8．3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
第1课时 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图，掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式．
2．能用表面积与体积公式求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积，且会求组合体的表面积与体积．
1．圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
名称 公式
圆柱 S圆柱＝__________(r是底面半径，l是母线长)
圆锥 S圆锥＝______________(r是底面半径，l是母线长)
圆台 S圆台＝____________(r′，r分别是上、下底面半径，l是母线长)
球 S＝4πR2(R是球的半径)
|微|点|助|解|
(1)准确认识圆柱、圆锥、圆台的展开图
名称 侧面展开图 底面 表面积
圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积＋底面积
圆锥 扇形 一个圆
圆台 扇环 两个同心圆
,
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl.
2．圆柱、圆锥、圆台、球的体积
名称 公式
圆柱 V＝____________(r是底面半径，h是高)
圆锥 V＝πr2h(r是底面半径，h是高)
圆台 V＝πh(r′2＋r′r＋r2)(r′，r分别是上、下底面半径，h是高)
球 V＝πR3(R是球的半径)
|微|点|助|解|
对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识
(1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V圆柱＝πr2hV圆台＝πh(r′2＋r′r＋r2)V圆锥＝πr2h.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式可统一如下：
V柱体＝Sh；V锥体＝Sh(S为底面积，h为高)；V台体＝(S′＋＋S)h(S′，S分别为上、下底面面积，h为高)．
1．球的体积是，则此球的表面积是( )
A．12π B．16π
C. D.
2．一个高为2的圆柱，底面周长为2π.该圆柱的表面积为________．
3．已知圆锥SO的高为4，体积为4π，则底面半径r＝________.
题型(一) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积
[例1] (1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为，则这个圆锥的侧面积为______．
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为________．
听课记录：
|思|维|建|模|
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图．
(2)依次求出各个平面图形的面积．
(3)将各平面图形的面积相加．
[提醒] 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图．
[针对训练]
1．已知一个圆柱和圆锥等底等高，且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，则此圆锥和圆柱的表面积之比为( )
A. B.
C. D.
2．如图，将一个圆柱2n(n∈N＋)等分切割，再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体，n越大，重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”．若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10，则圆柱的侧面积为____________．
题型(二) 圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] (1)已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形，则圆锥SO的体积为( )
A．2π B.π
C．π D.π
(2)已知圆台的上、下底面的半径分别为1,3，其表面积为26π，则该圆台的体积为( )
A. B.
C. D.
听课记录：
|思|维|建|模| 圆柱、圆锥、圆台的体积求法
直接法 根据几何体的结构特征，确定底面积和高，代入体积公式直接求出
分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积
补体法 将几何体补成易求解的几何体，先求再去
[针对训练]
3．(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为( )
A．2π B．3π
C．6π D．9π
4.
如图，一个底面半径为2的圆柱被一平面所截，截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3，则该几何体的体积为( )
A．5π B．6π
C．20π D．10π
题型(三) 旋转体组成的组合体的表面积与体积
[例3] 如图，在四边形ABCD中，∠DAB＝90°，∠ADC＝135°，AB＝5，CD＝2，AD＝2，求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积．
听课记录：
|思|维|建|模|
旋转体组成的组合体的表面积与体积的求法与多面体组成的组合体的表面积与体积的求法一致，主要是将组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基本面，以“分割”“补形”为工具解题．
[针对训练]
5.如图所示，△ABC中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得到的旋转体的表面积．
第1课时 圆柱、圆锥、圆台、球的
表面积和体积
?课前预知教材
1．2πrl＋2πr2 πrl＋πr2 π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 2.πr2h
[基础落实训练]
1．选B 设球的半径为R，则πR3＝，
∴R＝2，∴S球＝4πR2＝16π.
2．解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝4π，所以S表＝S底＋S侧＝6π.
答案：6π
3．解析：设底面半径为r，则πr2×4＝4π，解得r＝，即底面半径为.
答案：
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析：(1)设母线长为l，由题意得l·lsin 60°＝，所以母线长l＝2.又底面半径为1，所以侧面积为π×1×2＝2π.
(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r，下底面半径为R，则它的母线长为l＝＝＝5r＝10，所以r＝2，R＝8.
故S侧＝π(R＋r)l＝π(8＋2)×10＝100π，
S表＝S侧＋πr2＋πR2＝100π＋4π＋64π＝168π.
答案：(1)2π (2)168π
[针对训练]
1．选A 设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形，所以圆锥的高为r，母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2＋2πr·r＝4πr2，圆锥的表面积为·2πr·r＋πr2＝(＋1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为＝.故选A.
2．解析：显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积．设圆柱的底面半径为r，高为h，则2rh＝10，所以圆柱的侧面积为2πrh＝10π.
答案：10π
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)
如图所示，在圆锥SO中，底面圆半径为r＝OA＝1，高为h＝＝，所以圆锥SO的体积为V圆锥＝×π×12×＝π.故选D.
(2)设圆台的母线长为l，高为h，所以π×12＋π×32＋π×(1＋3)l＝26π，解得l＝4，所以h＝＝2.所以该圆台的体积V＝×(π×12＋π×32＋)×2＝.故选D.
答案：(1)D (2)D
[针对训练]
3．选B 设圆柱的底面半径为r，则圆锥的母线长为 ，因为它们的侧面积相等，所以2πr·＝πr·，即2＝，故r2＝9，故圆锥的体积为π×9×＝3π.故选B.
4.
选D 用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱，如图所示，则圆柱的体积为π×22×5＝20π，故所求几何体的体积为10π.
[题型(三)]
[例3] 解：作CE垂直于AD的延长线于点E，如图(1)，将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台，如图(2)．
由题意得CD＝2，AD＝2，CE＝ED＝2，AB＝5，AE＝4，BC＝5，
所以S＝π·EC·DC＋π(EC＋AB)·BC＋π·AB2＝4π＋35π＋25π＝60π＋4π，V＝π(CE2＋AB2＋CE·AB)·AE－π·CE2·DE＝52π－π＝.
[针对训练]
5．解：过C点作CD⊥AB于点D.如图所示，△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合
的圆锥，这两个圆锥的高的和
为AB＝5，底面半径DC＝＝，故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.(共64张PPT)
8.3.2
圆柱、圆锥、圆台、球的
表面积和体积
圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积
(教学方式:深化学习课—梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.了解圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图,掌握圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积的计算公式.
2.能用表面积与体积公式求圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积,且会求组合体的表面积与体积.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.圆柱、圆锥、圆台、球的表面积
名称 公式
圆柱 S圆柱=__________ (r是底面半径,l是母线长)
圆锥 S圆锥=________(r是底面半径,l是母线长)
圆台 S圆台=_____________ (r',r分别是上、下底面半径,l是母线长)
球 S=4πR2(R是球的半径)
2πrl+2πr2
πrl+πr2
π(r'2+r2+r'l+rl)
|微|点|助|解|
(1)准确认识圆柱、圆锥、圆台的展开图
名称 侧面展开图 底面 表面积
圆柱 矩形 两个全等的圆 侧面积+底面积
圆锥 扇形 一个圆
圆台 扇环 两个同心圆
(2)圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式间的关系
2.圆柱、圆锥、圆台、球的体积
名称 公式
圆柱 V=______ (r是底面半径,h是高)
圆锥 V=πr2h(r是底面半径,h是高)
圆台 V=πh(r'2+r'r+r2)(r',r分别是上、下底面半径,h是高)
球 V=πR3(R是球的半径)
πr2h
|微|点|助|解|
对于圆柱、圆锥、圆台体积公式的几点认识
(1)圆柱、圆锥、圆台的体积公式之间的关系
V圆柱=πr2h V圆台=πh(r'2+r'r+r2) V圆锥=πr2h.
(2)柱体、锥体、台体的体积公式可统一如下:
V柱体=Sh;V锥体=Sh(S为底面积,h为高);V台体=(S'++S)h(S',S分别为上、下底面面积,h为高).
基础落实训练
1.球的体积是,则此球的表面积是( )
A.12π B.16π
C. D.
解析:设球的半径为R,则πR3=,∴R=2,∴S球=4πR2=16π.
√
2.一个高为2的圆柱,底面周长为2π.该圆柱的表面积为 .
解析:由底面周长为2π可得底面半径为1.S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=4π,所以S表=S底+S侧=6π.
6π
3.已知圆锥SO的高为4,体积为4π,则底面半径r= .
解析:设底面半径为r,则πr2×4=4π,解得r=,即底面半径为.
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 圆柱、圆锥、圆台的侧面积、表面积
[例1] (1)已知一个圆锥的轴截面是等边三角形,其面积为,则这个圆锥的侧面积为 .
解析:设母线长为l,由题意得l·lsin 60°=,所以母线长l=2.又底面半径为1,所以侧面积为π×1×2=2π.
2π
(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4,若母线长为10,则圆台的表面积为 .
解析:圆台的轴截面如图所示,设上底面半径为r,下底
面半径为R,则它的母线长为
l===5r=10,所以r=2,R=8.
故S侧=π(R+r)l=π(8+2)×10=100π,
S表=S侧+πr2+πR2=100π+4π+64π=168π.
168π
|思|维|建|模|
求圆柱、圆锥、圆台的表面积的基本步骤
(1)得到空间几何体的平面展开图.
(2)依次求出各个平面图形的面积.
(3)将各平面图形的面积相加.
[提醒] 解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题,要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图.
1.已知一个圆柱和圆锥等底等高,且圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,则此圆锥和圆柱的表面积之比为 ( )
A. B.
C. D.
√
针对训练
解析:设圆柱与圆锥的底面半径为r.因为圆锥的轴截面是一个等腰直角三角形,所以圆锥的高为r,母线长为r.所以圆柱的表面积为2πr2+
2πr·r=4πr2,圆锥的表面积为·2πr·r+πr2=(+1)πr2.所以圆锥和圆柱的表面积之比为=.故选A.
2.如图,将一个圆柱2n(n∈N+)等分切割,再将其重新组合成一个与圆柱等底等高的几何体,n越大,重新组合成的几何体就越接近一个“长方体”.若新几何体的表面积比原圆柱的表面积增加了10,则圆柱的侧面积为 .
解析:显然新几何体的表面积比原圆柱的表面积多了原圆柱的轴截面面积.设圆柱的底面半径为r,高为h,则2rh=10,所以圆柱的侧面积为2πrh=10π.
10π
题型(二) 圆柱、圆锥、圆台的体积
[例2] (1)已知圆锥SO的轴截面是一个边长为2的等边三角形,则圆锥SO的体积为( )
A.2π B.π
C.π D.π
√
解析:如图所示,在圆锥SO中,底面圆半径为r=OA=1,高为h==,所以圆锥SO的体积为V圆锥=×π×12×=π.故选D.
(2)已知圆台的上、下底面的半径分别为1,3,其表面积为26π,则该圆台的体积为 ( )
A. B.
C. D.
√
解析:设圆台的母线长为l,高为h,所以π×12+π×32+π×(1+3)l=26π,解得l=4,所以h==2.所以该圆台的体积V=×(π×12+π×
32+)×2=.故选D.
|思|维|建|模|
圆柱、圆锥、圆台的体积求法
直接法 根据几何体的结构特征,确定底面积和高,代入体积公式直接求出
分割法 将几何体分割成易求解的几部分,分别求体积
补体法 将几何体补成易求解的几何体,先求再去
3.(2024·新课标Ⅰ卷)已知圆柱和圆锥的底面半径相等,侧面积相等,且它们的高均为,则圆锥的体积为( )
A.2π B.3π
C.6π D.9π
√
针对训练
解析:设圆柱的底面半径为r,则圆锥的母线长为 ,因为它们的侧面积相等,所以2πr·=πr·,即2=,故r2=9,故圆锥的体积为π×9×=3π.故选B.
4.如图,一个底面半径为2的圆柱被一平面所截,截得的几何体的最短和最长母线长分别为2和3,则该几何体的体积为 ( )
A.5π B.6π
C.20π D.10π
√
解析:用一个完全相同的几何体把题中几何体补成一个圆柱,如图所示,则圆柱的体积为π×22×5=20π,故所求几何体的体积为10π.
题型(三) 旋转体组成的组合体的表面积与体积
[例3] 如图,在四边形ABCD中,∠DAB=90°,∠ADC=135°,AB=5,
CD=2,AD=2,求四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周所成几何体的表面积和体积.
解:作CE垂直于AD的延长线于点E,如图(1),将四边形ABCD绕AD边所在的直线旋转一周形成一个被挖去一个圆锥的圆台,如图(2).
由题意得CD=2,AD=2,CE=ED=2,AB=5,AE=4,BC=5,所以S=π·EC·DC+π(EC+AB)·BC+π·AB2=4π+35π+25π=60π+4π,
V=π(CE2+AB2+CE·AB)·AE-π·CE2·DE=52π-π=.
旋转体组成的组合体的表面积与体积的求法与多面体组成的组合体的表面积与体积的求法一致,主要是将组合体分解为若干个柱、锥、台、球的基本面,以“分割”“补形”为工具解题.
|思|维|建|模|
5.如图所示,△ABC中,AC=3,BC=4,AB=5,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得到的旋转体的表面积.
针对训练
解:过C点作CD⊥AB于点D.如图所示,△ABC以AB所在直线为轴旋转一周,所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥,这两个圆锥的高的和为AB=5,底面半径DC==,故S表=π·DC·(BC+AC)=π.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知圆柱的轴截面为矩形,其底边长(圆柱底面圆直径)是侧边长的2倍,若轴截面的面积为S,则圆柱的表面积为( )
A.πS B.2πS
C.2πS D.4πS
解析:设圆柱的底面圆半径为r,则圆柱母线长l=r.由轴截面的面积为S,得2r2=S.所以圆柱的表面积为2πr2+2πrl=4πr2=2πS.故选B.
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2.一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,则它的体积为 ( )
A.π B.π
C.2π D.3π
解析:因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形,所以圆锥的
底面半径为1,且圆锥的高SO==,故体积为π×12
×=π.
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3.如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体,设圆锥部分的高为0.5米,圆柱部分的高为2米,底面圆的半径为1米,则该组合体体积为 ( )
A.立方米 B.2π立方米
C.立方米 D.立方米
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解析:圆柱体积为π×12×2=2π,圆锥体积为×π×12×0.5=,所以该组合体的体积为2π+=.故选D.
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4.已知圆台的体积为152π,两底面圆的半径分别为4和6,则圆台的高为 ( )
A.6 B.2
C.4 D.5
解析:设圆台的高为h,且上、下两底面面积分别为S1=π×42=16π,
S2=π×62=36π,根据圆台体积公式可得(S1+S2+)h=
(16π+36π+)h=152π,解得h=6.故选A.
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5.如图1是一个组合体的直观图,它的下部分是一个圆台,上部分是一个圆柱,图2是该组合体的轴截面,则它的表面积是 ( )
A.64π B.77π
C.80π D.84π
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解析:圆柱的上底面面积为4π,圆柱的侧面积为4π×5=20π,圆台的下底面面积为25π.圆台的母线长为=5,所以圆台的侧面积为π(2+5)×5=35π,则该组合体的表面积为4π+20π+25π+35π=84π.故选D.
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6.若将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球,则这个大球的半径R为 .
解析: V小球=×π×13=π,V大球=πR3,依题意得πR3=π×2=π,
∴R3=2,∴R=.
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7.已知圆台的上底面半径为2,下底面半径为6,若该圆台的侧面积为72π,则其母线长为 .
解析:设圆台的母线长为l,则该圆台的侧面积为S侧=π×(2+6)×l=72π,则l=9,所以圆台的母线长为9.
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8.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个.若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为 .
解析:设新的底面半径为r,则有×πr2×4+πr2×8=×π×52×4+π×
22×8,解得r=.
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9.(10分)如图所示的几何体,上面是圆柱,其底面直径为6 cm,高为3 cm,下面是正六棱柱,其底面边长为4 cm,高为2 cm,现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱,求此几何体的体积.
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解: ∵V六棱柱=×42×6×2=48(cm3),V圆柱=π·32×3=27π(cm3),V挖去圆柱=π·12×(3+2)=5π(cm3),∴此几何体的体积V=V六棱柱+V圆柱-V挖去圆柱=(48+22π)(cm3).
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10.(10分)如图,在底面半径为2,母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱,求圆柱的表面积.
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解:如图,设圆锥的底面半径为R,圆柱的底面半径为r,表面积为S.
则R=OC=2,AC=4,AO==2.易知△AEB∽△AOC,所以=,即=,所以r=1,S底=2πr2=2π,S侧=2πr·h=2π.所以S=S底+S侧=2π+
2π=(2+2)π.
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B级——重点培优
11.母线长为6的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π,则该圆锥的体积为( )
A.32π B.
C.32π D.96π
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解析:由题意得,侧面展开图的弧长为6×π=8π.设圆锥底面圆的半径为r,则8π=2πr,解得r=4.所以圆锥高h==2.所以体积为×π×
42×2=.故选B.
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12.(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3,高为4,且AB=BC,则 ( )
A.三棱锥S ABC的体积为12
B.该圆锥的体积为12π
C.该圆锥的表面积为14π
D.该圆锥的母线长为5
√
√
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解析:由题意可得△ABC是等腰直角三角形,由AC=6可得AB=BC=
AC=3,∴S△ABC=9,即VS ABC=×4×9=12,故A正确;由圆锥体积公式可得V=π×32×4=12π,故B正确;由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA==5,故D正确;由圆锥的表面积公式可得S=π×3×(5+3)=24π,故C错误.故选A、B、D.
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13.一个圆锥形容器和一个圆柱形容器,它们的轴截面尺寸如图所示,两容器内所盛液体的体积正好相等,且液面高度h正好相同,则h= .
a
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解析:设圆锥形容器的液面的半径为R,则液体的体积为πR2h,圆柱形容器内的液体体积为πh.根据题意,有πR2h=πh,解得R=a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形,得=,所以h=a.
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14.把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上,使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动,当这个圆锥在平面内转回原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,则圆锥的母线长为 cm,表面积等于 cm2.
20
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解析:设圆锥的母线长为l,如图,以S为圆心,SA为半径的圆的面积S=πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧=πrl=8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时,圆锥本身滚动了2.5周,∴πl2=2.5×8πl.∴l=20 cm.圆锥的表面积S=S圆锥侧+S底=π×8×20+π×82=224π(cm2).
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15.(16分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用),已建的仓库的底面直径为12 m,高为4 m,该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库,以存放更多食盐.现有两种方案:方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变);方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积;
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解:若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变,则新建的圆锥形仓库的体积V1=×π××4=(m3);
若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变,则新建的圆锥形仓库的体积V2=×π××8=96π(m3).
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(2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积;
解:若按方案一,新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m,高不变,则圆锥的母线长l1==4(m),新建的圆锥形仓库的侧面积S1=π××4=32π(m2);
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若按方案二,新建的圆锥形仓库的高变成8 m,底面直径不变,则圆锥的母线长l2==10(m),
新建的圆锥形仓库的侧面积S2=π××10=60π(m2).
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(3)哪个方案更经济些 为什么
解:由(1)(2)知,V1(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知圆柱的轴截面为矩形，其底边长(圆柱底面圆直径)是侧边长的2倍，若轴截面的面积为S，则圆柱的表面积为( )
A.πS B．2πS
C．2πS D．4πS
2．一个圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为( )
A.π B.π
C．2π D．3π
3．如图所示的粮仓可以看成圆柱体与圆锥体的组合体，设圆锥部分的高为0.5米，圆柱部分的高为2米，底面圆的半径为1米，则该组合体体积为( )
A.立方米 B．2π立方米
C.立方米 D.立方米
4．已知圆台的体积为152π，两底面圆的半径分别为4和6，则圆台的高为( )
A．6 B．2
C．4 D．5
5．如图1是一个组合体的直观图，它的下部分是一个圆台，上部分是一个圆柱，图2是该组合体的轴截面，则它的表面积是( )
A．64π B．77π
C．80π D．84π
6．若将两个半径为1的小铁球熔化后铸成一个大球，则这个大球的半径R为__________.
7．已知圆台的上底面半径为2，下底面半径为6，若该圆台的侧面积为72π，则其母线长为________.
8．现有橡皮泥制作的底面半径为5，高为4的圆锥和底面半径为2，高为8的圆柱各一个．若将它们重新制作成总体积与高均保持不变，但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个，则新的底面半径为________.
9.
(10分)如图所示的几何体，上面是圆柱，其底面直径为6 cm，高为3 cm，下面是正六棱柱，其底面边长为4 cm，高为2 cm，现从中间挖去一个直径为2 cm的圆柱，求此几何体的体积.
10.(10分)如图，在底面半径为2，母线长为4的圆锥中内接一个高为的圆柱，求圆柱的表面积.
B级——重点培优
11．母线长为6的圆锥的侧面展开图的圆心角等于π，则该圆锥的体积为( )
A．32π B.
C．32π D．96π
12．(多选)如图所示的圆锥的底面半径为3，高为4，且AB＝BC，则( )
A．三棱锥S－ABC的体积为12
B．该圆锥的体积为12π
C．该圆锥的表面积为14π
D．该圆锥的母线长为5
13．一个圆锥形容器和一个圆柱形容器，它们的轴截面尺寸如图所示，两容器内所盛液体的体积正好相等，且液面高度h正好相同，则h＝________.
14．把底面半径为8 cm的圆锥放倒在一平面上，使圆锥在此平面内绕圆锥顶点S滚动，当这个圆锥在平面内转回原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，则圆锥的母线长为______cm，表面积等于______cm2.
15．(16分)某部门建造了一个圆锥形仓库用于贮藏食盐(供融化高速公路上的积雪之用)，已建的仓库的底面直径为12 m，高为4 m，该部门计划再建一个更大的圆锥形仓库，以存放更多食盐．现有两种方案：方案一是新建的圆锥形仓库的底面直径比原来增加4 m(高不变)；方案二是新建的圆锥形仓库的高度增加4 m(底面直径不变).
(1)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的体积；
(2)分别计算按这两种方案所新建的圆锥形仓库的侧面积；
(3)哪个方案更经济些？为什么？
课时跟踪检测(二十六)
1．选B 设圆柱的底面圆半径为r，则圆柱母线长l＝r.由轴截面的面积为S，得2r2＝S.所以圆柱的表面积为2πr2＋2πrl＝4πr2＝2πS.故选B.
2.选B 因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高SO＝＝，故体积为π×12×＝π.
3．选D 圆柱体积为π×12×2＝2π，圆锥体积为×π×12×0.5＝，所以该组合体的体积为2π＋＝.故选D.
4．选A 设圆台的高为h，且上、下两底面面积分别为S1＝π×42＝16π，S2＝π×62＝36π，根据圆台体积公式可得(S1＋S2＋)h＝(16π＋36π＋)h＝152π，解得h＝6.故选A.
5．选D 圆柱的上底面面积为4π，圆柱的侧面积为4π×5＝20π，圆台的下底面面积为25π.圆台的母线长为＝5，所以圆台的侧面积为π(2＋5)×5＝35π，则该组合体的表面积为4π＋20π＋25π＋35π＝84π.故选D.
6．解析：V小球＝×π×13＝π，
V大球＝πR3，依题意得πR3＝π×2＝π，∴R3＝2，∴R＝.
答案：
7．解析：设圆台的母线长为l，则该圆台的侧面积为S侧＝π×(2＋6)×l＝72π，则l＝9，所以圆台的母线长为9.
答案：9
8．解析：设新的底面半径为r，则有×πr2×4＋πr2×8＝×π×52×4＋π×22×8，解得r＝.
答案：
9．解：∵V六棱柱＝×42×6×2＝48(cm3)，V圆柱＝π·32×3＝27π(cm3)，V挖去圆柱＝π·12×(3＋2)＝5π(cm3)，
∴此几何体的体积V＝V六棱柱＋V圆柱－V挖去圆柱＝(48＋22π)(cm3)．
10．解：如图，设圆锥的底面半径为R，圆柱的底面半径为r，表面积为S.则R＝OC＝2，AC＝4，AO＝＝2.易知△AEB∽△AOC，所以＝，即＝，所以r＝1，S底＝2πr2＝2π，S侧＝2πr·h＝2π.
所以S＝S底＋S侧＝2π＋2π＝(2＋2)π.
11.选B 由题意得，侧面展开图的弧长为6×π＝8π.设圆锥底面圆的半径为r，则8π＝2πr，解得r＝4.所以圆锥高h＝＝2.所以体积为×π×42×2＝.故选B.
12．选ABD 由题意可得△ABC是等腰直角三角形，由AC＝6可得AB＝BC＝AC＝3，∴S△ABC＝9，即VS ABC＝×4×9＝12，故A正确；由圆锥体积公式可得V＝π×32×4＝12π，故B正确；由勾股定理及圆锥性质可得其母线SA＝＝5，故D正确；由圆锥的表面积公式可得S＝π×3×(5＋3)＝24π，故C错误．故选A、B、D.
13．解析：设圆锥形容器的液面的半径为R，则液体的体积为πR2h，圆柱形容器内的液体体积为π2h.根据题意，有πR2h＝π2h，解得R＝a.再根据圆锥形容器的轴截面与内盛液体轴截面是相似三角形，得＝，所以h＝a.
答案：a
14．解析：设圆锥的母线长为l，如图，以S为圆心，SA为半径的圆的面积S＝πl2.又圆锥的侧面积S圆锥侧＝πrl＝8πl.根据圆锥在平面内转到原位置时，圆锥本身滚动了2.5周，∴πl2＝2.5×8πl.∴l＝20 cm.圆锥的表面积S＝S圆锥侧＋S底＝π×8×20＋π×82＝224π(cm2)．
答案：20 224π
15．解：(1)若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m，高不变，则新建的圆锥形仓库的体积V1＝×π×2×4＝(m3)；
若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8 m，底面直径不变，则新建的圆锥形仓库的体积V2＝×π×2×8＝96π(m3)．
(2)若按方案一，新建的圆锥形仓库的底面直径变成16 m，高不变，则圆锥的母线长l1＝＝4(m)，新建的圆锥形仓库的侧面积S1＝π××4＝32π(m2)；
若按方案二，新建的圆锥形仓库的高变成8 m，底面直径不变，则圆锥的母线长l2＝＝10(m)，
新建的圆锥形仓库的侧面积S2＝π××10＝60π(m2)．
(3)由(1)(2)知，V1
