贵州省2025年中考数学真题
一、单选题
1．（2025·贵州）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·贵州）下列图中能说明一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2025·贵州）贵州省的“花江峡谷大桥”因跨越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径1420m，桥面至水面高度625m．建成后，会成为新的世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁.1420这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
5．（2025·贵州）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．（2025·贵州）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
7．（2025·贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
8．（2025·贵州）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
9．（2025·贵州）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
10．（2025·贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快
C．保持不变 D．快慢交替变化
11．（2025·贵州）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
12．（2025·贵州）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
13．（2025·贵州）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
14．（2025·贵州）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
15．（2025·贵州）一元二次方程的根是 ．
16．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
三、解答题
17．（2025·贵州）
（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
18．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
19．（2025·贵州）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环；
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）；
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）
20．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
21．（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共．
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？
22．（2025·贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
23．（2025·贵州）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．
（1）点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ；
（2）过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若的半径为，求的长．
24．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
25．（2025·贵州）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
（1）【问题解决】
如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
（2）【问题探究】
如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：因为向前运动3m记作+3m，说明规定向前为正方向，那么向后为相反方向，向后运动2m记作-2m.
故答案为：C.
【分析】 根据正负数表示相反意义的量，已知向前运动的记法，确定向后运动的记法 .
2．【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、与是对顶角，根据对顶角相等，，A正确.
B、是三角形外角， 另一个内角，，B错误.
C、与互余（ ），只有时才相等，C错误.
D、与和为钝角，大小关系不定，D错误.
故答案为：A.
【分析】逐一分析选项，根据对顶角、三角形外角、互余、角的和等性质，判断与是否相等.
3．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义（， ），将转化为该形式，确定，（因 ）.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以 ，与是同位角，所以 .
故答案为：B .
【分析】利用平行四边形“对边平行”的性质，结合同位角相等的定理，得出与的关系 .
5．【答案】D
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，第四象限的点特征是横坐标为正，纵坐标为负，
点A：横正纵正，在第一象限；点B：横负纵0，在x轴负半轴；点C：横负纵负，在第三象限；点D：横正纵负，在第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系各象限的坐标特征（第四象限：x>0，y<0 ），逐一判断点的位置.
6．【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为x = 2是方程x + m = 7的解，把x = 2代入方程，得到2 + m = 7，解得m = 5.
故答案为：C.
【分析】利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值.
7．【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着抛掷次数增加，“正面朝上” 的频率逐渐稳定在0.55附近，所以抛掷这枚棋子出现 “正面朝上” 的概率约为0.55.
故答案为：B.
【分析】依据大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，观察表格中随着抛掷次数增加，频率趋近于0.55，从而估计概率.
8．【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：对于分式，分子时，；此时分母，满足条件，所以的值为.
故答案为：A .
【分析】根据分式值为的条件（分子为且分母不为 ），先令分子等于求，再验证分母是否不为.
9．【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为，相似三角形对应边成比例，所以 ，已知，则.
故答案为：C .
【分析】利用相似三角形“对应边成比例”的性质，结合已知的边的比例关系和的长度，求出.
10．【答案】B
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：容器是上窄下宽的形状，单位时间注水量不变即体积变化率不变 ，根据，随着水面上升，逐渐变小，在变化率不变时，的变化率会越来越大，即水面升高速度越来越快.
故答案为：B .
【分析】
结合容器形状，利用体积公式，分析水面面积随高度的变化对水面升高速度（的变化率 ）的影响.
11．【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为以为圆心，长为半径作弧交于，所以 ，
又因为，所以是等边三角形， ，
已知，
则.
故答案为：D .
【分析】根据作图可知，结合判定为等边三角形，求出长度，再用得到.
12．【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解：点横坐标为，代入得；点在上且横坐标为，则，所以，①正确；
②解：联立与（ ），得，，（ ），则，所以，②正确；
③解：由，结合函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，③错误.
所以正确结论有个.
故答案为：C .
【分析】分别验证三个结论：①通过坐标计算长度；②联立方程求交点坐标；③根据函数图象位置判断时函数值大小.
13．【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子里一共有2 + 3 = 5个球，其中红球有2个。根据概率公式，摸到红球的概率 = 红球个数 ÷ 总球数，即.
故答案为：.
【分析】 先确定球的总数和红球的数量，再利用概率的定义，最后计算摸到红球的概率.
14．【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：在数轴上，右边的数总比左边的数大，由图可知，a在b的左边，所以a < b.
故答案为：.
【分析】根据数轴上数的大小比较规则，即数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，观察a、b对应点的位置，得出大小关系.
15．【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
开平方得，即， .
【分析】利用平方差公式或直接开方法解一元二次方程，将方程转化为 后，根据平方根的定义求解，关键是掌握直接开方法的运用.
16．【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
17．【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）按绝对值、负指数幂、算术平方根的运算规则，依次计算，，，再进行乘减运算.
（2）先通分将异分母分式化为同分母，再分子相减、约分得到最简式；根据分式分母不为确定的取值，代入计算.
18．【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
19．【答案】（1）8；7
（2）甲；平均数
（3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环，
由（2）可得，
∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，
∴补全丙队员的成绩如下：
此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环；
乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环；
故答案为：8；7.
（2）解：，
，
，
，
故，，
∴甲队员射击的整体水平高一些，
如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、，
此时平均数为，众数为，中位数为，
故会发生改变的统计量是平均数；
故答案为：甲；平均数.
【分析】（1）依据众数（出现次数最多 ）、中位数（排序后中间值 ）的定义，统计甲、乙成绩的次数，计算得结果.
（2）通过计算平均数比较整体水平；分析新增数据对平均数、众数、中位数的影响.
（3）先明确甲的统计量（众数、中位数、平均数均为 ），再构造丙的成绩，使丙的三个统计量均大于，通过调整环次数满足条件.
20．【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
21．【答案】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，
由题意得：，
解得：.
答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶.
（2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小取.
答：至少需要安装3条A型生产线．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 通过设未知数，根据两种生产线组合的产量条件，建立二元一次方程组，求解得每条生产线的月产量.
（2）设A型生产线数量，用总数表示B型数量，根据 “4 个月产量不少于2000吨” 列一元一次不等式，求解并结合正整数条件确定最小值.
22．【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴.
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：构造矩形，将转化为，利用三角函数（正切 ）求，再通过线段差计算.
任务二：作平行线构造新的直角三角形，利用矩形性质转移线段长度，再通过三角函数求，最后计算移动距离.
23．【答案】（1）在线段上；
（2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下：
连接，
∵为的切线交的延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
（3）解：如图，过作于，
∵的半径为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵是直角，
∴为直径，
∵为圆心，
∴在线段上；
∵为的中点，
∴，
∴；
故答案为：在线段上；.
【分析】（1）依据圆周角定理（圆周角对直径 ）确定是直径，点在上；利用弧中点性质得.
（2）通过作辅助线（连接 ），利用切线性质（切线垂直于半径 ）、等腰三角形性质（ ）及等角的余角相等，推导，证得等腰三角形 .
（3）作，结合勾股定理求，利用面积法求，再通过勾股定理依次求、、，最后由得结果 .
24．【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
25．【答案】（1）30；
（2）解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
故答案为：30；.
【分析】（1）利用菱形性质（邻边相等 ）和等边三角形判定（ ），结合中线性质得角度和垂直关系.
（2）通过旋转构造等边三角形和全等关系，结合角度计算推导直角三角形，利用角性质得线段倍数关系.
（3）分在线段、两种情况，利用相似三角形（， ），结合线段比例和已知条件计算.
1 / 1贵州省2025年中考数学真题
一、单选题
1．（2025·贵州）如果向前运动记作，那么向后运动，记作（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：因为向前运动3m记作+3m，说明规定向前为正方向，那么向后为相反方向，向后运动2m记作-2m.
故答案为：C.
【分析】 根据正负数表示相反意义的量，已知向前运动的记法，确定向后运动的记法 .
2．（2025·贵州）下列图中能说明一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形外角的概念及性质；直角三角形的性质；对顶角及其性质
【解析】【解答】解：A、与是对顶角，根据对顶角相等，，A正确.
B、是三角形外角， 另一个内角，，B错误.
C、与互余（ ），只有时才相等，C错误.
D、与和为钝角，大小关系不定，D错误.
故答案为：A.
【分析】逐一分析选项，根据对顶角、三角形外角、互余、角的和等性质，判断与是否相等.
3．（2025·贵州）贵州省的“花江峡谷大桥”因跨越花江大峡谷而得名，其中主桥跨径1420m，桥面至水面高度625m．建成后，会成为新的世界第一高桥和世界第一的山区跨径桥梁.1420这个数用科学记数法可表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：.
故答案为：C.
【分析】根据科学记数法的定义（， ），将转化为该形式，确定，（因 ）.
4．（2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：因为四边形是平行四边形，所以 ，与是同位角，所以 .
故答案为：B .
【分析】利用平行四边形“对边平行”的性质，结合同位角相等的定理，得出与的关系 .
5．（2025·贵州）如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，哪一个点在第四象限（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】D
【知识点】点的坐标；平面直角坐标系的构成；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：平面直角坐标系中，第四象限的点特征是横坐标为正，纵坐标为负，
点A：横正纵正，在第一象限；点B：横负纵0，在x轴负半轴；点C：横负纵负，在第三象限；点D：横正纵负，在第四象限.
故答案为：D.
【分析】根据平面直角坐标系各象限的坐标特征（第四象限：x>0，y<0 ），逐一判断点的位置.
6．（2025·贵州）已知是关于的方程的解，则的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【知识点】已知一元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：因为x = 2是方程x + m = 7的解，把x = 2代入方程，得到2 + m = 7，解得m = 5.
故答案为：C.
【分析】利用方程的解的定义，将已知的解代入方程，得到关于m的一元一次方程，求解得出m的值.
7．（2025·贵州）某学习小组抛掷一枚质地不均匀的棋子，为了估计“正面朝上”的概率，将同学们获得的试验数据整理如下表：（ ）
抛掷次数 20 60 100 120 140 160 500 1000 2000 5000
“正面朝上”的次数 12 38 58 62 75 88 275 550 1100 2750
“正面朝上”的频率
则抛掷这枚棋子出现“正面朝上”的概率约为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：随着抛掷次数增加，“正面朝上” 的频率逐渐稳定在0.55附近，所以抛掷这枚棋子出现 “正面朝上” 的概率约为0.55.
故答案为：B.
【分析】依据大量重复试验中，频率会逐渐稳定在概率附近这一规律，观察表格中随着抛掷次数增加，频率趋近于0.55，从而估计概率.
8．（2025·贵州）若分式的值为0，则实数的值为（ ）
A．2 B．0 C． D．-3
【答案】A
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：对于分式，分子时，；此时分母，满足条件，所以的值为.
故答案为：A .
【分析】根据分式值为的条件（分子为且分母不为 ），先令分子等于求，再验证分母是否不为.
9．（2025·贵州）如图，已知，若，则的长为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．8
【答案】C
【知识点】相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：因为，相似三角形对应边成比例，所以 ，已知，则.
故答案为：C .
【分析】利用相似三角形“对应边成比例”的性质，结合已知的边的比例关系和的长度，求出.
10．（2025·贵州）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（ ）
A．越来越慢 B．越来越快
C．保持不变 D．快慢交替变化
【答案】B
【知识点】常量、变量；用关系式表示变量间的关系
【解析】【解答】解：容器是上窄下宽的形状，单位时间注水量不变即体积变化率不变 ，根据，随着水面上升，逐渐变小，在变化率不变时，的变化率会越来越大，即水面升高速度越来越快.
故答案为：B .
【分析】
结合容器形状，利用体积公式，分析水面面积随高度的变化对水面升高速度（的变化率 ）的影响.
11．（2025·贵州）如图，在中，，以为圆心，长为半径作弧，交于点，则的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；线段的和、差、倍、分的简单计算
【解析】【解答】解：因为以为圆心，长为半径作弧交于，所以 ，
又因为，所以是等边三角形， ，
已知，
则.
故答案为：D .
【分析】根据作图可知，结合判定为等边三角形，求出长度，再用得到.
12．（2025·贵州）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，过反比例函数图象上点作轴垂线，垂足为点，交的图象于点，点的横坐标为1．有以下结论：
①线段AB的长为8；②点的坐标为；③当时，一次函数的值小于反比例函数的值．
其中结论正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【知识点】一次函数的图象；反比例函数的性质；反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征；代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】①解：点横坐标为，代入得；点在上且横坐标为，则，所以，①正确；
②解：联立与（ ），得，，（ ），则，所以，②正确；
③解：由，结合函数图象，当时，的图象在上方，即一次函数值大于反比例函数值，③错误.
所以正确结论有个.
故答案为：C .
【分析】分别验证三个结论：①通过坐标计算长度；②联立方程求交点坐标；③根据函数图象位置判断时函数值大小.
二、填空题
13．（2025·贵州）一个不透明的袋子中装有2个红球和3个黄球，每个球除颜色外都相同，任意摸出一个球，摸到红球的概率是 ．
【答案】
【知识点】简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：袋子里一共有2 + 3 = 5个球，其中红球有2个。根据概率公式，摸到红球的概率 = 红球个数 ÷ 总球数，即.
故答案为：.
【分析】 先确定球的总数和红球的数量，再利用概率的定义，最后计算摸到红球的概率.
14．（2025·贵州）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则与的大小关系是 b．（填“”“”或“”）
【答案】
【知识点】实数在数轴上表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：在数轴上，右边的数总比左边的数大，由图可知，a在b的左边，所以a < b.
故答案为：.
【分析】根据数轴上数的大小比较规则，即数轴上右边的点表示的数大于左边的点表示的数，观察a、b对应点的位置，得出大小关系.
15．（2025·贵州）一元二次方程的根是 ．
【答案】，
【知识点】直接开平方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程 变形为 ，
开平方得，即， .
【分析】利用平方差公式或直接开方法解一元二次方程，将方程转化为 后，根据平方根的定义求解，关键是掌握直接开方法的运用.
16．（2025·贵州）如图，在矩形中，点E，F，M分别在，，边上，分别交对角线、线段于点G，H，且是的中点．若，则的长为 ．
【答案】
【知识点】含30°角的直角三角形；矩形的性质；两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例；相似三角形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，
∵BE=2CF，CF=2，
∴BE=4，
∵矩形ABCD，
∴AN=CN=BN=DN，AB∥CD，
∴∠ABD=∠BAC=30°，∠BAC=∠NCF=30°，
∵H是DE的中点，
∴HN是△BDE的中位线，
∴HN∥BE， HN== 2 ，
∴∠ABD=∠HNQ=30°，
∴ HQ ==1 ，
∵HN∥AB，AB∥CD，
∴HN∥CF，
∵HN=CF=2，
∴四边形HFCN是平行四边形，
∴∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，
∴∠HGQ=60°，
∴∠GHQ=30°，
∴ cos∠GHQ=cos30 °==，
∴ HG=1÷=，
故答案为：．
【分析】 如图，连接AC，交BD于N，过H作HQ⊥BD于Q，求解BE=4，证明HN是△BDE的中位线，可得HN∥BE，HN == 2，HQ==1，证明四边形HFCN是平行四边形，可得∠NCF=∠NHG=30°，而HQ⊥BD，∠HNQ=30°，求解∠GHQ=30°，再进一步求解即可。
三、解答题
17．（2025·贵州）
（1）计算：；
（2）先化简：，再从中选取一个使原式有意义的数代入求值．
【答案】（1）解：
.
（2）解：
，
∵分式要有意义，
∴，
∴且，
∴当时，原式；当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；负整数指数幂；绝对值的概念与意义；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】（1）按绝对值、负指数幂、算术平方根的运算规则，依次计算，，，再进行乘减运算.
（2）先通分将异分母分式化为同分母，再分子相减、约分得到最简式；根据分式分母不为确定的取值，代入计算.
18．（2025·贵州）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔的古代汲水工具（如图①），有一横杆固定于桔槔上点，并可绕点转动．在横杆处连接一竹竿，在横杆处固定的物体，且．若图中人物竖直向下施加的拉力为，当改变点与点的距离时，横杆始终处于水平状态，小星发现与有一定的关系，记录了拉力的大小与的变化，如下表：
点与点的距离 1 2 3
拉力的大小 300 200 150 120
（1）表格中的值是 ；
（2）小星通过分析表格数据发现，用函数可以刻画与之间的关系．在如图②所示的平面直角坐标系中，描出表中对应的点，并画出这个函数的图象；
（3）根据以上数据和图象判断，当的长增大时，拉力是增大还是减小？请说明理由．
【答案】（1）100
（2）解：与之间的函数图象，如图所示：
（3）解：当的长增大时，拉力减小，理由如下：
由函数图象可知：F是l的反比例函数，且该函数图象在第一象限内，根据反比例函数的性质可知，F随l的增大而减小，所以当的长增大时，拉力减小．
【知识点】列反比例函数关系式；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】（1）解：根据表格中的数据发现：
，
因此点与点的距离与拉力F的乘积不变，
∴.
故答案为：100.
【分析】（1）利用杠杆平衡原理（动力×动力臂 = 阻力×阻力臂 ），确定与的反比例关系，代入求.
（2）按表格数据描点，用平滑曲线连接（因是反比例函数，图象为双曲线一支 ）.
（3）依据反比例函数的性质（第一象限内随增大而减小 ），判断拉力变化.
19．（2025·贵州）贵州籍运动员谢瑜在2024年巴黎奥运会上为贵州赢得首枚射击奥运金牌，他的拼搏精神激发了青少年对射击运动的兴趣．小星想了解某青少年训练营甲、乙、丙三名队员射击训练的成绩，在对每名队员的10次射击成绩进行统计后，绘制了如下统计图（不完整）：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）甲队员成绩的众数为 环，乙队员成绩的中位数为 环；
（2）你认为甲、乙两名队员哪一个射击的整体水平高一些？ （填“甲”或“乙”）；如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩会发生改变的统计量是 （填“平均数”“众数”或“中位数”）；
（3）若丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，请在图②中补全丙队员的成绩．（画出一种即可）
【答案】（1）8；7
（2）甲；平均数
（3）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的中位数为环，甲队员成绩的众数为环，
由（2）可得，
∵丙队员10次成绩的众数、中位数、平均数均大于甲队员，
∴补全丙队员的成绩如下：
此时丙队员10次成绩的众数为、中位数为、平均数均，均大于甲队员．
【知识点】条形统计图；平均数及其计算；中位数；方差；众数
【解析】【解答】（1）解：甲队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，故甲队员成绩的众数为环；
乙队员的射击成绩为：、、、、、、、、、，乙队员成绩的中位数为环；
故答案为：8；7.
（2）解：，
，
，
，
故，，
∴甲队员射击的整体水平高一些，
如果乙队员再射击1次，命中8环，那么乙队员的射击成绩为、、、、、、、、、、，
此时平均数为，众数为，中位数为，
故会发生改变的统计量是平均数；
故答案为：甲；平均数.
【分析】（1）依据众数（出现次数最多 ）、中位数（排序后中间值 ）的定义，统计甲、乙成绩的次数，计算得结果.
（2）通过计算平均数比较整体水平；分析新增数据对平均数、众数、中位数的影响.
（3）先明确甲的统计量（众数、中位数、平均数均为 ），再构造丙的成绩，使丙的三个统计量均大于，通过调整环次数满足条件.
20．（2025·贵州）如图，在中，为对角线上的中点，连接，且，垂足为．延长至，使，连接，，且交于点．
（1）求证：是菱形；
（2）若，求的面积．
【答案】（1）证明：∵为对角线上的中点，且，
∴垂直平分，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴是菱形；
（2）解：如图：
∵，
∴，
设
∴，
∵，
∴，
∴，
解得：
∴，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质
【解析】【分析】(1) 利用垂直平分线的性质（中点 + 垂直 → 垂直平分 ），结合菱形判定（邻边相等的平行四边形 ），证明结论.
（2）通过等腰三角形EB = EF，CE = CF的角关系，结合直角三角形BE⊥AC求角度；再利用菱形性质（边相等、平行 ）和等边三角形判定，推导线段长度；最后用三角形面积公式计算.
21．（2025·贵州）贵州省江口县被誉为“中国抹茶之都”，这里拥有全球最大的抹茶单体生产车间．为满足市场需求，某抹茶车间准备安装A、B两种型号生产线.已知，同时开启一条A型和一条B型生产线每月可以生产抹茶共，同时开启一条A型和两条B型生产线每月可以生产抹茶共．
（1）求一条A型和一条B型生产线每月各生产抹茶多少吨？
（2）为扩大生产规模，若另一车间准备同时安装相同型号的A、B两种生产线共5条，该车间接到一个订单，要求4个月生产抹茶不少于，至少需要安装多少条A型生产线？
【答案】（1）解：设一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶，
由题意得：，
解得：.
答：一条A型生产线每月生产抹茶，一条B型生产线每月生产抹茶.
（2）解：设需要安装条A型生产线，则安装B种生产线条，
由题意得：，
解得：，
∵为正整数，
∴最小取.
答：至少需要安装3条A型生产线．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用-和差倍分问题
【解析】【分析】（1） 通过设未知数，根据两种生产线组合的产量条件，建立二元一次方程组，求解得每条生产线的月产量.
（2）设A型生产线数量，用总数表示B型数量，根据 “4 个月产量不少于2000吨” 列一元一次不等式，求解并结合正整数条件确定最小值.
22．（2025·贵州）某小区在设计时，计划在如图①的住宅楼正前方建一栋文体活动中心．设计示意图如图②所示，已知，该地冬至正午太阳高度角为．如果你是建筑设计师，请结合示意图和已知条件完成下列任务．
任务一：计算冬至正午太阳照到住宅楼的位置与地面之间的距离的长；
任务二：为符合建筑规范对日照的要求，让整栋住宅楼在冬至正午太阳高度角下恰好都能照射到阳光，需将活动中心沿方向移动一定的距离（活动中心高度不变），求该活动中心移动了多少米？
（参考数据：．结果保留小数点后一位）
【答案】解：任务一：如图，过作于，
结合题意可得：四边形为矩形，，
∵，
∴，，
∵，
∴，
∴.
任务二：如图，过作的平行线，过作的平行线，两线交于点，交于点，过作于，
∴，四边形为矩形，
∴，
∴，
∴；
∴该活动中心移动了2米.
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】任务一：构造矩形，将转化为，利用三角函数（正切 ）求，再通过线段差计算.
任务二：作平行线构造新的直角三角形，利用矩形性质转移线段长度，再通过三角函数求，最后计算移动距离.
23．（2025·贵州）如图，在中，是直角，为的中点，为的切线交的延长线于点．连接，．
（1）点与的位置关系是 ，线段与线段的数量关系是 ；
（2）过点作，与的延长线交于点．根据题意补全图形，判断的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，若的半径为，求的长．
【答案】（1）在线段上；
（2）解：补图如下，为等腰三角形，理由如下：
连接，
∵为的切线交的延长线于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形.
（3）解：如图，过作于，
∵的半径为，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；圆心角、弧、弦的关系；切线的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】（1）解：∵是直角，
∴为直径，
∵为圆心，
∴在线段上；
∵为的中点，
∴，
∴；
故答案为：在线段上；.
【分析】（1）依据圆周角定理（圆周角对直径 ）确定是直径，点在上；利用弧中点性质得.
（2）通过作辅助线（连接 ），利用切线性质（切线垂直于半径 ）、等腰三角形性质（ ）及等角的余角相等，推导，证得等腰三角形 .
（3）作，结合勾股定理求，利用面积法求，再通过勾股定理依次求、、，最后由得结果 .
24．（2025·贵州）用石块打水漂是一项有趣的活动．抛掷后的石块与平静的水面接触．石块会在空中近似的形成一组抛物线的运动路径．如图①，小星站在河边的安全位置用一个石块打水漂，石块在空中飞行的高度y与水平距离之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点，运动路径近似为抛物线，且．（小星所在地面、水面在同一平面内，且石块形状大小、空气阻力等因素忽略不计）
（1）如图②，当时，若点坐标为，求抛物线的表达式；
（2）在（1）的条件下，若，在水面上有一个截面宽，高的矩形的障碍物，点的坐标为，判断此时石块沿抛物线运动时是否能越过障碍物？请说明理由；
（3）小星在抛掷石块时，若的顶点需在一个正方形区域内（包括边界），且点在和之间（包括这两点），其中，求的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线在同一平面内）
【答案】（1）解：∵当时，
∵点坐标为
∴
∴
∴抛物线的表达式为.
（2）解：不能，理由如下：
∵，点坐标为
∴
∴
∵点的坐标为，
∴
∴将代入
∴此时石块沿抛物线运动时不能越过障碍物.
（3）解：∵正方形，
∴
∴如图所示，
∵抛物线开口向下
∴
∵越小开口越大，越大开口越小，点在和之间（包括这两点）
∴由图象可得，当抛物线顶点为点M，且经过点时，开口最大，此时a最大
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴由图象可得，当抛物线顶点为点P，且经过点时，开口最小，此时a最小
∴设的表达式为
将代入得，
解得；
∴的取值范围为．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）已知抛物线系数、和点坐标，代入解析式求，确定表达式.
（2）先由长度求坐标，确定表达式；再根据障碍物坐标，代入求对应值，与障碍物高度比较.
（3）先确定正方形顶点，根据抛物线开口方向（ ），结合顶点在正方形内、点的范围，分别求顶点在（开口最大 ）和（开口最小 ）时的值，确定取值范围.
25．（2025·贵州）如图，在菱形中，，点为线段上一动点，点为射线上的一点（点与点不重合）．
（1）【问题解决】
如图①，若点与线段的中点重合，则 度，线段与线段的位置关系是 ；
（2）【问题探究】
如图②，在点运动过程中，点在线段上，且，探究线段与线段的数量关系，并说明理由；
（3）【拓展延伸】
在点运动过程中，将线段绕点逆时针旋转得到，射线交射线于点，若，求的长．
【答案】（1）30；
（2）解：如图，把绕顺时针旋转得到，
∴，，，
∴为等边三角形，
∴，，
∵点在线段上，且，
∴，，
∴，，
∴，
∴，
∴.
（3）解：如图，当在线段上，记与交于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∴，
如图，当在线段上时，延长交于，
同理可得：，，
∴，
设，而，则，
∴，
∴，
同理：，
∴，
∴，
综上：的长为或.
【知识点】等边三角形的性质；菱形的性质；相似三角形的判定；图形的旋转
【解析】【解答】解：（1）∵在菱形中，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∵点与线段的中点重合，
∴，；
故答案为：30；.
【分析】（1）利用菱形性质（邻边相等 ）和等边三角形判定（ ），结合中线性质得角度和垂直关系.
（2）通过旋转构造等边三角形和全等关系，结合角度计算推导直角三角形，利用角性质得线段倍数关系.
（3）分在线段、两种情况，利用相似三角形（， ），结合线段比例和已知条件计算.
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