7.1.1 数系的扩充和复数的概念
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．了解复数的概念，能类比有理数扩充到实数系的过程和方法，通过方程的解认识复数．
2．能描述复数代数表示式的结构特征，正确判断复数的实部、虚部．
3．知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系．
逐点清(一) 复数的概念及复数集
[多维理解]
1．复数的定义及表示方法
定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做__________，满足i2＝－1
表示方法 复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi.其中a叫做复数的______，b叫做复数的______
2．复数集的定义及表示
全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集．通常用大写字母C表示．
|微|点|助|解|
(1)虚数单位i性质的关注点
i2＝－1的理解：并没有规定i＝±还是i＝或i＝－，在今后的学习中，我们将知道＝±i但不能说i＝±.
(2)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i和实数之间能进行加法、乘法运算．
(3)复数的虚部是实数b而非bi.
(4)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
[微点练明]
1．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是( )
A．3－i B．3＋i
C．－1＋4i D．1＋3i
2．已知复数z1＝1＋3i的实部与复数z2＝－1－ai的虚部相等，则实数a等于( )
A．－3 B．3
C．－1 D．1
3．以－＋7i的虚部为实部，以i＋5i2的实部为虚部的复数是( )
A．7－5i B．－＋i
C．5＋i D.＋i
4．若复数z＝a2－3＋2ai的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为________．
逐点清(二) 复数的分类
[多维理解]
1．复数的分类
对于复数a＋bi(a，b∈R)
(1)z为实数 ______；
(2)z为虚数 ______；
(3)z为纯虚数 ______________.
2．集合表示
|微|点|助|解|
(1)两个复数不一定能比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小；两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小，即两个复数除去都是实数外，没有大小关系．
(2)复数分类问题的求解方法与步骤
①化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部．
②定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为a＋bi(a，b∈R)的形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可．
③下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则：z为实数 b＝0；z为虚数 b≠0；z为纯虚数 a＝0且b≠0.a＝0是z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件．
[微点练明]
1．若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为( )
A．1 B．2
C．－1或－2 D．1或2
2．复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为实数的充要条件是( )
A．|a|＝|b| B．a＜0且a＝－b
C．a＞0且a≠b D．a≤0
3．已知z1＝－4a＋1＋(2a2＋3a)i，z2＝2a＋(a2＋a)i，其中a∈R，z1>z2，则a的值为________．
4．当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是：(1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数．
逐点清(三) 复数相等
[多维理解]
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当________且________．
|微|点|助|解|
(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
[微点练明]
1．满足x－3i＝(8x－y)i的实数x，y的值为( )
A．x＝0且y＝3 B．x＝0且y＝－3
C．x＝5且y＝3 D．x＝3且y＝0
2．若复数(m－2)＋m(m－2)i＝0，则实数m＝( )
A．2 B．3
C．0 D．1
3．复数z1＝a＋|b|i，z2＝c＋|d|i(a，b，c，d∈R)，则z1＝z2的充要条件是____________．
4．关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，则实数a的值为________．
7．1.1 数系的扩充和复数的概念
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.虚数单位 实部 虚部
[微点练明]
1．C
2．选C 复数z1＝1＋3i的实部为1.复数z2＝－1－ai的虚部为－a，则－a＝1，解得a＝－1.
3．选A 设所求复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，由题意知复数－＋7i的虚部为7，所以a＝7.复数i＋5i2＝－5＋i的实部为－5，所以b＝－5，故z＝7－5i.
4．解析：由条件知a2－3＋2a＝0，
∴a＝1或a＝－3.
答案：1或－3
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.(1)b＝0 (2)b≠0
(3)a＝0且b≠0
[微点练明]
1．选B 由得a＝2，故选B.
2．选D 复数z为实数的充要条件是a＋|a|＝0，故a≤0.
3．解析：由z1>z2，得
即解得a＝0.
答案：0
4．解：(1)当
即m≠5且m≠－3时，z是虚数．
(2)当
即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数．
(3)当即m＝5时，z是实数．
[逐点清(三)]
[多维理解] a＝c b＝d
[微点练明]
1．选A 依题意得解得故选A.
2．选A 因为复数(m－2)＋m(m－2)i＝0，则有解得m＝2.
3．解析：由复数相等定义可得，z1＝z2等价于a＝c且|b|＝|d|，所以z1＝z2的充要条件为a＝c且b2＝d2.
答案：a＝c且b2＝d2
4．解析：设方程的实数根为x＝m，
则3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，
∴
解得a＝11或a＝－.
答案：11或－(共48张PPT)
7.1.1
数系的扩充和复数的概念
（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
课时目标
1.了解复数的概念,能类比有理数扩充到实数系的过程和方法,通过方程的解认识复数.
2.能描述复数代数表示式的结构特征,正确判断复数的实部、虚部.
3.知道复数集、实数集、虚数集与纯虚数集之间的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 复数的概念及复数集
逐点清(二) 复数的分类
逐点清(三) 复数相等
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 复数的概念及复数集
01
多维理解
1.复数的定义及表示方法
定义 形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中i叫做_________,满足i2=-1
表示 方法 复数通常用字母z表示,即z=a+bi.其中a叫做复数的______,b叫做复数的______
虚数单位
实部
虚部
2.复数集的定义及表示
全体复数构成的集合C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.通常用大写字母C表示.
|微|点|助|解|
(1)虚数单位i性质的关注点
i2=-1的理解:并没有规定i=±还是i=或i=-,在今后的学习中,我们将知道=±i但不能说i=±.
(2)复数集是最大的数集,任何一个数都可以写成a+bi(a,b∈R)的形式,其中0=0+0i和实数之间能进行加法、乘法运算.
(3)复数的虚部是实数b而非bi.
(4)复数z=a+bi只有在a,b∈R时才是复数的代数形式,否则不是.
1.若复数z的实部和虚部之和为3,则复数z可以是 ( )
A.3-i B.3+i
C.-1+4i D.1+3i
√
微点练明
2.已知复数z1=1+3i的实部与复数z2=-1-ai的虚部相等,则实数a等于 ( )
A.-3 B.3
C.-1 D.1
解析:复数z1=1+3i的实部为1.复数z2=-1-ai的虚部为-a,则-a=1,解得a=-1.
√
3.以-+7i的虚部为实部,以i+5i2的实部为虚部的复数是( )
A.7-5i B.-+i
C.5+i D.+i
解析:设所求复数为z=a+bi(a,b∈R),由题意知复数-+7i的虚部为7,所以a=7.复数i+5i2=-5+i的实部为-5,所以b=-5,故z=7-5i.
√
4.若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为 .
解析:由条件知a2-3+2a=0,
∴a=1或a=-3.
1或-3
逐点清(二) 复数的分类
02
多维理解
1.复数的分类
对于复数a+bi(a,b∈R)
(1)z为实数 _____;
(2)z为虚数 _____;
(3)z为纯虚数 ___________.
b=0
b≠0
a=0且b≠0
2.集合表示
|微|点|助|解|
(1)两个复数不一定能比较大小,当两个复数都是实数时,可以比较大小;两个虚数或一个虚数与一个实数不能比较大小,即两个复数除去都是实数外,没有大小关系.
(2)复数分类问题的求解方法与步骤
①化标准式:解题时一定要先看复数是否为a+bi(a,b∈R)的形式,以确定实部和虚部.
②定条件:复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题,只需把复数化为a+bi(a,b∈R)的形式,列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可.
③下结论:设所给复数为z=a+bi(a,b∈R),则:z为实数 b=0;z为虚数 b≠0;z为纯虚数 a=0且b≠0.a=0是z=a+bi(a,b∈R)为纯虚数的必要不充分条件.
1.若复数(a2-3a+2)+(a-1)i是纯虚数,则实数a的值为 ( )
A.1 B.2
C.-1或-2 D.1或2
解析:由得a=2,故选B.
√
微点练明
2.复数z=a2-b2+(a+|a|)i(a,b∈R)为实数的充要条件是 ( )
A.|a|=|b| B.a<0且a=-b
C.a>0且a≠b D.a≤0
解析:复数z为实数的充要条件是a+|a|=0,故a≤0.
√
3.已知z1=-4a+1+(2a2+3a)i,z2=2a+(a2+a)i,其中a∈R,z1>z2,则a的值
为 .
解析:由z1>z2,得即解得a=0.
0
4.当m为何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i是:(1)虚数;
解:当
即m≠5且m≠-3时,z是虚数.
(2)纯虚数;
解:当
即m=3或m=-2时,z是纯虚数.
(3)实数.
解:当即m=5时,z是实数.
逐点清(三) 复数相等
03
多维理解
在复数集C={a+bi|a,b∈R}中任取两个数a+bi,c+di(a,b,c,d∈R),我们规定:a+bi与c+di相等当且仅当______且_____.
a=c
b=d
|微|点|助|解|
(1)在两个复数相等的条件中,注意前提条件是a,b,c,d∈R,即当a,b,c,d∈R时,a+bi=c+di a=c且b=d.若忽略前提条件,则结论不能成立.
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来,达到“化虚为实”的目的,从而将复数问题转化为实数问题来求解.
1.满足x-3i=(8x-y)i的实数x,y的值为 ( )
A.x=0且y=3 B.x=0且y=-3
C.x=5且y=3 D.x=3且y=0
解析:依题意得解得故选A.
√
微点练明
2.若复数(m-2)+m(m-2)i=0,则实数m= ( )
A.2 B.3
C.0 D.1
解析:因为复数(m-2)+m(m-2)i=0,则有解得m=2.
√
3.复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a,b,c,d∈R),则z1=z2的充要条件是 .
解析:由复数相等定义可得,z1=z2等价于a=c且|b|=|d|,所以z1=z2的充要条件为a=c且b2=d2.
a=c且b2=d2
4.关于x的方程3x2-x-1=(10-x-2x2)i有实根,则实数a的值为 .
解析:设方程的实数根为x=m,则3m2-m-1=(10-m-2m2)i,
∴
解得a=11或a=-.
11或-
课时跟踪检测
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1.以3i-的虚部为实部,以3i2+i的实部为虚部的复数是( )
A.3-3i B.3+i
C.-+i D.+i
解析:3i-的虚部为3,3i2+i=-3+i的实部为-3,故选A.
√
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2.下列说法正确的是 ( )
A.2+i大于2-i
B.若z1=z2,则z1,z2一定都是实数
C.若复数z满足-1D.若z1>z2,则z1-z2不一定大于零
√
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解析:虚数不能比较大小,故A错误;两个虚数的实部和虚部相等,则这两个虚数相等,故B错误;若复数z满足-1z2,则z1-z2一定大于零,故D错误.
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3.复数z=+(a2-1)i(a∈R)是实数,则实数a的值为( )
A.1或-1 B.1
C.-1 D.0或-1
解析:因为复数z=+(a2-1)i是实数,且a为实数,则解得a=-1.故选C.
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4.若x+(y-2)i=3y-(x-2)i(x,y∈R),则x-yi= ( )
A.3-i B.i-3
C.10 D.
解析:因为x+(y-2)i=3y-(x-2)i,所以解得故选A.
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5.设集合A={实数},B={纯虚数},C={复数},若全集S=C,则下列结论正确的是 ( )
A.A∪B=C B.A=B
C.A∩( SB)= D.( SA)∪( SB)=C
解析:集合A,B,C的关系如图所示,可知只有( SA)∪( SB)=C正确.故选D.
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6.若(x+y)i=x-1(x,y∈R),则2x+y的值为 ( )
A. B.2
C.0 D.1
解析:由复数相等的充要条件知,解得∴x+y=0.
∴2x+y=20=1.故选D.
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7.设a,b∈R,i是虚数单位,则“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的 ( )
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
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解析:若ab=0,则a=0或b=0;当b=0时,a+bi为实数,此时复数a+bi不是纯虚数,充分性不成立;若复数a+bi为纯虚数,则a=0且b≠0,此时ab=0,必要性成立.所以“ab=0”是“复数a+bi为纯虚数”的必要不充分条件.
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8.若复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则 ( )
A.a=-1 B.a≠-1且a≠2
C.a≠-1 D.a≠2
解析:复数a2-a-2+(|a-1|-1)i(a∈R)不是纯虚数,则有a2-a-2≠0或|a-1|-1=0,解得a≠-1.
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9.(多选)已知复数z=sin θ-icos 2θ(0<θ<2π)的实部与虚部互为相反数,则θ的值可以为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:由条件知,sin θ=cos 2θ,
∴2sin2θ+sin θ-1=0,解得sin θ=-1或sin θ=.
∵0<θ<2π,∴θ=,θ=或θ=.故选A、C、D.
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10.已知复数z=a2+(2a+3)i(a∈R)的实部大于虚部,则实数a的取值范围是 .
解析:由已知可得a2>2a+3,即a2-2a-3>0,解得a>3或a<-1.所以实数a的取值范围是{a|a>3或a<-1}.
{a|a>3或a<-1}
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11.若(m2-1)+(m2-2m)i>1,则实数m的值为 .
解析:由题意得解得m=2.
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12.已知集合P={5,(m2-2m)+(m2+m-2)i},Q={4i,5},若P∩Q=P∪Q,则实数m= .
解析:由题意知P=Q,所以(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,所以解得m=2.
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13.(10分)已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∪P=P,求实数m的值.
解:∵M∪P=P,∴M P.由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,
得解得m=1;
由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得
解得m=2.综上可知,m=1或m=2.
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14.(10分)已知复数z1=4-m2+(m-2)i,z2=λ+sin θ+(cos θ-2)i,其中i是虚数单位,m,λ,θ∈R.
(1)若z1为纯虚数,求m的值;
解:由z1为纯虚数,则解得m=-2.
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(2)若z1=z2,求λ的取值范围.
解:由z1=z2,得∴λ=4-cos2θ-sin θ=+.∵-1≤sin θ≤1,∴当sin θ=时,λmin=,当sin θ=-1时,λmax=+=5.∴实数λ的取值范围是.课时跟踪检测(十八) 数系的扩充和复数的概念
(满分80分，选填小题每题5分)
1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是( )
A．3－3i B．3＋i
C．－＋i D.＋i
2．下列说法正确的是( )
A．2＋i大于2－i
B．若z1＝z2，则z1，z2一定都是实数
C．若复数z满足－1D．若z1>z2，则z1－z2不一定大于零
3．复数z＝＋(a2－1)i(a∈R)是实数，则实数a的值为( )
A．1或－1 B．1
C．－1 D．0或－1
4．若x＋(y－2)i＝3y－(x－2)i(x，y∈R)，则x－yi＝( )
A．3－i B．i－3
C．10 D.
5．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是( )
A．A∪B＝C B．A＝B
C．A∩( SB)＝ D．( SA)∪( SB)＝C
6．若(x＋y)i＝x－1(x，y∈R)，则2x＋y的值为( )
A. B．2
C．0 D．1
7．设a，b∈R，i是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
8．若复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则( )
A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2
C．a≠－1 D．a≠2
9．(多选)已知复数z＝sin θ－icos 2θ(0<θ<2π)的实部与虚部互为相反数，则θ的值可以为( )
A. B.
C. D.
10．已知复数z＝a2＋(2a＋3)i(a∈R)的实部大于虚部，则实数a的取值范围是________.
11．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________.
12．已知集合P＝{5，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，Q＝{4i,5}，若P∩Q＝P∪Q，则实数m＝_______.
13．(10分)已知M＝{1，(m2－2m)＋(m2＋m－2)i}，P＝{－1,1，4i}，若M∪P＝P，求实数m的值.
14．(10分)已知复数z1＝4－m2＋(m－2)i，z2＝λ＋sin θ＋(cos θ－2)i，其中i是虚数单位，m，λ，θ∈R.
(1)若z1为纯虚数，求m的值；
(2)若z1＝z2，求λ的取值范围.
课时跟踪检测(十八)
1．选A 3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A.
2．选C 虚数不能比较大小，故A错误；两个虚数的实部和虚部相等，则这两个虚数相等，故B错误；若复数z满足－1z2，则z1－z2一定大于零，故D错误．
3．选C 因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1.故选C.
4．选A 因为x＋(y－2)i＝3y－(x－2)i，所以解得故选A.
5.选D 集合A，B，C的关系如图所示，可知只有( SA)∪( SB)＝C正确．故选D.
6．选D 由复数相等的充要条件知，解得
∴x＋y＝0.∴2x＋y＝20＝1.故选D.
7．选B 若ab＝0，则a＝0或b＝0；当b＝0时，a＋bi为实数，此时复数a＋bi不是纯虚数，充分性不成立；若复数a＋bi为纯虚数，则a＝0且b≠0，此时ab＝0，必要性成立．所以“ab＝0”是“复数a＋bi为纯虚数”的必要不充分条件．
8．选C 复数a2－a－2＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则有a2－a－2≠0或|a－1|－1＝0，解得a≠－1.
9．选ACD 由条件知，sin θ＝cos 2θ，
∴2sin2θ＋sin θ－1＝0，解得sin θ＝－1或sin θ＝.∵0<θ<2π，∴θ＝，θ＝或θ＝.故选A、C、D.
10．解析：由已知可得a2>2a＋3，即a2－2a－3>0，解得a>3或a<－1.所以实数a的取值范围是{a|a>3或a<－1}．
答案：{a|a>3或a<－1}
11．解析：由题意得解得m＝2.
答案：2
12．解析：由题意知P＝Q，所以(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，所以解得m＝2.
答案：2
13．解：∵M∪P＝P，∴M P.
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝－1，
得解得m＝1；
由(m2－2m)＋(m2＋m－2)i＝4i，
得
解得m＝2.综上可知，m＝1或m＝2.
14．解：(1)由z1为纯虚数，则解得m＝－2.
(2)由z1＝z2，得
∴λ＝4－cos2θ－sin θ＝2＋.∵－1≤sin θ≤1，∴当sin θ＝时，λmin＝，当sin θ＝－1时，λmax＝＋＝5.
∴实数λ的取值范围是.
