2.2 用配方法求解一元二次方程（第1课时）教学设计（表格式）北师大版数学九年级上册

2 用配方法求解一元二次方程
课题 第1课时 直接开平方法和配方法 授课类型 新授课
授课人
教学内容 课本P36-37
教学目标 1.会用开方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程，理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。 2.经历列方程解决实际问题的过程，体会一元二次方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，增强学生的数学应用意识和能力。 3.体会转化的数学思想方法。 4.能根据具体问题中的实际意义检验结果的合理性。
教学重难点 重点：用配方法解答二次项系数为1的一元二次方程。 难点：理解配方法的基本思路。
教学准备 多媒体课件。
教与学互动设计（教学过程） 设计意图
1.创设情景，导入新课 如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m。如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？ 教师活动：在上一节的问题中，梯子的底端滑动的距离x（m）满足方程x2+12x-15=0。同学们还记得x的近似值吗？ 预设：1.12.实践探究，学习新知 【探究1】 议一议： （1）你能解哪些特殊的一元二次方程？ 师生活动：教师可以先给出两个最简单的一元二次方程让学生自主练习求解，例如：x2=1，x2=0。然后引导学生自己想出几个简单的特殊一元二次方程并求解，最后再请学生起来说一下，师生交流。如果学生写出其他形式的方程，那么教师应留出充分的时间让学生解释确定其中未知数的值的方法及其根据。如果学生没有想出能求解的方程，那么教师可直接转入问题（2） （2）你会解下列一元二次方程吗？你是怎么做的？ x2=5，2x2+3=5，x2+2x+1=5，（x+6）2+72=102。 预设：方程x2=5可由平方根的意义求解，x1=，x2=-；方程2x2+3=5可先化为x2=1，再由平方根的意义求解，x1=1，x2=-1；方程x2+2x+1=5可化为（x+1）2=5，与x2=5比较，得x+1=±，从而得到原方程的解x1=-1+，x2=-1-；方程（x+6）2+72=102可化为（x+6）2=51，再用类似方法求解，x1=-6，x2=--6。 师生活动：问题（2）中的几个方程既有联系又逐步递进，在求解的过程中，应要求学生说明解题思路。学生在表述中可能会用到诸如“用与……相同的方法，可以得到……”“……可以化成……的形式”等语句，对此教师应及时予以关注和鼓励，以加深学生对转化思想的感悟和理解。在此基础上，转入对问题（3）的思考。 （3）你能解方程x2+12x-15=0吗？你遇到的困难是什么？你能设法将这个过程转化成上面方程的形式吗？与同伴进行交流。 师生活动：教师引导学生将上述方法进行迁移，思考从方程x2+12x-15=0到方程（x+6）2=51的具体转化过程，然后再与教材中给出的过程进行比较，并从中体会用配方法解一元二次方程的本质：将方程转化为（x+m）2=n（n≥0）的形式。引导学生思考、尝试、交流之后，教师对配方法的基本思路进行总结，展示一元二次方程的解的表示形式。 【归纳总结】 对于方程（x+m）2=n，当n≥0时，它可以转化为x+m=±，所以x1=-m，x2=--m。 【探究2】 做一做：填上适当的数，使下列等式成立： x2+12x+_______=（x+6）2； x2-4x+_______=（x-_______）2； x2+8x+_______=（x+_______）2。 在上面的等式的组边，常数项和一次项系数有什么关系？ 师生活动：教师可先让学生回顾以前学过的完全平方式，据此自主填空完成以上题目，之后教师组织学生通过小组的合作交流，发现等式左边常数项与一次项系数的关系，用自己的语言归纳总结出把形如x2+ax的式子配成完全平方式的方法规律。 【教材例题】 例1 解方程：x2+8x-9=0。 教师活动：操作投影仪。组织学生演练，巡视，等待大部分学生练习做完之后，再请两位学生上台演示，交流。 学生活动：课堂演练，相互讨论，解决演练题的问题。 解：可以把常数项移到方程的右边，得 x2+8x=9。 两边都加上42（一次项系数8的一半的平方），得 x2+8x+42=9+42， 即 （x+4）2=25。 两边开平方，得 x+4=±5， 即 x+4=5，或x+4=-5。 所以 x1=1，x2=-9。 师生活动：教师在教学时要引导学生在解题后自己尝试归纳用配方法解一元二次方程的一般步骤，并用自己的语言进行表述。教师要提醒学生在自己熟练掌握配方法之后，可以根据题目的条件灵活操作，不必按照例题中的格式和过程解题。 【归纳总结】 1.配方法：在例1中，我们通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： （1）移——移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项； （2）配——配方，方程两边都加上一次项系数一半的平方，使原方程变为（x+m）2=n的形式； （3）开——如果方程的右边是非负数，即n≥0，就可左右两边开平方得x+m=±； （4）解——方程的解为x=-m±。另外，如果是解决实际问题，还要注意判断求得的结果是否合理。 通过三个问题串，引导学生从简单的问题着手，尝试去解一元二次方程，总结归纳出配方法的基本思路 通过几个既有联系又逐步递进的方程，让学生体会解题过程，逐步形成解方程的思路。 通过几个填空题，使学生能够用语言叙述并充分理解左边填的是“一次项系数一半的平方”，右边填的是“一次项系数的一半”，进一步复习巩固完全平方式中常数项与一次项系数的关系，为后面学习掌握配方法解一元二次方程做好充分的准备。 本例给出了配方的一种参考过程：先把常数项移到方程的右边，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，使方程的左边为完全平方式。
3.学以致用，应用新知 考点1 用直接开平方法解一元二次方程 例1 一元二次方程x2-4=0的根是（ ） A. x=-2 B. x1=2，x2=-2 C. x=2 D. x1=2，x2=0 答案：B 变式训练 用直接开平方法解方程（x+h）2=k，方程必须满足的条件是（ ） A. k≥0 B. h≥0 C. hk>0 D. k<0 答案：A 考点2 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 例2 用配方法解方程x2-4x-5=0时，原方程应边形为（ ） A. （x-2）2=5 B. （x-2）2=1 C. （x-4）2=5 D. （x-2）2=9 答案：D 变式训练 将一元二次方程x2-8x-5=0化成（x+a）2=b（a，b为常数）的形式，则ab=_______。 答案：-84 通过例题讲解，巩固用直接开平方法解一元二次方程，一方面加强学生对知识的掌握，从而提高知识的应用能力；另一方面可以差缺补漏。 通过例题讲解，巩固用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
4.随堂训练，巩固新知 1. 用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无实数根的方程为（ ） A. x2-1=0 B. x2=0 C. x2+4=0 D. -x2+3=0 答案：C 2. 若关于x的代数式2x2+2与2x2-10互为相反数，则x的值为（ ） A. -2 B. ±2 C. D. ± 答案：C 3. 一元二次方程x2-6x-6=0配方后化为（ ） A. （x-3）2=15 B. （x-3）2=3 C. （x+3）2=15 D. （x+3）2=3 答案：D 4. 将代数式x2-10x+5配方后，发现它的最小值为（ ） A. -30 B. -20 C. -5 D. 0 答案：B 5. 一名同学将方程x2-4x-3=0化成了（x+m）2=n的形式，则m，n的值应为（ ） A. m=-2，n=7 B. m=2，n=7 C. m=-2，n=1 D. m=2，n=-7 答案：B 为学生提供自我检测的机会，教师针对学生的学习情况，及时调整授课，查缺补漏。
5.课堂小结，自我完善 1.配方法：通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法。 2.用配方法解一元二次方程的一般步骤： 移、配、开、解。 通过小结，使学生梳理本节课所学内容，掌握本节课的核心内容。
6.布置作业 课本P37-38习题2.3中的T1、T2、T3。 课后练习巩固，让所学知识得以运用，提高计算能力和做题效率。
板书设计 第1课时 直接开平方法和配方法 一、直接开平方法 二、配方法的概念 三、用配方法解一元二次方程的一般步骤 提纲掣领，重点突出。
教后反思 1.创造性地使用教材 教材只是为教师提供最基本的教学素材，教师完全可以根据学生的实际情况进行适当调整。学生在七年级、八年级已经学过完全平方公式和如何对一个正数进行开方运算，而且普遍掌握较好，所以本节课从这两个方面入手，利用几个简单的实际问题逐步引入配方法。教学中将难点放在探索如何配方上，重点放在配方法的应用上。 2.相信学生并为学生提供充分展示自己的机会 课堂上要把“激发学生的学习热情和培养学生的学习能力”放在教学首位，通过运用各种启发、激励的语言，帮助学生形成积极主动的求知态度.本节课多次组织学生合作交流，通过小组合作，为学生提供展示自己聪明才智的机会，并且在此过程中教师发现了学生在分析问题和解决问题时出现的独到见解和思维的误区，为今后的教学提供便利。 反思，更进一步提升。