8．1 基本立体图形
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．利用实物模型、计算机软件等观察空间图形，认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征．
2．能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构．
逐点清(一) 棱柱的结构特征
[多维理解]
1．空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分，如果只考虑这些物体的______和______，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的________就叫做空间几何体．
2．多面体、旋转体
多面体 一般地，由若干个______________围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的______；两个面的__________叫做多面体的棱；棱与棱的__________叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条__________旋转所形成的________叫做旋转面，封闭的旋转面围成的__________叫做旋转体．这条定直线叫做旋转体的______
3．棱柱的结构特征
定义 一般地，有两个面__________，其余各面都是________，并且相邻两个四边形的公共边都________，由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概念 如图可记作：棱柱ABCDEF－A′B′C′D′E′F′ 底面(底)：两个互相______的面；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的________；顶点：侧面与底面的__________
分类 按底面多边形的边数分：三棱柱、四棱柱…
4.几种特殊的棱柱
直棱柱：侧棱______于底面的棱柱(如图①③)；
斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱(如图②④)；
正棱柱：底面是__________的直棱柱(如图③)；
平行六面体：底面是________的四棱柱(如图④)．
|微|点|助|解|
(1)棱柱的结构特征包括两个方面
一是面，二是棱．棱柱的面共有两种：第一种是底面，上、下共两个底面而且是平行且全等的；第二种是侧面，几棱柱就有几个侧面，相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的．它的棱也有两种，一种是侧棱，另一种就是底面上的边．
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
四棱柱平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体．
[微点练明]
1．下面多面体中，是棱柱的有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
2.(多选)满足如图所示的几何体，以下说法正确的是( )
A．该几何体是一个多面体
B．该几何体有9条棱，5个顶点
C．该几何体有7个面
D．该几何体是旋转体
3．(多选)下列关于棱柱的说法正确的是( )
A．所有的面都是平行四边形
B．两底面平行，并且各侧棱也平行
C．被平面截成的两部分可以都是棱柱
D．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
4．如图所示的三棱柱ABC－A1B1C1，其中E，F，G，H是三棱柱对应边上的中点，过此四点作截面EFGH，把三棱柱分成两部分，各部分形成的几何体是棱柱吗？如果是，是几棱柱，并用符号表示；如果不是，请说明理由．
逐点清(二) 棱锥的结构特征
[多维理解]
定义 一般地，有一个面是________，其余各面都是有一个公共顶点的________，由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念 如图可记作：棱锥S－ABCD 底面(底)：__________；侧面：有公共顶点的各个________；侧棱：相邻侧面的________；顶点：各侧面的________
分类 按底面多边形的边数分：三棱锥、四棱锥…，其中三棱锥又叫________．底面是________，并且顶点与底面中心的连线______于底面的棱锥叫做正棱锥
[微点练明]
1．(多选)下列几何体中是棱锥的为( )
2．若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等，则该棱锥一定不是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．五棱锥 D．六棱锥
3．(多选)下列说法正确的是( )
A．棱锥的各个侧面都是三角形
B．四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C．棱锥的侧棱互相平行
D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥
4．下列说法中，正确的是( )
A．顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥
B．底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C．底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
D．底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
逐点清(三) 棱台的结构特征
[多维理解]
定义 用一个____________的平面去截棱锥，底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图示及相关概念 如图可记作：棱台ABCD－A′B′C′D′ 上底面：原棱锥的______；下底面：原棱锥的______；侧面：其余各面；侧棱：相邻侧面的公共边；顶点：侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 按由几棱锥截得分：三棱台、四棱台…
|微|点|助|解|
(1)正确认识棱台的结构特征
①上底面与下底面是互相平行的相似多边形；
②侧面都是梯形；
③侧棱延长线必交于一点．
(2)正棱台
各侧面是全等的等腰梯形的棱台称为正棱台．棱台还可按底面多边形的边数进行分类．
(3)棱柱、棱台、棱锥关系图
[微点练明]
1．下面四个几何体中，是棱台的是( )
2．(多选)下列关于棱台的说法正确的是( )
A．所有的侧棱所在直线交于一点
B．只有两个面互相平行
C．上下两个底面全等
D．所有的侧面不存在两个面互相平行
3.如图，在三棱台A′B′C′－ABC中，截去三棱锥A′－ABC，则剩余部分是( )
A．三棱锥 B．四棱锥
C．三棱柱 D．三棱台
4．某简单多面体共有12条棱，则该多面体可以是( )
A．四棱台 B．五棱锥
C．三棱柱 D．五棱台
逐点清(四) 空间几何体的平面展开图
[典例] (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可)．
(2)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，BB1＝5，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1，求蚂蚁爬行的最短路线长．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．多面体的展开与折叠
(1)在解题过程中，常常给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其平面展开图．
(2)由展开图复原几何体：若是给出多面体的平面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．
2．距离最短问题的解题策略
求从几何体的表面上一点，沿几何体表面运动到另一点，所走过的最短距离，常将几何体的侧面展开，转化为求平面上两点间的最短距离问题．
[针对训练]
如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？
第1课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
[逐点清(一)]
[多维理解] 1.形状 大小 空间图形
2．平面多边形 面 公共边 公共点
定直线 曲面 几何体 轴 3.互相平行 四边形 互相平行 平行 公共边 公共顶点
4．垂直 正多边形 平行四边形
[微点练明]
1．D 2.AB
3．选BC A错误，棱柱的底面不一定是平行四边形；B正确，由棱柱的定义易知；C正确，棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱；
D错误，棱柱的定义是这样的：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的几何体叫做棱柱，显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件，因此所围成的几何体不一定是棱柱．如图所示的几何体就不是棱柱．
4．解：截面上、下的几何体都满足：有两个平面互相平行，其他侧面都是平行四边形，相邻侧面的棱互相平行且相等，这样的几何体为棱柱，所以截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG，截面以下的几何体是四棱柱BEFC B1HGC1.
[逐点清(二)]
[多维理解] 多边形 三角形 多边形面 三角形面 公共边 公共顶点 四面体 正多边形 垂直
[微点练明]
1．选BCD 根据棱锥的定义，B、C、D中的几何体是棱锥，A中的几何体不是棱锥．
2．选D 因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等，所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥．
3．选AB 由棱锥的定义知，棱锥的各个侧面都是三角形，故A正确；四面体是由四个三角形所围成的几何体，因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面，故B正确；棱锥的侧棱交于一点，不平行，故C错误；棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形，如图所示的几何体均满足条件，但都不是棱锥，故D错误．
4．选D 顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥，这个射影可以是底面三角形的外心，底面不一定是正三角形，A错误；
底面是正三角形，各侧面是等腰三角形的三棱锥，顶点在底面的射影可能不是底面的中心，如图，△BCD是正三角形，AD＝CD＝BD，AB＝AC≠AD，它不是正三棱锥，B错误；底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥，只要顶点在底面的射影是底面三角形的垂心就能满足对棱垂直，但底面不一定是正三角形，C错误；底面是正三角形，并且侧棱都相等的三棱锥，侧棱相等，顶点在底面的射影是底面中心，是正三棱锥，D正确．
[逐点清(三)]
[多维理解] 平行于棱锥底面 截面 底面
[微点练明]
1．选C 由棱台的概念知，侧棱延长应交于一点，故选C.
2．选ABD 由棱台的定义可知，棱台所有的侧棱所在直线交于一点，故A正确；棱台只有两个面互相平行，就是上、下底面平行，故B正确；棱台的上、下两个底面相似但不全等，故C不正确；棱台所有的侧面不存在两个面互相平行，故D正确．
3．选B 根据棱锥的结构特征可知剩余部分为四棱锥，故选B.
4．选A 依次画出四棱台、五棱锥、三棱柱、五棱台，如图所示．由图可知四棱台共有12条棱．
[逐点清(四)]
[典例] 解：(1)平面展开图如图所示，
(2)沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法：
①如图(1)，以A1B1为轴展开，AC1＝ ＝＝4.
②如图(2)，以BC为轴展开，AC1＝ ＝＝3.
③如图(3)，以BB1为轴展开，AC1＝ ＝.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
[针对训练]
解：①为五棱柱；②为五棱锥；③为三棱台．(共65张PPT)
8.1
基本立体图形
棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
第1课时
课时目标
1.利用实物模型、计算机软件等观察空间图形,认识棱柱、棱锥、棱台的结构特征.
2.能运用棱柱、棱锥、棱台的结构特征描述现实生活中简单物体的结构.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 棱柱的结构特征
逐点清(二) 棱锥的结构特征
逐点清(三) 棱台的结构特征
4
逐点清(四) 空间几何体的平面展开图
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 棱柱的结构特征
01
多维理解
1.空间几何体的定义
空间中的物体都占据着空间的一部分,如果只考虑这些物体的_____和_____,而不考虑其他因素,那么由这些物体抽象出来的__________就叫做空间几何体.
形状
大小
空间图形
2.多面体、旋转体
多面体 一般地,由若干个____________围成的几何体叫做多面体.围成多面体的各个多边形叫做多面体的____;两个面的_______叫做多面体的棱;棱与棱的________叫做多面体的顶点
旋转体 一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条_______旋转所形成的______叫做旋转面,封闭的旋转面围成的________叫做旋转体.这条定直线叫做旋转体的____
平面多边形
面
公共边
公共点
定直线
曲面
几何体
轴
3.棱柱的结构特征
定义 一般地,有两个面_________,其余各面都是_______,并且相邻两个四边形的公共边都_________,由这些面所围成的多面体叫做棱柱
图示及相关概念 如图可记作:棱柱ABCDEF A'B'C'D'E'F' 底面(底):两个互相_____的面;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的_______;
顶点:侧面与底面的_________
分类 按底面多边形的边数分:三棱柱、四棱柱…
互相平行
四边形
互相平行
平行
公共边
公共顶点
4.几种特殊的棱柱
直棱柱:侧棱______于底面的棱柱(如图①③);
斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱(如图②④);
正棱柱:底面是__________的直棱柱(如图③);
平行六面体:底面是___________的四棱柱(如图④).
垂直
正多边形
平行四边形
|微|点|助|解|
(1)棱柱的结构特征包括两个方面
一是面,二是棱.棱柱的面共有两种:第一种是底面,上、下共两个底面而且是平行且全等的;第二种是侧面,几棱柱就有几个侧面,相邻侧面的公共边即侧棱都是平行的.它的棱也有两种,一种是侧棱,另一种就是底面上的边.
(2)常见的几种四棱柱之间的转化关系
1.下面多面体中,是棱柱的有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
√
微点练明
2.(多选)满足如图所示的几何体,以下说法正确的是 ( )
A.该几何体是一个多面体
B.该几何体有9条棱,5个顶点
C.该几何体有7个面
D.该几何体是旋转体
√
√
3.(多选)下列关于棱柱的说法正确的是 ( )
A.所有的面都是平行四边形
B.两底面平行,并且各侧棱也平行
C.被平面截成的两部分可以都是棱柱
D.有两个面互相平行,其余各面都是四边形的几何体一定是棱柱
√
√
解析: A错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;B正确,
由棱柱的定义易知;C正确,棱柱可以被平行于底面的
平面截成两个棱柱;D错误,棱柱的定义是这样的:有两
个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,由这些面围成的几何体叫做棱柱,显然题中漏掉了“并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行”这一条件,因此所围成的几何体不一定是棱柱.如图所示的几何体就不是棱柱.
4.如图所示的三棱柱ABC A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗 如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.
解:截面上、下的几何体都满足:有两个平面互相平行,其他侧面都是平行四边形,相邻侧面的棱互相平行且相等,这样的几何体为棱柱,所以截面以上的几何体是三棱柱AEF A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC B1HGC1.
逐点清(二) 棱锥的结构特征
02
多维理解
定义 一般地,有一个面是______,其余各面都是有一个公共顶点的_______,由这些面所围成的多面体叫做棱锥
图示及相关概念 如图可记作:棱锥S ABCD 底面(底):__________;
侧面:有公共顶点的各个__________;
侧棱:相邻侧面的_______;
顶点:各侧面的__________
多边形
三角形
多边形面
三角形面
公共边
公共顶点
分类 按底面多边形的边数分:三棱锥、四棱锥…,其中三棱锥又叫_______.底面是_________,并且顶点与底面中心的连线_____于底面的棱锥叫做正棱锥
四面体
正多边形
垂直
续表
1. (多选)下列几何体中是棱锥的为 ( )
解析:根据棱锥的定义,B、C、D中的几何体是棱锥,A中的几何体不是棱锥.
√
微点练明
√
√
2.若一个正棱锥的各棱长和底面边长均相等,则该棱锥一定不是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.五棱锥 D.六棱锥
解析:因为正六边形的边长与它的外接圆的半径相等,所以满足题意的棱锥一定不是六棱锥.
√
3. (多选)下列说法正确的是 ( )
A.棱锥的各个侧面都是三角形
B.四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面
C.棱锥的侧棱互相平行
D.有一个面是多边形,其余各面是三角形的几何体是棱锥
√
√
解析:由棱锥的定义知,棱锥的各个侧面都是三角形,故A正确;四面体是由四个三角形所围成的几何体,因此四面体的任何一个面都可以作为三棱锥的底面,故B正确;棱锥的侧棱交于一点,不平行,故C错误;棱锥的侧面是有一个公共顶点的三角形,如图所示的几何体均满足条件,但都不是棱锥,故D错误.
4.下列说法中,正确的是 ( )
A.顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等的三棱锥是正棱锥
B.底面是正三角形,各侧面是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥
C.底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥是正三棱锥
D.底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥是正三棱锥
√
解析:顶点在底面上的射影到底面各顶点的距离相等
的三棱锥,这个射影可以是底面三角形的外心,底面不
一定是正三角形,A错误;底面是正三角形,各侧面是等
腰三角形的三棱锥,顶点在底面的射影可能不是底面的中心,如图,△BCD是正三角形,AD=CD=BD,AB=AC≠AD,它不是正三棱锥,B错误;底面三角形各边分别与相对的侧棱垂直的三棱锥,只要顶点在底面的射影是底面三角形的垂心就能满足对棱垂直,但底面不一定是正三角形,C错误;底面是正三角形,并且侧棱都相等的三棱锥,侧棱相等,顶点在底面的射影是底面中心,是正三棱锥,D正确.
逐点清(三) 棱台的结构特征
03
多维理解
定义 用一个________________的平面去截棱锥,底面和截面之间那部分多面体叫做棱台
图示及相关概念 如图可记作:棱台ABCD A'B'C'D' 上底面:原棱锥的_____;
下底面:原棱锥的_____;
侧面:其余各面;
侧棱:相邻侧面的公共边;
顶点:侧面与上(下)底面的公共顶点
分类 按由几棱锥截得分:三棱台、四棱台…
平行于棱锥底面
截面
底面
|微|点|助|解|
(1)正确认识棱台的结构特征
①上底面与下底面是互相平行的相似多边形;
②侧面都是梯形;
③侧棱延长线必交于一点.
(2)正棱台
各侧面是全等的等腰梯形的棱台称为正棱台.棱台还可按底面多边形的边数进行分类.
(3)棱柱、棱台、棱锥关系图
1.下面四个几何体中,是棱台的是 ( )
√
微点练明
解析:由棱台的概念知,侧棱延长应交于一点,故选C.
2.(多选)下列关于棱台的说法正确的是 ( )
A.所有的侧棱所在直线交于一点
B.只有两个面互相平行
C.上下两个底面全等
D.所有的侧面不存在两个面互相平行
√
√
√
解析:由棱台的定义可知,棱台所有的侧棱所在直线交于一点,故A正确;棱台只有两个面互相平行,就是上、下底面平行,故B正确;棱台的上、下两个底面相似但不全等,故C不正确;棱台所有的侧面不存在两个面互相平行,故D正确.
3.如图,在三棱台A'B'C' ABC中,截去三棱锥A' ABC,则剩余部分是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥
C.三棱柱 D.三棱台
解析:根据棱锥的结构特征可知剩余部分为四棱锥,故选B.
√
4.某简单多面体共有12条棱,则该多面体可以是 ( )
A.四棱台 B.五棱锥
C.三棱柱 D.五棱台
解析:依次画出四棱台、五棱锥、三棱柱、五棱台,如图所示.由图可知四棱台共有12条棱.
√
逐点清(四)
空间几何体的平面展开图
04
[典例] (1)画出如图所示的几何体的平面展开图(画出其中一种即可).
解:平面展开图如图所示,
(2)如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
解:沿长方体的一条棱剪开,有三种剪法:
①如图(1),以A1B1为轴展开,AC1= ==4.
②如图(2),以BC为轴展开,AC1= ==3.
③如图(3),以BB1为轴展开,AC1= =.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
1.多面体的展开与折叠
(1)在解题过程中,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其平面展开图.
(2)由展开图复原几何体:若是给出多面体的平面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.
|思|维|建|模|
2.距离最短问题的解题策略
求从几何体的表面上一点,沿几何体表面运动到另一点,所走过的最短距离,常将几何体的侧面展开,转化为求平面上两点间的最短距离问题.
如图是三个几何体的侧面展开图,请问各是什么几何体
针对训练
解: ①为五棱柱;②为五棱锥;③为三棱台.
课时跟踪检测
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1.有两个面平行的多面体不可能是 ( )
A.棱柱 B.棱锥
C.棱台 D.以上都错
解析:棱柱、棱台的上、下底面是平行的,而棱锥的任意两面均不平行.
√
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2.如图,将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度,则倾斜后水槽中的水形成的几何体是 ( )
A.棱柱 B.棱台
C.棱柱与棱锥的组合体 D.不能确定
√
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解析:长方体水槽固定底面一边后倾斜,水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面,而其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边互相平行,这符合棱柱的定义.
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3.(多选) 关于空间几何体的结构特征,下列说法正确的是 ( )
A.棱柱的侧棱长都相等
B.四棱锥有五个顶点
C.三棱台的上、下底面是相似三角形
D.有的棱台的侧棱长都相等
解析:根据棱锥顶点的定义可知,四棱锥只有一个顶点,故B不正确.
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4.若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2,则上、下底面的面积之比是 ( )
A.1∶2 B.1∶4
C.2∶1 D.4∶1
解析:由棱台的概念知,上、下两底面是相似的多边形,故它们的面积之比等于对应边长之比的平方,故为1∶4.
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5.四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是 ( )
A.底面是矩形 B.侧面是正方形
C.底面是菱形 D.侧面与底面都是矩形
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解析:长方体的底面是矩形,而底面是矩形的四棱柱不一定是长方体(侧棱不垂直于底面),则“底面是矩形”是“四棱柱成为长方体”的一个必要不充分条件,A是;长方体的侧面是矩形,不一定是正方形,即“侧面是正方形”不是四棱柱成为长方体的必要条件,B不是;长方体的底面是矩形,不能推出底面是菱形,即“底面是菱形”不是四棱柱成为长方体的必要条件,C不是;长方体的侧面与底面都是矩形,反之侧面与底面都是矩形的四棱柱是长方体,因此“侧面与底面都是矩形”是“四棱柱成为长方体”的充要条件,D不是.
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6.下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是 ( )
解析:选项A、D经过折叠可以围成四棱柱,选项C经过折叠可以围成三棱柱,选项B经过折叠后有四个侧面,而上、下底面为五边形,故不能围成棱柱.
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7.三棱锥又称四面体,则在四面体ABCD中,可以当作棱锥底面的三角形有 ( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
解析:在四面体ABCD中,任何一个面(三角形)都可以当作三棱锥的底面,所以在四面体ABCD中,可以当作三棱锥底面的三角形有4个.
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8.正多面体各个面都是全等的正多边形,其中,面数最少的是正四面体,面数最多的是正二十面体,它们被称为柏拉图多面体.如图,正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体.已知多面体满足:顶点数-棱数+面数=2,则正二十面体的顶点的个数为 ( )
A.30 B.20
C.12 D.10
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解析:因为每个面都是三角形,每个面对应3条棱,且每1条棱被2个三角形共用,即1个面对应条棱,所以共有×20=30条棱.所以由顶点数-棱数+面数=2,得顶点数=棱数+2-面数=30+2-20=12.
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9.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状是 ( )
A.四边形 B.三角形
C.三角形或四边形 D.不可能为四边形
解析:按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.
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10.(多选)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”,正方形做灯底,且有一个三角形面上写上了“年”字,当灯旋转时,正好看到“新年快乐”的字样,则在①②③处应依次写上 ( )
A.乐、新、快 B.快、新、乐
C.新、快、乐 D.乐、快、新
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解析:由题意知,图中四个三角形为四棱锥的侧面.由四棱锥的结构特征,正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③,②年①③,即①②③处可依次写上新、快、乐或快、新、乐.
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11.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为_____cm.
解析: n棱柱有2n个顶点,于是知此棱柱为五棱柱,共有5条侧棱.又每条侧棱长都相等,且和为60 cm,所以每条侧棱长为12 cm.
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12.一个正方体的六个面上分别标有字母A,B,C,D,E,F,如图是此正方体的两种不同放置,则与D面相对的面上的字母是 .
解析:由此正方体的两种不同放置可知,与C相对的是F,因此D与B相对.
B
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13.如图,M是棱长为2 cm的正方体ABCD A1B1C1D1的棱CC1的中点,沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
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解析:若以BC为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm,3 cm,故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开,则A,M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm,4 cm,故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
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14.(15分)如图,在边长为2a的正方形ABCD中,E,F分别为AB,BC的中点,沿图中虚线将3个三角形折起,使点A,B,C重合,重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体
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解:如图,折起后的几何体是三棱锥.
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(2)这个几何体共有几个面,每个面的三角形有何特点
解:这个几何体共有4个面,其中△DEF为等腰三角形,△PEF为等腰直角三角形,△DPE和△DPF均为直角三角形.
(3)每个面的三角形面积为多少
解: S△PEF=a2,S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2,S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2.??课时跟踪检测(二十二) 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
(满分80分，选填小题每题5分)
1．有两个面平行的多面体不可能是( )
A．棱柱 B．棱锥
C．棱台 D．以上都错
2．如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是( )
A．棱柱
B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体
D．不能确定
3．(多选) 关于空间几何体的结构特征，下列说法正确的是( )
A．棱柱的侧棱长都相等
B．四棱锥有五个顶点
C．三棱台的上、下底面是相似三角形
D．有的棱台的侧棱长都相等
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是( )
A．1∶2 B．1∶4
C．2∶1 D．4∶1
5．四棱柱成为长方体的一个必要不充分条件是( )
A．底面是矩形 B．侧面是正方形
C．底面是菱形 D．侧面与底面都是矩形
6．下列图形经过折叠不能围成一个棱柱的是( )
7．三棱锥又称四面体，则在四面体ABCD中，可以当作棱锥底面的三角形有( )
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
8.正多面体各个面都是全等的正多边形，其中，面数最少的是正四面体，面数最多的是正二十面体，它们被称为柏拉图多面体．如图，正二十面体是由20个等边三角形所组成的正多面体．已知多面体满足：顶点数－棱数＋面数＝2，则正二十面体的顶点的个数为( )
A．30 B．20
C．12 D．10
9．用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是( )
A．四边形 B．三角形
C．三角形或四边形 D．不可能为四边形
10．(多选)某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①②③处应依次写上( )
A．乐、新、快 B．快、新、乐
C．新、快、乐 D．乐、快、新
11．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________ cm.
12．一个正方体的六个面上分别标有字母A，B，C，D，E，F，如图是此正方体的两种不同放置，则与D面相对的面上的字母是________.
13.如图，M是棱长为2 cm的正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1的中点，沿正方体表面从点A到点M的最短路程是________cm.
14.(15分)如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.
(1)折起后形成的几何体是什么几何体？
(2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？
(3)每个面的三角形面积为多少？
课时跟踪检测(二十二)
1．选B 棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．
2．选A 长方体水槽固定底面一边后倾斜，水槽中的水形成的几何体始终有两个互相平行的平面，而其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义．
3．选ACD 根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥只有一个顶点，故B不正确．
4．选B 由棱台的概念知，上、下两底面是相似的多边形，故它们的面积之比等于对应边长之比的平方，故为1∶4.
5．选A 长方体的底面是矩形，而底面是矩形的四棱柱不一定是长方体(侧棱不垂直于底面)，则“底面是矩形”是“四棱柱成为长方体”的一个必要不充分条件，A是；长方体的侧面是矩形，不一定是正方形，即“侧面是正方形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，B不是；长方体的底面是矩形，不能推出底面是菱形，即“底面是菱形”不是四棱柱成为长方体的必要条件，C不是；长方体的侧面与底面都是矩形，反之侧面与底面都是矩形的四棱柱是长方体，因此“侧面与底面都是矩形”是“四棱柱成为长方体”的充要条件，D不是．
6．选B 选项A、D经过折叠可以围成四棱柱，选项C经过折叠可以围成三棱柱，选项B经过折叠后有四个侧面，而上、下底面为五边形，故不能围成棱柱．
7．选D 在四面体ABCD中，任何一个面(三角形)都可以当作三棱锥的底面，所以在四面体ABCD中，可以当作三棱锥底面的三角形有4个．
8．选C 因为每个面都是三角形，每个面对应3条棱，且每1条棱被2个三角形共用，即1个面对应条棱，所以共有×20＝30条棱．所以由顶点数－棱数＋面数＝2，得顶点数＝棱数＋2－面数＝30＋2－20＝12.
9．选C 按如图①所示用一个平面去截三棱锥，截面是三角形；按如图②所示用一个平面去截三棱锥，截面是四边形．
10．选BC 由题意知，图中四个三角形为四棱锥的侧面．由四棱锥的结构特征，正好看到“新年快乐”的字样的顺序可以是①年②③，②年①③，即①②③处可依次写上新、快、乐或快、新、乐．
11．解析：n棱柱有2n个顶点，于是知此棱柱为五棱柱，共有5条侧棱．又每条侧棱长都相等，且和为60 cm，所以每条侧棱长为12 cm.
答案：12
12．解析：由此正方体的两种不同放置可知，与C相对的是F，因此D与B相对．
答案：B
13．解析：若以BC为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为2 cm，3 cm，故两点之间的距离是 cm.若以BB1为轴展开，则A，M两点连成的线段所在的直角三角形的两直角边的长度分别为1 cm，4 cm，故两点之间的距离是 cm.故沿正方体表面从点A到点M的最短路程是 cm.
答案：
14．解：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥．
(2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形．
(3)S△PEF＝a2，S△DPF＝S△DPE＝×2a×a＝a2，S△DEF＝S正方形ABCD－S△PEF－S△DPF－S△DPE＝(2a)2－a2－a2－a2＝a2.
