阶段质量评价(二) 复数(含解析)高中数学人教A版(2019)必修 第二册 第七章

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名称 阶段质量评价(二) 复数(含解析)高中数学人教A版(2019)必修 第二册 第七章
格式 DOC
文件大小 121.0KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2025-07-22 19:17:09

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文档简介

阶段质量评价(二) 复 数
(时间:120分钟 满分:150分)
一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.2=(  )
A.2-i B.2+i
C.-2i D.2i
2.若(z+i)i=4-7i,则复数z的虚部为(  )
A.-5 B.5
C.7 D.-7
3.以-+2i的虚部为实部,以i+2i2的实部为虚部的新复数是(  )
A.2-2i B.-+i
C.2+i D.+i
4.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
5.已知复数z1,z2是关于x的方程x2-2x+3=0的两根,则z1z2的值为(  )
A.-3 B.-2
C.2 D.3
6.如图,在复平面内,复数z1,z2对应的向量分别是,,则=(  )
A.-i      B.+i
C.--i      D.-+i
7.定义复数的一种运算z1*z2=(等式右边为普通运算),若复数z=a+bi,为z的共轭复数,且正实数a,b满足a+b=3,则z*的最小值为(  )
A. B.
C. D.
8.瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式:eix=cos x+isin x,其中e是自然对数的底数,i是虚数单位,该公式将指数函数的定义域扩大到复数,建立了三角函数与指数函数的关联,在复变函数论中占有非常重要的地位,被推举为“数学中的天桥”.依据欧拉公式,下列选项正确的是(  )
A.ei的虚部为i
B.复数ei在复平面内对应的点位于第二象限
C.sin x=
D.若z1=ei,z2=eθi在复平面内分别对应点Z1,Z2,则△OZ1Z2面积的最大值为
二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得 6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分)
9.已知复数z=,则下列结论正确的是(  )
A.z对应的点位于第一象限
B.的虚部为2
C.|z|=
D.z=5
10.下列有关复数z的叙述正确的是(  )
A.若z=i3,则=i
B.若z=1+,则z的虚部为-i
C.若z=a+ai(a∈R),则z不可能为纯虚数
D.若复数z满足∈R,则z∈R
11.对任意z1,z2,z∈C,下列结论成立的是(  )
A.当m,n∈N*时,有zmzn=zm+n
B.当z1,z2∈C时,若z+z=0,则z1=0且z2=0
C.互为共轭复数的两个复数的模相等,且||2=|z|2=z·
D.z1=z2的充要条件是|z1|=|z2|
三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上)
12.已知复数=-1+2i,则的虚部为________.
13.在复平面内,O为原点,向量=(a,b),对应复数为a+bi(a∈R,b∈R),将绕O点沿逆时针方向旋转,且将向量的模变为原来的倍,得向量,此时向量对应的复数为(a+bi)·(1+i)=a-b+(a+b)i.现有一平行四边形ABCD,如图,A(1,1),B(3,2),|AD|=|AB|,∠BAD=45°,则D点直角坐标为________.
14.18世纪末期,挪威测量学家威塞尔首次利用坐标平面上的点来表示复数,使复数及其运算具有了几何意义,例如,|z|=|OZ|,也即复数z的模的几何意义为z对应的点Z到原点的距离.在复平面内,复数z0=3i(i是虚数单位),其对应的点为Z0,Z为曲线|z|=2上的动点,则Z0与Z之间的最小距离为________.
四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
15.(13分)已知复数z=(m2+2m)+(m2-2m-3)i,m∈R(i为虚数单位).
(1)当m=1时,求复数的值;
(2)若复数z在复平面内对应的点位于第二象限,求m的取值范围.
16.(15分)已知复数z1=1+3i,z2=2+2i,i为虚数单位.
(1)求z1-z2及|z1+|;
(2)若z=,求z的共轭复数.
17.(15分)已知复数z1=i-a,z2=1-i,其中a是实数.
(1)若z=-2i,求实数a的值;
(2)若是纯虚数,求+2+3+…+2 022.
18.(17分)已知复数z=a+bi,其中a,b为实数且a≠0.
(1)若z(z+)=2+4i,求z;
(2)若ω=z-为纯虚数,且1≤|ω|≤2,求|b|的取值范围.
19.(17分)设z+1为关于x的方程x2+mx+n=0(m,n∈R)的虚根,i为虚数单位.
(1)当复数z=-1+i时,求m,n的值;
(2)若n=1,在复平面内,设复数z所对应的点为P,复数2+4i所对应的点为Q,试求||的取值范围.
阶段质量评价(二)
1.选D 2=2=(1+i)2=2i.故选D.
2.选A 依题意,z=-i=-4i-7-i=-7-5i,故z的虚部为-5.故选A.
3.选A 设所求新复数z=a+bi(a,b∈R),由题意知,复数-+2i的虚部为2;复数i+2i2=i+2×(-1)=-2+i的实部为-2,则所求的z=2-2i.故选A.
4.选C z=====--i,即z对应的点为位于第三象限.故选C.
5.选D 法一:由x2-2x+3=0,得z1=1+i,z2=1-i,所以z1z2=(1+i)·(1-i)=3;
法二:方程x2-2x+3=0,由根与系数的关系可得z1z2==3.故选D.
6.选C 由题图知,z1=1-2i,z2=1+i,
所以====--i,故选C.
7.选B z*====.
∵ab≤2=,∴-ab≥-.
∴z*≥ ==,
当且仅当a=b=时,等号成立.
8.选D ei=cos+isin =i,其虚部为1,A错误;ei=cos+isin =+i,复数ei在复平面内对应的点位于第一象限,B错误;=
==isin x,C错误;z1=ei=cos+isin =+i,z2=eθi=cos θ+isin θ,
|OZ1|==1,
|OZ2|==1,因此△OZ1Z2的面积为|OZ1||OZ2|sin=sin,所以△OZ1Z2面积的最大值为,D正确.
9.选ACD z====1+2i,z对应的点(1,2)位于第一象限,A正确;=1-2i的虚部为-2,B错误;|z|==,C正确;z=(1+2i)(1-2i)=1+4=5,D正确.故选A、C、D.
10.选ACD z=i3=-i,所以=i,A正确;z=1+=1-i,虚部是-1,B错误;z=a+ai(a∈R),若a=0,则z=0是实数,若a≠0,则z=a+ai是虚数,不是纯虚数,C正确;设z=a+bi(a,b∈R),因为==-i,由∈R得b=0,则z∈R,D正确.故选A、C、D.
11.选AC 由复数乘法的运算律知A正确;取z1=1,z2=i,满足z+z=0,但z1=0且z2=0不成立,B错误;由复数的模及共轭复数的概念知结论成立,C正确;由z1=z2能推出|z1|=|z2|,但|z1|=|z2|推不出z1=z2,因此z1=z2的必要不充分条件是|z1|=|z2|,D错误.
12.解析:由题意,得z===3+4i,则=3-4i,所以的虚部为-4.
答案:-4
13.解析:易得=(2,1),故对应的复数为2-1+(2+1)i,即=(1,3),=+=(2,4).
答案:(2,4)
14.解析:由题意知,Z为曲线|z|=2上的动点,即为以O为圆心,半径为2的圆周上的点,Z0对应的点为(0,3),如图所示,则当Z=(0,2)时有最小距离为3-2=1.
答案:1
15.解:(1)当m=1时,z=3-4i,
∴==--i.
(2)∵复数z在复平面内对应的点位于第二象限,
∴解得-2∴m的取值范围是(-2,-1).
16.解:(1)∵z1=1+3i,z2=2+2i,∴=2-2i,z1-z2=(1+3i)-(2+2i)=-1+i,
|z1+|=|1+3i+2-2i|=|3+i|==.
(2)∵z======1+i,
∴=1-i.
17.解:(1)复数z1=i-a,则z=(-a+i)2=(a2-1)-2ai=-2i,又a是实数,
因此解得a=1,所以实数a的值是1.
(2)复数z1=i-a,z2=1-i,a∈R,
则==
==+i,
因为是纯虚数,所以
解得a=-1,因此=i,又i1=i,i2=-1,i3=-i,i4=1,
则n∈N*,i4n-3=i,i4n-2=-1,i4n-1=-i,i4n=1,即有n∈N*,i4n-3+i4n-2+i4n-1+i4n=0,
所以+2+3+…+2 022=505(i+i2+i3+i4)+i+i2=-1+i.
18.解:(1)∵z=a+bi,∴=a-bi,∴z(z+)=2a(a+bi)=2a2+2abi=2+4i.
∴解得或
∴z=1+2i或z=-1-2i.
(2)∵ω=a+bi-=a+bi-=a+bi-=+i为纯虚数,
∴又a≠0,∴a2+b2=2,
则2b≠0,即b≠0,
∴ω=2bi.∴|ω|=2|b|∈[1,2],解得≤|b|≤1.即|b|的取值范围为.
19.解:(1)当z=-1+i时,z+1=i,
可得方程x2+mx+n=0的两根分别为i,-i,则解得m=0,n=1.
(2)当n=1时,方程为x2+mx+1=0.设z=a+bi(a,b∈R),则z+1=a+1+bi,()=a+1-bi,可得a+1+bi,a+1-bi为方程x2+mx+1=0的两根,所以(a+1+bi)·(a+1-bi)=(a+1)2+b2=1.
设a=-1+cos θ,b=sin θ,θ∈[0,2π),
由复数的几何意义可知,P(-1+cos θ,sin θ),Q(2,4),
则||===,
其中tan φ=,φ∈.
因为sin(θ+φ)∈[-1,1],可得||∈[4,6],
所以||的取值范围为[4,6].