8.2 立体图形的直观图
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤．
2．会用斜二测画法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图．
1．直观图
直观图是观察者站在________观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在____________下得到的平面图形．
2．画水平放置的平面图形的直观图的步骤
步骤 画法要求
建系 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝________(或________)，它们确定的平面表示________
画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于__________的线段
长度规则 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持__________，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的________
|微|点|助|解|
(1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
①“斜”是指在已知图形的平面xOy内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；
②“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变，平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．
(2)斜二测画法画图的关键
在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出．
3．空间几何体的直观图的画法
画轴 与平面图形的直观图画法相比多了一个____轴，直观图中与之对应的是____轴
画底面 平面__________表示水平平面，平面__________和________表示竖直平面，按照平面图形的画法，画底面的直观图
画侧棱 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中________和______都不变
成图 去掉辅助线，将被遮挡的部分改为______
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)相等的角，在直观图中仍相等．( )
(2)长度相等的线段，在直观图中长度仍相等．( )
(3)若两条线段平行，则在直观图中对应的线段仍平行．( )
(4)若两条线段垂直，则在直观图中对应的线段也互相垂直．( )
2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在平面x′O′y′上，则圆柱的高应画成( )
A．平行于z′轴且大小为10 cm
B．平行于z′轴且大小为5 cm
C．与z′轴成45°且大小为10 cm
D．与z′轴成45°且大小为5 cm
3.如图所示为一个平面图形的直观图，则它的实际形状四边形ABCD为( )
A．平行四边形 B．梯形
C．菱形 D．矩形
题型(一) 画水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图．
听课记录：
|思|维|建|模|
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时，选取恰当的坐标系是关键，一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上，以便于画点．
(2)画平面图形的直观图，首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变)，与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点，然后连接成线段．
[针对训练]
1．画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定)．
题型(二) 画空间几何体的直观图
[例2] 画出底面是正方形，侧棱均相等的四棱锥的直观图.
听课记录：
|思|维|建|模|
画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz，并且把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面，再作z′轴与平面x′O′y′垂直．
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴、z轴的线段画成平行于x′轴、z′轴的线段并且长度不变．
(3)平行于y轴的线段画成平行于y′轴的线段，且线段长度画成原来的一半．
[针对训练]
2．用斜二测画法画出正五棱柱的直观图．
题型(三) 直观图的还原与计算问题
[例3] (1)如图，Rt△O′A′B′是一个平面图形的直观图，若O′B′＝，则这个平面图形的面积是( )
A．1 B.
C．2 D．4
(2)如图，梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形，并求原图形的面积．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴、y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可．
2．直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S，其直观图的面积为S′，则有S′＝S或S＝2S′.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积．
[针对训练]
3．已知正三角形ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
8．2 立体图形的直观图
?课前预知教材
1．某一点 平行投影 2.45° 135° 水平面 x′轴或y′轴 原长度不变 一半 3.z z′ x′O′y′ y′O′z′ x′O′z′ 平行性 长度 虚线
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)√ (4)×
2．选A 平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．
3．选D 因为∠D′A′B′＝45°，由斜二测画法规则知∠DAB＝90°.又四边形A′B′C′D′为平行四边形，所以原四边形ABCD为矩形．
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：画法：①在图(1)中作AG⊥x轴于G，作DH⊥x轴于H.
②在图(2)中画相应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，使∠x′O′y′＝45°.
③在图(2)中的x′轴上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′轴上取O′E′＝OE，分别过G′和H′作y′轴的平行线，并在相应的平行线上取G′A′＝GA，H′D′＝HD.
④连接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去辅助线G′A′，H′D′，x′轴与y′轴，便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A′B′C′D′E′(如图(3))．
[针对训练]
1．解：①画轴．如图①，建立平面直角坐标系xOy，再建立坐标系x′O′y′，其中∠x′O′y′＝45°.
②描点．如图②，在x′轴上截取O′A′＝OA，O′B′＝OB，在y轴上截取O′D′＝OD，过点D′作D′C′∥x′轴，且D′C′＝DC.
③连线．连接B′C′，A′D′.
④成图．如图③，四边形A′B′C′D′即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图．
[题型(二)]
[例2] 解：画法：①画轴．画Ox轴、Oy轴、Oz轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图．
②画底面．以O为中心在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD.
③画顶点．在Oz轴上截取OP，使OP的长度等于原四棱锥的高．
④成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图．
[针对训练]
2．解：画法：①画轴．画x′轴、y′轴和z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，如图①所示．
②画底面．按x′轴、y′轴画正五边形的直观图ABCDE.
③画侧棱．过点A，B，C，D，E分别作z′轴的平行线，并在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′都相等．
④成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，去掉辅助线，将被挡部分改为虚线，如图②所示．
[题型(三)]
[例3] 解析：(1)选C 由题图知，△OAB为直角三角形．
∵O′B′＝，∴A′B′＝，O′A′＝2.
∴在原△OAB中，OB＝，OA＝4，
∴S△OAB＝××4＝2.故选C.
(2)如图，建立平面直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1；OC＝O′C1＝2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA＝2D1A1＝2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB＝A1B1＝2.
连接BC，便得到了原图形(如图)．
由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰长度为AD＝2.
所以面积为S＝×2＝5.
[针对训练]
3．选D 如图①②所示的分别是实际图形和直观图．
由斜二测画法可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝OC＝a，在图②中作C′D′⊥A′B′于点D′，则C′D′＝O′C′＝a.所以S△A′B′C′＝A′B′·C′D′＝×a×a＝a2.(共53张PPT)
8.2
立体图形的直观图
课时目标
1.掌握用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤.
2.会用斜二测画法画出简单空间图形(球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.直观图
直观图是观察者站在_______观察一个空间几何体获得的图形.在立体几何中,立体图形的直观图通常是在_________下得到的平面图形.
2.画水平放置的平面图形的直观图的步骤
步骤 画法要求
建系 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,两轴相交于点O.画直观图时,把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',且使∠x'O'y'=____
(或______),它们确定的平面表示________
某一点
平行投影
45°
135°
水平面
画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于___________的线段
长度 规则 已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持___________,平行于y轴的线段,在直观图中长度为原来的_____
x'轴或y'轴
原长度不变
一半
续表
|微|点|助|解|
(1)对斜二测画法中“斜”“二测”的解读
①“斜”是指在已知图形的平面xOy内与x轴垂直的线段,在直观图中均与x'轴成45°或135°;
②“二测”是指两种度量形式,即在直观图中,平行于x'轴的线段长度不变,平行于y'轴的线段长度变为原来的一半.
(2)斜二测画法画图的关键
在原图中找到决定图形位置与形状的点,并在直观图中画出.
3.空间几何体的直观图的画法
画轴 与平面图形的直观图画法相比多了一个___轴,直观图中与之对应的是____轴
画底面 平面_______表示水平平面,平面_______和_______表示竖直平面,按照平面图形的画法,画底面的直观图
画侧棱 已知图形中平行于z轴(或在z轴上)的线段,在其直观图中_______和_____都不变
成图 去掉辅助线,将被遮挡的部分改为______
z
z'
x'O'y'
y'O'z'
x'O'z'
平行性
长度
虚线
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)相等的角,在直观图中仍相等. ( )
(2)长度相等的线段,在直观图中长度仍相等. ( )
(3)若两条线段平行,则在直观图中对应的线段仍平行. ( )
(4)若两条线段垂直,则在直观图中对应的线段也互相垂直. ( )
×
×
√
×
2.若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在平面x'O'y'上,则圆柱的高应画成 ( )
A.平行于z'轴且大小为10 cm B.平行于z'轴且大小为5 cm
C.与z'轴成45°且大小为10 cm D.与z'轴成45°且大小为5 cm
解析:平行于z轴(或在z轴上)的线段,在直观图中的方向和长度都与原来保持一致.
√
3.如图所示为一个平面图形的直观图,则它的实际形状
四边形ABCD为 ( )
A.平行四边形 B.梯形
C.菱形 D.矩形
解析:因为∠D'A'B'=45°,由斜二测画法规则知∠DAB=90°.又四边形A'B'C'D'为平行四边形,所以原四边形ABCD为矩形.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 画水平放置的平面图形的直观图
[例1] 画出水平放置的正五边形ABCDE的直观图.
解:画法:①在图(1)中作AG⊥x轴于G,作DH⊥x轴于H.
②在图(2)中画相应的x'轴与y'轴,两轴相交于点O',使∠x'O'y'=45°.
③在图(2)中的x'轴上取O'B'=OB,O'G'=OG,O'C'=OC,O'H'=OH,y'轴上取O'E'=OE,分别过G'和H'作y'轴的平行线,并在相应的平行线上取G'A'=GA,H'D'=HD.
④连接A'B',A'E',E'D',D'C',并擦去辅助线G'A',H'D',x'轴与y'轴,便得到水平放置的正五边形ABCDE的直观图A'B'C'D'E'(如图(3)).
|思|维|建|模|
画平面图形的直观图的技巧
(1)在画水平放置的平面图形的直观图时,选取恰当的坐标系是关键,一般要使得平面多边形尽可能多的顶点在坐标轴上,以便于画点.
(2)画平面图形的直观图,首先画与坐标轴平行的线段(平行性不变),与坐标轴不平行的线段通过与坐标轴平行的线段确定它的两个端点,然后连接成线段
1.画一个锐角为45°的平行四边形的直观图(尺寸自定).
解:①画轴.如图①,建立平面直角坐标系xOy,再建立坐标系x'O'y',其中∠x'O'y'=45°.
②描点.如图②,在x'轴上截取O'A'=OA,O'B'=OB,在y轴上截取O'D'=OD,过点D'作D'C'∥x'轴,且D'C'=DC.
③连线.连接B'C',A'D'.
针对训练
④成图.如图③,四边形A'B'C'D'即为一个锐角为45°的平行四边形ABCD的直观图.
题型(二) 画空间几何体的直观图
[例2] 画出底面是正方形,侧棱均相等的四棱锥的直观图.
解:画法:①画轴.画Ox轴、Oy轴、Oz轴,∠xOy=45°(或135°),
∠xOz=90°,如图.
②画底面.以O为中心在xOy平面内,画出正方形的直观图ABCD.
③画顶点.在Oz轴上截取OP,使OP的长度等于原四棱锥的高.
④成图.顺次连接PA,PB,PC,PD,并擦去辅助线,将被遮住的部分改为虚线,得四棱锥的直观图.
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画空间图形的直观图的原则
(1)首先在原几何体上建立空间直角坐标系Oxyz,并且把它们画成对应的x'轴与y'轴,两轴交于点O',且使∠x'O'y'=45°(或135°),它们确定的平面表示水平面,再作z'轴与平面x'O'y'垂直.
(2)作空间图形的直观图时平行于x轴、z轴的线段画成平行于x'轴、z'轴的线段并且长度不变.
(3)平行于y轴的线段画成平行于y'轴的线段,且线段长度画成原来的一半.
2.用斜二测画法画出正五棱柱的直观图.
解:画法:①画轴.画x'轴、y'轴和z'轴,使∠x'O'y'=45°(或135°),
∠x'O'z'=90°,如图①所示.
②画底面.按x'轴、y'轴画正五边形的直观图ABCDE.
③画侧棱.过点A,B,C,D,E分别作z'轴的平行线,并在这些平行线上分别截取AA',BB',CC',DD',EE'都相等.
针对训练
④成图.顺次连接A',B',C',D',E',去掉辅助线,将被挡部分改为虚线,如图②所示.
题型(三) 直观图的还原与计算问题
[例3] (1)如图,Rt△O'A'B'是一个平面图形的直观图,若O'B'=,则这个平面图形的面积是( )
A.1 B.
C.2 D.4
√
解析:由题图知,△OAB为直角三角形.
∵O'B'=,∴A'B'=,O'A'=2.
∴在原△OAB中,OB=,OA=4,
∴S△OAB=××4=2.故选C.
(2)如图,梯形A1B1C1D1是一平面图形ABCD的直观图.若A1D1∥O'y',
A1B1∥C1D1,A1B1=C1D1=2,A1D1=O'D1=1.试画出原四边形,并求原图形的面积.
解析:如图,建立平面直角坐标系xOy,在x轴上截取OD=O'D1=1;
OC=O'C1=2.
在过点D与y轴平行的直线上截取DA=2D1A1=2.
在过点A与x轴平行的直线上截取AB=A1B1=2.
连接BC,便得到了原图形(如图).
由作法可知,原四边形ABCD是直角梯形,上、下底长度分别为AB=2,CD=3,直角腰长度为AD=2.
所以面积为S=×2=5.
1.直观图的还原技巧
由直观图还原为平面图的关键是找与x'轴、y'轴平行的直线或线段,且平行于x'轴的线段还原时长度不变,平行于y'轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍,由此确定图形的各个顶点,顺次连接即可.
2.直观图与原图面积之间的关系
若一个平面多边形的面积为S,其直观图的面积为S',则有S'=S或S=2S'.利用这一公式可由原图形面积求其直观图面积或由直观图面积求原图形面积.
|思|维|建|模|
3.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A'B'C'的面积为 ( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
√
针对训练
解析:如图①②所示的分别是实际图形和直观图.由斜二测画法可知,
A'B'=AB=a,O'C'=OC=a,在图②中作C'D'⊥A'B'于点D',则C'D'=O'C'=a.所以S△A'B'C'=A'B'·C'D'=×a×a=a2.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.根据斜二测画法的规则画直观图时,把Ox,Oy,Oz轴画成对应的O'x',O'y',O'z',则∠x'O'y'与∠x'O'z'的度数分别为( )
A.90°,90° B.45°,90°
C.135°,90° D.45°或135°,90°
解析:根据斜二测画法的规则,∠x'O'y'的度数应为45°或135°,∠x'O'z'指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角,所以度数为90°.故选D.
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2.水平放置的△ABC,有一边在水平线上,用斜二测画法作出的直观图是正三角形A'B'C',则△ABC是 ( )
A.锐角三角形 B.直角三角形
C.钝角三角形 D.任意三角形
解析:将△A'B'C'还原,由斜二测画法知,△ABC为钝角三角形.
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3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图,D'是△A'B'C'中B'C'边的中点,且A'D'平行于y'轴,那么A'B',A'D',A'C'三条线段对应原图形中线段AB,AD,AC中 ( )
A.最长的是AB,最短的是AC
B.最长的是AC,最短的是AB
C.最长的是AB,最短的是AD
D.最长的是AD,最短的是AC
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解析:因为A'D'∥y'轴,所以在△ABC中,AD⊥BC.又因为D'是B'C'的中点,所以D是BC的中点,所以AB=AC>AD.故选C.
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4.一个建筑物上部为四棱锥,下部为长方体,且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样,已知长方体的长、宽、高分别为20 cm,5 cm,10 cm,四棱锥的高为8 cm,若按5∶1的比例画出它的直观图,那么直观图中,长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为 ( )
A.4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm B.4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C.4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm D.4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
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解析:原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x'轴、z'轴,且长度不变;原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y'轴,且长度变为原来的一半.
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5.用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形,其直观图是一个底角为45°,腰长为,上底长为1,下底长为3的等腰梯形,那么原平面图形的最长边长为( )
A.2 B.2
C.2 D.3
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解析:如图(1)所示,直观图O'A'B'C'是一个底角为45°,腰长为,上底长为1,下底长为3的等腰梯形,把直观图还原成平面图形OABC,则这个平面图形OABC是直角梯形,根据斜二测画法规则,可得OC=2,OA=3,BC=1,所以原平面图形OABC的最长边长为AB==2.
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6.如图,在直观图中,四边形O'A'B'C'为菱形且边长为2 cm,则在坐标系xOy中原四边形OABC为 (填形状),面积为 cm2.
解析:由题意,结合斜二测画法可知,四边形OABC为矩形,其中OA=2 cm,
OC=4 cm,所以四边形OABC的面积S=2×4=8(cm2).
矩形
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7.如图所示,一个水平放置的正方形ABCD,它在直角坐标系xOy中,点B的坐标为(2, 2),则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A'B'C'D'中,顶点B'到x'轴的距离为 .
解析:正方形的直观图A'B'C'D'如图所示,因为O'A'=B'C'=1,
∠B'C'x'=45°,所以顶点B'到x'轴的距离为1×sin 45°=.
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8.有一个长为5 cm,宽为4 cm的矩形,则其直观图的面积为 cm2.
解析:该矩形的面积为S=5×4=20(cm2),由平面图形的面积与直观图的面积间的关系,可得直观图的面积为S'=S=5(cm2).
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9.(12分)已知一个正四棱台的上底面边长为2,下底面边长为6,高为4,用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
解:①画轴.如图①,画x轴、y轴、z轴,三轴相交于点O,使∠xOy=45°,
∠xOz=90°.
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②画下底面.以O为中点,在x轴上取线段EF,使得EF=6;在y轴上取线段GH,使得GH=3;再过G,H分别作AB∥EF,CD∥EF,且使得AB的中点为G,CD的中点为H;连接AD,BC,这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图.
③画上底面.在z轴上截取线段OO1=4,过O1作O1x'∥Ox,O1y'∥Oy,使∠x'O1y'=45°,建立坐标系x'O1y'.在x'O1y'中仿照②的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图.
④连接AA1,BB1,CC1,DD1,擦去辅助线,将被遮挡的部分改为虚线,得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②).
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B级——重点培优
10.已知两个圆锥,底面重合在一起,其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm,另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm,则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A.2 cm B.3 cm C.2.5 cm D.5 cm
解析:圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高,故两顶点间距离为2+3=5(cm),在直观图中与z轴平行线段长度不变,仍为5 cm.故选D.
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11.(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时,下述结论正确的是 ( )
A.梯形的直观图仍旧是梯形
B.若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形,那么△ABC的面积为
C.△ABC的直观图如图所示,A'B'在x'轴上,且A'B'=2,B'C'与x'轴垂直,且B'C'=,则△ABC的面积为4
D.菱形的直观图可以是正方形
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解析:由于斜二测画法平行关系不变,故梯形的直观图仍旧是梯形,故A正确;直观图面积为×4=,根据直观图与原图面积关系可得=S,解得S=2,故B错误;直观图中S△A'B'C'=×2×=,则△ABC的面积S==4,故C正确;由于平行于y轴的线段长度减半,故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形,故D错误.故选A、C.
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12.如图所示,△A'O'B'表示水平放置的△AOB的直观图,点B'在x'轴上,A'O'与x'轴垂直,且A'O'=2,则△AOB的边OB上的高为 .
解析:设△AOB的边OB上的高为h,由直观图中边O'B'与原图形中边OB的长度相等,及S原图=2S直观图,得OB×h=2××A'O'×O'B',则h=4.故△AOB的边OB上的高为4.
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13.(15分)如图所示,△A'B'C'是水平放置的平面图形的斜二测直观图,将其还原成平面图形.
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解:(1)画出平面直角坐标系xOy,在x轴的正方向上取OA=
O'A',即CA=C'A';
(2)过B'作B'D'∥y'轴,交x'轴于点D',如图①所示;
(3)在OA上取OD=O'D',过D作DB∥y轴,且使DB=2D'B',
连接AB,BC,得△ABC.
则△ABC即为△A'B'C'对应的平面图形,如图②所示.
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14.(15分)如图所示,图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD A1B1C1D1的直观图中分离出来的.
(1)求直观图中△A1C1D1的面积;
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解:由题意可知,A1D1=,D1C1=a,∠A1D1C1=135°,
所以=A1D1·D1C1·sin∠A1D1C1=××a×=a2.
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(2)如果用图示中这样一个装置来盛水,那么盛满水后,水的形状可以抽象出一个什么几何体
解:水的形状可以抽象出一个三棱锥,如图所示.课时跟踪检测(二十四) 立体图形的直观图
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为( )
A．90°，90° B．45°，90°
C．135°，90° D．45°或135°，90°
2．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，用斜二测画法作出的直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是( )
A．锐角三角形 B．直角三角形
C．钝角三角形 D．任意三角形
3.如图所示的是水平放置的三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点，且A′D′平行于y′轴，那么A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中线段AB，AD，AC中( )
A．最长的是AB，最短的是AC
B．最长的是AC，最短的是AB
C．最长的是AB，最短的是AD
D．最长的是AD，最短的是AC
4．一个建筑物上部为四棱锥，下部为长方体，且四棱锥的底面与长方体的上底面尺寸一样，已知长方体的长、宽、高分别为20 cm,5 cm,10 cm，四棱锥的高为8 cm，若按5∶1的比例画出它的直观图，那么直观图中，长方体的长、宽、高和棱锥的高可分别为( )
A．4 cm,1 cm,2 cm,1.6 cm
B．4 cm,0.5 cm,2 cm,0.8 cm
C．4 cm,0.5 cm,2 cm,1.6 cm
D．4 cm,0.5 cm,1 cm,0.8 cm
5．用斜二测画法得到一个水平放置的平面图形，其直观图是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，那么原平面图形的最长边长为( )
A．2 B．2
C．2 D．3
6.如图，在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________ cm2.
7.如图所示，一个水平放置的正方形ABCD，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为(2, 2)，则在用斜二测画法画出的正方形的直观图A′B′C′D′中，顶点B′到x′轴的距离为________.
8．有一个长为5 cm，宽为4 cm的矩形，则其直观图的面积为________ cm2.
9．(12分)已知一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为6，高为4，用斜二测画法画出此正四棱台的直观图.
B级——重点培优
10．已知两个圆锥，底面重合在一起，其中一个圆锥顶点到底面的距离为2 cm，另一个圆锥顶点到底面的距离为3 cm，则其直观图中这两个顶点之间的距离为( )
A．2 cm B．3 cm
C．2.5 cm D．5 cm
11．(多选)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下述结论正确的是( )
A．梯形的直观图仍旧是梯形
B．若△ABC的直观图是边长为2的等边三角形，那么△ABC的面积为
C．△ABC的直观图如图所示，A′B′在x′轴上，且A′B′＝2，B′C′与x′轴垂直，且B′C′＝，则△ABC的面积为4
D．菱形的直观图可以是正方形
12.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为________.
13.(15分)如图所示，△A′B′C′是水平放置的平面图形的斜二测直观图，将其还原成平面图形．
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(15分)如图所示，图形是从斜二测画法下的棱长为a的空心正方体ABCD－A1B1C1D1的直观图中分离出来的.
(1)求直观图中△A1C1D1的面积；
(2)如果用图示中这样一个装置来盛水，那么盛满水后，水的形状可以抽象出一个什么几何体？
课时跟踪检测(二十四)
1．选D 根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.故选D.
2．选C 将△A′B′C′还原，由斜二测画法知，△ABC为钝角三角形．
3．选C 因为A′D′∥y′轴，所以在△ABC中，AD⊥BC.又因为D′是B′C′的中点，所以D是BC的中点，所以AB＝AC>AD.故选C.
4．选C 原图形中平行于x轴、z轴的线段在直观图中分别平行于x′轴、z′轴，且长度不变；原图形中平行于y轴的线段在直观图中平行于y′轴，且长度变为原来的一半．
5．选B 如图(1)所示，直观图O′A′B′C′是一个底角为45°，腰长为，上底长为1，下底长为3的等腰梯形，把直观图还原成平面图形OABC，则这个平面图形OABC是直角梯形，根据斜二测画法规则，可得OC＝2，OA＝3，BC＝1，所以原平面图形OABC的最长边长为AB＝＝2.
6．解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)．
答案：矩形 8
7．解析：正方形的直观图A′B′C′D′如图所示，因为O′A′＝B′C′＝1，∠B′C′x′＝45°，所以顶点B′到x′轴的距离为1×sin 45°＝.
答案：
8．解析：该矩形的面积为S＝5×4＝20(cm2)，由平面图形的面积与直观图的面积间的关系，可得直观图的面积为S′＝S＝5(cm2)．
答案：5
9．解：①画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.
②画下底面．以O为中点，在x轴上取线段EF，使得EF＝6；在y轴上取线段GH，使得GH＝3；再过G，H分别作AB∥EF，CD∥EF，且使得AB的中点为G，CD的中点为H；连接AD，BC，这样就得到了正四棱台的下底面ABCD的直观图．
③画上底面．在z轴上截取线段OO1＝4，过O1作O1x′∥Ox，O1y′∥Oy，使∠x′O1y′＝45°，建立坐标系x′O1y′.在x′O1y′中仿照②的步骤画出上底面A1B1C1D1的直观图．
④连接AA1，BB1，CC1，DD1，擦去辅助线，将被遮挡的部分改为虚线，得到的图形就是所求的正四棱台的直观图(如图②)．
10．选D 圆锥顶点到底面的距离即圆锥的高，故两顶点间距离为2＋3＝5(cm)，在直观图中与z轴平行线段长度不变，仍为5 cm.故选D.
11．选AC 由于斜二测画法平行关系不变，故梯形的直观图仍旧是梯形，故A正确；直观图面积为×4＝，根据直观图与原图面积关系可得＝S，解得S＝2，故B错误；直观图中S△A′B′C′＝×2×＝，则△ABC的面积S＝＝4，故C正确；由于平行于y轴的线段长度减半，故菱形的直观图一定是邻边不等的平行四边形，故D错误．故选A、C.
12．解析：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB×h＝2××A′O′×O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4.
答案：4
13．解：(1)画出平面直角坐标系xOy，在x轴的正方向上取OA＝O′A′，即CA＝C′A′；
(2)过B′作B′D′∥y′轴，交x′轴于点D′，如图①所示；
(3)在OA上取OD＝O′D′，过D作DB∥y轴，且使DB＝2D′B′，连接AB，BC，得△ABC.
则△ABC即为△A′B′C′对应的平面图形，如图②所示．
14．解：(1)由题意可知，A1D1＝，D1C1＝a，∠A1D1C1＝135°，所以S△A1C1D1＝A1D1·
D1C1·sin∠A1D1C1＝××a×＝a2.
(2)水的形状可以抽象出一个三棱锥，如图所示．
