8.4.1 平面—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助日常生活中的实物，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．
2．了解基本事实1～3和确定平面的推论，掌握平面的画法及表示方法．
1．平面
(1)画法
我们常用矩形的直观图，即________________表示平面．当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成________；当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成________．
(2)表示方法
①用希腊字母____________等表示平面，如平面α，平面β，平面γ等，并将它写在代表平面的平行四边形的一个______内．
②用代表平面的平行四边形的________作为这个平面的名称，如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的______表示的大写字母作为这个平面的名称，如平面AC或者平面BD.
2．平面的基本性质及作用
(1)基本事实
项目 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过__________的三个点，________一个平面 A，B，C三点不共线 存在唯一的平面α使A，B，C∈α ①确定平面的依据②判定点线共面
基本事实2 如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在_________ A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α ________ ①确定直线在平面内的依据②判定点在平面内
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的________ P∈α且________ α∩β＝l，且P∈l ①判定两平面相交的依据②判定点在直线上
(2)平面的基本事实的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点，_______平面 确定平面的依据
推论2 经过两条__________，有且只有一个平面
推论3 经过两条__________，有且只有一个平面
|微|点|助|解|
准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)要注意基本事实1的条件“不在一条直线上的三个点”，事实上，同一直线上的三个点不能确定一个平面．
(2)从集合的角度看，基本事实2可以表述为：如果一条直线上有两个点属于一个平面，那么这条直线就是这个平面的真子集．即整条直线在平面内．
(3)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交，只要“两平面共有一点”，就有“两平面共有一条直线”，且点在直线上，直线是唯一的．
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为( )
A．平面MN B．平面NQP
C．平面α D．平面MNPQ
2．“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为( )
A．P∈a，a∥α B．a∩α＝P
C．P∈a，P α D．P∈a，a α
3．下列图形中，不一定是平面图形的是( )
A．三角形 B．菱形
C．梯形 D．四条边相等的四边形
题型(一) 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句，并画出图形．
(1)平面α与β相交于直线l，直线a与α，β分别相交于点A，B.
(2)点A，B在平面α内，直线a与平面α交于点C，点C不在直线AB上．
听课记录：
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．
(2)要注意符号语言的意义，如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”，直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”．
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别．
[针对训练]
1．如图所示，用符号语言可表达为( )
A．α∩β＝m，n α，m∩n＝A
B．α∩β＝m，n∈α，m∩n＝A
C．α∩β＝m，n α，A m，A n
D．α∩β＝m，n∈α，A∈m，A∈n
2．如果A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，可以用集合语言和符号表示为( )
A．A a，a α，B∈α B．A∈a，a α，B∈α
C．A a，a∈α，B α D．A∈a，a∈α，B∈α
题型(二) 点、线共面问题
[例2] 如图，已知a α，b α，a∩b＝A，P∈b，PQ∥a，求证：PQ α.
听课记录：
[变式拓展]
将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内，符号表示为已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c和l共面．
|思|维|建|模|
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个平面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”；
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”；
(3)假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”．
[针对训练]
3.已知A，B，C，D，E是空间五个点，且线段CE，AC和BD两两相交，求证：A，B，C，D，E这五个点在同一平面上．
题型(三) 点共线、线共点问题
[例3] 已知在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，求证：DE，BF，CC1三线交于一点．
听课记录：
[变式拓展]
本例条件增加“AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q，若A1C交平面DBFE于点R，”其他条件不变，求证：P，Q，R三点共线．
|思|维|建|模|
1．证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面，然后证明这三点都是这两个平面的公共点，根据基本事实3可知，这些点都在两个平面的交线上．
(2)选择其中两点确定一条直线，然后证明另一点也在此直线上．
2．证明三线共点的步骤
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上．
[针对训练]
4.如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F，求证：E，F，G，H四点必定共线．
8．4.1 平 面
课前预知教材
1．(1)平行四边形 横向 竖向
(2)①α、β、γ 角 ②四个顶点 ③两个顶点
2．(1)不在一条直线上 有且只有 两个点 这个平面内 l α 公共直线 P∈β
(2)有且只有一个 相交直线 平行直线
[基础落实训练]
1．选A 表示平面不能用一条线段的两个端点表示，但可以表示为平面MP.故选A.
2．选C 由于点P在平面α外，所以有P α.又直线a经过点P，所以P∈a.故选C.
3．选D 三角形的三个顶点为不共线的三点，因此一定是平面图形；菱形、梯形分别有两组、一组对边平行，故为平面图形；四边相等的四边形可能为空间四边形．
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：(1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C AB，如图．
[针对训练]
1．选A 如题图所示，两个平面α与β相交于直线m，直线n在平面α内，直线m和直线n相交于点A，故用符号语言可表达为α∩β＝m，n α，m∩n＝A.
2．选B A点在直线a上，而直线a在平面α内，点B在α内，表示为A∈a，a α，B∈α.
[题型(二)]
[例2] 证明：因为PQ∥a，所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a β，点P∈β.
因为P∈b，b α，所以P∈α.又因为a α，P a，所以α与β重合，所以PQ α.
[变式拓展]
证明：
如图，∵a∥b，
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α.
又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l β.
∵平面α与β都包含l和b，且b∩l＝B，
由基本事实1的推论知，经过两条相交直线有且只有一个平面，∴平面α与平面β重合．∴a，b，c和l共面．
[针对训练]
3．证明：设CE∩BD＝M，CA∩BD＝N，
∵CA∩CE＝C，
∴CA，CE确定一个平面α.
∵M∈CE，∴M∈α，同理N∈α.
∴直线MN即直线BD α，
∴B∈α，D∈α.
∴A，B，C，D，E这五个点在同一平面上．
[题型(三)]
[例3] 证明：因为EF∥BD且EF＜BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE 平面D1DCC1，得M∈平面D1DCC1.同理，点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1.所以DE，BF，CC1三线交于一点M.
[变式拓展]
证明：在正方体ABCD A1B1C1D1中，设平面AA1C1C为α，
平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1，所以Q∈α.又Q∈EF，所以Q∈β.所以Q是α与β的公共点．
同理，P也是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ.
又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β.则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．
[针对训练]
4．证明：因为AB∥CD，所以AB，CD确定一个平面β.又因为AB∩α＝E，AB β，所以E∈α，E∈β，即E为平面α与β的一个公共点．同理可证F，G，H均为平面α与β的公共点，因为若两个平面有公共点，那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线，所以E，F，G，H四点必定共线．(共57张PPT)
8.4.1
平面
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
课时目标
1.借助日常生活中的实物,在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上,抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义.
2.了解基本事实1~3和确定平面的推论,掌握平面的画法及表示方法.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.平面
(1)画法
我们常用矩形的直观图,即____________表示平面.
当平面水平放置时,常把平行四边形的一边画成_____;当平面竖直放置时,常把平行四边形的一边画成______.
平行四边形
横向
竖向
(2)表示方法
①用希腊字母_________等表示平面,如平面α,平面β,平面γ等,并将它写在代表平面的平行四边形的一个___内.
②用代表平面的平行四边形的__________作为这个平面的名称,如平面ABCD.
③用代表平面的平行四边形的相对的_________表示的大写字母作为这个平面的名称,如平面AC或者平面BD.
α、β、γ
角
四个顶点
两个顶点
2.平面的基本性质及作用
(1)基本事实
项目 文字语言 图形语言 符号语言 作用
基本事实1 过_______________的三个点,_________ 一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的平面α使A,B,C∈α ①确定平面的依据
②判定点线共面
不在一条直线上
有且只有
基本事实2 如果一条直线上的_______在一个平面内,那么这条直线在____________ A∈l,B∈l,且A∈α, B∈α _____ ①确定直线在平面内的依据
②判定点在平面内
两个点
这个平面内
l α
续表
基本事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的__________ P∈α且_____ α∩β=l, 且P∈l ①判定两平面相交的依据
②判定点在直线上
P∈β
公共直线
续表
(2)平面的基本事实的三个推论
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点, _____________平面 确定平面的依据
推论2 经过两条_________,有且只有一个平面
推论3 经过两条__________,有且只有一个平面
有且只有一个
相交直线
平行直线
|微|点|助|解|
准确认识三个基本事实的意义和作用
(1)要注意基本事实1的条件“不在一条直线上的三个点”,事实上,同一直线上的三个点不能确定一个平面.
(2)从集合的角度看,基本事实2可以表述为:如果一条直线上有两个点属于一个平面,那么这条直线就是这个平面的真子集.即整条直线在平面内.
(3)基本事实3反映了平面与平面的位置关系——相交,只要“两平面共有一点”,就有“两平面共有一条直线”,且点在直线上,直线是唯一的.
基础落实训练
1.如图所示的平行四边形MNPQ表示的平面不能记为 ( )
A.平面MN B.平面NQP
C.平面α D.平面MNPQ
解析:表示平面不能用一条线段的两个端点表示,但可以表示为平面MP.故选A.
√
2.“直线a经过平面α外一点P”用符号表示为 ( )
A.P∈a,a∥α B.a∩α=P
C.P∈a,P α D.P∈a,a α
解析:由于点P在平面α外,所以有P α.又直线a经过点P,所以P∈a.故选C.
√
3.下列图形中,不一定是平面图形的是 ( )
A.三角形 B.菱形
C.梯形 D.四条边相等的四边形
解析:三角形的三个顶点为不共线的三点,因此一定是平面图形;菱形、梯形分别有两组、一组对边平行,故为平面图形;四边相等的四边形可能为空间四边形.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化
[例1] 用符号表示下列语句,并画出图形.
(1)平面α与β相交于直线l,直线a与α,β分别相交于点A,B.
解:用符号表示:α∩β=l,a∩α=A,a∩β=B,如图.
(2)点A,B在平面α内,直线a与平面α交于点C,点C不在直线AB上.
解:用符号表示:A∈α,B∈α,a∩α=C,C AB,如图.
|思|维|建|模|
三种语言转换的注意点
(1)用文字语言、符号语言表示一个图形时,首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何,试着用文字语言表示,再用符号语言表示.
(2)要注意符号语言的意义,如点与直线的位置关系只能用“∈”或“ ”,直线与平面的位置关系只能用“ ”或“ ”.
(3)根据符号语言或文字语言画相应的图形时,要注意实线和虚线的区别.
1.如图所示,用符号语言可表达为 ( )
A.α∩β=m,n α,m∩n=A B.α∩β=m,n∈α,m∩n=A
C.α∩β=m,n α,A m,A nq D.α∩β=m,n∈α,A∈m,A∈n
解析:如题图所示,两个平面α与β相交于直线m,直线n在平面α内,直线m和直线n相交于点A,故用符号语言可表达为α∩β=m,n α,m∩n=A.
√
针对训练
2.如果A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,可以用集合语言和符号表示为 ( )
A.A a,a α,B∈α B.A∈a,a α,B∈α
C.A a,a∈α,B α D.A∈a,a∈α,B∈α
解析: A点在直线a上,而直线a在平面α内,点B在α内,表示为A∈a,a α,
B∈α.
√
题型(二) 点、线共面问题
[例2] 如图,已知a α,b α,a∩b=A,P∈b,PQ∥a,求证:PQ α.
证明:因为PQ∥a,所以PQ与a确定一个平面β.所以直线a β,点P∈β.因为P∈b,b α,所以P∈α.
又因为a α,P a,所以α与β重合,所以PQ α.
将本例中的两条平行线改为三条,即求证:和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内,符号表示为已知a∥b∥c,l∩a=A,l∩b=B,
l∩c=C.求证:a,b,c和l共面.
证明:如图,∵a∥b,
∴a与b确定一个平面α.
∵l∩a=A,l∩b=B,∴A∈α,B∈α.
变式拓展
又∵A∈l,B∈l,∴l α.
∵b∥c,∴b与c确定一个平面β,同理l β.
∵平面α与β都包含l和b,且b∩l=B,
由基本事实1的推论知,经过两条相交直线有且只有一个平面,∴平面α与平面β重合.
∴a,b,c和l共面.
证明点、线共面问题的常用方法
(1)先由部分点、线确定一个平面,再证其余的点、线都在这个平面内,即用“纳入法”;
(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α,其余点、线确定另一个平面β,再证平面α与β重合,即用“同一法”;
(3)假设不共面,结合题设推出矛盾,即用“反证法”.
|思|维|建|模|
3.已知A,B,C,D,E是空间五个点,且线段CE,AC和BD两两相交,求证:A,B,
C,D,E这五个点在同一平面上.
针对训练
证明:设CE∩BD=M,CA∩BD=N,
∵CA∩CE=C,∴CA,CE确定一个平面α.
∵M∈CE,∴M∈α,同理N∈α.
∴直线MN即直线BD α,
∴B∈α,D∈α.∴A,B,C,D,E这五个点在同一平面上.
题型(三) 点共线、线共点问题
[例3] 已知在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,C1B1的中点,求证:DE,BF,CC1三线交于一点.
证明:因为EF∥BD且EF为M,则由M∈DE,DE 平面D1DCC1,得M∈平面D1DCC1.
同理,点M∈平面B1BCC1.又平面D1DCC1∩平面B1BCC1=
CC1,所以M∈CC1.所以DE,BF,CC1三线交于一点M.
本例条件增加“AC∩BD=P,A1C1∩EF=Q,若A1C交平面DBFE于点R,”其他条件不变,求证:P,Q,R三点共线.
证明:在正方体ABCD A1B1C1D1中,设平面AA1C1C为α,
平面BDEF为β.
因为Q∈A1C1,所以Q∈α.又Q∈EF,所以Q∈β.所以Q是
α与β的公共点.同理,P也是α与β的公共点.所以α∩β=PQ.
又A1C∩β=R,所以R∈A1C,R∈α,且R∈β.则R∈PQ,故P,Q,R三点共线.
变式拓展
1.证明三点共线的方法
(1)首先找出两个平面,然后证明这三点都是这两个平面的公共点,根据基本事实3可知,这些点都在两个平面的交线上.
(2)选择其中两点确定一条直线,然后证明另一点也在此直线上.
2.证明三线共点的步骤
证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线,然后再证两条直线的交点在此直线上.
|思|维|建|模|
4.如图,在四边形ABCD中,已知AB∥CD,直线AB,BC,AD,DC分别与平面α相交于点E,G,H,F,求证:E,F,G,H四点必定共线.
变式拓展
证明:因为AB∥CD,所以AB,CD确定一个平面β.又因为AB∩α=E,AB β,所以E∈α,E∈β,即E为平面α与β的一个公共点.同理可证F,G,H均为平面α与β的公共点,因为若两个平面有公共点,那么它们有且只有一条通过公共点的公共直线,所以E,F,G,H四点必定共线.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.(多选)已知α,β为平面,A,B,M,N为点,a为直线,则下列推理正确的是( )
A.A∈a,A∈β,B∈a,B∈β a β
B.M∈α,M∈β,N∈α,N∈β α∩β=MN
C.A∈α,A∈β α∩β=A
D.A,B,M∈α,A,B,M∈β,且A,B,M不共线 α,β重合
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解析:由基本事实2知A正确;由基本事实3知B正确;由基本事实1知D正确;对于C,因为A∈α,A∈β,所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A,且α∩β=A的写法错误.故选A、B、D.
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2.(多选)下面四个命题不正确的是 ( )
A.三个不同的点确定一个平面
B.一条直线和一个点确定一个平面
C.空间两两相交的三条直线确定一个平面
D.两条平行直线确定一个平面
√
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解析:对于A,三个不共线的点确定一个平面,故错误;对于B,一条直线和直线外一个点确定一个平面,故错误;对于C,空间两两相交的三条直线,且不能交于同一点,确定一个平面,故错误;对于D,两条平行直线确定一个平面,正确.故选A、B、C.
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3.一条直线和直线外的三点所确定的平面有 ( )
A.1个或3个 B.1个或4个
C.1个、3个或4个 D.1个、2个或4个
解析:若三点在同一条直线上,且与已知直线平行或相交,由推论2和推论3知,均确定1个平面;若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面;若三点不共线,且该直线在由该三点确定的平面外,则可确定4个平面,故选C.
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4.如果空间四点A,B,C,D不共面,那么下列判断正确的是 ( )
A.A,B,C,D四点中必有三点共线
B.A,B,C,D四点中不存在三点共线
C.直线AB与CD相交
D.直线AB与CD平行
解析:两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面.
√
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5.如图,α∩β=l,A∈α,C∈β,C l,直线AD∩l=D,过A,B,C三点确定的平面为γ,则平面γ,β的交线必过 ( )
A.点A B.点B
C.点C,但不过点D D.点C和点D
解析: A,B,C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合,故C,D∈γ,且C,D∈β,故C,D在γ和β的交线上.
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6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,试根据图形填空:
(1)平面AB1∩平面A1C1= .
解析:平面AB1与平面A1C1相交,交线为A1B1.
A1B1
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(2)平面A1C1CA∩平面AC= .
解析:平面A1C1CA与平面AC相交,交线为AC.
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD= .
解析:平面A1C1CA与平面D1B1BD相交,交线为OO1.
(4)平面A1C1,平面B1C,平面AB1的公共点为 .
解析:平面A1C1,平面B1C,平面AB1三平面交于一点B1.
AC
OO1
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7.设平面α与平面β相交于l,直线a α,直线b β,a∩b=M,则M l.
解析:因为a∩b=M,a α,b β,所以M∈α,M∈β.又因为α∩β=l,所以M∈l.
∈
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8.三条平行直线最多能确定的平面的个数为 .
解析:当三条平行直线在一个平面内时,可以确定1个平面;当三条平行直线不在同一个平面上时,可以确定3个平面.综上最多可确定3个平面.
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9.(8分)用符号语言表示下列语句,并画出图形.
(1)三个平面α,β,γ相交于一点P,且平面α与平面β相交于PA,平面α与平面γ相交于PB,平面β与平面γ相交于PC.
解:符号语言表示:
α∩β∩γ=P,α∩β=PA,α∩γ=PB,β∩γ=PC,
图形表示如图(1).
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(2)平面ABD与平面BDC相交于BD,平面ABC与平面ADC相交于AC.
解:符号语言表示:平面ABD∩平面BDC=BD,平面ABC∩平面ADC=AC,图形表示如图(2).
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10.(10分)如图,D,E分别是△ABC的边AC,BC上的点,平面
α经过D,E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P;
解:延长AB交平面α于点P,如图所示.
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(2)求证:D,E,P三点共线.
解:证明:平面ABC∩平面α=DE,P∈AB,AB 平面ABC,
所以P∈平面ABC.
又P∈α,所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上,
即P∈DE.
故D,E,P三点共线.
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B级——重点培优
11.如图所示,在四面体中,若直线EF和GH相交,则它们的交点一定( )
A.在直线DB上
B.在直线AB上
C.在直线CB上
D.都不对
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解析:直线EF和GH相交,设交点为M,因为EF 平面ABD,HG 平面CBD,所以M∈平面ABD,且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD=BD,所以M∈BD,所以EF与GH的交点在直线BD上.
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12.(多选)如图,正方体ABCD A1B1C1D1中,若E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别是四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,则 ( )
A.A,C,O1,D1四点共面
B.D,E,G,F四点共面
C.A,E,F,D1四点共面
D.G,E,O1,O2四点共面
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解析:因为正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G分别为棱BC,CC1,B1C1的中点,O1,O2分别为四边形ADD1A1,A1B1C1D1的中心,所以O1是AD1的中点,所以O1在平面ACD1内,故A正确;因为E,G,F在平面BCC1B1内,D不在平面BCC1B1内,所以D,E,G,F四点不共面,故B错误;由已知可知EF∥AD1,所以A,E,F,D1四点共面,故C正确;连接GO2并延长(图略),交A1D1于H,则H为A1D1的中点,连接HO1,则HO1∥GE,所以G,E,O1,O2四点共面,D正确.
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13.空间三条直线,如果其中一条直线和其他两条直线都相交,那么这三条直线能确定的平面个数是 .
解析:如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,①AA1∩AB=A,
AA1∩A1B1=A1,则直线AB,A1B1与AA1可以确定一个平面
(平面ABB1A1).②AA1∩AB=A,AA1∩A1D1=A1,此时直线
AB,AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1).③三条直线AB,AD,AA1交于一点,此时它们可以确定三个平面(平面ABCD,平面ABB1A1和平面ADD1A1).
1、2或3
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14.(10分)如图,△ABC与△A1B1C1不全等,且A1B1∥AB,B1C1∥BC,C1A1∥CA.
求证:AA1,BB1,CC1交于一点.
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证明:如图所示,因为A1B1∥AB,所以A1B1
与AB确定一个平面,记为平面α.
同理,将B1C1与BC所确定的平面记为平面β,
C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
易知β∩γ=C1C.
又△ABC与△A1B1C1不全等,
所以AA1与BB1相交,设交点为P,P∈AA1,P∈BB1.
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而AA1 γ,BB1 β,所以P∈γ,P∈β,
所以P在平面β与平面γ的交线上.
又β∩γ=C1C,所以P∈C1C,
所以AA1,BB1,CC1交于一点.
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15.(14分)如图,在直角梯形ABDC中,AB∥CD,AB>CD,S是直角梯形ABDC所在平面外一点,画出平面SBD和平面SAC的交线.
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解:很明显,点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点,即点S在交线上.
由于AB>CD,则分别延长AC和BD交于点E,如图所示,
∵E∈AC,AC 平面SAC,
∴E∈平面SAC.
同理,可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上,则连接SE,直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线.课时跟踪检测(二十八) 平面
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．(多选)已知α，β为平面，A，B，M，N为点，a为直线，则下列推理正确的是( )
A．A∈a，A∈β，B∈a，B∈β a β
B．M∈α，M∈β，N∈α，N∈β α∩β＝MN
C．A∈α，A∈β α∩β＝A
D．A，B，M∈α，A，B，M∈β，且A，B，M不共线 α，β重合
2．(多选)下面四个命题不正确的是( )
A．三个不同的点确定一个平面
B．一条直线和一个点确定一个平面
C．空间两两相交的三条直线确定一个平面
D．两条平行直线确定一个平面
3．一条直线和直线外的三点所确定的平面有( )
A．1个或3个 B．1个或4个
C．1个、3个或4个 D．1个、2个或4个
4．如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断正确的是( )
A．A，B，C，D四点中必有三点共线
B．A，B，C，D四点中不存在三点共线
C．直线AB与CD相交
D．直线AB与CD平行
5.如图，α∩β＝l，A∈α，C∈β，C l，直线AD∩l＝D，过A，B，C三点确定的平面为γ，则平面γ，β的交线必过( )
A．点A B．点B
C．点C，但不过点D D．点C和点D
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，试根据图形填空：
(1)平面AB1∩平面A1C1＝________.
(2)平面A1C1CA∩平面AC＝________.
(3)平面A1C1CA∩平面D1B1BD＝________.
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1的公共点为________.
7．设平面α与平面β相交于l，直线a α，直线b β，a∩b＝M，则M________l.
8．三条平行直线最多能确定的平面的个数为______.
9．(8分)用符号语言表示下列语句，并画出图形．
(1)三个平面α，β，γ相交于一点P，且平面α与平面β相交于PA，平面α与平面γ相交于PB，平面β与平面γ相交于PC.
(2)平面ABD与平面BDC相交于BD，平面ABC与平面ADC相交于AC.
10．(10分)如图，D，E分别是△ABC的边AC，BC上的点，平面α经过D，E两点.
(1)求作直线AB与平面α的交点P；
(2)求证：D，E，P三点共线．
B级——重点培优
11．如图所示，在四面体中，若直线EF和GH相交，则它们的
交点一定( )
A．在直线DB上
B．在直线AB上
C．在直线CB上
D．都不对
12．(多选)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，若E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别是四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，则( )
A．A，C，O1，D1四点共面
B．D，E，G，F四点共面
C．A，E，F，D1四点共面
D．G，E，O1，O2四点共面
13．空间三条直线，如果其中一条直线和其他两条直线都相交，那么这三条直线能确定的平面个数是________.
14.(10分)如图，△ABC与△A1B1C1不全等，且A1B1∥AB，B1C1∥BC，C1A1∥CA.
求证：AA1，BB1，CC1交于一点．
15.(14分)如图，在直角梯形ABDC中，AB∥CD，AB>CD，S是直角梯形ABDC所在平面外一点，画出平面SBD和平面SAC的交线.
课时跟踪检测(二十八)
1．选ABD 由基本事实2知A正确；由基本事实3知B正确；由基本事实1知D正确；对于C，因为A∈α，A∈β，所以A∈α∩β.由基本事实3可知α∩β为经过A的一条直线而不是A，且α∩β＝A的写法错误．故选A、B、D.
2．选ABC 对于A，三个不共线的点确定一个平面，故错误；对于B，一条直线和直线外一个点确定一个平面，故错误；对于C，空间两两相交的三条直线，且不能交于同一点，确定一个平面，故错误；对于D，两条平行直线确定一个平面，正确．故选A、B、C.
3．选C 若三点在同一条直线上，且与已知直线平行或相交，由推论2和推论3知，均确定1个平面；若三点中有两点的连线和已知直线平行时可确定3个平面；若三点不共线，且该直线在由该三点确定的平面外，则可确定4个平面，故选C.
4．选B 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面．
5．选D A，B，C确定的平面γ与直线BD和点C确定的平面重合，故C，D∈γ，且C，D∈β，故C，D在γ和β的交线上．
6．解析：(1)平面AB1与平面A1C1相交，交线为A1B1.
(2)平面A1C1CA与平面AC相交，交线为AC.
(3)平面A1C1CA与平面D1B1BD相交，交线为OO1.
(4)平面A1C1，平面B1C，平面AB1三平面交于一点B1.
答案：(1)A1B1 (2)AC (3)OO1 (4)B1
7．解析：因为a∩b＝M，a α，b β，所以M∈α，M∈β.又因为α∩β＝l，所以M∈l.
答案：∈
8．解析：当三条平行直线在一个平面内时，可以确定1个平面；当三条平行直线不在同一个平面上时，可以确定3个平面．综上最多可确定3个平面．
答案：3
9．解：(1)符号语言表示：
α∩β∩γ＝P，α∩β＝PA，α∩γ＝PB，β∩γ＝PC，
图形表示如图(1)．
(2)符号语言表示：平面ABD∩平面BDC＝BD，平面ABC∩平面ADC＝AC，图形表示如图(2)．
10．解：(1)延长AB交平面α于点P，如图所示．
(2)证明：平面ABC∩平面α＝DE，P∈AB，AB 平面ABC，
所以P∈平面ABC.
又P∈α，所以点P在平面α与平面ABC的交线DE上，
即P∈DE.故D，E，P三点共线．
11．选A 直线EF和GH相交，设交点为M，因为EF 平面ABD，HG 平面CBD，所以M∈平面ABD，且M∈平面CBD.因为平面ABD∩平面BCD＝BD，所以M∈BD，所以EF与GH的交点在直线BD上．
12．选ACD 因为正方体ABCD A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱BC，CC1，B1C1的中点，O1，O2分别为四边形ADD1A1，A1B1C1D1的中心，所以O1是AD1的中点，所以O1在平面ACD1内，故A正确；因为E，G，F在平面BCC1B1内，D不在平面BCC1B1内，所以D，E，G，F四点不共面，故B错误；由已知可知EF∥AD1，所以A，E，F，D1四点共面，故C正确；连接GO2并延长(图略)，交A1D1于H，则H为A1D1的中点，连接HO1，则HO1∥GE，所以G，E，O1，O2四点共面，D正确．
13．解析：如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，①AA1∩AB＝A，AA1∩A1B1＝A1，则直线AB，A1B1与AA1可以确定一个平面(平面ABB1A1)．②AA1∩AB＝A，AA1∩A1D1＝A1，此时直线AB，AA1与A1D1可以确定两个平面(平面ABB1A1和平面ADD1A1)．③三条直线AB，AD，AA1交于一点，此时它们可以确定三个平面(平面ABCD，平面ABB1A1和平面ADD1A1)．
答案：1、2或3
14．证明：如图所示，因为A1B1∥AB，所以A1B1
与AB确定一个平面，记为平面α.
同理，将B1C1与BC所确定的平面记为平面β，C1A1与CA所确定的平面记为平面γ.
易知β∩γ＝C1C.
又△ABC与△A1B1C1不全等，
所以AA1与BB1相交，设交点为P，P∈AA1，P∈BB1.
而AA1 γ，BB1 β，所以P∈γ，P∈β，
所以P在平面β与平面γ的交线上．
又β∩γ＝C1C，所以P∈C1C，
所以AA1，BB1，CC1交于一点．
15．解：很明显，点S是平面SBD和平面SAC的一个公共点，即点S在交线上．
由于AB>CD，则分别延长AC和BD交于点E，如图所示，
∵E∈AC，AC 平面SAC，∴E∈平面SAC.
同理，可证E∈平面SBD.
∴点E在平面SBD和平面SAC的交线上，则连接SE，直线SE就是平面SBD和平面SAC的交线．
