场。现设法使该带电粒子从O点沿纸面以与Od成30°角的方向,以大小不同的速率射入正方形内,那么下列说法中正确的是 (　　)
A.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从cd边射出磁场
B.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从ad边射出磁场
C.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从bc边射出磁场
D.若该带电粒子在磁场中经历的时间是t0,则它一定从ab边射出磁场
二、旋转圆思维的应用
2.如图,真空室内存在匀强磁场,磁场方向垂直于纸面向里,磁感应强度的大小B=0.30 T,磁场内有一块平面感光板ab,板面与磁场方向平行,在距ab为l=32 cm处,有一个点状的α粒子放射源S,它向各个方向发射α粒子,α粒子的速度大小都是v=3.0×106 m/s,已知α粒子的比荷=5.0×107 C/kg,现只考虑在纸面内运动的α粒子,求ab上被α粒子打中的区域的长度。
三、平移圆思维的应用
3.如图所示,边长为L的正方形有界匀强磁场ABCD,带电粒子从A点沿AB方向射入磁场,恰好从C点飞出磁场;若带电粒子以相同的速度从AD的中点P垂直于AD射入磁场,从DC边的M点飞出磁场(M点未画出)。设粒子从A点运动到C点所用的时间为t1,由P点运动到M点所用时间为t2(带电粒子重力不计),则t1∶t2为 (　　)
A.2∶1　　B.2∶3　　C.3∶2　　D.∶
四、磁聚焦思维问题
4.如图所示,位于第一象限内半径为R的圆形磁场与两坐标轴分别相切于P、Q两点,磁场方向垂直于纸面向外,磁感应强度大小为B,第四象限内存在沿y轴正方向的匀强电场,电场强度大小为E,Q点有一粒子源,可在xOy平面内向各个方向发射速率均为v的带正电粒子,其中沿x轴正方向射入磁场的粒子恰好从P点射出磁场,不计重力及粒子之间的相互作用。
(1)求带电粒子的比荷;
(2)若粒子初速度的方向被限定在QQ'两侧夹角均为30°的范围内,求x轴上有粒子出射的区域范围;
(3)若AQ弧长等于六分之一圆弧,求从磁场边界上A点射出的粒子,由Q点出发至第2次穿出磁场所经历的时间。
答案与分层梯度式解析
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易混易错练
1.B　从右侧侧面观察,若磁场方向竖直向上,根据左手定则可知,导体杆所受安培力有水平向左和水平向右两种情况,对导体杆受力分析,因导体杆可以静止在导轨上,所以其所受安培力方向一定是水平向右的,其大小为F安=BIL=mg tan θ,此时根据左手定则可知,电流方向必由b到a,故B正确,A错误;同理,若磁场方向竖直向下,电流方向必由a到b,且BIL=mg tan θ,故C、D错误。
易错分析　没有掌握将立体图转化为平面图的方法。此题应从右侧侧面观察,立体图形平面化,变三维为二维,将题中的角度、电流方向、磁场方向标在图上,应用左手定则进行分析判断。
2.C　元件中的自由电荷带正电,根据左手定则,自由电荷向C侧面偏转,C侧面的电势高于D侧面的电势,A错误;C、D之间的电场强度E=,自由电荷受到的电场力F=Eq=q,B错误;稳定后,自由电荷所受洛伦兹力的大小等于电场力的大小,即qvB=q,根据电流微观表达式I=nqSv,又S=dh,联立可得U=,故C正确;元件中自由电荷由正电荷变为负电荷,根据左手定则,负电荷向C侧面偏转,则C侧面的电势低于D侧面的电势,D错误。故选C。
易错分析　解答本题,有些同学不明白自由电荷定向移动方向、电流方向和洛伦兹力方向间的关系而导致错解。需明确元件中自由电荷的正负决定着C、D两侧面电势的高低。
3.答案　(1)　(2)或
解析　(1)设极板间电场强度的大小为E,对粒子在电场中的加速运动,由动能定理得
qE·=mv2 ①
由①式解得E= ②
(2)设Ⅰ区匀强磁场的磁感应强度大小为B,粒子做圆周运动的半径为R,由牛顿第二定律得
qvB=m ③
如图所示,粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况。若粒子轨迹与小圆外切,由几何关系得
R= ④
联立③④式解得B= ⑤
若粒子轨迹与小圆内切,由几何关系得R= ⑥
联立③⑥式解得B= ⑦
易错分析　此题易因考虑不全面而出错。此题中粒子运动轨迹与小圆相切有两种情况:粒子运动轨迹与小圆外切和粒子运动轨迹与小圆内切,然后由几何关系确定圆周运动的半径,进而求出磁感应强度大小。
思想方法练
1.AC　利用“放缩圆”思想,以入射点O为定点,画粒子运动轨迹,运动轨迹的圆心在过入射点O且与初速度方向垂直的直线上。如图所示,作出刚好从ab边射出的轨迹①、刚好从bc边射出的轨迹②、从cd边射出的轨迹③和刚好从ad边射出的轨迹④。由从O点沿纸面以垂直于cd边的速度射入正方形内,经过时间t0后刚好从c点射出磁场可知,带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是T=2t0。由图及周期可知,从ad边射出磁场的带电粒子在磁场中经历的时间tad的范围为0方法点津　对于初速度方向一定、大小不同的相同带电粒子进入匀强磁场时,我们常采用“放缩圆”法。如图所示(假设粒子带正电),速度v越大,运动半径也越大。可以发现这些带电粒子射入磁场后,它们运动轨迹的圆心在垂直于初速度方向的直线PP'上。一般以入射点P为定点,圆心位于PP'直线上,将半径放缩画轨迹,从而探索出临界条件。
2.答案　40 cm
解析　如图甲所示为粒子进入单边界磁场时的情景。
本题α粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径R是一定的,从S点向各个方向发射α粒子,S为这些轨迹圆周的公共点,这些轨迹圆的圆心的集合就是以S为圆心、以R为半径的圆,以该圆上任一点为圆心,R为半径画圆,然后截取其在磁场中的一段圆弧,即可画出α粒子可能的一个轨迹图。
α粒子带正电,故在磁场中沿逆时针方向做匀速圆周运动,用R表示轨道半径,有qvB=m
由此得R=
代入数值得R=20 cm,可见2R>l>R
如图所示,因朝不同方向发射的α粒子的圆轨迹都过S,由此可知,某一圆轨迹在图中N左侧与ab相切,则此切点P1就是α粒子能打中的左侧最远点,为确定P1点的位置,可作平行于ab的直线cd,cd到ab的距离为R,以S为圆心,R为半径作圆,圆左侧交cd于Q点,过Q点作ab的垂线,它与ab的交点即P1,由图中几何关系得NP1=
再考虑N的右侧,任何α粒子在运动过程中离S的距离不可能超过2R,所以右侧的最远点是与S在同一直径上的一点,设为P2。
由图中几何关系得NP2=
所求长度为P1P2=NP1+NP2
代入数值解得P1P2=40 cm
方法点津　本题物理情境复杂,需要在建立“粒子源”模型的基础上掌握“旋转圆”法。
当带电粒子射入磁场时的速率v一定,但射入的方向变化时,粒子做圆周运动的轨迹半径R是确定的。在确定粒子运动的临界情境时,可以以入射点为定点,将轨迹圆旋转,作出一系列轨迹,从而探索出临界条件。
3.C　画出粒子从A点射入磁场到从C点射出磁场的轨迹,并将该轨迹向下平移,粒子做圆周运动的半径为R=L,从C点射出的粒子运动时间为t1=;由P点运动到M点所用时间为t2,轨迹对应的圆心角为θ,则cos θ=,解得cos θ=,θ=60°,故t2=,则t1∶t2=3∶2,C正确。
方法点津　带电粒子的速度大小和方向一定,入射点不同但在同一直线上,进入匀强磁场时它们做匀速圆周运动的半径R相同,轨迹圆的圆心共线,该直线与入射点的连线平行,此类题可运用平移圆法求解,将半径为R的圆进行平移,从而探索粒子的临界条件。
4.答案　(1)　(2)R≤x≤R
(3)+
解析　(1)由几何关系可知,从P点射出的粒子做圆周运动的半径r=R,根据洛伦兹力提供向心力可得qvB=m,解得=。
(2)粒子轨迹半径和磁场区域半径相等,由几何关系可知,无论粒子沿哪个方向射入磁场,从磁场中射出时速度方向均沿y轴负方向,QQ'两侧粒子的运动轨迹如图甲所示
方向斜向右下方与QQ'成30°角出射的粒子打在D点,则有OD=R-R cos 60°=R,方向斜向右上方与QQ'成30°角出射的粒子打在C点,则有OC=R+R cos 60°=R,x轴上有粒子出射的区域范围是R≤x≤R。
(3)若AQ弧长等于六分之一圆弧,粒子的运动轨迹如图乙所示
粒子在磁场中运动的周期T=,粒子在QA段运动的时间t1=,无场区AE段距离x=R-R cos 30°,粒子在AE段运动的时间t2=,粒子在电场中运动时,由牛顿第二定律得qE=ma,在电场中运动的时间t3=,粒子在AF段运动的时间t4=,总时间t=t1+t2+t3+t4,代入数据得t=+。
方法点津　带电粒子从圆形有界匀强磁场边界上同一点射入,如果轨迹半径与磁场区域半径相等,则粒子出射方向平行。
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