8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助长方体，了解两条直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系．
2．能抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义，会用符号语言与图形语言表示点、线、面之间的位置关系．
1．空间中两直线的位置关系
(1)异面直线的定义和画法
①定义：不同在__________平面内的两条直线叫做异面直线．
②画法：如果直线a，b为异面直线，为了表示它们不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托，如图甲、乙．
(2)空间两条直线的位置关系有三种
2．空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个 1个 0个
符号语言 a α a∩α＝A a∥α
图形语言
|微|点|助|解|
若a α，则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系；若直线a与平面α相交，则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系；若a∥α，则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系．
3．空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 __________ 有________个公共点(在一条直线上)
符号语言 __________ α∩β＝l
图形语言
|微|点|助|解|
判断平面与平面的位置关系的注意点
若α∥β，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系；若α∩β＝l，则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内，则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线．( )
(2)两直线垂直，则这两条直线一定相交．( )
(3)两直线和第三条直线成等角，则这两条直线平行．( )
2．直线l与平面α有两个公共点，则( )
A．l∈α B．l∥α
C．l与α相交 D．l α
3．三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是( )
A．相交 B．平行
C．直线在平面内 D．平行或直线在平面内
4．正方体的六个面中相互平行的平面有( )
A．2对 B．3对
C．4对 D．5对
题型(一) 直线与直线位置关系的判断
[例1] (1)如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是( )
(2)若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是( )
A．平行
B．异面
C．相交
D．平行、相交或异面
听课记录：
|思|维|建|模|
1．判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系．特别关注异面直线．
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．
2．判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法：证明两条直线既不平行又不相交．
(2)重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为l α，A α，B∈α，B l AB与l是异面直线(如图)．
[针对训练]
1．(多选)下面是长方体ABCD－A1B1C1D1的几条棱，其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是( )
A．AB B．B1C1
C．B1B D．CD
2．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________；
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________；
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是______；
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．
题型(二) 直线与平面位置关系的判断
[例2] (多选)下列命题中，正确的命题是( )
A．如果直线a和平面α满足a∥α，那么a与平面α内的任何一条直线平行
B．如果直线a，b满足a∥α，b∥α，则a∥b
C．如果直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α
D．如果平面α的同侧有两点A，B到平面α的距离相等，则AB∥α
听课记录：
|思|维|建|模|
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口，这类判断问题，常用分类讨论的方法解决．另外，借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法．
(2)要证明直线在平面内，只要证明直线上两点在平面内；要证明直线与平面相交，只需说明直线与平面只有一个公共点；要证明直线与平面平行，则必须说明直线与平面没有公共点．
[针对训练]
3．(多选)若a，b表示直线，α表示平面，则以下命题为假命题的是( )
A．若a∥b，b α，则a∥α
B．若a α，则a与α有无数个公共点
C．若a∥b，b∥α，则a∥α
D．若a∥α，b α，则a∥b或a与b异面
4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1与各面的位置关系．
题型(三) 平面与平面位置关系的判断
[例3] 如果在两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么两个平面的位置关系一定是( )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．不能确定
听课记录：
[变式拓展]
本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”，则两个平面的位置关系如何？
|思|维|建|模|
1．平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断，主要是以基本事实3为依据找出一个交点．
(2)平面与平面平行的判断，主要是说明两个平面没有公共点．
2．常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行．
(2)长方体的六个面中，三组相对面平行．
[针对训练]
5．(多选)以下四个命题中，正确的命题有( )
A．在平面α内有两条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
B．在平面α内有无数条直线和平面β平行，那么这两个平面平行
C．平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行
D．平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0，那么这两个平面平行或相交
6.如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，平面ABC与其余的面之间有什么位置关系？
8．4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系
课前预知教材
1．(1)①任何一个 (2)一个 没有 任何一个
3．没有公共点 无数 α∥β
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)×
2．选D 根据基本事实2可知，l α.
3．选A 延长各侧棱可恢复成棱锥的形状，所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交．故选A.
4．选B 正方体有6个面，有三组对面，这三组对面都相互平行．
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解析：(1)A、B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.
(2)可借助长方体来判断．如图，在长方体ABCD A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．
答案：(1)C (2)D
[针对训练]
1.选ACD 如图所示，由题意知与直线A1D1既不相交也不平行，则直线AB，直线B1B，直线CD均与直线A1D1异面，而直线B1C1与直线A1D1平行，所以B不正确， A、C、D正确．
2．(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面
[题型(二)]
[例2] 选CD 如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，AA′∥平面BCC′B′，BC 平面BCC′B′，但AA′不平行于BC，故命题A不正确；AA′∥平面BCC′B′，A′D′∥平面BCC′B′，但AA′与A′D′相交，所以B不正确；C中，假设b与α相交，因为a∥b，所以a与α相交，这与a∥α矛盾，故b∥α，即C正确；D显然正确，故选C、D.
[针对训练]
3.选AC 可借助正方体来判断．如图，在正方体ABCD A1B1C1D1中，A1B1∥AB，AB 平面ABB1A1，A1B1 平面ABB1A1，故A错误；易知B正确；AB∥CD，CD∥平面ABB1A1，AB 平面ABB1A1，故C错误；因为a∥α，所以a与α无公共点，又b在α内，所以a与b无公共点，所以a∥b或a与b异面，故D正确．
4．解：①B1C 平面BCC1B1，B1C∥平面ADD1A1，B1C与其余4个面相交．
②BD1与6个面都相交．
[题型(三)]
[例3] 选C 逆向考虑画两平行面，看是否能在此两面内画两条平行线．同样画两相交面，看是否能在此两面内画两条平行线，再作出选择(如图所示)．
[变式拓展]
解：如图①②，a α，b β，a，b异面．由图知这两个平面可能平行，也可能相交．
[针对训练]
5．选CD 当两个平面相交时，一个平面内有无数条直线平行于它们的交线，即平行另一个平面，所以A、B错误．可判断C、D正确．
6．解：∵几何体ABC A1B1C1为三棱柱，∴平面ABC与平面A1B1C1平行．∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB，∴平面ABC与平面ABB1A1相交．同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交．(共60张PPT)
8.4.2
空间点、直线、平面之间的位置关系
（教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学）
课时目标
1.借助长方体,了解两条直线、直线与平面、平面与平面之间的位置关系.
2.能抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义,会用符号语言与图形语言表示点、线、面之间的位置关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.空间中两直线的位置关系
(1)异面直线的定义和画法
①定义:不同在_________平面内的两条直线叫做异面直线.
②画法:如果直线a,b为异面直线,为了表示它们不共面的特点,作图时,通常用一个或两个平面来衬托,如图甲、乙.
任何一个
(2)空间两条直线的位置关系有三种
2.空间中直线与平面的位置关系
位置关系 直线在平面内 直线在平面外
直线与平面相交 直线与平面平行
公共点 无数个 1个 0个
符号语言 a α a∩α=A a∥α
图形语言
|微|点|助|解|
若a α,则平面α内的直线与直线a有平行或相交的关系;若直线a与平面α相交,则平面α内的直线与直线a有相交或异面的关系;若a∥α,则平面α内的直线与直线a有平行或异面的关系.
3.空间中平面与平面的位置关系
位置关系 两个平面平行 两个平面相交
公共点 ______________________________ 有_____个公共点(在一条直线上)
符号语言 ____________ α∩β=l
图形语言
没有公共点
无数
α∥β
|微|点|助|解|
判断平面与平面的位置关系的注意点
若α∥β,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线与另一个平面内的直线有平行或异面的关系;若α∩β=l,则其中一个平面内的直线与另一个平面平行或相交或直线在平面内,则其中一个平面内的直线与另一个平面内的直线有平行或相交或异面的关系.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)没有公共点的两条直线一定是异面直线. ( )
(2)两直线垂直,则这两条直线一定相交. ( )
(3)两直线和第三条直线成等角,则这两条直线平行. ( )
×
×
×
2.直线l与平面α有两个公共点,则 ( )
A.l∈α B.l∥α
C.l与α相交 D.l α
解析:根据基本事实2可知,l α.
√
3.三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面之间的关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.直线在平面内 D.平行或直线在平面内
解析:延长各侧棱可恢复成棱锥的形状,所以三棱台的一条侧棱所在直线与其对面所在的平面相交.故选A.
√
4.正方体的六个面中相互平行的平面有 ( )
A.2对 B.3对
C.4对 D.5对
解析:正方体有6个面,有三组对面,这三组对面都相互平行.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 直线与直线位置关系的判断
[例1] (1)如图所示,点P,Q,R,S分别在正方体的四条棱上,且是所在棱的中点,则直线PQ与RS是异面直线的是( )
√
解析: A、B中,PQ∥RS,D中,PQ和RS相交.故选C.
(2)若a和b是异面直线,b和c是异面直线,则a和c的位置关系是 ( )
A.平行 B.异面
C.相交 D.平行、相交或异面
√
解析:可借助长方体来判断.如图,在长方体ABCD A'B'C'D'中,A'D'所在直线为a,AB所在直线为b,已知a和b是异面直线,b和c是异面直线,则c可以是长方体ABCD A'B'C'D'中的B'C',CC',DD'.故a和c可以平行、相交或异面.
|思|维|建|模|
1.判断空间中两条直线位置关系的诀窍
(1)建立空间观念,全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系.特别关注异面直线.
(2)重视正方体等常见几何体模型的应用,会举例说明两条直线的位置关系.
2.判定两条直线是异面直线的方法
(1)定义法:证明两条直线既不平行又不相交.
(2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为l α,A α,B∈α,B l AB与l是异面直线(如图).
1.(多选)下面是长方体ABCD A1B1C1D1的几条棱,其中符合条件“与直线A1D1既不相交也不平行”的是 ( )
A.AB B.B1C1
C.B1B D.CD
√
微点练明
√
√
解析:如图所示,由题意知与直线A1D1既不相交也不平行,则直线AB,直线B1B,直线CD均与直线A1D1异面,而直线B1C1与直线A1D1平行,所以B不正确, A、C、D正确.
2.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是 ;
(2)直线A1B与直线B1C的位置关系是 ;
(3)直线D1D与直线D1C的位置关系是 ;
(4)直线AB与直线B1C的位置关系是 .
平行
异面
相交
异面
题型(二) 直线与平面位置关系的判断
[例2] (多选)下列命题中,正确的命题是( )
A.如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行
B.如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b
C.如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b α,那么b∥α
D.如果平面α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α
√
√
解析:如图,在正方体ABCD A'B'C'D'中,AA'∥平面BCC'B',BC 平面BCC'B',但AA'不平行于BC,故命题A不正确;AA'∥平面BCC'B',A'D'∥平面BCC'B',但AA'与A'D'相交,所以B不正确;C中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即C正确;D显然正确,故选C、D.
|思|维|建|模|
直线与平面位置关系的判断
(1)空间直线与平面位置关系的分类是解决问题的突破口,这类判断问题,常用分类讨论的方法解决.另外,借助模型(如正方体、长方体等)也是解决这类问题的有效方法.
(2)要证明直线在平面内,只要证明直线上两点在平面内;要证明直线与平面相交,只需说明直线与平面只有一个公共点;要证明直线与平面平行,则必须说明直线与平面没有公共点.
3.(多选)若a,b表示直线,α表示平面,则以下命题为假命题的是 ( )
A.若a∥b,b α,则a∥α
B.若a α,则a与α有无数个公共点
C.若a∥b,b∥α,则a∥α
D.若a∥α,b α,则a∥b或a与b异面
针对训练
√
√
解析:可借助正方体来判断.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,
A1B1∥AB,AB 平面ABB1A1,A1B1 平面ABB1A1,故A错误;易知B正确;AB∥CD,CD∥平面ABB1A1,AB 平面ABB1A1,故C错误;因为a∥α,所以a与α无公共点,又b在α内,所以a与b无公共点,所以a∥b或a与b异面,故D正确.
4.如图,在长方体ABCD A1B1C1D1中,指出B1C,BD1与各面的位置关系.
解: ①B1C 平面BCC1B1,B1C∥平面ADD1A1,B1C与其余4个面相交.
②BD1与6个面都相交.
题型(三) 平面与平面位置关系的判断
[例3] 如果在两个平面内分别有一条直线,这两条直线互相平行,那么两个平面的位置关系一定是( )
A.平行 B.相交
C.平行或相交 D.不能确定
√
解析:逆向考虑画两平行面,看是否能在此两面内画两条平行线.同样画两相交面,看是否能在此两面内画两条平行线,再作出选择(如图所示).
[变式拓展]
本例若将条件“这两条直线互相平行”改为“这两条直线是异面直线”,则两个平面的位置关系如何
解:如图①②,a α,b β,a,b异面.由图知这两个平面可能平行,也可能相交.
|思|维|建|模|
1.平面与平面的位置关系的判断方法
(1)平面与平面相交的判断,主要是以基本事实3为依据找出一个交点.
(2)平面与平面平行的判断,主要是说明两个平面没有公共点.
2.常见的平面和平面平行的模型
(1)棱柱、棱台、圆柱、圆台的上、下底面平行.
(2)长方体的六个面中,三组相对面平行.
5.(多选)以下四个命题中,正确的命题有 ( )
A.在平面α内有两条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
B.在平面α内有无数条直线和平面β平行,那么这两个平面平行
C.平面α内△ABC的三个顶点在平面β的同一侧且到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行
D.平面α内有无数个点到平面β的距离相等且不为0,那么这两个平面平行或相交
针对训练
√
√
解析:当两个平面相交时,一个平面内有无数条直线平行于它们的交线,即平行另一个平面,所以A、B错误.可判断C、D正确.
6.如图,三棱柱ABC A1B1C1中,平面ABC与其余的面之间有什么位置关系
解: ∵几何体ABC A1B1C1为三棱柱,∴平面ABC与平面A1B1C1平行.∵平面ABC与平面ABB1A1有公共直线AB,∴平面ABC与平面ABB1A1相交.同理可得平面ABC与平面ACC1A1及平面BCC1B1均相交.
课时跟踪检测
03
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A级——达标评价
1.若a∩α=A,则a与平面α内的直线b的位置关系是( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.相交或异面
解析:若b过点A,则a与b相交,若b不过点A,则a与b异面.
√
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2.圆柱的两个底面的位置关系是 ( )
A.相交 B.平行
C.平行或异面 D.相交或异面
解析:圆柱的两个底面无公共点,则它们平行.故选B.
√
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3.(多选)下列说法不正确的是 ( )
A.若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α
B.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都平行
C.如果两条平行直线中的一条与一个平面平行,那么另一条也与这个平面平行
D.若直线l与平面α平行,则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
√
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解析:如图,借助长方体模型来判断说法是否正确.A不正确,相交时也符合;B不正确,图中,A'B与平面DCC'D'平行,但它与CD不平行;C不正确,另一条直线有可能在平面内,如AB∥CD,AB与平面DCC'D'平行,但直线CD在平面DCC'D'内;D正确,l与平面α平行,则l与平面α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点.故选A、B、C.
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4.在正方体AC1中,E,F分别是线段BC,CD1的中点,则直线A1B与直线EF的位置关系是 ( )
A.相交 B.异面
C.平行 D.垂直
解析:如图所示,直线A1B与直线外一点E确定的平面为
A1BCD1,EF 平面A1BCD1,且两直线不平行,故两直线
相交.
√
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5.过直线l外两点可以作l的平行线条数为 ( )
A.1 B.2
C.3 D.0或1
解析:以如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1为例.令A1B1
所在直线为直线l,过l外的两点A,B可以作一条直线与l平
行,过l外的两点B,C不能作直线与l平行,故选D.
√
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6.若点A∈α,B α,C α,则平面ABC与平面α的位置关系是 .
解析: ∵点A∈α,B α,C α,∴平面ABC与平面α有公共点,且不重合,
∴平面ABC与平面α的位置关系是相交.
相交
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7.平面α∩β=c,直线a∥α,a与β相交,则a与c的位置关系是 .
解析:因为a∥α,c α,所以a与c无公共点,不相交.若a∥c,则直线a∥β或a β.这与“a与β相交”矛盾,所以a与c异面.
异面
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8.若a,b是两条异面直线,且a∥平面α,则b与α的位置关系是___________
__________.
解析: b与α有如下情况.
所以b与平面α有三种情况.
b α,b∥α或
b与α相交
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9.(8分)如图是一个正方体的展开图,如果将它还原成正方体,那么AB,CD,
EF,GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对 分别是哪几对
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解:还原的正方体如图所示,根据异面直线的判定方法知共有三对,分别为AB与CD,AB与GH,EF与GH.
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10.(10分)三个平面α,β,γ,如果α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b,且直线c β,c∥b.
(1)判断c与α的位置关系,并说明理由;
解: c∥α.因为α∥β,所以α与β没有公共点.
又c β,所以c与α无公共点,则c∥α.
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(2)判断c与a的位置关系,并说明理由.
解: c∥a.因为α∥β,所以α与β没有公共点.
又γ∩α=a,γ∩β=b,则a α,b β,且a,b γ,
所以a,b没有公共点.
由于a,b都在平面γ内,因此a∥b,
又c∥b,所以c∥a.
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B级——重点培优
11.(多选)下列说法不正确的是( )
A.平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有2条或3条交线
B.两个平面平行,各任取两平面的一条直线,它们不相交
C.直线a不平行于平面α,则a不平行于α内任何一条直线
D.如果α∥β,a∥α,那么a∥β
√
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解析: A错误,平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面有可能有2条或3条交线,还有可能只有1条交线;B正确,两平行平面无公共点,任取的直线也无公共点,即不相交;C错误,直线a不平行于平面α,则a有可能在平面α内,此时可以与平面内无数条直线平行;D错误,如果α∥β,a∥α,那么a∥β或a β.
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12.已知平面α∥平面β,若P,Q是α,β之间的两个点,则 ( )
A.过P,Q的平面一定与α,β都相交
B.过P,Q有且仅有一个平面与α,β都平行
C.过P,Q的平面不一定与α,β都平行
D.过P,Q可作无数个平面与α,β都平行
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解析:当过P,Q的直线与平面α,β相交时,过P,Q的平面一定与平面α,β都相交,排除选项B、D,当过P,Q的直线与平面α,β平行时,过点P,Q可作唯一的一个平面与α,β都平行,排除选项A.
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13.如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上,且AB∥CD,则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 .
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解析:取CD的中点为G,连接EG,FG(图略),由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面平行,从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行,与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
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14.(10分)在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别为B1C1,A1D1的中点.求证:平面ABB1A1与平面CDFE相交.
证明:如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E为B1C1的中点,所以EC与B1B不平行,则延长CE与BB1必相交于一点H.所以H∈EC,H∈B1B.又知B1B 平面ABB1A1,CE 平面CDFE,
所以H∈平面ABB1A1,H∈平面CDFE,
故平面ABB1A1与平面CDFE相交.
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15.(14分)如图,已知平面α和β相交于直线l,点A,点B∈α,点C∈β,且A l,
B l,C l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系 证明你的结论.
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解:平面ABC与平面β的交线与l相交.
证明如下:∵AB与l不平行,且AB α,l α,
∴AB与l是相交直线.
设AB∩l=P,则点P∈AB,点P∈l.
又∵AB 平面ABC,l β,
∴P∈平面ABC且P∈平面β,
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即点P是平面ABC与平面β的一个公共点.
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点,
又∵P,C不重合,∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线.
即平面ABC∩平面β=直线PC,而直线PC∩l=P,∴平面ABC与平面β的交线与l相交.课时跟踪检测(二十九) 空间点、直线、平面之间的位置关系
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．若a∩α＝A，则a与平面α内的直线b的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．相交或异面
2．圆柱的两个底面的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．平行或异面 D．相交或异面
3．(多选)下列说法不正确的是( )
A．若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α
B．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行
C．如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行
D．若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点
4．在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
5．过直线l外两点可以作l的平行线条数为( )
A．1 B．2
C．3 D．0或1
6．若点A∈α，B α，C α，则平面ABC与平面α的位置关系是________.
7．平面α∩β＝c，直线a∥α，a与β相交，则a与c的位置关系是________.
8．若a，b是两条异面直线，且a∥平面α，则b与α的位置关系是________.
9.(8分)如图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线的有几对？分别是哪几对？
10．(10分)三个平面α，β，γ，如果α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b，且直线c β，c∥b.
(1)判断c与α的位置关系，并说明理由；
(2)判断c与a的位置关系，并说明理由．
B级——重点培优
11．(多选)下列说法不正确的是( )
A．平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有2条或3条交线
B．两个平面平行，各任取两平面的一条直线，它们不相交
C．直线a不平行于平面α，则a不平行于α内任何一条直线
D．如果α∥β，a∥α，那么a∥β
12．已知平面α∥平面β，若P，Q是α，β之间的两个点，则( )
A．过P，Q的平面一定与α，β都相交
B．过P，Q有且仅有一个平面与α，β都平行
C．过P，Q的平面不一定与α，β都平行
D．过P，Q可作无数个平面与α，β都平行
13．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
得分
14．(10分)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为B1C1，A1D1的中点．求证：平面ABB1A1与平面CDFE相交.
15．(14分)如图，已知平面α和β相交于直线l，点A，点B∈α，点C∈β，且A l，B l，C l，直线AB与l不平行，那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系？证明你的结论.
课时跟踪检测(二十九)
1．选D 若b过点A，则a与b相交，若b不过点A，则a与b异面．
2．选B 圆柱的两个底面无公共点，则它们平行．故选B.
3.选ABC 如图，借助长方体模型来判断说法是否正确．A不正确，相交时也符合；B不正确，图中，A′B与平面DCC′D′平行，但它与CD不平行；C不正确，另一条直线有可能在平面内，如AB∥CD，AB与平面DCC′D′平行，但直线CD在平面DCC′D′内；D正确，l与平面α平行，则l与平面α无公共点，l与平面α内所有直线都没有公共点．故选A、B、C.
4.选A 如图所示，直线A1B与直线外一点E确定的平面为A1BCD1，EF 平面A1BCD1，且两直线不平行，故两直线相交．
5.选D 以如图所示的长方体ABCD A1B1C1D1为例．令A1B1所在直线为直线l，过l外的两点A，B可以作一条直线与l平行，过l外的两点B，C不能作直线与l平行，故选D.
6．解析：∵点A∈α，B α，C α，∴平面ABC与平面α有公共点，且不重合，∴平面ABC与平面α的位置关系是相交．
答案：相交
7．解析：因为a∥α，c α，所以a与c无公共点，不相交．若a∥c，则直线a∥β或a β.这与“a与β相交”矛盾，所以a与c异面．
答案：异面
8．解析：b与α有如下情况．
所以b与平面α有三种情况．
答案：b α，b∥α或b与α相交
9．解：还原的正方体如图所示，根据异面直线的判定方法知共有三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.
10．解：(1)c∥α.因为α∥β，所以α与β没有公共点．
又c β，所以c与α无公共点，则c∥α.
(2)c∥a.因为α∥β，所以α与β没有公共点．
又γ∩α＝a，γ∩β＝b，则a α，b β，且a，b γ，所以a，b没有公共点．
由于a，b都在平面γ内，因此a∥b，
又c∥b，所以c∥a.
11．选ACD A错误，平面α与平面β，γ都相交，则这三个平面有可能有2条或3条交线，还有可能只有1条交线；B正确，两平行平面无公共点，任取的直线也无公共点，即不相交；C错误，直线a不平行于平面α，则a有可能在平面α内，此时可以与平面内无数条直线平行；D错误，如果α∥β，a∥α，那么a∥β或a β.
12．选C 当过P，Q的直线与平面α，β相交时，过P，Q的平面一定与平面α，β都相交，排除选项B、D，当过P，Q的直线与平面α，β平行时，过点P，Q可作唯一的一个平面与α，β都平行，排除选项A.
13．解析：取CD的中点为G，连接EG，FG(图略)，由题意知平面EFG与正方体的左、右侧面所在平面平行，从而EF与正方体的左、右侧面所在的平面平行，与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交．故直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为4.
答案：4
14．证明：如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，E为B1C1的中点，所以EC与B1B不平行，则延长CE与BB1必相交于一点H.所以H∈EC，H∈B1B.又知B1B 平面ABB1A1，CE 平面CDFE，
所以H∈平面ABB1A1，H∈平面CDFE，
故平面ABB1A1与平面CDFE相交．
15．解：平面ABC与平面β的交线与l相交．
证明如下：∵AB与l不平行，且AB α，l α，
∴AB与l是相交直线．
设AB∩l＝P，则点P∈AB，点P∈l.
又∵AB 平面ABC，l β，
∴P∈平面ABC且P∈平面β，
即点P是平面ABC与平面β的一个公共点．
而点C也是平面ABC与平面β的一个公共点，
又∵P，C不重合，∴直线PC就是平面ABC与平面β的交线．
即平面ABC∩平面β＝直线PC，而直线PC∩l＝P，∴平面ABC与平面β的交线与l相交．
