第 2 课时 直线与平面平行的综合问题
—— (教学方式：拓展融通课—习题讲评式教学)
[课时目标]
1．掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．
2．在具体图形中，能利用线面平行的性质定理解决一些简单的证明问题．
题型(一) 直线与平面平行判定定理的应用
[例1] 如图，S是平行四边形ABCD平面外一点，M，N分别是SA，BD上的点，且＝.
求证：MN∥平面SBC .
听课记录：
[变式拓展]
本例中，若M，N分别是SA，BD的中点，证明：MN∥平面SBC.
|思|维|建|模| 用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤
[针对训练]
1．已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内，P，Q分别是对角线AE，BD上的点，且AP＝DQ.求证：PQ∥平面CBE.
题型(二) 直线与平面平行的性质定理的应用
[例2] 如图，用平行于四面体ABCD的一组对棱AB，CD 的平面截此四面体．求证：截面MNPQ 是平行四边形．
听课记录：
|思|维|建|模|
应用线面平行的性质定理解题的步骤
[针对训练]
2.如图，四棱锥P－ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，点E为PC上一点，F为PB的中点，且AF∥平面BDE.
(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l，求证：l∥平面ABCD；
(2)求证：AF∥DE.
题型(三) 与线面平行有关的计算问题
[例3] 如图，在四棱锥S－ABCD中，底面ABCD是菱形，点E是棱AD的中点，点F在棱SC上，且＝λ，SA∥平面BEF.求实数λ的值．
听课记录：
|思|维|建|模|
对于与平行有关的计算问题，解题的关键是利用线面平行的判定和性质实现平面几何与立体几何的转化，再依据平行关系确定线段的比例关系，然后解决平面图形的计算问题．
[针对训练]
3.如图，在四棱台ABCD－A′B′C′D′中，上、下底面都是菱形，P，Q分别是B′C′，C′D′的中点，若AA′∥平面BPQD，求此棱台上、下底面的边长的比值．
第2课时 直线与平面平行的综合问题
[题型(一)]
[例1] 证明：连接AN并延长交BC于P，连接SP，
因为AD∥BC，所以＝，
又因为＝，所以＝，
所以MN∥SP，又MN 平面SBC，SP 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[变式拓展]
证明：如图，连接AC，由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N.在△SAC中，M，N分别为SA，AC的中点，所以MN∥SC，
又因为SC 平面SBC，MN 平面SBC，所以MN∥平面SBC.
[针对训练]
1．证明：如图，作PM∥AB交BE于点M，作QN∥AB交BC于点N，连接MN，则PM∥QN，＝，＝.∵EA＝BD，AP＝DQ，∴EP＝BQ.又∵AB＝CD，
∴PM∥QN，PM＝QN.∴四边形PMNQ是平行四边形．∴PQ∥MN.又∵PQ 平面CBE，MN 平面CBE，∴PQ∥平面CBE.
[题型(二)]
[例2] 证明：因为AB∥平面 MNPQ，
平面ABC∩平面 MNPQ＝MN，且 AB 平面 ABC，所以由线面平行的性质定理，得AB∥MN.同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ为平行四边形．
[针对训练]
2．证明：(1)∵BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，∴BC∥平面PAD.∵BC 平面PBC，平面PBC∩平面PAD＝l，∴BC∥l.
∵BC 平面ABCD，l 平面ABCD，
∴l∥平面ABCD.
(2)连接AC，FC，设AC∩BD＝O，FC∩BE＝M，连接OM，
∵AF∥平面BDE，AF 平面AFC，平面AFC∩平面BDE＝OM，∴AF∥OM.
∵AD∥BC，AD＝BC，∴＝＝.∴＝＝.
∴点M是△PBC的重心．∴点E是PC的中点．∴＝＝.
∴OM∥DE.∴AF∥DE.
[题型(三)]
[例3] 解：如图，连接AC交BE于点G，连接FG，则平面SAC∩平面BEF＝FG.
∵SA∥平面BEF，SA 平面SAC，平面SAC∩平面EFB＝FG，∴SA∥FG.∴＝.
∵AE∥BC，∴△GEA∽△GBC.
∴＝＝.∴＝＝，
即SF＝SC，∴λ＝.
[针对训练]
3．解：如图，连接AC交BD于O，连接A′C′交PQ于M，连接OM，在梯形ACC′A′中，O是AC的中点，M是A′C′的一个四等分点，易证A′C′∥AC.
又∵AA′∥平面BPQD，平面ACC′A′∩平面BPQD＝MO，∴AA′∥OM.
∴四边形AOMA′是平行四边形．
∴A′M＝AO.
又∵A′M＝A′C′，AO＝AC，＝，∴＝，即棱台上、下底面的边长的比值是.(共46张PPT)
直线与平面平行的综合问题
(教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学)
第2课时
课时目标
1.掌握直线与平面平行的性质定理,明确由线面平行可推出线线平行.
2.在具体图形中,能利用线面平行的性质定理解决一些简单的证明问题.
CONTENTS
目录
1
2
3
题型(一) 直线与平面平行判定定理的应用
题型(二) 直线与平面平行的性质定理的应用
题型(三) 与线面平行有关的计算问题
4
课时跟踪检测
题型(一)
直线与平面平行判定定理的应用
01
[例1] 如图,S是平行四边形ABCD平面外一点,M,N分别是SA,BD上的点,且=.
求证:MN∥平面SBC .
证明:连接AN并延长交BC于P,连接SP,
因为AD∥BC,所以=,
又因为=,所以=,所以MN∥SP,
又MN 平面SBC,SP 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
本例中,若M,N分别是SA,BD的中点,证明:MN∥平面SBC.
证明:如图,连接AC,由平行四边形的性质可知AC必过BD的中点N.
在△SAC中,M,N分别为SA,AC的中点,所以MN∥SC,
又因为SC 平面SBC,MN 平面SBC,所以MN∥平面SBC.
变式拓展
|思|维|建|模|
用直线与平面平行的判定定理证明线面平行的基本步骤
1.已知有公共边AB的两个全等的矩形ABCD和ABEF不同在一个平面内,P,Q分别是对角线AE,BD上的点,且AP=DQ.求证:PQ∥平面CBE.
证明:如图,作PM∥AB交BE于点M,作QN∥AB交BC
于点N,连接MN,
则PM∥QN,=,=.∵EA=BD,AP=DQ,
∴EP=BQ.又∵AB=CD,∴PM∥QN,PM=QN.∴四边形PMNQ是平行四边形.∴PQ∥MN.又∵PQ 平面CBE,MN 平面CBE,∴PQ∥平面CBE.
针对训练
题型(二)
直线与平面平行的性质定理的应用
02
[例2] 如图,用平行于四面体ABCD的一组对棱AB,CD 的平面截此四面体.求证:截面MNPQ 是平行四边形.
证明:因为AB∥平面 MNPQ,
平面ABC∩平面 MNPQ=MN,且 AB 平面 ABC,所以由线面平行的性质定理,得AB∥MN.同理可得PQ∥AB.由基本事实4可得MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.
所以截面四边形MNPQ为平行四边形.
|思|维|建|模|
应用线面平行的性质定理解题的步骤
2.如图,四棱锥P ABCD中,AD∥BC,AD=BC,点E为PC上一点,F为PB的中点,且AF∥平面BDE.
(1)若平面PAD与平面PBC的交线为l,求证:l∥平面ABCD;
针对训练
证明: ∵BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,∴BC∥平面PAD.∵BC 平面PBC,平面PBC∩平面PAD=l,∴BC∥l.
∵BC 平面ABCD,l 平面ABCD,∴l∥平面ABCD.
(2)求证:AF∥DE.
证明:连接AC,FC,设AC∩BD=O,FC∩BE=M,连接OM,
∵AF∥平面BDE,AF 平面AFC,平面AFC∩平面BDE=OM,
∴AF∥OM.∵AD∥BC,AD=BC,
∴==.∴==.
∴点M是△PBC的重心.
∴点E是PC的中点.
∴==.
∴OM∥DE.∴AF∥DE.
题型(三)
与线面平行有关的计算问题
03
[例3] 如图,在四棱锥S ABCD中,底面ABCD是菱形,点E是棱AD的中点,点F在棱SC上,且=λ,SA∥平面BEF.求实数λ的值.
解:如图,连接AC交BE于点G,连接FG,则平面SAC∩平面BEF=FG.
∵SA∥平面BEF,SA 平面SAC,平面SAC∩平面EFB=FG,∴SA∥FG.∴=.
∵AE∥BC,∴△GEA∽△GBC.∴==.
∴==,即SF=SC,∴λ=.
|思|维|建|模|
对于与平行有关的计算问题,解题的关键是利用线面平行的判定和性质实现平面几何与立体几何的转化,再依据平行关系确定线段的比例关系,然后解决平面图形的计算问题.
3.如图,在四棱台ABCD A'B'C'D'中,上、下底面都是菱形,P,Q分别是B'C',
C'D'的中点,若AA'∥平面BPQD,求此棱台上、下底面的边长的比值.
针对训练
解:如图,连接AC交BD于O,连接A'C'交PQ
于M,连接OM,在梯形ACC'A'中,O是AC的中点,M是A'C'的一个四等分点,易证A'C'∥AC.
又∵AA'∥平面BPQD,平面ACC'A'∩平面BPQD=MO,
∴AA'∥OM.∴四边形AOMA'是平行四边形.∴A'M=AO.
又∵A'M=A'C',AO=AC,=,
∴=,即棱台上、下底面的边长的比值是.
课时跟踪检测
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1.已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1,点P是面AA1D1D的中心,点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点,且PQ∥平面AA1B1B,则线段PQ的长为 ( )
A. B.
C.1 D.
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解析:如图,连接AD1,AB1.
∵PQ∥平面AA1B1B,平面AB1D1∩平面AA1B1B=AB1,PQ 平面AB1D1,
∴PQ∥AB1.∴PQ=AB1==.故选A.
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2.如图,P为平行四边形ABCD所在平面外一点,过BC的平面与平面PAD交于EF,E在线段PD上且异于P,D,则四边形EFBC是 ( )
A.空间四边形 B.矩形
C.梯形 D.平行四边形
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解析:因为BC∥AD,AD 平面PAD,BC 平面PAD,所以BC∥平面PAD.因为BC 平面EFBC,平面EFBC∩平面PAD=EF,所以BC∥EF.因为BC=AD,EF
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3.(多选)如图,在三棱锥A BCD中,E,F分别为AB,AD的中点,过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG,则下列结论一定成立的是 ( )
A.EF∥GH
B.BD∥GH
C.GH∥平面ABD
D.AC∥平面EFHG
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解析:因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF是△ABD的中位线,所以EF∥BD.又因为EF 平面BCD,BD 平面BCD,所以EF∥平面BCD.因为过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG,平面EFHG∩平面BCD=GH,所以EF∥GH.所以GH∥BD,故A、B一定成立;因为GH∥BD,BD 平面ABD,GH 平面ABD,所以GH∥平面ABD,故C一定成立;因为GH的位置不确定,所以AC与平面EFHG有可能相交,所以D不一定成立.
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4.(多选)如图,在平行六面体ABCD A1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,
CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,则以下说法正确的是 ( )
A.A1M∥D1P B.A1M∥B1Q
C.A1M∥平面DCC1D1 D.A1M∥平面D1PQB1
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解析:连接MP(图略),因为M,P分别为棱AB,CD的中点,所以MP∥AD且MP=AD.因为ABCD A1B1C1D1为平行六面体,所以AD∥A1D1且AD=A1D1.所以MP=A1D1且MP∥A1D1.故四边形MA1D1P为平行四边形,A1M∥PD1,故A正确;因为D1P 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,所以A1M∥平面DCC1D1.同理A1M∥平面D1PQB1,故C、D正确;因为A1M与平面ADD1A1相交,且平面ADD1A1∥平面BCC1B1,所以A1M与平面BCC1B1相交.又因为B1Q 平面BCC1B1,所以A1M与B1Q互不平行.故B错误.
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5.如图,四棱锥S ABCD的所有的棱长都等于2,E是SA的中点,过C,D,E三点的平面与SB交于点F,则四边形DEFC的周长为 ( )
A.2+ B.3+
C.3+2 D.2+2
解析:由AB=BC=CD=DA=2,得AB∥CD,即AB∥平面DCFE.∵平面SAB∩平面DCFE=EF,∴AB∥EF.∵E是SA的中点,∴EF=1,DE=CF=.
∴四边形DEFC的周长为3+2.
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6.如图,在空间四面体A BCD中,E,F分别在边AD,CD上,且满足=,则直线EF与平面ABC的位置关系是 .
解析: ∵空间四面体A BCD中,E,F分别是AD,CD上的点,且=,∴EF∥AC.∵EF 平面ABC,AC 平面ABC,∴EF∥平面ABC.
平行
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7.如图所示的正方体的棱长为4,E,F分别为A1D1,AA1的中点,过C1,E,F的截面的周长为 .
解析:由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1,平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF,所以截面周长为EF+FB+BC1+
C1E=4+6.
4+6
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8.如图,四边形ABCD是梯形,AB∥CD,且AB∥平面α,AD,BC与平面α分别交于点M,N,且点M是AD的中点,AB=4,CD=6,则MN= .
解析:因为AB∥平面α,AB 平面ABCD,平面ABCD∩平面α=MN,所以AB∥MN.又点M是AD的中点,所以MN是梯形ABCD的中位线,故MN=5.
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9.(12分)在直三棱柱ABC A1B1C1中,D为AA1的中点,点P在侧棱CC1上运动,若A1P∥平面BCD,试判断点P的位置.
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解:当点P是CC1的中点时,满足A1P∥平面BCD,证明如下.
取CC1的中点P,连接A1P.∵在直三棱柱ABC A1B1C1中,D为AA1中点,
∴A1D PC,则四边形A1DCP是平行四边形.∴A1P∥CD.又A1P 平面BCD,CD 平面BCD,∴A1P∥平面BCD.故当点P是CC1的中点时,A1P∥平面BCD.
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10.(15分)如图,四棱锥P ABCD的底面ABCD为平行四边形,F,G分别为PB,AD的中点.
(1)证明:AF∥平面PCG;
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解:证明:取PC中点H,连接GH,FH.
在△PBC中,F为PB的中点,∴FH BC.
∵G为AD的中点,∴AG BC.∴AG∥FH,
且AG=FH,即四边形AGHF为平行四边形,∴AF∥GH.
∵GH 平面PCG,AF 平面PCG,∴AF∥平面PCG.
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(2)在线段BD上是否存在一点N,使得FN∥平面PCG,并给出必要的证明.
解:设BD∩CG=O,取OB的中点K,连接FK,则在△POB
中,∵F,K分别是PB,OB的中点,∴FK∥OP.∵OP 平面
PCG,FK 平面PCG,∴FK∥平面PCG.
∵△DOG与△BOC相似,且相似比为1∶2,∴BO=2DO
=2KB.∴K为BD的三等分点.∴N在K点位置时FN∥平面PCG,即点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意.
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11.(16分)如图,正四棱锥P ABCD的侧棱长和底面边长均为13,M为侧棱PA上的点,且PM∶MA=5∶8.在线段BD上是否存在一点N,使直线MN∥平面PBC 如果存在,求出BN∶ND的值;如果不存在,请说明理由.
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解:存在,BN∶ND=5∶8.理由如下.
假设存在,连接AN并延长,交BC于E,连接PE.
因为MN∥平面PBC,MN 平面APE,
平面APE∩平面PBC=PE,所以MN∥PE,则==.
因为正方形ABCD中,AD∥BC,所以==.假设成立.
此时BN∶ND=5∶8.
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12.(17分)在通用技术课上,老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P ABCD.点E在棱PB上,满足=,点F在棱PC上,满足=,要求同学们按照以下方案进行切割:
(1)试在棱PC上确定一点G,使得EF∥平面ABG;
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解:由已知得,点E在棱PB上,满足=,点F在棱PC上,
满足=, 所以取PC上靠近C的四等分点为G,
则必有==.
根据三角形相似,必有BG∥EF.又BG 平面ABG,
EF 平面ABG,所以EF∥平面ABG.
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(2)过点A,E,F的平面α交PD于点H,沿平面α将四棱锥模型切割成两部分,在实施过程中为了方便切割,需先在模型中确定H点的位置,请求出的值.
解:延长FE,CB交于点M,连接MA并延长,与CD的延长线交于点N,连接FN,交PD于点H.由(1)可得FG=2CG=CP.由EF∥BG,可得MB=2BC.由AD BC可得ND=DC.在△PCD中,取=,连接FK,则=.
又=,得=,得=.课时跟踪检测(三十二) 直线与平面平行的综合问题
(满分100分，选填小题每题5分)
1．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，点P是面AA1D1D的中心，点Q是面A1B1C1D1的对角线B1D1上一点，且PQ∥平面AA1B1B，则线段PQ的长为( )
A. B.
C．1 D.
2.如图，P为平行四边形ABCD所在平面外一点，过BC的平面与平面PAD交于EF，E在线段PD上且异于P，D，则四边形EFBC是( )
A．空间四边形 B．矩形
C．梯形 D．平行四边形
3．(多选)如图，在三棱锥A－BCD中，E，F分别为AB，AD的中点，过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，则下列结论一定成立的是( )
A．EF∥GH
B．BD∥GH
C．GH∥平面ABD
D．AC∥平面EFHG
4.(多选)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则以下说法正确的是( )
A．A1M∥D1P
B．A1M∥B1Q
C．A1M∥平面DCC1D1
D．A1M∥平面D1PQB1
5.如图，四棱锥S－ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )
A．2＋ B．3＋
C．3＋2 D．2＋2
6.如图，在空间四面体A－BCD中，E，F分别在边AD，CD上，且满足＝，则直线EF与平面ABC的位置关系是________.
7.如图所示的正方体的棱长为4，E，F分别为A1D1，AA1的中点，过C1，E，F的截面的周长为__________.
8.如图，四边形ABCD是梯形，AB∥CD，且AB∥平面α，AD，BC与平面α分别交于点M，N，且点M是AD的中点，AB＝4，CD＝6，则MN＝________.
9.(12分)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D为AA1的中点，点P在侧棱CC1上运动，若A1P∥平面BCD，试判断点P的位置.
10.(15分)如图，四棱锥P－ABCD的底面ABCD为平行四边形，F，G分别为PB，AD的中点．
(1)证明：AF∥平面PCG；
(2)在线段BD上是否存在一点N，使得FN∥平面PCG，并给出必要的证明.
11.(16分)如图，正四棱锥P－ABCD的侧棱长和底面边长均为13，M为侧棱PA上的点，且PM∶MA＝5∶8.在线段BD上是否存在一点N，使直线MN∥平面PBC？如果存在，求出BN∶ND的值；如果不存在，请说明理由.
12.
(17分)在通用技术课上，老师给同学们提供了一个如图所示的木质正四棱锥模型P－ABCD.点E在棱PB上，满足＝，点F在棱PC上，满足＝，要求同学们按照以下方案进行切割：
(1)试在棱PC上确定一点G，使得EF∥平面ABG；
(2)过点A，E，F的平面α交PD于点H，沿平面α将四棱锥模型切割成两部分，在实施过程中为了方便切割，需先在模型中确定H点的位置，请求出的值．
课时跟踪检测(三十二)
1.选A 如图，连接AD1，AB1.∵PQ∥平面AA1B1B，平面AB1D1∩平面AA1B1B＝AB1，PQ 平面AB1D1，∴PQ∥AB1.∴PQ＝AB1＝＝.故选A.
2．选C 因为BC∥AD，AD 平面PAD，BC 平面PAD，所以BC∥平面PAD.因为BC 平面EFBC，平面EFBC∩平面PAD＝EF，所以BC∥EF.因为BC＝AD，EF3．选ABC 因为E，F分别为AB，AD的中点，所以EF是△ABD的中位线，所以EF∥BD.又因为EF 平面BCD，BD 平面BCD，所以EF∥平面BCD.因为过EF的平面截三棱锥得到的截面为EFHG，平面EFHG∩平面BCD＝GH，所以EF∥GH.所以GH∥BD，故A、B一定成立；因为GH∥BD，BD 平面ABD，GH 平面ABD，所以GH∥平面ABD，故C一定成立；因为GH的位置不确定，所以AC与平面EFHG有可能相交，所以D不一定成立．
4．选ACD 连接MP(图略)，因为M，P分别为棱AB，CD的中点，所以MP∥AD且MP＝AD.因为ABCD A1B1C1D1为平行六面体，所以AD∥A1D1且AD＝A1D1.所以MP＝A1D1且MP∥A1D1.故四边形MA1D1P为平行四边形，A1M∥PD1，故A正确；因为D1P 平面DCC1D1，A1M 平面DCC1D1，所以A1M∥平面DCC1D1.同理A1M∥平面D1PQB1，故C、D正确；因为A1M与平面ADD1A1相交，且平面ADD1A1∥平面BCC1B1，所以A1M与平面BCC1B1相交．又因为B1Q 平面BCC1B1，所以A1M与B1Q互不平行．故B错误．
5．选C 由AB＝BC＝CD＝DA＝2，得AB∥CD，即AB∥平面DCFE.∵平面SAB∩平面DCFE＝EF，∴AB∥EF.∵E是SA的中点，∴EF＝1，DE＝CF＝.∴四边形DEFC的周长为3＋2.
6．解析：∵空间四面体A BCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且＝，∴EF∥AC.∵EF 平面ABC，AC 平面ABC，∴EF∥平面ABC.
答案：平行
7．解析：由EF∥平面BCC1B1可知平面BCC1B1与平面EFC1的交线为BC1，平面EFC1与平面ABB1A1的交线为BF，所以截面周长为EF＋FB＋BC1＋C1E＝4＋6.
答案：4＋6
8．解析：因为AB∥平面α，AB 平面ABCD，平面ABCD∩平面α＝MN，所以AB∥MN.又点M是AD的中点，所以MN是梯形ABCD的中位线，故MN＝5.
答案：5
9．解：当点P是CC1的中点时，满足A1P∥平面BCD，证明如下．
取CC1的中点P，连接A1P.∵在直三棱柱ABC A1B1C1中，D为AA1中点，∴A1D綉PC，则四边形A1DCP是平行四边形．∴A1P∥CD.又A1P 平面BCD，CD 平面BCD，∴A1P∥平面BCD.
故当点P是CC1的中点时，A1P∥平面BCD.
10．解：(1)证明：取PC中点H，连接GH，FH.
在△PBC中，F为PB的中点，∴FH綉BC.
∵G为AD的中点，
∴AG綉BC.
∴AG∥FH，且AG＝FH，即四边形AGHF为平行四边形，∴AF∥GH.
∵GH 平面PCG，AF 平面PCG，
∴AF∥平面PCG.
(2)设BD∩CG＝O，取OB的中点K，连接FK，则在△POB中，
∵F，K分别是PB，OB的中点，∴FK∥OP.∵OP 平面PCG，FK 平面PCG，∴FK∥平面PCG.
∵△DOG与△BOC相似，且相似比为1∶2，∴BO＝2DO＝2KB.∴K为BD的三等分点．
∴N在K点位置时FN∥平面PCG，即点N在线段BD靠近B端的三等分点时符合题意．
11．解：存在，BN∶ND＝5∶8.理由如下．
假设存在，连接AN并延长，交BC于E，连接PE.
因为MN∥平面PBC，MN 平面APE，平面APE∩平面PBC＝PE，所以MN∥PE，
则＝＝.
因为正方形ABCD中，AD∥BC，所以＝＝.假设成立．
此时BN∶ND＝5∶8.
12．解：(1)由已知得，点E在棱PB上，满足＝，点F在棱PC上，满足＝，
所以取PC上靠近C的四等分点为G，则必有＝＝.
根据三角形相似，必有BG∥EF.又BG 平面ABG，EF 平面ABG，所以EF∥平面ABG.
(2)延长FE，CB交于点M，连接MA并延长，与CD的延长线交于点N，连接FN，交PD于点H.由(1)可得FG＝2CG＝CP.由EF∥BG，可得MB＝2BC.由AD綉BC可得ND＝DC.在△PCD中，取＝，连接FK，则＝.
又＝，得＝，得＝.