8.5.3 平面与平面平行
第1课时 平面与平面平行的判定定理与性质定理
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的位置关系．
2．归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明．
3．归纳出平面与平面平行的性质定理，并加以证明．
4．能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题．
1．平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平行，那么这两个平面平行
符号语言 ____________________________ β∥α
图形语言
作用 证明两个平面______
|微|点|助|解|
(1)该定理常简记为“线面平行，则面面平行”．
(2)该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题．
(3)用该定理判断平面α和平面β平行时，必须具备：
①平面内有两条直线分别平行于另一个平面；
②这两条直线必须相交．
(4)平面与平面平行的判定定理的推论：若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行．
2．平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线________
符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b ________
图形语言
作用 证明两条直线______
|微|点|助|解|
解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”．该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理．可简述为“若面面平行，则线线平行”．
(2)用该定理判断直线a与b平行时，必须具备三个条件：
①平面α和β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三个条件缺一不可．
(3)在应用这个定理时，要防止出现“两个平面平行，则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误．
1．在长方体ABCD－A′B′C′D′中，下列结论正确的是( )
A．平面ABCD∥平面ABB′A′
B．平面ABCD∥平面ADD′A′
C．平面ABCD∥平面CDD′C′
D．平面ABCD∥平面A′B′C′D′
2．在正方体中，相互平行的面不会是( )
A．前后相对侧面 B．上下相对底面
C．左右相对侧面 D．相邻的侧面
3．已知长方体ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，则EF与E′F′的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．不确定
题型(一) 平面与平面平行的判定定理的应用
[例1] 如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
求证：平面A1C1G∥平面BEF.
听课记录：
|思|维|建|模|
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法：两个平面没有公共点．
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面．
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
[针对训练]
1.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为平行四边形．点M，N，Q分别在PA，BD，PD上，且PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD.
求证：平面MNQ∥平面PBC.
题型(二) 平面与平面平行的性质定理的应用
[例2] 如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，D是BC的中点，D′是B′C′的中点，设平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面ADC′∩平面A′B′C′＝b，判断直线a，b的位置关系，并证明．
听课记录：
|思|维|建|模|
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面，使这两个平面分别经过这两条直线中的一条．
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出)．
(3)再找一个平面，使这两条直线都在这个平面上．
(4)由定理得出结论．
[针对训练]
2．如图，平面四边形ABCD的四个顶点A，B，C，D均在 A′B′C′D′所确定的平面α外，且AA′，BB′，CC′，DD′互相平行．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
第1课时 平面与平面平行的判定定理与性质定理
?课前预知教材
1．两条相交直线 a β，b β，a∩b＝P，a∥α，b∥α 平行 2.平行 a∥b 平行
[基础落实训练]
1．选D 由长方体的模型知平面ABCD∥平面A′B′C′D′.故选D.
2．选D 由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故选D.
3．选A 因为平面ABCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 证明：∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1，∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.
∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
[针对训练]
1．证明：∵PM∶MA＝BN∶ND＝PQ∶QD，
∴MQ∥AD，NQ∥BP.又∵BP 平面PBC，
NQ 平面PBC，∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BC∥AD，∴MQ∥BC.
又∵BC 平面PBC，MQ 平面PBC，
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ＝Q，∴平面MNQ∥平面PBC.
[题型(二)]
[例2] 解：直线a，b的位置关系是平行．
证明如下：
连接DD′(图略)．
∵平面ABC∥平面A′B′C′，平面A′D′B∩平面ABC＝a，平面A′D′B∩平面A′B′C′＝A′D′，∴A′D′∥a.同理可证AD∥b.
又D是BC的中点，D′是B′C′的中点，
∴DD′綉BB′.
又BB′綉AA′，∴DD′綉AA′.∴四边形AA′D′D为平行四边形．∴A′D′∥AD.∴a∥b.
[针对训练]
2．证明：在 A′B′C′D′中，A′B′∥C′D′，
∵A′B′ 平面C′D′DC，C′D′ 平面C′D′DC，
∴A′B′∥平面C′D′DC.
∵AA′∥DD′，AA′ 平面C′D′DC，DD′ 平面C′D′DC，∴A′A∥平面C′D′DC.
又A′A∩A′B′＝A′，
∴平面A′B′BA∥平面C′D′DC.
∵平面ABCD∩平面A′B′BA＝AB，平面ABCD∩平面C′D′DC＝CD，∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形．(共52张PPT)
8.5.3
平面与平面平行
平面与平面平行的判定定理与性质定理
(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中平面与平面的位置关系.
2.归纳出平面与平面平行的判定定理并加以证明.
3.归纳出平面与平面平行的性质定理,并加以证明.
4.能用已获得的结论证明空间基本图形位置关系的简单命题.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.平面与平面平行的判定定理
文字语言 如果一个平面内的______________与另一个平面平行,那么这两个平面平行
符号语言 _________________________ β∥α
图形语言
作用 证明两个平面_____
两条相交直线
a β,b β,a∩b=P,a∥α,b∥α
平行
|微|点|助|解|
(1)该定理常简记为“线面平行,则面面平行”.
(2)该定理把两个平面平行的问题转化为一个平面内的直线与另一个平面平行的问题.
(3)用该定理判断平面α和平面β平行时,必须具备:
①平面内有两条直线分别平行于另一个平面;
②这两条直线必须相交.
(4)平面与平面平行的判定定理的推论:若一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线,则这两个平面平行.
2.平面与平面平行的性质定理
文字语言 两个平面平行,如果另一个平面与这两个平面相交,那么两条交线_____
符号语言 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b _____
图形语言
作用 证明两条直线_____
平行
a∥b
平行
|微|点|助|解|
解读平面与平面平行的性质定理
(1)两个平面平行的性质定理揭示了“两个平面平行之后它们具有什么样的性质”.该性质定理可以看作直线与直线平行的判定定理.可简述为“若面面平行,则线线平行”.
(2)用该定理判断直线a与b平行时,必须具备三个条件:
①平面α和β平行,即α∥β;
②平面γ和α相交,即α∩γ=a;
③平面γ和β相交,即β∩γ=b.
以上三个条件缺一不可.
(3)在应用这个定理时,要防止出现“两个平面平行,则一个平面内的直线平行于另一个平面一切直线”的错误.
基础落实训练
1.在长方体ABCD A'B'C'D'中,下列结论正确的是 ( )
A.平面ABCD∥平面ABB'A'
B.平面ABCD∥平面ADD'A'
C.平面ABCD∥平面CDD'C'
D.平面ABCD∥平面A'B'C'D'
解析:由长方体的模型知平面ABCD∥平面A'B'C'D'.故选D.
√
2.在正方体中,相互平行的面不会是 ( )
A.前后相对侧面 B.上下相对底面
C.左右相对侧面 D.相邻的侧面
解析:由正方体的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行,故选D.
√
3.已知长方体ABCD A'B'C'D',平面α∩平面ABCD=EF,平面α∩平面A'B'C'D'=E'F',则EF与E'F'的位置关系是 ( )
A.平行 B.相交
C.异面 D.不确定
解析:因为平面ABCD∥平面A'B'C'D',所以EF∥E'F'.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 平面与平面平行的判定定理的应用
[例1] 如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
求证:平面A1C1G∥平面BEF.
证明: ∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1,∵A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G,
又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG,
又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G.∵A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,
∴BF∥平面A1C1G,
又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,
∴平面A1C1G∥平面BEF.
|思|维|建|模|
平面与平面平行的判定方法
(1)定义法:两个平面没有公共点.
(2)判定定理:一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面.
(3)转化为线线平行:平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行,则α∥β.
(4)利用平行平面的传递性:若α∥β,β∥γ,则α∥γ.
1.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为平行四边形.点M,N,Q分别在PA,BD,PD上,且PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD.
求证:平面MNQ∥平面PBC.
针对训练
证明: ∵PM∶MA=BN∶ND=PQ∶QD,
∴MQ∥AD,NQ∥BP.又∵BP 平面PBC,
NQ 平面PBC,∴NQ∥平面PBC.
∵四边形ABCD为平行四边形,
∴BC∥AD,∴MQ∥BC.
又∵BC 平面PBC,MQ 平面PBC,
∴MQ∥平面PBC.
又∵MQ∩NQ=Q,∴平面MNQ∥平面PBC.
题型(二) 平面与平面平行的性质定理的应用
[例2] 如图,在三棱柱ABC A'B'C'中,D是BC的中点,D'是B'C'的中点,设平面A'D'B∩平面ABC=a,平面ADC'∩平面A'B'C'=b,判断直线a,b的位置关系,并证明.
解:直线a,b的位置关系是平行.证明如下:
连接DD'(图略).
∵平面ABC∥平面A'B'C',平面A'D'B∩平面ABC=a,平面A'D'B∩平面A'B'C'=A'D',
∴A'D'∥a.同理可证AD∥b.
又D是BC的中点,D'是B'C'的中点,∴DD' BB'.
又BB' AA',∴DD' AA'.∴四边形AA'D'D为平行四边形.∴A'D'∥AD.∴a∥b.
|思|维|建|模|
利用面面平行的性质定理判断两直线平行的步骤
(1)先找两个平面,使这两个平面分别经过这两条直线中的一条.
(2)判定这两个平面平行(此条件有时题目会直接给出).
(3)再找一个平面,使这两条直线都在这个平面上.
(4)由定理得出结论.
2.如图,平面四边形ABCD的四个顶点A,B,C,D均在 A'B'C'D'所确定的平面α外,且AA',BB',CC',DD'互相平行.
求证:四边形ABCD是平行四边形.
针对训练
证明:在 A'B'C'D'中,A'B'∥C'D',
∵A'B' 平面C'D'DC,C'D' 平面C'D'DC,
∴A'B'∥平面C'D'DC.
∵AA'∥DD',AA' 平面C'D'DC,DD' 平面C'D'DC,
∴A'A∥平面C'D'DC.
又A'A∩A'B'=A',
∴平面A'B'BA∥平面C'D'DC.
∵平面ABCD∩平面A'B'BA=AB,
平面ABCD∩平面C'D'DC=CD,∴AB∥CD.
同理可得AD∥BC.
∴四边形ABCD是平行四边形.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.已知l∥α,m∥α,l∩m=P且l与m确定的平面为β,则α与β的位置关系是( )
A.相交 B.平行
C.相交或平行 D.不确定
解析:因为l∩m=P,所以过l与m确定一个平面β.又因为l∥α,m∥α,所以β∥α.
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2.若经过平面α外的两点作与α平行的平面,则这样的平面可以作 ( )
A.1个或2个 B.0个或1个
C.1个 D.0个
解析:当两点确定的直线与α平行时,可作一个平面与α平行;当过两点的直线与α相交时,不能作与α平行的平面.
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3.已知六棱柱ABCDEF A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形,则此六棱柱的面中互相平行的有 ( )
A.1对 B.2对
C.3对 D.4对
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解析:如图所示,平面ABB1A1∥平面EDD1E1,平面BCC1B1∥平面FEE1F1,平面AFF1A1∥平面CDD1C1,平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1,所以此六棱柱的面中互相平行的有4对.
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4.在正方体ABCD A1B1C1D1中,M为棱A1D1的动点,O为底面ABCD的中心,点E,F分别是A1B1,C1D1的中点,下列平面中与OM扫过的平面平行的是 ( )
A.平面ABB1A1 B.平面BCC1B1
C.平面BCFE D.平面DCC1D1
解析:取AB,DC的中点分别为点E1和点F1,连接E1F1,则
E1F1过点O,OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图),
故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
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5.如图,正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为3,点E在A1B1上,且B1E=1,平面α∥平面BC1E,若平面α∩平面AA1B1B=A1F,则AF的长为 ( )
A.1 B.1.5
C.2 D.3
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解析: ∵平面α∥平面BC1E,平面α∩平面ABB1A1=A1F,平面BC1E∩平面ABB1A1=BE,∴A1F∥BE.又A1E∥FB,∴四边形A1FBE为平行四边形,∴FB=A1E=3-1=2,∴AF=1.
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6.若夹在两个平面间的三条平行线段相等,那么这两个平面的位置关系为 .
解析:三条平行线段共面时,两平面可能相交也可能平行,当三条平行线段不共面时,两平面一定平行.
平行或相交
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7.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F,G,H分别是棱CC1,C1D1,D1D,CD的中点,N是BC的中点,点M在四边形EFGH上及其内部运动,则M满足________________时,有MN∥平面B1BDD1.
M在线段FH上
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解析:连接HN,FH,FN(图略).∵HN∥DB,FH∥D1D,HN∩HF=H,
BD∩DD1=D,HN,HF 平面FHN,DB,DD1 平面B1BDD1,
∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH上及其内部运动,
∴M∈FH.
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8.已知平面α上有n个点,且任意三点都不共线,若“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件,则n的最小值为 .
解析:因为不在同一条直线上的三点确定一个平面,所以至少有三个点,当有三个点时,若在平面β的异侧,则不成立;当有四个点时,若在平面β的异侧,也不成立,当有五个点时,则至少有三个点在平面β的同侧,成立,所以“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件,则n的最小值为5.
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9.(10分)如图,在三棱锥P ABC中,D,E,F分别是PA,PB,PC的中点.M是AB上一点,连接MC,N是PM与DE的交点,连接NF,求证:NF∥CM.
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证明:因为D,E分别是PA,PB的中点,所以DE∥AB.
又DE 平面ABC,AB 平面ABC,
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC.又DE∩DF=D,
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF=NF,平面PCM∩平面ABC=CM,所以NF∥CM.
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10.(15分)已知P是矩形ABCD所在平面外一点,M,N分别是AB,PC的中点,求证:MN∥平面PAD.
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证明:取DC的中点H,连接HM,HN.因为H是DC的中点,N是PC的中点,所以HN∥DP.
因为HN 平面PAD,PD 平面PAD,
则HN∥平面PAD.
因为M是AB的中点,四边形ABCD为矩形,
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所以HM∥DA.因为HM 平面PAD,AD 平面PAD,则HM∥平面PAD.又HN 平面HNM,HM 平面HNM,HN∩HM=H,故平面HNM∥平面PAD.因为MN 平面HNM,所以MN∥平面PAD.
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B级——重点培优
11.如图所示,在三棱台A1B1C1 ABC中,点D在A1B1上,且AA1
∥BD,点M是△A1B1C1内的一个动点,且有平面BDM∥平面
A1ACC1,则动点M的轨迹是( )
A.平面 B.直线
C.线段,但只含1个端点 D.圆
√
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解析:因为平面BDM∥平面A1ACC1,平面BDM∩平面A1B1C1=DM,平面A1ACC1∩平面A1B1C1=A1C1,所以DM∥A1C1,过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1(图略),则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点).
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12.(多选)如图所示,在正方体ABCD A1B1C1D1中,点E,F,M,N分别为所在棱上的中点,下列判断不正确的是 ( )
A.直线AD∥平面MNE
B.直线FC1∥平面MNE
C.平面A1BC∥平面MNE
D.平面AB1D1∥平面MNE
√
√
√
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解析:过点M,N,E的截面如图所示(H,I,J均为所在棱上
的中点),所以直线AD与截面MNE交于点H,故A错误;
直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1必定相交,故B错误;
直线A1B与直线EI相交,故平面A1BC与平面MNE不平
行,故C错误;因为E,I分别为AB,BB1的中点,所以AB1∥EI.因为AB1 平面MNE,EI 平面MNE,所以AB1∥平面MNE.同理可证B1D1∥平面MNE.因为AB1∩B1D1=B1,AB1,B1D1 平面AB1D1,所以平面AB1D1∥平面MNE,故D正确.故选A、B、C.
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13.在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,O为底面ABCD的中心,P是DD1的中点,设Q是CC1上的点,则点Q满足什么条件时,有平面D1BQ∥平面PAO ( )
A.Q为CC1的三等分点 B.Q为CC1的中点
C.Q为CC1的四等分点 D.Q与C重合
√
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解析:如图所示,设Q为CC1的中点,连接PQ,∵P为DD1的中
点,易知PQ∥CD∥AB,且PQ=CD=AB,故四边形BAPQ是
平行四边形,∴QB∥PA,又QB 平面D1BQ,PA 平面D1BQ,
∴PA∥平面D1BQ.连接DB,则DB过点O,且O是DB的中点,又∵P是DD1的中点,∴D1B∥PO,又D1B 平面D1BQ,PO 平面D1BQ,∴PO∥平面D1BQ.又PA∩PO=P,PA,PO 平面PAO,∴平面D1BQ∥平面PAO,故Q为CC1的中点时,有平面D1BQ∥平面PAO.
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14.(17分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,E,F,G分别为B1C1,A1B1,AB的中点.
(1)求证:平面A1C1G∥平面BEF;
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证明: ∵E,F分别为B1C1,A1B1的中点,∴EF∥A1C1.∵A1C1 平面A1C1G,EF 平面A1C1G,∴EF∥平面A1C1G.又F,G分别为A1B1,AB的中点,∴A1F=BG.又A1F∥BG,∴四边形A1GBF为平行四边形,则BF∥A1G.∵A1G 平面A1C1G,BF 平面A1C1G,∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF=F,EF,BF 平面BEF,∴平面A1C1G∥平面BEF.
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(2)若平面A1C1G∩BC=H,求证:H为BC的中点.
证明: ∵平面ABC∥平面A1B1C1,平面A1C1G∩平面A1B1C1=A1C1,平面A1C1G与平面ABC有公共点G,则有经过G的直线,交BC于H,
则A1C1∥GH,得GH∥AC.∵G为AB的中点,∴H为BC的中点.课时跟踪检测(三十三) 平面与平面平行的判定定理与性质定理
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．已知l∥α，m∥α，l∩m＝P且l与m确定的平面为β，则α与β的位置关系是( )
A．相交 B．平行
C．相交或平行 D．不确定
2．若经过平面α外的两点作与α平行的平面，则这样的平面可以作( )
A．1个或2个 B．0个或1个
C．1个 D．0个
3．已知六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六边形，则此六棱柱的面中互相平行的有( )
A．1对 B．2对
C．3对 D．4对
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M为棱A1D1的动点，O为底面ABCD的中心，点E，F分别是A1B1，C1D1的中点，下列平面中与OM扫过的平面平行的是( )
A．平面ABB1A1 B．平面BCC1B1
C．平面BCFE D．平面DCC1D1
5.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为3，点E在A1B1上，且B1E＝1，平面α∥平面BC1E，若平面α∩平面AA1B1B＝A1F，则AF的长为( )
A．1 B．1.5
C．2 D．3
6．若夹在两个平面间的三条平行线段相等，那么这两个平面的位置关系为________.
7.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，CD的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH上及其内部运动，则M满足________时，有MN∥平面B1BDD1.
8．已知平面α上有n个点，且任意三点都不共线，若“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为________.
9.
(10分)如图，在三棱锥P－ABC中，D，E，F分别是PA，PB，PC的中点．M是AB上一点，连接MC，N是PM与DE的交点，连接NF，求证：NF∥CM.
0．(15分)已知P是矩形ABCD所在平面外一点，M，N分别是AB，PC的中点，求证：MN∥平面PAD.
B级——重点培优
11.如图所示，在三棱台A1B1C1－ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是△A1B1C1内的一个动点，且有平面BDM∥平面A1ACC1，则动点M的轨迹是( )
A．平面 B．直线
C．线段，但只含1个端点 D．圆
12.(多选)如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E，F，M，N分别为所在棱上的中点，下列判断不正确的是( )
A．直线AD∥平面MNE
B．直线FC1∥平面MNE
C．平面A1BC∥平面MNE
D．平面AB1D1∥平面MNE
13．在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，则点Q满足什么条件时，有平面D1BQ∥平面PAO( )
A．Q为CC1的三等分点 B．Q为CC1的中点
C．Q为CC1的四等分点 D．Q与C重合
14．(17分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，
求证：H为BC的中点.
课时跟踪检测(三十三)
1．选B 因为l∩m＝P，所以过l与m确定一个平面β.又因为l∥α，m∥α，所以β∥α.
2．选B 当两点确定的直线与α平行时，可作一个平面与α平行；当过两点的直线与α相交时，不能作与α平行的平面．
3.选D 如图所示，平面ABB1A1∥平面EDD1E1，平面BCC1B1∥平面FEE1F1，平面AFF1A1∥平面CDD1C1，平面ABCDEF∥平面A1B1C1D1E1F1，所以此六棱柱的面中互相平行的有4对．
4.选C 取AB，DC的中点分别为点E1和点F1，连接E1F1，则E1F1过点O，OM扫过的平面即为平面A1E1F1D1(如图)，故平面A1E1F1D1∥平面BCFE.
5．选A ∵平面α∥平面BC1E，平面α∩平面ABB1A1＝A1F，平面BC1E∩平面ABB1A1＝BE，∴A1F∥BE.又A1E∥FB，∴四边形A1FBE为平行四边形，∴FB＝A1E＝3－1＝2，∴AF＝1.
6．解析：三条平行线段共面时，两平面可能相交也可能平行，当三条平行线段不共面时，两平面一定平行．
答案：平行或相交
7．解析：连接HN，FH，FN(图略)．∵HN∥DB，FH∥D1D，HN∩HF＝H，BD∩DD1＝D，HN，HF 平面FHN，DB，DD1 平面B1BDD1，∴平面FHN∥平面B1BDD1.∵点M在四边形EFGH上及其内部运动，∴M∈FH.
答案：M在线段FH上
8．解析：因为不在同一条直线上的三点确定一个平面，所以至少有三个点，当有三个点时，若在平面β的异侧，则不成立；当有四个点时，若在平面β的异侧，也不成立，当有五个点时，则至少有三个点在平面β的同侧，成立，所以“这n个点到平面β的距离均相等”是“α∥β”的充要条件，则n的最小值为5.
答案：5
9．证明：因为D，E分别是PA，PB的中点，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC.又DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
10．证明：取DC的中点H，连接HM，HN.因为H是DC的中点，N是PC的中点，所以HN∥DP.因为HN 平面PAD，PD 平面PAD，则HN∥平面PAD.
因为M是AB的中点，四边形ABCD为矩形，所以HM∥DA.因为HM 平面PAD，AD 平面PAD，则HM∥平面PAD.又HN 平面HNM，HM 平面HNM，HN∩HM＝H，故平面HNM∥平面PAD.因为MN 平面HNM，所以MN∥平面PAD.
11．选C 因为平面BDM∥平面A1ACC1，平面BDM∩平面A1B1C1＝DM，平面A1ACC1∩平面A1B1C1＝A1C1，所以DM∥A1C1，过D作DE1∥A1C1交B1C1于点E1(图略)，则点M的轨迹是线段DE1(不包括D点)．
12.选ABC 过点M，N，E的截面如图所示(H，I，J均为所在棱上的中点)，所以直线AD与截面MNE交于点H，故A错误；直线FC1与直线IJ在平面BCC1B1必定相交，故B错误；直线A1B与直线EI相交，故平面A1BC与平面MNE不平行，故C错误；因为E，I分别为AB，BB1的中点，所以AB1∥EI.因为AB1 平面MNE，EI 平面MNE，所以AB1∥平面MNE.同理可证B1D1∥平面MNE.因为AB1∩B1D1＝B1，AB1，B1D1 平面AB1D1，所以平面AB1D1∥平面MNE，故D正确．故选A、B、C.
13．选B 如图所示，设Q为CC1的中点，连接PQ，
∵P为DD1的中点，易知PQ∥CD∥AB，且PQ＝CD＝AB，故四边形BAPQ是平行四边形，∴QB∥PA，又QB 平面D1BQ，PA 平面D1BQ，∴PA∥平面D1BQ.连接DB，则DB过点O，且O是DB的中点，又∵P是DD1的中点，∴D1B∥PO，又D1B 平面D1BQ，PO 平面D1BQ，∴PO∥平面D1BQ.又PA∩PO＝P，PA，PO 平面PAO，∴平面D1BQ∥平面PAO，故Q为CC1的中点时，有平面D1BQ∥平面PAO.
14．证明：(1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，∴EF∥A1C1.∵A1C1 平面A1C1G，EF 平面A1C1G，∴EF∥平面A1C1G.又F，G分别为A1B1，AB的中点，∴A1F＝BG.又A1F∥BG，∴四边形A1GBF为平行四边形，则BF∥A1G.∵A1G 平面A1C1G，BF 平面A1C1G，∴BF∥平面A1C1G.又EF∩BF＝F，EF，BF 平面BEF，∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，交BC于H，
则A1C1∥GH，得GH∥AC.∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
