7.2.2 复数的乘、除运算—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．掌握复数的乘法和除法运算．
2．理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律．
3．掌握在复数范围内解方程的方法．
逐点清(一) 复数乘法的运算法则
[多维理解]
1．复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝________________.
2．复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
交换律 z1z2＝______
结合律 (z1z2)z3＝________
乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝__________
|微|点|助|解|
对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；③(1±i)2＝±2i.
[微点练明]
1．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝( )
A．－2 B.
C．－ D．2
2．(2024·北京高考)若复数z满足＝－1－i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
3．(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
4．若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
5．已知复数z1＝1－2i，z2＝1＋bi，若z1·z2＝7－i，则实数b＝( )
A．1 B．2
C．3 D．－1
逐点清(二) 复数除法的运算法则
[多维理解]
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0)，则＝＝______＋______i.
复数的除法的实质是分母“实数化”．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子与分母都乘分母的__________．
|微|点|助|解|
(1)对复数除法的两点说明
①实数化：分子、分母都乘分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
(2)常用公式
①＝－i；②＝i；③＝－i.
[微点练明]
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝( )
A．－i B．i
C．0 D．1
2．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i是虚数单位)，则z＝( )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
3．(2023·全国甲卷)＝( )
A．－1 B．1
C．1－i D．1＋i
4．(多选)已知复数z满足＝2＋i，则( )
A．z的虚部为－1
B．|z|＝
C．z在复平面内对应的点在第四象限
D．z6＝－8i
5．已知复数z满足z(3＋i)＝3＋i2 023，则z的共轭复数的虚部为( )
A．－i B.i
C．－ D.
逐点清(三) 复数范围内方程根的问题
[典例] 已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)．
(1)求b，c的值；
(2)试判断1－i是不是方程的根．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时，x＝；
(2)当Δ<0时，x＝.
2．利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．
[针对训练]
1．已知2－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，则实数p，q分别为( )
A．p＝4，q＝－11 B．p＝－4，q＝3
C．p＝4，q＝－3 D．p＝－4，q＝5
2．在复数范围内，写出方程z2－4z＋21＝0的一个解：z＝________.
7．2.2 复数的乘、除运算
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.(ac－bd)＋(ad＋bc)i
2．z2z1 z1(z2z3) z1z2＋z1z3
[微点练明]
1．选D 因为z＝i，所以＝－i，z·＝2，故选D.
2．选C 由题意得，z＝i(－1－i)＝1－i.
3．选A 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6,8)，位于第一象限，故选A.
4．选B 由题意，得z＝(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为z在复平面内对应的点在第二象限，所以解得a<－1，故选B.
5．选C 因为z1·z2＝z1·z2＝(1＋2i)(1－bi)＝1＋2b＋(2－b)i＝7－i，所以1＋2b＝7,2－b＝－1，解得b＝3.故选C.
[逐点清(二)]
[多维理解] 共轭复数
[微点练明]
1．选A 因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i.故选A.
2．选A ∵z(2－i)＝11＋7i，∴z＝＝＝＝3＋5i.
3．选C 由题意知，＝＝＝1－i，故选C.
4．选ABD 因为＝2＋i，所以1－＝2＋i，所以z＝＝＝＝－1－i，z的虚部为－1，故A正确；|z|＝＝，故B正确；z在复平面内对应的点的坐标为(－1，－1)，在第三象限，故C错误；因为z2＝(－1－i)2＝1＋2i＋i2＝2i，所以z6＝(z2)3＝(2i)3＝－8i，故D正确．
5．选D 由z(3＋i)＝3＋i2 023，得z＝＝＝＝－i，所以＝＋i，所以z的共轭复数的虚部为.
[逐点清(三)]
[典例] 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根，
∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0.
∴解得b＝－2，c＝2.
(2)由(1)知方程为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边得x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根．
[针对训练]
1．选D 因为2－i是关于x的方程x2＋px＋q＝0的一个根，所以(2－i)2＋p(2－i)＋q＝0，即(3＋2p＋q)－(4＋p)i＝0.
所以解得
2．解析：由z2－4z＋21＝(z－2)2＋17＝0，得(z－2)2＝－17，则z－2＝±i，所以z＝2±i.
答案：2＋i(答案不唯一)(共51张PPT)
7.2.2
复数的乘、除运算
（教学方式：基本概念课——逐点理清式教学）
课时目标
1.掌握复数的乘法和除法运算.
2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律.
3.掌握在复数范围内解方程的方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 复数乘法的运算法则
逐点清(二) 复数除法的运算法则
逐点清(三) 复数范围内方程根的问题
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 复数乘法的运算法则
01
多维理解
1.复数的乘法法则
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+bi)(c+di)=ac+bci+adi+bdi2=_________________.
(ac-bd)+(ad+bc)i
2.复数乘法的运算律
对于任意z1,z2,z3∈C,有
交换律 z1z2=_____
结合律 (z1z2)z3=_______
乘法对加法的分配律 z1(z2+z3)=_________
z2z1
z1(z2z3)
z1z2+z1z3
|微|点|助|解|
对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算:复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似,可仿多项式乘法进行,但结果要将实部、虚部分开(i2换成-1).
(2)运算律:多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立,乘法公式也适用.
(3)常用结论
①(a±bi)2=a2±2abi-b2(a,b∈R);
②(a+bi)(a-bi)=a2+b2(a,b∈R);
③(1±i)2=±2i.
1.(2024·全国甲卷)设z=i,则z·=( )
A.-2 B.
C.- D.2
解析:因为z=i,所以=-i,z·=2,故选D.
√
微点练明
2.(2024·北京高考)若复数z满足=-1-i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
解析:由题意得,z=i(-1-i)=1-i.
√
3.(2023·新课标Ⅱ卷)在复平面内,(1+3i)(3-i)对应的点位于 ( )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
解析:因为(1+3i)(3-i)=3-i+9i-3i2=6+8i,所以该复数在复平面内对应的点为(6,8),位于第一象限,故选A.
√
4.若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是 ( )
A.(-∞,1) B.(-∞,-1)
C.(1,+∞) D.(-1,+∞)
解析:由题意,得z=(1-i)(a+i)=(a+1)+(1-a)i,因为z在复平面内对应的点在第二象限,所以解得a<-1,故选B.
√
5.已知复数z1=1-2i,z2=1+bi,若=7-i,则实数b=( )
A.1 B.2
C.3 D.-1
解析:因为=·=(1+2i)(1-bi)=1+2b+(2-b)i=7-i,所以1+2b=7,2-b=-1,解得b=3.故选C.
√
逐点清(二) 复数除法的运算法则
02
多维理解
设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R,且c+di≠0),
=则==________+_______i.
复数的除法的实质是分母“实数化”.若分母为a+bi型,则分子、分母同乘a-bi;若分母为a-bi型,则分子、分母同乘a+bi,即分子与分母都乘分母的_________.
|微|点|助|解|
(1)对复数除法的两点说明
①实数化:分子、分母都乘分母的共轭复数c-di,化简后即得结果,这个过程实际上就是把分母实数化,这与根式除法的分母“有理化”很类似.
②代数式:注意最后结果要将实部、虚部分开.
特别提醒:复数的除法类似于根式的分母有理化.
(2)常用公式
①=-i;②=i;③=-i.
1.(2023·新课标Ⅰ卷)已知z=,则z-=( )
A.-i B.i
C.0 D.1
解析:因为z===-,所以=,所以z-=--=-i.故选A.
√
微点练明
2.若复数z满足z(2-i)=11+7i(i是虚数单位),则z= ( )
A.3+5i B.3-5i
C.-3+5i D.-3-5i
解析:∵z(2-i)=11+7i,∴z====3+5i.
√
3.(2023·全国甲卷)=( )
A.-1 B.1
C.1-i D.1+i
解析:由题意知,===1-i,故选C.
√
4.(多选)已知复数z满足=2+i,则( )
A.z的虚部为-1
B.|z|=
C.z在复平面内对应的点在第四象限
D.z6=-8i
√
√
√
解析:因为=2+i,所以1-=2+i,所以z====-1-i,z的虚部为-1,故A正确;|z|==,故B正确;z在复平面内对应的点的坐标为(-1,-1),在第三象限,故C错误;因为z2=(-1-i)2=1+2i+i2=2i,所以z6==(2i)3=-8i,故D正确.
5.已知复数z满足z(3+i)=3+i2 023,则z的共轭复数的虚部为( )
A.-i B.i
C.- D.
解析:由z(3+i)=3+i2 023,得z====-i,所以=+i,所以z的共轭复数的虚部为.
√
逐点清(三)
复数范围内方程根的问题
03
[典例] 已知1+i是方程x2+bx+c=0的一个根(b,c为实数).
(1)求b,c的值;
解:∵1+i是方程x2+bx+c=0的根,
∴(1+i)2+b(1+i)+c=0,即(b+c)+(2+b)i=0.
∴解得b=-2,c=2.
(2)试判断1-i是不是方程的根.
解:由(1)知方程为x2-2x+2=0,把1-i代入方程左边得x2-2x+2=(1-i)2-2(1-i)
+2=0,显然方程成立,∴1-i也是方程的一个根.
|思|维|建|模|
1.复数范围内,实系数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式为
(1)当Δ≥0时,x=;
(2)当Δ<0时,x=.
2.利用复数相等的定义求解,设方程的根为x=m+ni(m,n∈R),将其代入方程ax2+bx+c=0(a≠0),化简后利用复数相等的定义求解.
1.已知2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,则实数p,q分别为 ( )
A.p=4,q=-11 B.p=-4,q=3
C.p=4,q=-3 D.p=-4,q=5
√
针对训练
解析:因为2-i是关于x的方程x2+px+q=0的一个根,所以(2-i)2+p(2-i)+q=0,
即(3+2p+q)-(4+p)i=0.
所以解得
2.在复数范围内,写出方程z2-4z+21=0的一个解:z= .
解析:由z2-4z+21=(z-2)2+17=0,得(z-2)2=-17,则z-2=±i,
所以z=2±i.
2+i(答案不唯一)
课时跟踪检测
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2
1.下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( )
A.i(1+i)2 B.i2(1-i)
C.(1+i)2 D.i(1+i)
解析:A项,i(1+i)2=i·2i=-2,不是纯虚数;B项,i2(1-i)=-(1-i)=-1+i,不是纯虚数;C项,(1+i)2=2i,2i是纯虚数;D项,i(1+i)=i+i2=-1+i,不是纯虚数.故选C.
√
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2.i(3-i)的共轭复数为 ( )
A.3+i B.3-i
C.1+3i D.1-3i
解析:由题意得z= i·(3-i)=1+3i,所以=1-3i,故选D.
√
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2
3.(2024·新课标Ⅰ卷)若=1+i,则z=( )
A.-1-i B.-1+i
C.1-i D.1+i
解析:因为==1+=1+i,所以z=1+=1-i.故选C.
√
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4.若复数z满足(1+i)z=|1+i|,则z的虚部为 ( )
A.-i B.-
C. D.-
解析:由(1+i)z=|1+i|=,得z===-i,所以z的虚部为-.故选B.
√
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5.(多选)若复数z满足(2+i)z+5i=0,则 ( )
A.z的虚部为-2 B.=1+2i
C.z在复平面内对应的点位于第二象限 D.|z4|=25
解析:由题意,得z==-1-2i,虚部为-2,故A正确;=-1+2i,故B错误;z在复平面内对应的点为(-1,-2),位于第三象限,故C错误;|z4|=|z|4=()4=25,故D正确.
√
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6.如图,若向量对应的复数为z,且|z|=,则=( )
A.+i B.--i
C.-i D.-+i
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解析:由题意,设z=-1+bi(b>0),则|z|==,解得b=2,即z=-1+2i,所以====-+i.
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7.(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2,其中x1=1+i,则 ( )
A.p=2 B.x2=1-i
C.x1·=-2i D.=i
√
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解析:因为实系数一元二次方程x2+px+2=0的两根为x1,x2且x1=1+i,所以x1x2=2,可得x2===1-i,故B正确;又x1+x2=1+i+1-i=2=-p,所以p=-2,故A错误;由=1+i,所以x1·=(1+i)2=2i≠-2i,故C错误;====i,故D正确.故选B、D.
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8.已知a为实数,若复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则=( )
A.i B.-i
C.1 D.-1
解析:因为复数z=(a2-1)+(a+1)i为纯虚数,则解得a=1.所以====-i.故选B.
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9.(多选)已知复数z=,则( )
A.z的虚部是-i
B.=1+i
C.z·=|z|2=4
D.z是方程x2-2x+4=0的一个根
√
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2
解析:因为z===1-i.则z的虚部是-,故A错误;
=1+i,故B正确;因为z·=(1-i)(1+i)=4,|z|==2,所以z·=|z|2=4,故C正确;因为x2-2x+4=0,即(x-1)2=-3,解得x=1±i,所以方程x2-2x+4=0的复数根为1±i,即z是方程x2-2x+4=0的一个根,故D正确.
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10.(多选)若复数z满足(2+i)z=4-3i(其中i为虚数单位),则下列说法正确的是 ( )
A.z在复平面内对应的点位于第四象限
B.z·=5(是z的共轭复数)
C.z2=5-4i
D.若|z1|=2,则|z1-z|的最大值为+2
√
√
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解析:z====1-2i,在复平面内z所对应的点坐标为(1,-2),在第四象限,故A正确;z·=(1-2i)·(1+2i)=1+4=5,故B正确;z2=(1-2i)2=1-4-4i=-3-4i,故C错误;对于D,|z1|=2,则表示复数z1的点P的集合是以(0,0)为圆心,2为半径的圆,而|z1-z|=|z1-(1-2i)|,即为点P到点M(1,-2)之间的距离,所以|z1-z|的最大值为+2=+2,故D正确.
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11.(2024·天津高考)已知i是虚数单位,复数(+i)·(-2i)= .
解析:(+i)(-2i)=()2-2i+i-2i2=7-i.
7-i
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12.已知复数z=,是z的共轭复数,则·z= .
解析: 因为z====-+i,所以·z==
+=.
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13.写出一个同时具有下列两个性质的复数z=_____________________
_______.
性质1:|z-|=2 性质2:z·=4
解析:设z=a+bi,a,b∈R,则=a-bi,从而z-=(a+bi)-(a-bi)=2bi,因为|z-|=2,所以|2b|=2,解得b=±1.因为z·=4,所以(a+bi)·(a-bi)=a2+b2=4,解得a=±,所以z=±±i.
±±i(写出其中一
个即可)
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14.(17分)已知复数z=.
(1)计算复数z,并求|z|;
解:因为z=====4-2i,所以|z|==2.
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(2)若复数z满足z(z+a)=b-8i,求实数a,b的值.
解:由z(z+a)=b-8i,得(4-2i)(4+a-2i)=b-8i,
16+4a-8i-8i-2ai+4i2=b-8i,12+4a-(16+2a)i=b-8i,
所以解得a=-4,b=-4.
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15.(18分)已知关于x的实系数一元二次方程x2-2x+k=0.
(1)若方程有一个根1+i(i是虚数单位),求k的值;
解:由题意可知1-i是方程的另一复数根,所以(1-i)(1+i)=1-(i)2
=1+2=3=k,所以k=3.
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(2)若方程有两虚根x1,x2,且|x1-x2|=3,求k的值.
解:设x1=a+bi,x2=a-bi,a,b∈R,
则由题意x1+x2=2a=2,x1x2=a2-b2i2=a2+b2=k且Δ=4-4k<0,所以a=1,b2=k-1,k>1,所以|x1-x2|=|2bi|====3,解得k=.课时跟踪检测(二十一) 复数的乘、除运算
(满分100分，选填小题每题5分)
1．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
2．i(3－i)的共轭复数为( )
A．3＋i B．3－i
C．1＋3i D．1－3i
3．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝( )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
4．若复数z满足(1＋i)z＝|1＋i|，则z的虚部为( )
A．－i B．－
C. D．－
5．(多选)若复数z满足(2＋i)z＋5i＝0，则( )
A．z的虚部为－2
B.＝1＋2i
C．z在复平面内对应的点位于第二象限
D．|z4|＝25
6.如图，若向量对应的复数为z，且|z|＝，则＝( )
A.＋i B．－－i
C.－i D．－＋i
7．(多选)在复数范围内关于x的实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2，其中x1＝1＋i，则( )
A．p＝2 B．x2＝1－i
C．x1·x2＝－2i D.＝i
8．已知a为实数，若复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则＝( )
A．i B．－i
C．1 D．－1
9．(多选)已知复数z＝，则( )
A．z的虚部是－i
B.＝1＋i
C．z·＝|z|2＝4
D．z是方程x2－2x＋4＝0的一个根
10．(多选)若复数z满足(2＋i)z＝4－3i(其中i为虚数单位)，则下列说法正确的是( )
A．z在复平面内对应的点位于第四象限
B．z·＝5(是z的共轭复数)
C．z2＝5－4i
D．若|z1|＝2，则|z1－z|的最大值为＋2
11．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________.
12．已知复数z＝，是z的共轭复数，则·z＝________.
13．写出一个同时具有下列两个性质的复数z＝________.
性质1：|z－|＝2 性质2：z·＝4
14．(17分)已知复数z＝.
(1)计算复数z，并求|z|；
(2)若复数z满足z(z＋a)＝b－8i，求实数a，b的值.
15．(18分)已知关于x的实系数一元二次方程x2－2x＋k＝0.
(1)若方程有一个根1＋i(i是虚数单位)，求k的值；
(2)若方程有两虚根x1，x2，且|x1－x2|＝3，求k的值.
课时跟踪检测(二十一)
1．选C A项，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是纯虚数；B项，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是纯虚数；C项，(1＋i)2＝2i,2i是纯虚数；D项，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是纯虚数．故选C.
2．选D 由题意得z＝ i·(3－i)＝1＋3i，所以＝1－3i，故选D.
3．选C 因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C.
4．选B 由(1＋i)z＝|1＋i|＝，得z＝＝＝－i，
所以z的虚部为－.故选B.
5．选AD 由题意，得z＝＝－1－2i，虚部为－2，故A正确；＝－1＋2i，故B错误；z在复平面内对应的点为(－1，－2)，位于第三象限，故C错误；|z4|＝|z|4＝()4＝25，故D正确．
6．选D 由题意，设z＝－1＋bi(b>0)，则|z|＝＝，解得b＝2，即z＝－1＋2i，所以＝＝＝＝－＋i.
7．选BD 因为实系数一元二次方程x2＋px＋2＝0的两根为x1，x2且x1＝1＋i，所以x1x2＝2，可得x2＝＝＝1－i，故B正确；又x1＋x2＝1＋i＋1－i＝2＝－p，所以p＝－2，故A错误；由x2＝1＋i，所以x1·x2＝(1＋i)2＝2i≠－2i，故C错误；＝＝＝＝i，故D正确．故选B、D.
8．选B 因为复数z＝(a2－1)＋(a＋1)i为纯虚数，则解得a＝1.所以＝＝＝＝－i.故选B.
9．选BCD 因为z＝＝＝1－i.则z的虚部是－，故A错误；＝1＋i，故B正确；因为z·＝(1－i)(1＋i)＝4，|z|＝＝2，所以z·＝|z|2＝4，故C正确；因为x2－2x＋4＝0，即(x－1)2＝－3，解得x＝1±i，所以方程x2－2x＋4＝0的复数根为1±i，即z是方程x2－2x＋4＝0的一个根，故D正确．
10．选ABD z＝＝＝＝1－2i，在复平面内z所对应的点坐标为(1，－2)，在第四象限，故A正确；z·＝(1－2i)·(1＋2i)＝1＋4＝5，故B正确；z2＝(1－2i)2＝1－4－4i＝－3－4i，故C错误；对于D，|z1|＝2，则表示复数z1的点P的集合是以(0,0)为圆心，2为半径的圆，而|z1－z|＝|z1－(1－2i)|，即为点P到点M(1，－2)之间的距离，所以|z1－z|的最大值为＋2＝＋2，故D正确．
11．解析：(＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i.
答案：7－i
12．解析： 因为z＝＝＝＝－＋i，所以·z＝＝＋＝.
答案：
13．解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，则＝a－bi，从而z－＝(a＋bi)－(a－bi)＝2bi，因为|z－|＝2，所以|2b|＝2，解得b＝±1.因为z·＝4，所以(a＋bi)·(a－bi)＝a2＋b2＝4，解得a＝±，所以z＝±±i.
答案：±±i(写出其中一个即可)
14．解：(1)因为z＝＝＝＝＝4－2i，所以|z|＝＝2.
(2)由z(z＋a)＝b－8i，得(4－2i)(4＋a－2i)＝b－8i，
16＋4a－8i－8i－2ai＋4i2＝b－8i,12＋4a－(16＋2a)i＝b－8i，所以解得a＝－4，b＝－4.
15．解：(1)由题意可知1－i是方程的另一复数根，所以(1－i)(1＋i)＝1－(i)2＝1＋2＝3＝k，所以k＝3.
(2)设x1＝a＋bi，x2＝a－bi，a，b∈R，
则由题意x1＋x2＝2a＝2，x1x2＝a2－b2i2＝a2＋b2＝k且Δ＝4－4k<0，所以a＝1，b2＝k－1，k>1，所以|x1－x2|＝|2bi|＝＝＝＝3，解得k＝.
