7.1.2 复数的几何意义—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系．
2．理解共轭复数的概念，并会求一个复数的共轭复数．
3．掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题．
1．复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做________，实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示________．
2．复数的几何意义
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)复平面内的点________．
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)平面向量.
|微|点|助|解|
(1)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(2)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
3．复数的模
(1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的____或________．
(2)记法：复数z＝a＋bi的模记作____________________．
(3)公式：|z|＝________＝__________.
(4)模的几何意义：复数z的模就是复数z＝a＋bi(a，b∈R)所对应的点Z(a，b)到原点(0,0)的距离．
4．共轭复数
(1)定义：当两个复数的实部________，虚部______________时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做__________．
(2)表示：复数z的共轭复数用 表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝a－bi.
(3)性质：①()＝z.
②实数的共轭复数是它本身，即 ＝z z∈R.
1．已知复数z＝－i，则复平面内对应点Z的坐标为( )
A．(0，－1) B．(－1,0)
C．(0,0) D．(－1，－1)
2．已知复数z＝－3i，则复数的模|z|是( )
A．5 B. C．6 D.
3．已知复数z＝(m－3)＋(m－1)i的模等于2，则实数m的值为( )
A．1或3 B．1
C．3 D．2
4．若复数z＝－2＋i，则复数z的共轭复数 等于( )
A．－2＋i B．－2－i
C．2＋i D．2－i
题型(一) 复数与复平面内点的关系
[例1] 实数a取什么值时，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点：
(1)位于第二象限；
(2)位于实轴上方；
(3)位于直线y＝x上．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．
(2)列出方程：此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．
[提醒] 复数与复平面内的点是一一对应关系，因此复数可以用点来表示．
[针对训练]
1．复数z＝－1－2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2．在复平面内，若表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，则实数m的取值范围是( )
A．(－∞，－1) B．(1，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1,1)
题型(二) 复数与复平面内向量的关系
[例2] (1)在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( )
A．4＋80i B．8＋2i
C．2＋4i D．4＋i
(2)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是( )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
听课记录：
|思|维|建|模| 复数与向量的对应和转化
对应 复数z与向量是一一对应关系
转化 复数的有关问题转化为向量问题求解
[针对训练]
3．在复平面内，把复数3－i对应的向量按顺时针方向旋转，所得向量对应的复数是( )
A．2 B．－2i
C.－3i D．3＋i
4．已知O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是( )
A．－5＋5i B．－5－5i
C．5＋5i D．5－5i
题型(三) 复数的模
[例3] (1)设(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是实数，则|x＋yi|＝ ( )
A．1 B.
C. D．2
(2)复数z满足关系式2|z|2－7|z|＋3＝0，则复数在复平面内对应点的轨迹是( )
A．两条直线 B．一条直线和一个圆
C．两个圆 D．一个圆
听课记录：
|思|维|建|模|
(1)复数z＝a＋bi模的计算：|z|＝.
(2)复数模的几何意义：复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离．
(3)转化思想：利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件，是一种复数问题实数化思想．
[针对训练]
5．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，下列选项正确的是( )
A．z1>z2 B．z1
C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
6．设z∈C，则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是( )
A．5π B．9π C．16π D．25π
7．1.2 复数的几何意义
课前预知教材
1．虚轴 纯虚数 2.(1)Z(a，b) 3.(1)模 绝对值 (2)|z|或|a＋bi| (3)|a＋bi| 4.(1)相等 互为相反数 共轭虚数
[基础落实训练]
1．选A 复数z＝－i的实部为0，虚部为－1，故复平面内对应点Z的坐标为(0，－1)．故选A.
2．选D |z|＝＝.
3．选A 依题意可得 ＝2，解得m＝1或m＝3，故选A.
4．选B 因为复数z＝－2＋i，所以复数z的共轭复数 ＝－2－i.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：根据复数的几何意义可知，复平面内表示复数z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的点为Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
(1)由点Z位于第二象限得
解得－2故满足条件的实数a的取值范围为(－2,1)．
(2)由点Z位于实轴上方得a2－3a＋2>0，
解得a>2或a<1，故满足条件的实数a的取值范围为(－∞，1)∪(2，＋∞)．
(3)由点Z位于直线y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.故满足条件的实数a的值为1.
[针对训练]
1．选C z＝－1－2i在复平面内对应的点为(－1，－2)，它位于第三象限．
2．选A 因为表示复数z＝m2－1＋i的点在第四象限，所以解得m<－1.故选A.
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)两个复数对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，则C(2,4)．故其对应的复数为2＋4i.
(2)由复数的几何意义，可得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0.
答案：(1)C (2)C
[针对训练]
3．选B 复数对应的点为(3，－)，对应的向量按顺时针方向旋转，则对应的点为(0，－2)，所得向量对应的复数为－2i.故选B.
4．选D 由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)，所以对应的复数是5－5i.
[题型(三)]
[例3] 解析：(1)因为(1＋i)x＝x＋xi＝1＋yi，所以x＝y＝1，|x＋yi|＝|1＋i|＝＝，故选B.
(2)由2|z|2－7|z|＋3＝0，解得|z|＝或|z|＝3.当|z|＝时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为的圆．当|z|＝3时，复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心，半径为3的圆．
答案：(1)B (2)C
[针对训练]
5．选D |z1|＝|5＋3i|＝＝，|z2|＝|5＋4i|＝＝.因为<，所以|z1|<|z2|.
6．选C 满足条件|z|＝3的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为3的圆．满足条件|z|＝5的复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为5的圆，
则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环，如图中阴影部分区域所示，在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52－32)＝16π.故选C.(共52张PPT)
7.1.2
复数的几何意义
(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.了解复平面的概念,理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系.
2.理解共轭复数的概念,并会求一个复数的共轭复数.
3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法,会求复数的模,并能解决相关的问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴,y轴叫做_____,实轴上的点都表示实数;除了原点外,虚轴上的点都表示_______.
虚轴
纯虚数
2.复数的几何意义
(1)复数z=a+bi(a,b∈R) 复平面内的点_______.
(2)复数z=a+bi(a,b∈R) 平面向量.
Z(a,b)
|微|点|助|解|
(1)实轴与复数的对应:实轴上的点都表示实数.
(2)虚轴与复数的对应:除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数,原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0,表示的是实数.
3.复数的模
(1)定义:向量的模叫做复数z=a+bi(a,b∈R)的____或________.
(2)记法:复数z=a+bi的模记作__________.
(3)公式:|z|=______=____________.
(4)模的几何意义:复数z的模就是复数z=a+bi(a,b∈R)所对应的点Z(a,b)到原点(0,0)的距离.
模
绝对值
|z|或|a+bi|
|a+bi|
4.共轭复数
(1)定义:当两个复数的实部______,虚部____________时,这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做_________.
(2)表示:复数z的共轭复数用 表示,即如果z=a+bi(a,b∈R),那么=a-bi.
(3)性质:①=z.
②实数的共轭复数是它本身,即 =z z∈R.
相等
互为相反数
共轭虚数
基础落实训练
1.已知复数z=-i,则复平面内对应点Z的坐标为 ( )
A.(0,-1) B.(-1,0)
C.(0,0) D.(-1,-1)
解析:复数z=-i的实部为0,虚部为-1,故复平面内对应点Z的坐标为(0,-1).故选A.
√
2.已知复数z=-3i,则复数的模|z|是( )
A.5 B.
C.6 D.
解析: |z|==.
√
3.已知复数z=(m-3)+(m-1)i的模等于2,则实数m的值为 ( )
A.1或3 B.1
C.3 D.2
解析:依题意可得 =2,解得m=1或m=3,故选A.
√
4.若复数z=-2+i,则复数z的共轭复数 等于( )
A.-2+i B.-2-i
C.2+i D.2-i
解析:因为复数z=-2+i,所以复数z的共轭复数=-2-i.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 复数与复平面内点的关系
[例1] 实数a取什么值时,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点:
(1)位于第二象限;
解:根据复数的几何意义可知,复平面内表示复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i的点为Z(a2+a-2,a2-3a+2).
由点Z位于第二象限得解得-2故满足条件的实数a的取值范围为(-2,1).
(2)位于实轴上方;
解:由点Z位于实轴上方得a2-3a+2>0,
解得a>2或a<1,故满足条件的实数a的取值范围为(-∞,1)∪(2,+∞).
(3)位于直线y=x上.
解:由点Z位于直线y=x上得a2+a-2=a2-3a+2,解得a=1.故满足条件的实数a的值为1.
|思|维|建|模|
利用复数与复平面内点的对应关系解题的步骤
(1)找对应关系:复数的几何表示法即复数z=a+bi(a,b∈R)可以用复平面内的点Z(a,b)来表示,是解决此类问题的根据.
(2)列出方程:此类问题可寻求复数的实部与虚部应满足的条件,通过解方程(组)或不等式(组)求解.
[提醒] 复数与复平面内的点是一一对应关系,因此复数可以用点来表示.
1.复数z=-1-2i(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:z=-1-2i在复平面内对应的点为(-1,-2),它位于第三象限.
√
针对训练
2.在复平面内,若表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,-1) B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,1)
解析:因为表示复数z=m2-1+i的点在第四象限,所以
解得m<-1.故选A.
√
题型(二) 复数与复平面内向量的关系
[例2] (1)在复平面内,复数6+5i,-2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是( )
A.4+80i B.8+2i
C.2+4i D.4+i
解析:两个复数对应的点分别为A(6,5),B(-2,3),则C(2,4).故其对应的复数为2+4i.
√
(2)向量对应的复数是5-4i,向量对应的复数是-5+4i,则+对应的复数是( )
A.-10+8i B.10-8i
C.0 D.10+8i
解析:由复数的几何意义,可得=(5,-4),=(-5,4),所以+=
(5,-4)+(-5,4)=(0,0),所以+对应的复数为0.
√
|思|维|建|模|
复数与向量的对应和转化
对应 复数z与向量是一一对应关系
转化 复数的有关问题转化为向量问题求解
3.在复平面内,把复数3-i对应的向量按顺时针方向旋转,所得向量对应的复数是( )
A.2 B.-2i
C.-3i D.3+i
解析:复数对应的点为(3,-),对应的向量按顺时针方向旋转,则对应的点为(0,-2),所得向量对应的复数为-2i.故选B.
√
针对训练
4.已知O是原点,向量,对应的复数分别为2-3i,-3+2i,那么向量对应的复数是( )
A.-5+5i B.-5-5i
C.5+5i D.5-5i
解析:由复数的几何意义,得=(2,-3),=(-3,2),=-=(2,-3)-
(-3,2)=(5,-5),所以对应的复数是5-5i.
√
题型(三) 复数的模
[例3] (1)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|= ( )
A.1 B.
C. D.2
解析:因为(1+i)x=x+xi=1+yi,所以x=y=1,|x+yi|=|1+i|==,故选B.
√
(2)复数z满足关系式2|z|2-7|z|+3=0,则复数在复平面内对应点的轨迹是 ( )
A.两条直线 B.一条直线和一个圆
C.两个圆 D.一个圆
解析:由2|z|2-7|z|+3=0,解得|z|=或|z|=3.当|z|=时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为的圆.当|z|=3时,复数在复平面内对应点的轨迹表示以原点为圆心,半径为3的圆.
√
(1)复数z=a+bi模的计算:|z|=.
(2)复数模的几何意义:复数的模的几何意义是复数所对应的点到原点的距离.
(3)转化思想:利用模的定义将复数模的条件转化为其实、虚部满足的条件,是一种复数问题实数化思想
|思|维|建|模|
5.已知z1=5+3i,z2=5+4i,下列选项正确的是 ( )
A.z1>z2 B.z1C.|z1|>|z2| D.|z1|<|z2|
解析:|z1|=|5+3i|==,|z2|=|5+4i|==.
因为<,所以|z1|<|z2|.
√
针对训练
6.设z∈C,则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是 ( )
A.5π B.9π C.16π D.25π
解析:满足条件|z|=3的复数z在复平面内对应的点的轨迹
是以原点为圆心,半径为3的圆.满足条件|z|=5的复数z在
复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心,半径为5的圆,
则在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域为圆环,如图中阴影部分区域所示,在复平面内3≤|z|≤5所表示的区域的面积是π×(52-32)=16π.故选C.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)下列命题正确的是( )
A.若z是实数,则z=
B.若z=,则z是实数
C.若=-z,则z是纯虚数
D.若z是纯虚数,则=-z
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2.(2024·新课标 Ⅱ 卷)已知z=-1-i,则|z|= ( )
A.0 B.1
C. D.2
解析:由z=-1-i,得|z|==.
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3.设z=-3+2i,则在复平面内 对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:由已知可得,=-3-2i,故 对应的点为(-3,-2),位于第三象限.
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4.在复平面内,O是原点,向量对应的复数为5+3i,与 关于y轴对称,则点B对应的复数是( )
A.5-3i B.-5-3i C.5+3i D.-5+3i
解析:设向量对应的复数为a+bi(a,b∈R),对应复平面的坐标为(a,b).因为向量对应的复数为5+3i,所以对应复平面的坐标为(5,3).因为与关于y轴对称,所以a=-5,b=3.即向量对应的复数为-5+3i.因为点O为坐标原点,所以点B对应的复数是-5+3i.
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5.(多选)已知复数z=1+i(其中i为虚数单位),则以下说法正确的是 ( )
A.复数z的虚部为i
B.|z|=
C.复数z的共轭复数=1-i
D.复数z在复平面内对应的点在第一象限
√
√
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解析:因为复数z=1+i,所以其虚部为1,故A错误;|z|==,故B正确;复数z的共轭复数=1-i,故C正确;复数z在复平面内对应的点为(1,1),显然位于第一象限,故D正确.故选B、C、D.
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6.已知复数z=a2-1+(a+1)i(a∈R)是纯虚数,则a= ,|z|= .
解析:∵复数z=a2-1+(a+1)i是纯虚数,
∴解得a=1.∴z=2i.∴|z|=2.
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7.若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,且|z|=2,则z=__________
________(写出一个即可)
解析:设z=a+bi,a,b∈R,因为复数z在复平面内对应的点在第二象限,所以a<0,b>0.又因为|z|=2,所以a2+b2=4.显然当a=-1,b=时,符合题意.
1+i(答案
不唯一)
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8.在复平面内,O是坐标原点,向量对应的复数是-2+i,若点A关于实轴的对称点为点B,则向量对应的复数的模为 .
解析:∵向量对应的复数是-2+i,∴A(-2,1).又点A关于实轴的对称点为点B,∴B(-2,-1).∴向量对应的复数为-2-i,该复数的模为|-2-i|=
=.
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9.(8分)在复平面内画出下列复数对应的向量,并求出各复数的模.
z1=1-i;z2=-+i;z3=-2;z4=2+2i.
解:在复平面内分别画出点Z1(1,-1),Z2,Z3(-2,0),Z4(2,2),
则向量,,,分别为复数z1,z2,z3,z4对应的向量,
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如图所示.各复数的模分别为|z1|= =;|z2|==
1;|z3|==2;|z4|==2.
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10.(10分)已知复数z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限,求实数m的取值范围;
解:由解得-31
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(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.
解:|z|2=+,
令m2+m-2=t,∵t=-,
∴t∈,则|z|2=2t2-8t+16=2(t-2)2+8,所以当t=2,即m=时,
|z|有最小值2.
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B级——重点培优
11.已知复平面内A,B,C三点所对应的复数为-2-i,1+i,2i,若ABCD为平行四边形,则||=( )
A.13 B.
C.17 D.
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解析:A,B,C三点对应的复数分别是-2-i,1+i,2i,则复平面内A,B,C三点对应点的坐标为A(-2,-1),B(1,1),C(0,2).设复平面内点D的坐标为D(x,y),则=(3,2),=(-x,2-y),又ABCD是复平面内的平行四边形,则=,则解得则D(-3,0),则=(-4,-1),||=
=.
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12.(多选)已知复数z=a+bi(a,b∈R,i为虚数单位),且a+b=1,下列命题正确的是 ( )
A.z不可能为纯虚数
B.若z的共轭复数为 ,且z=,则z是实数
C.若z=|z|,则z是实数
D.|z|可以等于
√
√
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解析:当a=0时,b=1,此时z=i,为纯虚数,A错误;若z的共轭复数为 ,且z=,则a+bi=a-bi,所以b=0,B正确;由|z|是实数,且z=|z|知,z是实数,C正确;由|z|=得a2+b2=.又a+b=1,即b=1-a,因此8a2-8a+3=0,Δ=64-4×8×3=-32<0,所以方程无实数解,即|z|不可以等于.D错误.故选B、C.
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13.复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与,已知z1=+i,⊥,且||=||,则复数z2= .
解析:由题意得=(,1),设=(x,y),由⊥得·=x+y=0,由||=||得x2+y2=4,联立解得或即=(1,-)或=(-1,),所以z2=1-i或z2=-1+i.
1-i或-1+i
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14.(12分)在复平面内,A,B,C三点对应的复数分别为1,2+i,-1+2i.
(1)求向量,,对应的复数;
解:由复数的几何意义知,=(1,0),=(2,1),=(-1,2),
所以=-=(1,1),=-=(-2,2),=-=(-3,1).所以,,对应的复数分别为1+i,-2+2i,-3+i.
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(2)判定△ABC的形状.
解:因为||=,||=2,||=,所以||2+||2=||2,
所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形.
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15.(12分)已知复平面内的点A,B对应的复数分别是z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+
icos 2θ,其中θ∈(0,π).设对应的复数是z.
(1)求复数z;
解:因为点A,B对应的复数分别是
z1=sin2θ+i,z2=-cos2θ+icos 2θ,
所以点A,B的坐标分别是A(sin2θ,1),B(-cos2θ,cos 2θ).
所以=(-cos2θ,cos 2θ)-(sin2θ,1)=(-cos2θ-sin2θ,cos 2θ-1)=(-1,-2sin2θ),
所以对应的复数z=-1+(-2sin2θ)i.
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(2)若复数z对应的点P在直线y=x上,求θ的值.
解:由(1)知点P的坐标是(-1,-2sin2θ),
代入y=x,得-2sin2θ=-,即sin2θ=,
所以sin θ=±.又因为θ∈(0,π),
所以sin θ=,所以θ=或θ=.课时跟踪检测(十九) 复数的几何意义
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)下列命题正确的是( )
A．若z是实数，则z＝
B．若z＝，则z是实数
C．若＝－z，则z是纯虚数
D．若z是纯虚数，则＝－z
2．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝( )
A．0 B．1
C. D．2
3．设z＝－3＋2i，则在复平面内 对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．在复平面内，O是原点，向量对应的复数为5＋3i， 与 关于y轴对称，则点B对应的复数是( )
A．5－3i B．－5－3i
C．5＋3i D．－5＋3i
5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是( )
A．复数z的虚部为i
B．|z|＝
C．复数z的共轭复数＝1－i
D．复数z在复平面内对应的点在第一象限
6．已知复数z＝a2－1＋(a＋1)i(a∈R)是纯虚数，则a＝________，|z|＝________.
7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝________.(写出一个即可)
8．在复平面内，O是坐标原点，向量对应的复数是－2＋i，若点A关于实轴的对称点为点B，则向量对应的复数的模为________.
9．(8分)在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．
z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i.
10．(10分)已知复数z＝(m2＋m－6)＋(m2＋m－2)i(m∈R)在复平面内所对应的点为A.
(1)若点A在第二象限，求实数m的取值范围；
(2)求|z|的最小值及此时实数m的值.
B级——重点培优
11．已知复平面内A，B，C三点所对应的复数为－2－i，1＋i，2i，若ABCD为平行四边形，则||＝( )
A．13 B.
C．17 D.
12．(多选)已知复数z＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，且a＋b＝1，下列命题正确的是( )
A．z不可能为纯虚数
B．若z的共轭复数为 ，且z＝，则z是实数
C．若z＝|z|，则z是实数
D．|z|可以等于
13．复数z1与z2在复平面上对应的向量分别为与，已知z1＝＋i，⊥，且||＝||，则复数z2＝________.
14．(12分)在复平面内，A，B，C三点对应的复数分别为1，2＋i，－1＋2i.
(1)求向量，， 对应的复数；
(2)判定△ABC的形状.
15．(12分)已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)．设对应的复数是z.
(1)求复数z；
(2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值.
课时跟踪检测(十九)
1．ABD
2．选C 由z＝－1－i，
得|z|＝＝.
3．选C 由已知可得，＝－3－2i，故 对应的点为(－3，－2)，位于第三象限．
4．选D 设向量对应的复数为a＋bi(a，b∈R)，对应复平面的坐标为(a，b)．因为向量对应的复数为5＋3i，所以对应复平面的坐标为(5,3)．因为与关于y轴对称，所以a＝－5，b＝3.即向量对应的复数为－5＋3i.因为点O为坐标原点，所以点B对应的复数是－5＋3i.
5．选BCD 因为复数z＝1＋i，所以其虚部为1，故A错误；|z|＝＝，故B正确；复数z的共轭复数＝1－i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确．故选B、C、D.
6．解析：∵复数z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，∴解得a＝1.∴z＝2i.
∴|z|＝2.
答案：1 2
7．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0.又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4.显然当a＝－1，b＝时，符合题意．
答案：－1＋i(答案不唯一)
8．解析：∵向量对应的复数是－2＋i，
∴A(－2,1)．又点A关于实轴的对称点为点B，∴B(－2，－1)．∴向量对应的复数为－2－i，该复数的模为|－2－i|＝＝.
答案：
9．解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，
Z2，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量，，
，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为
|z1|＝ ＝；|z2|＝＝1；
|z3|＝＝2；|z4|＝＝2.
10．解：(1)由解得－3(2)|z|2＝(m2＋m－6)2＋(m2＋m－2)2，
令m2＋m－2＝t，∵t＝2－，
∴t∈，则|z|2＝2t2－8t＋16＝2(t－2)2＋8，所以当t＝2，即m＝时，|z|有最小值2.
11．选D A，B，C三点对应的复数分别是－2－i，1＋i,2i，则复平面内A，B，C三点对应点的坐标为A(－2，－1)，B(1,1)，C(0,2)．设复平面内点D的坐标为D(x，y)，则＝(3,2)，＝(－x,2－y)，又ABCD是复平面内的平行四边形，则＝，则解得则D(－3,0)，则＝(－4，－1)，||＝＝.
12．选BC 当a＝0时，b＝1，此时z＝i，为纯虚数，A错误；若z的共轭复数为 ，且z＝，则a＋bi＝a－bi，所以b＝0，B正确；由|z|是实数，且z＝|z|知，z是实数，C正确；由|z|＝得a2＋b2＝.又a＋b＝1，即b＝1－a，因此8a2－8a＋3＝0，Δ＝64－4×8×3＝－32<0，所以方程无实数解，即|z|不可以等于.D错误．故选B、C.
13．解析：由题意得＝(，1)，设＝(x，y)，由⊥得·＝x＋y＝0，由||＝||得x2＋y2＝4，联立解得或即＝(1，－)或＝(－1，)，所以z2＝1－i或z2＝－1＋i.
答案：1－i或－1＋i
14．解：(1)由复数的几何意义知，＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)．所以，， 对应的复数分别为1＋i，－2＋2i，－3＋i.
(2)因为||＝，||＝2，||＝，所以||2＋||2＝||2，所以△ABC是以BC为斜边的直角三角形．
15．解：(1)因为点A，B对应的复数分别是
z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，
所以点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)．
所以＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1)＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)，
所以对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)，代入y＝x，得－2sin2θ＝－，即sin2θ＝，所以sin θ＝±.
又因为θ∈(0，π)，所以sin θ＝，所以θ＝或θ＝.