第十八章 分式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各式:,,a+b,,中,是分式的有 (C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2025·温州质检)水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术,被称为水环境治理的“福尔摩斯”,经测算,一个水分子的直径约有0.000 000 4 mm,数据
“0.000 000 4”用科学记数法表示为 (B)
A.4×10-6 B.4×10-7 C.0.4×10-6 D.4×107
3.若分式的值为0,则m的值是 (C)
A.4 B.0 C.-4 D.±4
4.若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是 (C)
A. B. C. D.
5.(2024·达州中考)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件,可列方程为 (D)
A.-=30 B.-=30 C.-= D.-=
6.计算(-)·的结果是 (A)
A.-4 B.4 C.2a D.-2a
7.若x2-2x+1=1,则(1-)÷的值是 (D)
A.0 B.-1 C.±1 D.1
8.若关于x的方程+=3的解为正数,则m的取值范围是 (B)
A.m<6 B.m<6且m≠2 C.m>6且m≠2 D.m>6
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·长沙中考)要使分式有意义,则x需满足的条件是 x≠19 .
10.计算: ()2·+= .
11.(2024·武汉中考)分式方程=的解是 x=-3 .
12.当x= -1 时,与互为相反数.
13.已知=-,其中M,N是常数,则M-2N= .
14.(2025·重庆质检)若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解,且使关于y的分式方程+=1有非负整数解,则符合条件的所有整数m的值之和为 5 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)+; (2) (x-)÷.
【解析】(1)原式=+===2.
(2)原式=·=·=x-y.
16.(8分)解方程:
(1)+=3; (2)+=-1.
【解析】(1)方程两边乘(x+2)(x-2),得3x(x-2)+2(x+2)=3(x+2)(x-2).
化简得-4x=-16,解得x=4.
经检验,x=4是原方程的解,所以原方程的解是x=4.
(2)方程两边乘(x+1)(x-1),去分母,得4-(x+1)(x+2)=-(x+1)(x-1),解得x=.经检验,x=是原方程的解,所以原方程的解是x=.
17.(8分)(2024·大庆中考)先化简,再求值: (1+)÷,其中x=-2.
【解析】原式=÷=×=,
当x=-2时,原式==-2.
18.(8分)已知=+,求A,B的值.
【解析】∵=+,
∴=,=,
即A+B=3,3A-2B=4,解方程组,得,即A=2,B=1.
19.(10分)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的解是x=5,求a的值;
(2)若分式方程无解,求a的值.
【解析】(1)∵分式方程的解是x=5,
∴-1=1,解得a=1,∴a的值为1.
(2)-=1,
去分母得x(x+a)-5(x-2)=x(x-2),
整理得ax-3x+10=0,
当分式方程无解时,分两种情况讨论:
①当ax-3x+10=0无解时,a=3;
②当分式方程的最简公分母为0时,即x=0或x=2,
当x=0时,0-0+10=0,
此时不存在a的值;
当x=2时,2a-6+10=0,
∴a=-2,∴a的值为-2,
综上,若分式方程无解,a的值为3或-2.
20.(10分)“买新能源车到底省不省钱 ”是消费者最为关心的话题之一.某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查,所得信息如表所示:
燃油车 新能源车
油箱容积:50 L 电池容量:80 kW·h
油价:8元/L 电价:0.6元/kW·h
续航里程:a km 续航里程:a km
根据调查,燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元.
(1)这两款车每千米的行驶费用分别为多少元
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 000元和7 300元,则每年行驶里程在什么范围时,新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
【解析】(1)依题意,得-=0.55,解得a=640,
经检验,a=640是分式方程的解,且符合题意,=0.625,=0.075,
答:燃油车每千米的行驶费用为0.625元,新能源车每千米的行驶费用为0.075元.
(2)设每年行驶的里程为m km,依题意,得0.625m+4 000>0.075m+7 300,解得m>
6 000.
答:当每年的行驶里程超过6 000 km时,新能源车的年费用更低.
【附加题】(10分)
已知t=(a,b是常数,x≠-a)①.
(1)若a=-2,b=,求t;
(2)试将等式①变形成“Ax=B”的形式,其中A,B表示关于a,b,t的整式;
(3)若t的取值与x无关,请说明ab=-1.
【解析】(1)当a=-2,b=时,t===.
(2)将t=两边都乘(x+a)得,t(x+a)=bx-1,
去括号得,tx+ta=bx-1,
移项得,tx-bx=-1-ta,
两边都乘-1得,bx-tx=ta+1,即(b-t)x=ta+1,
∴A=b-t,B=ta+1.
(3)∵t的取值与x无关,∴b-t=0,即b=t,∴ta+1=0,即ab+1=0,∴ab=-1.第十八章 分式(90分钟 100分)
一、选择题(每小题3分,共24分)
1.下列各式:,,a+b,,中,是分式的有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
2.(2025·温州质检)水质指纹污染溯源技术是一项水环境监管技术,被称为水环境治理的“福尔摩斯”,经测算,一个水分子的直径约有0.000 000 4 mm,数据
“0.000 000 4”用科学记数法表示为 ( )
A.4×10-6 B.4×10-7 C.0.4×10-6 D.4×107
3.若分式的值为0,则m的值是 ( )
A.4 B.0 C.-4 D.±4
4.若x,y的值均扩大为原来的2倍,则下列分式的值保持不变的是 ( )
A. B. C. D.
5.(2024·达州中考)甲乙两人各自加工120个零件,甲由于个人原因没有和乙同时进行,乙先加工30分钟后,甲开始加工.甲为了追赶上乙的进度,加工的速度是乙的1.2倍,最后两人同时完成.求乙每小时加工零件多少个 设乙每小时加工x个零件,可列方程为 ( )
A.-=30 B.-=30 C.-= D.-=
6.计算(-)·的结果是 ( )
A.-4 B.4 C.2a D.-2a
7.若x2-2x+1=1,则(1-)÷的值是 ( )
A.0 B.-1 C.±1 D.1
8.若关于x的方程+=3的解为正数,则m的取值范围是 ( )
A.m<6 B.m<6且m≠2 C.m>6且m≠2 D.m>6
二、填空题(每小题4分,共24分)
9.(2024·长沙中考)要使分式有意义,则x需满足的条件是 .
10.计算: ()2·+= .
11.(2024·武汉中考)分式方程=的解是 .
12.当x= 时,与互为相反数.
13.已知=-,其中M,N是常数,则M-2N= .
14.(2025·重庆质检)若关于x的一元一次不等式组有且仅有4个整数解,且使关于y的分式方程+=1有非负整数解,则符合条件的所有整数m的值之和为 .
三、解答题(共52分)
15.(8分)计算:(1)+; (2) (x-)÷.
17.(8分)(2024·大庆中考)先化简,再求值: (1+)÷,其中x=-2.
18.(8分)已知=+,求A,B的值.
19.(10分)已知关于x的分式方程-=1.
(1)若分式方程的解是x=5,求a的值;
(2)若分式方程无解,求a的值.
20.(10分)“买新能源车到底省不省钱 ”是消费者最为关心的话题之一.某校数学小组对市场上两款售价相同的燃油车和新能源车做了对比调查,所得信息如表所示:
燃油车 新能源车
油箱容积:50 L 电池容量:80 kW·h
油价:8元/L 电价:0.6元/kW·h
续航里程:a km 续航里程:a km
根据调查,燃油车每千米的行驶费用比新能源车多0.55元.
(1)这两款车每千米的行驶费用分别为多少元
(2)若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4 000元和7 300元,则每年行驶里程在什么范围时,新能源车的年费用更低 (年费用=年行驶费用+年其他费用)
.
【附加题】(10分)
已知t=(a,b是常数,x≠-a)①.
(1)若a=-2,b=,求t;
(2)试将等式①变形成“Ax=B”的形式,其中A,B表示关于a,b,t的整式;
(3)若t的取值与x无关,请说明ab=-1.
