第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
—— (教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义． 2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．
3．能运用圆柱、圆锥、圆台、球特征描述现实生活中简单物体的结构．
逐点清(一) 圆柱的结构特征
[多维理解]
圆柱的定义及相关概念 图形及表示
定义 以________所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱 图中的圆柱记作______
相关概念 轴：________叫做圆柱的轴；底面：________的边旋转而成的圆面；侧面：________的边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，____________都叫做圆柱侧面的母线；柱体：棱柱和圆柱统称为柱体
|微|点|助|解|
圆柱的结构特征
(1)圆柱有无数条母线，它们平行且相等．
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆．
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形．
(4)过任意两条母线的截面是矩形．
[微点练明]
1．给出下列命题：①圆柱的底面是圆；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形；③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线；④圆柱的任意两条母线互相平行．其中真命题的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
2．(多选)下列关于圆柱的说法正确的是( )
A．圆柱的所有母线长都相等
B．用平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是与底面全等的圆面
C．用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是一个圆面
D．一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱
3．若圆柱的母线长为10，则其高为________．
逐点清(二) 圆锥、圆台、球的结构特征
[多维理解]
1．圆锥的结构特征
圆锥的定义及相关概念 图形及表示
定义 以直角三角形的________所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥 图中的圆锥记作________
相关概念 轴：旋转轴叫做圆锥的轴；底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面；侧面：直角三角形的斜边旋转而成的曲面；母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线；锥体：棱锥和圆锥统称为锥体
2．圆台的结构特征
圆台的定义及相关概念 图形及表示
定义 用____________的平面去截圆锥，___________之间的部分叫做圆台 图中的圆台记作__________
相关概念 轴：圆锥的轴；底面：圆锥的底面和截面；侧面：圆锥的侧面在底面与截面之间的部分；母线：圆锥的母线在底面与截面之间的部分；台体：棱台和圆台统称为台体
3．球的结构特征
球的定义及相关概念 图形及表示
定义 ______________所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 图中的球记作______
相关概念 球心：半圆的______叫做球的球心；半径：连接______和球面上任意一点的______叫做球的半径；直径：连接球面上______并且经过球心的________叫做球的直径
|微|点|助|解|
(1)以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥．
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴，各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体．
(3)球与球面是完全不同的概念，球是指球面所围成的空间，而球面只指球的表面部分．
[微点练明]
1．下列给出的图形中，绕给出的轴旋转一周(如图所示)，能形成圆台的是( )
2．(多选)下列命题正确的是( )
A．圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
B．正四棱锥的侧面都是正三角形
C．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面与底面之间的部分是圆台
D．以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
3．以下命题正确的是( )
A．直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B．夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C．圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D．棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
4．下列说法正确的是( )
A．到定点的距离等于定长的点的集合是球
B．球面上不同的三点可能在同一条直线上
C．经过球面上不同的两点只能作一个大圆
D．球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
逐点清(三) 简单组合体
1．简单组合体的定义
由_________组合而成的几何体叫做简单组合体．
2．简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体______而成；另一种是由简单几何体____________一部分而成．
[例1] 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？
听课记录：
|思|维|建|模|
判断旋转体结构特征的方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得．
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．
[针对训练]
1．描述下列几何体的结构特征．
逐点清(四) 旋转体的有关计算
[例2] 如图，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是4 cm，求圆台O′O的母线长．
听课记录：
[变式拓展]
1．把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm，母线长是3 cm”，则它的轴截面的面积是________．
2．把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6，底面半径为3，把该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4”，则圆台的另一底面半径为________．
|思|维|建|模|
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构造相关几何变量的方程(组)而得解．
(2)利用球的截面，将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键．
[针对训练]
2．已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同一侧，且距离为1，那么这个球的半径是( )
A．4 B．3
C．2 D．0.5
第2课时 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
[逐点清(一)]
[多维理解] 矩形的一边 旋转轴 垂直于轴 平行于轴 平行于轴的边 圆柱O′O
[微点练明]
1．选C 圆柱的底面是圆，故①正确；圆柱任意两条母线的截面是矩形，故②正确；连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段，必须是平行圆柱轴的才是母线，故③错误；圆柱的母线是相互平行的，故④正确．综上所述，正确的命题个数是3，故选C.
2．选ABD 圆柱的所有母线长都等于圆柱的高，且都相等，故A正确；用平行于圆柱底面的平面截圆柱，由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面，故B正确；用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱，截面是椭圆面或椭圆面的一部分，故C错误；一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴，旋转180°所形成的几何体是圆柱，故D正确．
3．解析：圆柱的母线长与高相等，则其高等于10.
答案：10
[逐点清(二)]
[多维理解] 1.一条直角边 圆锥SO
2．平行于圆锥底面 底面与截面 圆台O′O
3．半圆以它的直径 圆心 球心 线段
两点 线段 球O
[微点练明]
1．选A 根据定义，A中图形形成的是圆台，B中图形形成的是球，C中图形形成的是圆柱，D中图形形成的是圆锥．
2．ACD
3．选C 直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥，故A错误；因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时，截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆，另外当截面平行于圆柱的高线时，截得的几何体也不是圆柱，故B错误；圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台，故C正确；当截面不平行于底面时，棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台，故D错误．
4．选D 球是球体的简称，球体的外表面称之为球面，球面是一个曲面，是空心的，而球是几何体，是实心的，到定点的距离等于定长的点的集合是球面，不是球体，故A错误；球面上不同的三点一定不共线，故B错误；过球的直径可以作无数个大圆，故C错误，球心与截面圆心(截面不过球心)的连线必垂直于该截面，故D正确．
[逐点清(三)]
1．简单几何体 2.拼接 截去或挖去
[例1] 解：旋转后的图形如图所示．其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的．
[针对训练]
1．解：图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；
图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体；
图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体．
[逐点清(四)]
[例2] 解：设圆台的母线长为l cm，由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r,4r，过轴SO作截面，如图所示．
则△SO′A′∽△SOA，SA′＝4 cm.
所以＝，所以＝，即＝，
解得l＝12(cm)，即圆台的母线长为12 cm.
[变式拓展]
1．解析：
作轴截面，如图，过A作AM⊥BC于M，则BM＝5－2＝3(cm)，AM＝＝9(cm)，
所以S四边形ABCD＝＝63(cm2)．
答案：63 cm2
2．解析：作轴截面，如图，则＝＝，所以r＝1.
答案：1
[针对训练]
2.选B 如图所示，∵两个平行截面的面积分别为5π，8π，∴两个截面圆的半径分别为r1＝，r2＝2.∵球心到两个截面的距离d1＝，d2＝，
∴d1－d2＝－＝1.
∴R2＝9.∴R＝3.(共63张PPT)
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
(教学方式：基本概念课——逐点理清式教学)
第2课时
课时目标
1.理解圆柱、圆锥、圆台、球的定义.
2.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.
3.能运用圆柱、圆锥、圆台、球特征描述现实生活中简单物体的结构.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 圆柱的结构特征
逐点清(二) 圆锥、圆台、球的结构特征
逐点清(三) 简单组合体
4
逐点清(四) 旋转体的有关计算
5
课时跟踪检测
逐点清(一) 圆柱的结构特征
01
多维理解
圆柱的定义及相关概念
定义 以_____________所在直线为旋转轴,其余三边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆柱
相关概念 轴:_______叫做圆柱的轴;
底面:_________的边旋转而成的圆面;
侧面:_________的边旋转而成的曲面;
母线:无论旋转到什么位置,____________ 都叫做圆柱侧面的母线;
柱体:棱柱和圆柱统称为柱体
矩形的一边
旋转轴
垂直于轴
平行于轴
平行于轴的边
图形及表示
图中的圆柱记作___________
圆柱O'O
|微|点|助|解|
圆柱的结构特征
(1)圆柱有无数条母线,它们平行且相等.
(2)平行于底面的截面是与底面大小相同的圆.
(3)过轴的截面(轴截面)都是全等的矩形.
(4)过任意两条母线的截面是矩形.
1.给出下列命题:①圆柱的底面是圆;②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形;③连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段是圆柱的母线;④圆柱的任意两条母线互相平行.其中真命题的个数是 ( )
A.1 B.2
C.3 D.4
√
微点练明
解析:圆柱的底面是圆,故①正确;圆柱任意两条母线的截面是矩形,故②正确;连接圆柱上、下底面圆周上两点的线段,必须是平行圆柱轴的才是母线,故③错误;圆柱的母线是相互平行的,故④正确.综上所述,正确的命题个数是3,故选C.
2.(多选)下列关于圆柱的说法正确的是 ( )
A.圆柱的所有母线长都相等
B.用平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是与底面全等的圆面
C.用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是一个圆面
D.一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱
√
√
√
解析:圆柱的所有母线长都等于圆柱的高,且都相等,故A正确;用平行于圆柱底面的平面截圆柱,由圆柱的性质可知截面是与底面全等的圆面,故B正确;用一个不平行于圆柱底面的平面截圆柱,截面是椭圆面或椭圆面的一部分,故C错误;一个矩形以其对边中点的连线为旋转轴,旋转180°所形成的几何体是圆柱,故D正确.
3.若圆柱的母线长为10,则其高为 .
解析:圆柱的母线长与高相等,则其高等于10.
10
逐点清(二)
圆锥、圆台、球的结构特征
02
多维理解
1.圆锥的结构特征
圆锥的定义及相关概念
定义 以直角三角形的____________所在直线为旋转轴,其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体叫做圆锥
相关概念 轴:旋转轴叫做圆锥的轴;
底面:垂直于轴的边旋转而成的圆面;
侧面:直角三角形的斜边旋转而成的曲面;
母线:无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆锥侧面的母线;
锥体:棱锥和圆锥统称为锥体
一条直角边
图形及表示
图中的圆锥记作________
圆锥SO
2.圆台的结构特征
圆台的定义及相关概念 图形及表示
定义 用_______________的平面去截圆锥,___________ 之间的部分叫做圆台
图中的圆台记作_________
相关概念 轴:圆锥的轴; 底面:圆锥的底面和截面; 侧面:圆锥的侧面在底面与截面之间的部分; 母线:圆锥的母线在底面与截面之间的部分; 台体:棱台和圆台统称为台体
平行于圆锥底面
底面与截面
圆台O'O
3.球的结构特征
球的定义及相关概念 图形及表示
定义 ________________所在直线为旋转轴,旋转一周形成的曲面叫做球面,球面所围成的旋转体叫做球体,简称球
图中的球记作_____
相关概念 球心:半圆的______叫做球的球心; 半径:连接____和球面上任意一点的____叫做球的半径; 直径:连接球面上______并且经过球心的_____叫做球的直径
半圆以它的直径
圆心
球心
线段
两点
线段
球O
|微|点|助|解|
(1)以直角三角形斜边所在的直线为轴旋转成的曲面围成的旋转体不是圆锥.
(2)圆台也可以看作是等腰梯形以其底边的垂直平分线为轴,各边旋转半周形成的曲面所围成的几何体.
(3)球与球面是完全不同的概念,球是指球面所围成的空间,而球面只指球的表面部分.
1.下列给出的图形中,绕给出的轴旋转一周(如图所示),能形成圆台的是 ( )
解析:根据定义,A中图形形成的是圆台,B中图形形成的是球,C中图形形成的是圆柱,D中图形形成的是圆锥.
√
微点练明
2.(多选)下列命题正确的是 ( )
A.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面
B.正四棱锥的侧面都是正三角形
C.用平行于圆锥底面的平面截圆锥,截面与底面之间的部分是圆台
D.以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,另一腰和两底边旋转一周所围成的几何体是圆台
√
√
√
3.以下命题正确的是 ( )
A.直角三角形绕其一边所在直线旋转得到的旋转体是圆锥
B.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱
C.圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台
D.棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台
√
解析:直角三角形的斜边为轴旋转一周所得的旋转体不是圆锥,故A错误;因为当两平行的截面与圆柱的底面不平行时,截得的几何体的两个平行的底面有可能是椭圆,另外当截面平行于圆柱的高线时,截得的几何体也不是圆柱,故B错误;圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台,故C正确;当截面不平行于底面时,棱锥截去一个小棱锥后剩余部分不是棱台,故D错误.
4.下列说法正确的是 ( )
A.到定点的距离等于定长的点的集合是球
B.球面上不同的三点可能在同一条直线上
C.经过球面上不同的两点只能作一个大圆
D.球心与截面圆心(截面不过球心)的连线垂直于该截面
√
解析:球是球体的简称,球体的外表面称之为球面,球面是一个曲面,是空心的,而球是几何体,是实心的,到定点的距离等于定长的点的集合是球面,不是球体,故A错误;球面上不同的三点一定不共线,故B错误;过球的直径可以作无数个大圆,故C错误,球心与截面圆心(截面不过球心)的连线必垂直于该截面,故D正确.
逐点清(三) 简单组合体
03
1.简单组合体的定义
由____________组合而成的几何体叫做简单组合体.
2.简单组合体的构成形式
一种是由简单几何体_____而成;另一种是由简单几何体___________一部分而成.
简单几何体
拼接
截去或挖去
[例1] 如图①②所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的
解:旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3,O3O4组成的;图②是由一个圆锥O5O4,一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.
|思|维|建|模|
判断旋转体结构特征的方法
(1)判断旋转体形状的关键是轴的确定,看是由平面图形绕哪条直线旋转所得.
(2)在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹,应利用空间想象能力,或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状.
1.描述下列几何体的结构特征.
针对训练
解:图(1)所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体;
图(2)所示的几何体是由一个圆台挖去一个圆锥得到的组合体;
图(3)所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组合体.
逐点清(四) 旋转体的有关计算
04
[例2] 如图,用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16,截去的圆锥的母线长是4 cm,求圆台O'O的母线长.
解:设圆台的母线长为l cm,由截得的圆台上、下底面面积之比为1∶16,可设截得的圆台的上、下底面的半径分别为r,4r,过轴SO作截面,如图所示.
则△SO'A'∽△SOA,SA'=4 cm.
所以=,所以=,即=,
解得l=12(cm),即圆台的母线长为12 cm.
1.把本例的条件换为“圆台两底面半径分别是2 cm和5 cm,母线长是3 cm”,则它的轴截面的面积是 .
解析:作轴截面,如图,过A作AM⊥BC于M,
则BM=5-2=3(cm),AM==9(cm),
所以S四边形ABCD==63(cm2).
变式拓展
63 cm2
2.把本例的条件换为“一圆锥的母线长为6,底面半径为3,把该圆锥截一圆台,截得圆台的母线长为4”,则圆台的另一底面半径为 .
解析:作轴截面,如图,
则==,
所以r=1.
1
|思|维|建|模|
(1)用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体,注意抓住截面的性质(与底面全等或相似),同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质,利用相似三角形中的相似比,构造相关几何变量的方程(组)而得解.
(2)利用球的截面,将立体问题转化为平面问题是解决球的有关问题的关键.
2.已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π,它们位于球心的同一侧,且距离为1,那么这个球的半径是 ( )
A.4 B.3
C.2 D.0.5
√
针对训练
解析:如图所示,∵两个平行截面的面积分别为5π, 8π,
∴两个截面圆的半径分别为r1=,r2=2.
∵球心到两个截面的距离d1=,d2=,
∴d1-d2=-=1.
∴R2=9.∴R=3.
课时跟踪检测
05
1
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
1.如图所示的图形中有 ( )
A.圆柱、圆锥、圆台和球 B.圆柱、球和圆锥
C.球、圆柱和圆台 D.棱柱、棱锥、圆锥和球
解析:根据题中图形可知,(1)是球,(2)是圆柱,(3)是圆锥,(4)不是圆台,故选B.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
2
3
4
2.下列几何体的轴截面一定是圆面的是 ( )
A.圆柱 B.圆锥
C.球 D.圆台
解析:圆柱的轴截面为矩形;圆锥的轴截面为等腰三角形;球的轴截面是圆面;圆台的轴截面是等腰梯形.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
3.有下列四个说法,其中正确的是 ( )
A.圆柱的母线与轴垂直
B.圆锥的母线长等于底面圆直径
C.圆台的母线与轴平行
D.球的直径必过球心
解析:圆柱的母线与轴平行;圆锥的母线长大于底面圆的半径,不一定等于底面圆直径;圆台的母线延长线与轴相交;球的直径必过球心.故选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
4.如图,某工厂生产的一种机器零件原胚是一个中空的圆台,中空部分呈圆柱形状,且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合,该零件原胚可由下面图形绕对称轴(直线l)旋转而成,这个图形是 ( )
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由题意知,零件原胚的中空部分呈圆柱形状,而圆柱形状由矩形旋转形成,圆台由梯形旋转形成,分析四个选项,A项,旋转后得到圆台;C项,旋转后得到圆台;D项,旋转后得到球体中挖去一个小球.故选B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
5.用一张长为8,宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面,则相应圆柱的底面半径是 ( )
A.2 B.2π
C.或 D.或
解析:设底面半径为r,若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=8,所以r=;同理,若矩形的宽4恰好为卷成圆柱底面的周长,则2πr=4,所以r=.故选C.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
6.(多选)对如图的组合体的结构特征有以下几种说法,其中说法正确的是 ( )
A.由一个长方体割去一个四棱柱所构成
B.由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C.由一个长方体挖去一个四棱台所构成
D.由一个长方体与两个四棱台组合而成
√
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如图,该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成,也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成.故选A、B.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
7.我国古代数学名著中有云:“今有木长二丈四尺,围之五尺.葛生其下,缠木两周,上与木齐,问葛长几何 ”其意思为:“圆木长2丈4尺,圆周为5尺,葛藤从圆木的底部开始向上生长,绕圆木两周,刚好顶部与圆木平齐,问葛藤最少长多少尺 ”(注:1丈等于10尺)( )
A.29尺 B.24尺
C.26尺 D.30尺
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:由题意,圆木的侧面展开图如图所示,AB=5,AD=24.E,F分别为AD,BC的中点,则葛藤最少长为AF+EC,即2=26(尺).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
8.上、下底面面积分别为36π和49π,母线长为5的圆台,其两底面之间的距离为 ( )
A.4 B.3
C.2 D.2
解析:设圆台的母线长为l,高为h,上、下两底面圆的半径分别为r,R,它们满足关系式l2=h2+(R-r)2,由题意知l=5,R=7,r=6,求得h=2,即两底面之间的距离为2.
16
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
9.作一个圆柱的内接正三棱柱,又作这个三棱柱的内切圆柱,那么这两个圆柱底面的半径之比为 ( )
A.2∶1 B.3∶1
C.∶1 D.2∶
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解析:如图所示,两圆半径分别为OA,OF,在Rt△AOF中,∠OAF=,
∠AFO=,故=.故选A.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
10.将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周,所得的几何体包括 ( )
A.一个圆台、两个圆锥 B.一个圆台、一个圆柱
C.两个圆台、一个圆柱 D.一个圆柱、两个圆锥
解析:设等腰梯形ABCD,较长的底边为CD,则绕着底边
CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥,轴截面如图.故
选D.
√
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
11.若圆锥的高与底面半径相等,母线长等于5,则底面半径等于 .
解析:如图,设圆锥SO的高为h,底面半径为r,母线长为l,则h=r,l=5.又l2=h2+r2,则l2=2r2,即(5)2=2r2,解得r=5.
5
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
12.某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm,
如图所示,则该地球仪的半径是 cm.
解析:如图所示,由题意知,北纬30°所在小圆的周长为12π cm,则该小圆的半径r=6 cm,其中∠ABO=30°,所以该地球仪的半径R==4 cm.
4
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
13.(10分)指出图中的几何体是由哪些简单几何体组成的.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:第一个组合体由一个四棱柱,一个长方体,一个四棱台,四棱台上方挖去一个长方体的组合体;第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去,在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面),四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面(可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体),中间还挖去两个小圆柱.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
14.(15分)已知圆锥的底面半径为r,高为h,且正方体ABCD A1B1C1D1内接于圆锥(即正方体一个面上的四个顶点在圆锥侧面上),求这个正方体的棱长.
解:如图所示,过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面,设圆锥内接正方体的棱长为x,则在轴截面中,
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
∵△VA1C1∽△VMN,∴=.
∴x=.
即圆锥内接正方体的棱长为.
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
15.(15分)如图所示,圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm,母线长AB=20 cm,从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A,求:
(1)绳子的最短长度;
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
解:如图所示,将侧面展开,绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度,
设OB=l,∠AOA'=θ,
则θ·l=2π×5,θ·(l+20)=2π×10,
解得θ=,l=20 cm.
∴OA=40 cm,OM=30 cm.
∴AM==50(cm).
即绳子的最短长度为50(cm).
1
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
3
4
2
(2)在绳子最短时,上底圆周上的点到绳子的最短距离.
解:如图所示,作OQ⊥AM于点Q,交弧BB'于点P,则PQ即为所求的最短距离.
∵OA·OM=AM·OQ,∴OQ=24(cm).
故PQ=OQ-OP=24-20=4(cm),即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.课时跟踪检测(二十三) 圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征
(满分100分，选填小题每题5分)
1．如图所示的图形中有( )
A．圆柱、圆锥、圆台和球
B．圆柱、球和圆锥
C．球、圆柱和圆台
D．棱柱、棱锥、圆锥和球
2．下列几何体的轴截面一定是圆面的是( )
A．圆柱 B．圆锥
C．球 D．圆台
3．有下列四个说法，其中正确的是( )
A．圆柱的母线与轴垂直
B．圆锥的母线长等于底面圆直径
C．圆台的母线与轴平行
D．球的直径必过球心
4.如图，某工厂生产的一种机器零件原胚是一个中空的圆台，中空部分呈圆柱形状，且圆柱底面圆心与圆台底面圆心重合，该零件原胚可由下面图形绕对称轴(直线l)旋转而成，这个图形是( )
5．用一张长为8，宽为4的矩形硬纸卷成圆柱的侧面，则相应圆柱的底面半径是( )
A．2 B．2π
C.或 D.或
6.(多选)对如图的组合体的结构特征有以下几种说法，其中说法正确的是( )
A．由一个长方体割去一个四棱柱所构成
B．由一个长方体与两个四棱柱组合而成
C．由一个长方体挖去一个四棱台所构成
D．由一个长方体与两个四棱台组合而成
7．我国古代数学名著中有云：“今有木长二丈四尺，围之五尺．葛生其下，缠木两周，上与木齐，问葛长几何？”其意思为：“圆木长2丈4尺，圆周为5尺，葛藤从圆木的底部开始向上生长，绕圆木两周，刚好顶部与圆木平齐，问葛藤最少长多少尺？”(注：1丈等于10尺)( )
A．29尺 B．24尺
C．26尺 D．30尺
8．上、下底面面积分别为36π和49π，母线长为5的圆台，其两底面之间的距离为( )
A．4 B．3
C．2 D．2
9．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么这两个圆柱底面的半径之比为( )
A．2∶1 B．3∶1
C.∶1 D．2∶
10．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥 B．一个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆柱 D．一个圆柱、两个圆锥
11．若圆锥的高与底面半径相等，母线长等于5，则底面半径等于________.
12．某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm.
13．(10分)指出图中的几何体是由哪些简单几何体组成的.
14．(15分)已知圆锥的底面半径为r，高为h，且正方体ABCD－A1B1C1D1内接于圆锥(即正方体一个面上的四个顶点在圆锥侧面上)，求这个正方体的棱长.
15.(15分)如图所示，圆台的上、下底面半径分别为5 cm,10 cm，母线长AB＝20 cm，从圆台母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到点A，求：
(1)绳子的最短长度；
(2)在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．
课时跟踪检测(二十三)
1．选B 根据题中图形可知，(1)是球，(2)是圆柱，(3)是圆锥，(4)不是圆台，故选B.
2．选C 圆柱的轴截面为矩形；圆锥的轴截面为等腰三角形；球的轴截面是圆面；圆台的轴截面是等腰梯形．故选C.
3．选D 圆柱的母线与轴平行；圆锥的母线长大于底面圆的半径，不一定等于底面圆直径；圆台的母线延长线与轴相交；球的直径必过球心．故选D.
4．选B 由题意知，零件原胚的中空部分呈圆柱形状，而圆柱形状由矩形旋转形成，圆台由梯形旋转形成，分析四个选项，A项，旋转后得到圆台；C项，旋转后得到圆台；D项，旋转后得到球体中挖去一个小球．故选B.
5．选C 设底面半径为r，若矩形的长8恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝8，所以r＝；同理，若矩形的宽4恰好为卷成圆柱底面的周长，则2πr＝4，所以r＝.故选C.
6．选AB 如图，该组合体可由一个长方体割去一个四棱柱所构成，也可以由一个长方体与两个四棱柱组合而成．故选A、B.
7．选C 由题意，圆木的侧面展开图如图所示，AB＝5，AD＝24.E，F分别为AD，BC的中点，则葛藤最少长为AF＋EC，
即2＝26(尺)．
8．选D 设圆台的母线长为l，高为h，上、下两底面圆的半径分别为r，R，它们满足关系式l2＝h2＋(R－r)2，由题意知l＝5，R＝7，r＝6，求得h＝2，即两底面之间的距离为2.
9.选A 如图所示，两圆半径分别为OA，OF，在Rt△AOF中，∠OAF＝，∠AFO＝，故＝.故选A.
10.选D 设等腰梯形ABCD，较长的底边为CD，则绕着底边CD旋转一周可得一个圆柱和两个圆锥，轴截面如图．故选D.
11．解析：如图，设圆锥SO的高为h，底面半径为r，母线长为l，则h＝r，l＝5.又l2＝h2＋r2，则l2＝2r2，即(5)2＝2r2，解得r＝5.
答案：5
12．解析：如图所示，由题意知，北纬30°所在小圆的周长为12π cm，则该小圆的半径r＝6 cm，其中∠ABO＝30°，所以该地球仪的半径R＝＝4 cm.
答案：4
13．解：第一个组合体由一个四棱柱，一个长方体，一个四棱台，四棱台上方挖去一个长方体的组合体；第二个组合体是大圆柱中间挖去一个小圆柱与另一圆柱同样挖去小圆柱垂直嵌进去，在圆柱外面一个四棱柱与一个三棱柱贴在圆柱侧面(一个面变成了曲面)，四棱柱的两个角刨圆成圆柱侧面(可认为是两个四分之一的圆柱与一个小四棱柱的组合体)，中间还挖去两个小圆柱．
14．解：如图所示，过内接正方体的一组对棱作圆锥的轴截面，设圆锥内接正方体的棱长为x，则在轴截面中，正方体的对角面A1ACC1的一组邻边的长分别为x和x.
∵△VA1C1∽△VMN，∴＝.
∴x＝.
即圆锥内接正方体的棱长为.
15．解：(1)如图所示，将侧面展开，绳子的最短长度为侧面展开图中AM的长度，
设OB＝l，∠AOA′＝θ，
则θ·l＝2π×5，θ·(l＋20)＝2π×10，
解得θ＝，l＝20 cm.
∴OA＝40 cm，OM＝30 cm.
∴AM＝＝50(cm)．
即绳子的最短长度为50(cm)．
(2)如图所示，作OQ⊥AM于点Q，交弧BB′于点P，则PQ即为所求的最短距离．
∵OA·OM＝AM·OQ，∴OQ＝24(cm)．
故PQ＝OQ－OP＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.
