8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积与体积的计算公式，并能利用计算公式解决实际问题．
2．掌握几何体的侧面展开图，理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系．
1．棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体________的面积的和．棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和．
|微|点|助|解|
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积．
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和．
2．棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱＝Sh S为棱柱的________，h为棱柱的______
棱锥 V棱锥＝Sh S为棱锥的________，h为棱锥的______
棱台 V棱台＝h(S′＋＋S) S′，S分别为棱台的____________，h为棱台的____
|微|点|助|解|
对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同．
(2)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系．
V棱柱＝ShV棱台＝h(S′＋＋S)V棱锥＝Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积．根据棱台的定义进行“补形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积．
1．正方体的表面积为96，则正方体的体积为( )
A．48 B．64
C．16 D．96
2．已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形，则此三棱锥的表面积为( )
A．4 B.
C．2 D.
3．棱台的上、下底面面积分别是2,4，高为3，则棱台的体积等于________．
题型(一) 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
[例1] (1)已知直四棱柱的高为2，其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A′B′C′D′，如图所示．若A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，则该直四棱柱的表面积为( )
A．20＋4 B．8＋2(＋)
C．20＋8 D．8＋4(＋)
(2)如图，在正四棱台ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3A1B1＝3，AA1＝，则正四棱台ABCD－A1B1C1D1的表面积为( )
A．28 B．26
C．24 D．16
听课记录：
|思|维|建|模|
1．求表面积的基本解题步骤
(1)确定几何体．分析题中所给几何体的结构特点，确定几何体模型．
(2)计算表面积．根据几何体模型的表面积计算公式，求出相关的表面积．
(3)得出结论．将计算的表面积与题设要求对应即得问题答案．
2．求正棱台表面积的注意点
求解正棱台的表面积时注意棱台的底面边长、高、斜高、侧棱，并注意两个直角梯形的应用：
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形．
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形．
[针对训练]
1．已知正方体的8个顶点中，有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点，则这个三棱锥与正方体的表面积之比为( )
A．1∶ B．1∶
C．2∶ D．3∶
2．用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆)，其高是1 m，底面的边长是1.5 m，已知每平方米需用油漆150 g，共需用油漆______kg.(精确到0.1 kg)
题型(二) 棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] (1)(多选)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，则此正三棱柱的体积可以为( )
A. cm3 B. cm3
C．6 cm3 D．9 cm3
(2)如图，四棱台ABCD－A1B1C1D1的侧棱长均相等，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3，则该四棱台的体积为__________．
听课记录：
|思|维|建|模| 求几何体体积的常用方法
公式法 直接代入公式求解
等积法 例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱柱补成四棱柱等
分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
[针对训练]
3．一个正四棱锥的侧面是正三角形，斜高为，那么这个四棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，过A1，C1，B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD－A1C1D1，且这个几何体的体积为10，则AA1＝________.
题型(三) 简单组合体的表面积和体积
[例3] 某工厂需要制作一个如图所示的模型，该模型为长方体ABCD－A′B′C′D′挖去一个四棱锥O－EFGH后所得的几何体，其中O为长方体ABCD－A′B′C′D′的中心，E，F，G，H分别为所在棱的中点，AB＝BC＝8，AA′＝6，那么该模型的表面积为____________．
听课记录：
|思|维|建|模|
求组合体的表面积和体积，首先应弄清它的组成，其表面有哪些底面和侧面，各个面应该怎样求，然后再根据公式求出各面的面积，最后再相加或相减．求体积时也要先弄清组成，求出各简单几何体的体积，然后再相加或相减．
[针对训练]
5.贯耳瓶流行于宋代，清代亦有仿制，如图所示的青花折枝花卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物，现收藏于首都博物馆，若忽略瓶嘴与贯耳，把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体，上面的几何体Ⅰ是直棱柱，中间的几何体Ⅱ是棱台，下面的几何体Ⅲ也是棱台，几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形，几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍，若几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的高之比为3∶3∶5，则几何体Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的体积之比为( )
A．3∶9∶25 B．9∶21∶35
C．3∶39∶65 D．9∶39∶65
8．3.1 棱柱、棱锥、棱台的
表面积和体积
?课前预知教材
1．各个面 2.底面积 高 底面积 高
上、下底面面积 高
[基础落实训练]
1．选B 设正方体的棱长为a，则6a2＝96，∴a＝4.∴其体积V＝a3＝43＝64.故选B.
2．选D 三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为，所以此三棱锥的表面积为4×＝.故选D.
3．解析：V台体＝(2＋4＋)×3＝×3×(6＋2)＝6＋2.
答案：6＋2
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析：(1)由直观图可得底面四边形ABCD的平面图形如图所示，由A′O′＝O′B′＝B′C′＝1，
得AO＝OB＝1，
C′O′＝＝，所以OC＝2 ，
则S四边形ABCD＝2×2 ＝4 ，
BC＝＝3，所以直棱柱的底面周长C四边形ABCD＝2×(2＋3)＝10.又直棱柱的高h＝2，所以棱柱的侧面积S侧面积＝C四边形ABCD·h＝20，所以棱柱的表面积S表面积＝S侧面积＋2S四边形ABCD＝20＋8.
(2)
在正四棱台ABCD A1B1C1D1的侧面ABB1A1中，过点A1作A1E⊥AB，垂足为E，则A1E＝
＝ ＝2，
所以侧面ABB1A1的面积S＝(AB＋A1B1)·A1E＝×(3＋1)×2＝4，所以正四棱台ABCD A1B1C1D1的表面积S＝4×4＋12＋32＝26.
答案：(1)C (2)B
[针对训练]
1.选B 如图，棱锥B′ ACD′为适合条件的棱锥，四个面为全等的等边三角形，设正方体的棱长为1，则B′C＝，
S△B′AC＝，三棱锥的表面积S锥＝4×＝2 .又正方体的表面积S正＝6.因此S锥∶S正＝1∶.
2．解析：如图，正四棱锥S ABCD表示冷水塔塔顶，O表示底面中心，SO是高，SE是斜高，则SO＝1 m，底面的边长是1.5 m，在Rt△SOE中，由勾股定理得，SE＝＝1.25(m)，所以S正四棱锥侧面＝×1.5×1.25×4＝3.75(m2)．因为铁皮的正反面都要涂漆，所以共需用油漆3.75×2×150＝1 125(g)，由精确到0.1 kg，实际问题向上取整，可得共需用油漆1.2 kg.
答案：1.2
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，所以正三棱柱的底面边长可为3 cm，高为6 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×3×3×sin 60°×6＝ cm3；正三棱柱的底面边长也可为2 cm，高为9 cm，则此正三棱柱的体积为V＝×2×2×sin 60°×9＝9 cm3.
(2)在四棱台ABCD A1B1C1D1中，Q，R分别是上、下底面对角线的交点，即上、下底面的中心，则RQ为四棱台的高，过点D1作D1P∥RQ与BD交于点P，则RQ＝PD1，四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形，且A1B1＝2，AB＝4，AA1＝3，所以BD＝＝4，B1D1＝＝2，所以PD＝－＝2－＝，DD1＝AA1＝3，所以PD1＝＝4，即四棱台的高h＝4.又下底面面积S＝2×2＝4，上底面面积S′＝4×4＝16，所以该四棱台的体积为 V＝(S＋＋S′)h＝×(4＋＋16)×4＝.
答案：(1)BD (2)
[针对训练]
3．选B 由题意设正四棱锥的棱长为a，则其斜高为 ＝＝，因此a＝2，所以正四棱锥的高为 ＝.所以这个四棱锥的体积为××22＝.故选B.
4．解析：由题意知VABCD A1C1D1＝VABCD A1B1C1D1－VB A1B1C1＝2×2·AA1－××2×2·AA1＝AA1＝10，∴AA1＝3.
答案：3
[题型(三)]
[例3] 解析：由题意可得OE＝OF＝OG＝OH＝＝5，HG＝FG＝EF＝EH＝＝4，所以S△OHG＝S△OFG＝S△OEF＝S△OEH＝×4×＝2，故该模型的表面积S＝8×8＋8×6×4＋×4×4×4＋4×2＝288＋8.
答案：288＋8
[针对训练]
5.选D 设上面的六棱柱的底面面积为S，高为3m，由上到下的三个几何体体积分别记为V1，V2，V3，则V1＝3mS，V2＝(S＋9S＋)×3m＝13mS，V3＝(S＋9S＋)×5m＝mS，所以V1∶V2∶V3＝3mS∶13mS∶mS＝9∶39∶65.故选D.(共62张PPT)
8.3.1
棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.知道棱柱、棱锥、棱台、球的表面积与体积的计算公式,并能利用计算公式解决实际问题.
2.掌握几何体的侧面展开图,理解侧面展开图与几何体的表面积之间的关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.棱柱、棱锥、棱台的表面积
多面体的表面积就是围成多面体_______的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和.
各个面
|微|点|助|解|
棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积
(1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是若干个平行四边形、若干个三角形、若干个梯形组成的平面图形,侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、棱台的侧面积.
(2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的和.
2.棱柱、棱锥、棱台的体积
几何体 体积 说明
棱柱 V棱柱=Sh S为棱柱的_______,h为棱柱的___
棱锥 V棱锥=Sh S为棱锥的_______,h为棱锥的____
棱台 V棱台=h(S'++S) S',S分别为棱台的_______________,h为棱台的___
底面积
高
底面积
高
上、下底面面积
高
对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识
(1)等底、等高的两个棱柱的体积相同.
(2)等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍.
(3)棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间的关系.
|微|点|助|解|
V棱柱=Sh V棱台=h(S'++S) V棱锥=Sh.
(4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补形”,还原为棱锥,采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体积.
基础落实训练
1.正方体的表面积为96,则正方体的体积为 ( )
A.48 B.64
C.16 D.96
解析:设正方体的棱长为a,则6a2=96,∴a=4.∴其体积V=a3=43=64.故选B.
√
2.已知一个三棱锥的每一个面都是边长为1的正三角形,则此三棱锥的表面积为 ( )
A.4 B.
C.2 D.
解析:三棱锥的每个面(正三角形)的面积都为,所以此三棱锥的表面积为4×=.故选D.
√
3.棱台的上、下底面面积分别是2,4,高为3,则棱台的体积等于 .
解析:V台体=(2+4+)×3=×3×(6+2)=6+2.
6+2
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
[例1] (1)已知直四棱柱的高为2,其底面四边形ABCD水平放置时的斜二测直观图为矩形A'B'C'D',如图所示.若A'O'=O'B'=B'C'=1,则该直四棱柱的表面积为( )
A.20+4 B.8+2(+)
C.20+8 D.8+4(+)
√
解析:由直观图可得底面四边形ABCD的平面图形如图所示,
由A'O'=O'B'=B'C'=1, 得AO=OB=1,
C'O'==,
所以OC=2,则S四边形ABCD=2×2=4,BC==3,所以直棱柱的底面周长C四边形ABCD=2×(2+3)=10.
又直棱柱的高h=2,所以棱柱的侧面积S侧面积=C四边形ABCD·h=20,所以棱柱的表面积S表面积=S侧面积+2S四边形ABCD=20+8.
(2)如图,在正四棱台ABCD A1B1C1D1中,AB=3A1B1=3,AA1=,则正四棱台ABCD A1B1C1D1的表面积为( )
A.28 B.26
C.24 D.16
√
解析:在正四棱台ABCD A1B1C1D1的侧面ABB1A1中,过点A1作A1E⊥AB,垂足为E,则A1E===2,
所以侧面ABB1A1的面积S侧面ABB1A1=(AB+A1B1)·A1E=×(3+1)×2=4,所以正四棱台ABCD A1B1C1D1的表面积S=4×4+12+32=26.
|思|维|建|模|
1.求表面积的基本解题步骤
(1)确定几何体.分析题中所给几何体的结构特点,确定几何体模型.
(2)计算表面积.根据几何体模型的表面积计算公式,求出相关的表面积.
(3)得出结论.将计算的表面积与题设要求对应即得问题答案.
2.求正棱台表面积的注意点
求解正棱台的表面积时注意棱台的底面边长、高、斜高、侧棱,并注意两个直角梯形的应用:
(1)高、侧棱、上、下底面多边形的中心与顶点连线所成的直角梯形.
(2)高、斜高、上、下底面边心距所成的直角梯形.
1.已知正方体的8个顶点中,有4个为侧面是等边三角形的三棱锥的顶点,则这个三棱锥与正方体的表面积之比为 ( )
A.1∶ B.1∶
C.2∶ D.3∶
√
针对训练
解析:如图,棱锥B' ACD'为适合条件的棱锥,四个面为全等的等边三角形,设正方体的棱长为1,则B'C=,S△B'AC=,
三棱锥的表面积S锥=4×=2 .
又正方体的表面积S正=6.
因此S锥∶S正=1∶.
2.用油漆涂一个正四棱锥形铁皮做的冷水塔塔顶(铁皮的正反面都要涂漆),其高是1 m,底面的边长是1.5 m,已知每平方米需用油漆150 g,共需用油漆 kg.(精确到0.1 kg)
解析:如图,正四棱锥S ABCD表示冷水塔塔顶,O表示底面中心,SO是高,SE是斜高,则SO=1 m,底面的边长是1.5 m,在Rt△SOE中,
1.2
由勾股定理得,SE==1.25(m),所以S正四棱锥侧面=×1.5×
1.25×4=3.75(m2).因为铁皮的正反面都要涂漆,所以共需用油漆3.75×2×150=1 125(g),由精确到0.1 kg,实际问题向上取整,可得共需用油漆1.2 kg.
题型(二) 棱柱、棱锥、棱台的体积
[例2] (1)(多选)已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,则此正三棱柱的体积可以为( )
A. cm3 B. cm3
C.6 cm3 D.9 cm3
√
√
解析:因为正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm,宽为6 cm的矩形,所以正三棱柱的底面边长可为3 cm,高为6 cm,则此正三棱柱的体积为V=×3×3×sin 60°×6= cm3;正三棱柱的底面边长也可为2 cm,高为9 cm,则此正三棱柱的体积为V=×2×2×sin 60°×9=9 cm3.
(2)如图,四棱台ABCD A1B1C1D1的侧棱长均相等,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形,A1B1=2,AB=4,AA1=3,则该四棱台的体积为 .
解析:在四棱台ABCD A1B1C1D1中,Q,R分别是上、下底面对角线的交点,即上、下底面的中心,则RQ为四棱台的高,过点D1作D1P∥RQ与BD交于点P,则RQ=PD1,四边形ABCD和四边形A1B1C1D1都是正方形,且A1B1=2,AB=4,AA1=3,所以BD==4,B1D1==2,
所以PD=-=2-=,DD1=AA1=3,所以PD1==4,
即四棱台的高h=4.又下底面面积S=2×2=4,上底面面积S'=4×4=16,所以该四棱台的体积为 V=(S++S')h=×(4++16)×4=.
|思|维|建|模|
求几何体体积的常用方法
公式法 直接代入公式求解
等积法 例如四面体的任何一个面都可以作为底面,只需选用底面积和高都易求的形式即可
补体法 将几何体补成易求解的几何体,如棱锥补成棱柱,三棱柱补成四棱柱等
分割法 将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积
3.一个正四棱锥的侧面是正三角形,斜高为,那么这个四棱锥的体积为( )
A. B.
C. D.
√
针对训练
解析:由题意设正四棱锥的棱长为a,则其斜高为==,因此a=2,所以正四棱锥的高为=.所以这个四棱锥的体积为××22=.故选B.
4.在长方体ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,过A1,C1,B三点的平面截去长方体的一个角后,得到如图所示的几何体ABCD A1C1D1,且这个几何体的体积为10,则AA1= .
解析:由题意知=-
=2×2·AA1-××2×2·AA1=AA1=10,∴AA1=3.
3
题型(三) 简单组合体的表面积和体积
[例3] 某工厂需要制作一个如图所示的模型,该模型为长方体ABCD A'B'C'D'挖去一个四棱锥O EFGH后所得的几何体,其中O为长方体ABCD A'B'C'D'的中心,E,F,G,H分别为所在棱的中点,AB=BC=8,
AA'=6,那么该模型的表面积为 .
288+8
解析:由题意可得OE=OF=OG=OH==5,
HG=FG=EF=EH==4,
所以S△OHG=S△OFG=S△OEF=S△OEH=×4×=2,故该模型的表面积S=8×8+8×6×4+×4×4×4+4×2=288+8.
求组合体的表面积和体积,首先应弄清它的组成,其表面有哪些底面和侧面,各个面应该怎样求,然后再根据公式求出各面的面积,最后再相加或相减.求体积时也要先弄清组成,求出各简单几何体的体积,然后再相加或相减.
|思|维|建|模|
5.贯耳瓶流行于宋代,清代亦有仿制,如图所示的青花折枝花
卉纹六方贯耳瓶是清乾隆时期的文物,现收藏于首都博物馆,
若忽略瓶嘴与贯耳,把该瓶瓶体看作3个几何体的组合体,上
面的几何体Ⅰ是直棱柱,中间的几何体Ⅱ是棱台,下面的几何
体Ⅲ也是棱台,几何体Ⅲ的下底面与几何体Ⅰ的底面是全等的六边形,几何体Ⅲ的上底面面积是下底面面积的9倍,若几何体Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的高之比为3∶3∶5,则几何体Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的体积之比为 ( )
针对训练
A.3∶9∶25 B.9∶21∶35
C.3∶39∶65 D.9∶39∶65
解析:设上面的六棱柱的底面面积为S,高为3m,由上到下的三个几何体体积分别记为V1,V2,V3,则V1=3mS,V2=(S+9S+)
×3m=13mS,V3=(S+9S+)×5m=mS,所以V1∶V2∶V3=3mS∶13mS∶mS=9∶39∶65.故选D.
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课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.若六棱柱的底面是边长为3的正六边形,侧面为矩形,侧棱长为4,则其侧面积等于( )
A.12 B.48
C.64 D.72
解析:该六棱柱的6个侧面是全等的矩形,则S侧=6×(3×4)=72.故选D.
√
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2.棱台的上、下底面面积分别为2,4,高为3,则棱台的体积为 ( )
A.6+2 B.6+6
C.12+2 D.12+6
解析:棱台的上、下底面面积分别为S1,S2,则S1=2,S2=4,所以V=(S1++S2)h=×(2++4)×3=6+2.故选A.
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3.设正四棱柱的一条体对角线长为3,它的四个侧面与两个底面的面积之和是16,则它的体积是 ( )
A.4 B.8 C. D.4或
解析:设正四棱柱的底面边长为a,高为h,则2a2+h2=9 ①,2a2+4ah=16,即a2+2ah=8 ②,①-②得,(a-h)2=1,即a-h=1或a-h=-1.当a-h=1,即a=h+1时,解得a=2,h=1,体积V=a2h=4;当a-h=-1,即a=h-1时,解得a=,h=,体积V=a2h=.
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4.(多选)已知正三棱锥底面边长为3,侧棱长为2,则下列叙述正确的是( )
A.正三棱锥的高为3 B.正三棱锥的斜高为
C.正三棱锥的体积为 D.正三棱锥的侧面积为
√
√
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解析:如图所示,设E为等边△ADC的中心,F为CD的中点,
连接PF,EF,PE,则PE为正三棱锥的高,PF为斜高.
又PF==,EF=×3×=,故PE==3,
故A、B正确;正三棱锥的体积为×3××3×3=,侧面积为3××3×=,故C错误,D正确.
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5.我国有着丰富悠久的“印章文化”,古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成,是过去官员或私人签署文件时代表身份的信物.图1是明清时期的一个金属印章摆件,除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体,如图2,已知正四棱柱和正四棱锥的高相等,且正四棱锥的底面边长为4,侧棱长为2,则该几何体的体积是( )
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A.32 B.
C. D.64
解析:因为正四棱锥的底面边长为4,所以底面的对角线长为4,设正四棱柱和正四棱锥的高为h,因为正四棱锥的侧棱长为2,所以h2+(2)2
=(2)2,解得h=2,故该几何体的体积为4×4×2+×4×4×2=.故选C.
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6.一个长方体的三个面的面积分别为,,,则这个长方体的体积为 .
解析:设长方体的长、宽、高分别为x,y,z,则xy=,yz=,xz=,
∴(xyz)2=6.∴V=xyz=.
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7.正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,则三棱锥A B1DC1的体积为 .
解析:∵正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2,侧棱长为,D为BC的中点,∴S△B1DC1=×2×=,三棱锥A B1DC1的高就是底面正三角形的高,故三棱锥A B1DC1的体积为××=1.
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8.如图,一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体,若该几何体的体积为60,则该几何体的表面积为 .
解析:设正四棱柱的底面边长为m,则4(42-m2)=60,解得m=1,则该几何体的表面积为42×4+(42-12)×2+4×1×4=110.
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9.(10分)现有一个底面是菱形的直四棱柱,它的体对角线长为9和15,高是5,求该直四棱柱的侧面积、表面积.
解:如图,设底面对角线AC=a,BD=b,交点为O,
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体对角线A1C=15,B1D=9,∴a2+52=152,b2+52=92,∴a2=200,b2=56.∵该直四棱柱的底面是菱形,∴AB2=+===64,∴AB=8.
∴直四棱柱的侧面积S侧=4×8×5=160,底面积S底=AC·BD=20,表面积S表=160+2×20=160+40.故该直四棱柱的侧面积为160,表面积为160+40.
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10.(10分)如图,正六棱锥被过棱锥高PO的中点O'且平
行于底面的平面所截,得到正六棱台OO'和较小的棱
锥PO'.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比;
解:由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧=1∶4,
所以S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧=4∶1∶3.
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(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm,小棱锥的底面边长为4 cm,求截得的棱台的侧面积和表面积.
解:如图所示,∵小棱锥的底面边长为4 cm,∴大棱锥
的底面边长为8 cm.又PA=12 cm,∴A1A=6 cm.又梯
形ABB1A1的高h'==4(cm),
∴S棱台侧=6××4=144(cm2),S棱台表=S棱台侧+S上底+S下底=144+24+96=(144+120)cm2.
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B级——重点培优
11.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题,其中一部分水蓄入某水库.已知该水库水位为海拔148.5 m时,相应水面的面积为140.0 km2;水位为海拔157.5 m时,相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台,则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时,增加的水量约为(≈2.65)( )
A.1.0×109 m3 B.1.2×109 m3
C.1.4×109 m3 D.1.6×109 m3
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解析:如图,由已知得该棱台的高为157.5-148.5=9(m),所以该棱台的体积
V=×9×(140++180)×106=60×(16+3)×106≈60×(16+3×2.65)×106=1.437×109≈1.4×109(m3).故选C.
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12.(2024·天津高考)一个五面体ABC DEF.已知AD∥BE∥CF,且两两之间距离为1,AD=1,BE=2,CF=3,则该五面体的体积为 ( )
A. B.+
C. D.-
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解析:因为AD,BE,CF两两平行,且两两之间距离为1,则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥,其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积,四棱锥的高为,底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形,故该五面体的体积V=×1××1+××
=,故选C.
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13.在边长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中,取其四个顶点作为一个三棱锥的顶点,使该三棱锥的体积为,则该三棱锥的名称可以是________
_____________________.
三棱锥
C1 A1BD(答案不唯一)
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解析:∵正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,
∴正方体的体积为1×1×1=1,
又====
××1×1×1=,
∴三棱锥C1 A1BD的体积为1-4×=,所以该三棱锥的名称可以是三棱锥C1 A1BD.
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14.在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D为棱AA1的中点,若△BC1D是面积为6的直角三角形,则此三棱柱的体积为 .
解析:设AC=a,CC1=b,则BD=C1D=,BC1=.因为△BC1D是面积为6的直角三角形,所以解得所以此三棱柱的体积V=×8×4=8.
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15.(16分)某个实心零部件的直观图如图所示,其下部是上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD A1B1C1D1,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10 cm,
A1B1=20 cm,AA2=30 cm,AA1=13 cm,每平方厘米的加工处理费为0.2元,则需加工处理费多少元
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解:因为四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以该零部件上部的表面积S1=+S四个侧面矩形=(A2B2)2
+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2).又四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,所以该零部件下部的表面积S2=+S四个侧面梯形=(A1B1)2+4××(AB+A1B1)×h等腰梯形=202+4××(10+20)× =1 120(cm2).
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于是该实心零部件的表面积S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2).又0.2S=0.2×2 420=484(元),故所需加工处理费为484元.课时跟踪检测(二十五) 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( )
A．12 B．48
C．64 D．72
2．棱台的上、下底面面积分别为2,4，高为3，则棱台的体积为( )
A．6＋2 B．6＋6
C．12＋2 D．12＋6
3．设正四棱柱的一条体对角线长为3，它的四个侧面与两个底面的面积之和是16，则它的体积是( )
A．4 B．8
C. D．4或
4．(多选)已知正三棱锥底面边长为3，侧棱长为2，则下列叙述正确的是( )
A．正三棱锥的高为3
B．正三棱锥的斜高为
C．正三棱锥的体积为
D．正三棱锥的侧面积为
5．我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，是过去官员或私人签署文件
时代表身份的信物．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环以后可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2，已知正四棱柱和正四棱锥的高相等，且正四棱锥的底面边长为4，侧棱长为2，则该几何体的体积是( )
A．32 B.
C. D．64
6．一个长方体的三个面的面积分别为，，，则这个长方体的体积为________.
7．正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为________.
8.如图，一个棱长为4的正方体被挖去一个高为4的正四棱柱后得到图中的几何体，若该几何体的体积为60，则该几何体的表面积为________.
9．(10分)现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积.
10.(10分)如图，正六棱锥被过棱锥高PO的中点O′且平行于底面的平面所截，得到正六棱台OO′和较小的棱锥PO′.
(1)求大棱锥、小棱锥、棱台的侧面积之比；
(2)若大棱锥PO的侧棱长为12 cm，小棱锥的底面边长为4 cm，求截得的棱台的侧面积和表面积.
B级——重点培优
11．南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库．已知该水库水位为海拔148.5 m时，相应水面的面积为140.0 km2；水位为海拔157.5 m时，相应水面的面积为180.0 km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5 m上升到157.5 m时，增加的水量约为(≈2.65)( )
A．1.0×109 m3 B．1.2×109 m3
C．1.4×109 m3 D．1.6×109 m3
12.(2024·天津高考)一个五面体ABC－DEF.已知AD∥BE∥CF，且两两之间距离为1，AD＝1，BE＝2，CF＝3，则该五面体的体积为( )
A. B.＋
C. D.－
13．在边长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，取其四个顶点作为一个三棱锥的顶点，使该三棱锥的体积为，则该三棱锥的名称可以是__________.
14．在正三棱柱ABC?A1B1C1中，D为棱AA1的中点，若△BC1D是面积为6的直角三角形，则此三棱柱的体积为________.
15.(16分)某个实心零部件的直观图如图所示，其下部是上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形的四棱台ABCD －A1B1C1D1，上部是一个底面与四棱台的上底面重合，侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD －A2B2C2D2.现需要对该零部件表面进行防腐处理，已知AB＝10 cm，A1B1＝20 cm，AA2＝30 cm，AA1＝13 cm，每平方厘米的加工处理费为0.2元，则需加工处理费多少元？
课时跟踪检测(二十五)
1．选D 该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D.
2．选A 设棱台的上、下底面面积分别为S1，S2，则S1＝2，S2＝4，所以V＝(S1＋＋S2)h＝×(2＋＋4)×3＝6＋2.故选A.
3．选D 设正四棱柱的底面边长为a，高为h，则2a2＋h2＝9 ①，2a2＋4ah＝16，即a2＋2ah＝8 ②，①－②得，(a－h)2＝1，即a－h＝1或a－h＝－1.当a－h＝1，即a＝h＋1时，解得a＝2，h＝1，体积V＝a2h＝4；当a－h＝－1，即a＝h－1时，解得a＝，h＝，体积V＝a2h＝.
4.选ABD 如图所示，设E为等边△ADC的中心，F为CD的中点，连接PF，EF，PE，则PE为正三棱锥的高，PF为斜高．
又PF＝＝，EF＝×3×＝，故PE＝＝3，故A、B正确；正三棱锥的体积为×3××3×3＝，侧面积为3××3×＝，故C错误，D正确．
5．选C 因为正四棱锥的底面边长为4，所以底面的对角线长为4，设正四棱柱和正四棱锥的高为h，因为正四棱锥的侧棱长为2，所以h2＋(2)2＝(2)2，解得h＝2，故该几何体的体积为4×4×2＋×4×4×2＝.故选C.
6．解析：设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝，yz＝，xz＝，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝.
答案：
7．解析：∵正三棱柱ABC A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC的中点，
∴S＝×2×＝，三棱锥A B1DC1的高就是底面正三角形的高，故三棱锥A B1DC1的体积为××＝1.
答案：1
8．解析：设正四棱柱的底面边长为m，则4(42－m2)＝60，解得m＝1，则该几何体的表面积为42×4＋(42－12)×2＋4×1×4＝110.
答案：110
9．解：如图，设底面对角线AC＝a，BD＝b，交点为O，体对角线A1C＝15，B1D＝9，∴a2＋52＝152，b2＋52＝92，
∴a2＝200，b2＝56.∵该直四棱柱的底面是菱形，∴AB2＝2＋2＝＝＝64，∴AB＝8.∴直四棱柱的侧面积S侧＝4×8×5＝160，底面积S底＝AC·BD＝20，表面积S表＝160＋2×20＝160＋40.故该直四棱柱的侧面积为160，表面积为160＋40.
10．解：(1)由题意知S小棱锥侧∶S大棱锥侧＝1∶4，所以S大棱锥侧∶S小棱锥侧∶S棱台侧＝4∶1∶3.
(2)如图所示，∵小棱锥的底面边长为4 cm，∴大棱锥的底面边长为8 cm.又PA＝12 cm，∴A1A＝6 cm.又梯形ABB1A1的高h′＝＝4(cm)，
∴S棱台侧＝6××4＝144(cm2)，S棱台表＝S棱台侧＋S上底＋S下底＝144＋24＋96＝(144＋120)cm2.
11.选C 如图，由已知得该棱台的高为157.5－148.5＝9(m)，所以该棱台的体积V＝×9×(140＋＋180)×106＝60×(16＋3)×106≈60×(16＋3×2.65)×106＝1.437×109≈1.4×109(m3)．故选C.
12．选C 因为AD，BE，CF两两平行，且两两之间距离为1，则该五面体可以分成一个侧棱长为1的三棱柱和一个底面为梯形的四棱锥，其中三棱柱的体积等于棱长均为1的直三棱柱的体积，四棱锥的高为，底面是上底为1、下底为2、高为1的梯形，故该五面体的体积V＝×1××1＋××＝，故选C.
13．解析：∵正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，∴正方体的体积为1×1×1＝1，又VA A1BD＝VC C1BD＝VB1 A1BC1＝VD1 A1DC1＝××1×1×1＝，∴三棱锥C1 A1BD的体积为1－4×＝，所以该三棱锥的名称可以是三棱锥C1 A1BD.
答案：三棱锥C1 A1BD(答案不唯一)
14．解析：设AC＝a，CC1＝b，则BD＝C1D＝，BC1＝.因为△BC1D是面积为6的直角三角形，所以解得所以此三棱柱的体积V＝×8×4＝8.
答案：8
15．解：因为四棱柱ABCD A2B2C2D2的底面是正方形，侧面是全等的矩形，所以该零部件上部的表面积S1＝S正方形A2B2C2D2＋S四个侧面矩形＝(A2B2)2＋4AB·AA2＝102＋4×10×30＝1 300(cm2)．又四棱台ABCD A1B1C1D1的上、下底面均是正方形，侧面是全等的等腰梯形，所以该零部件下部的表面积S2＝S正方形A1B1C1D1＋S四个侧面梯形＝(A1B1)2＋4××(AB＋A1B1)×h等腰梯形＝202＋4××(10＋20)× ＝1 120(cm2)．于是该实心零部件的表面积S＝S1＋S2＝1 300＋1 120＝2 420(cm2)．又0.2S＝0.2×2 420＝484(元)，故所需加工处理费为484元．
