8.6.1 直线与直线垂直—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线的垂直关系．
2．理解异面直线所成的角，并掌握两异面直线所成角的求法．
1．异面直线所成的角
(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线________所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．
(2)空间两条直线所成角α的取值范围：____________.
|微|点|助|解|
(1)两条异面直线所成角的大小，是由这两条异面直线的相互位置决定的，与点O的位置选取无关．
(2)两条异面直线所成的角θ∈.
(3)找出两条异面直线所成的角，要作平行移动(作平行线)，把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．
2．两条异面直线垂直
如果两条异面直线所成的角是______，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b互相垂直，记作______．
|微|点|助|解|
两条直线互相垂直，这两条直线可能是相交的，也可能是不相交的，即有共面垂直和异面垂直两种情形．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)异面直线所成角的大小与点O的位置有关．即点O位置不同时，这一角的大小也不同．( )
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°.( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直，那么另一条直线也与这条直线垂直．( )
2．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c( )
A．一定平行 B．一定垂直
C．一定是异面直线 D．一定相交
3．已知正方体ABCD－EFGH，则AH与FG所成的角是________．
题型(一) 求异面直线所成的角
[例1] 如图，在三棱锥A－BCD中，AC⊥BD，E在棱AB上，F在棱CD上，并使AE∶EB＝CF∶FD＝m(m＞0)，设α为异面直线EF和AC所成的角，β为异面直线EF和BD所成的角，试求α＋β的值．
听课记录：
[变式拓展]
将本例变为： 如图所示，点A是平面BCD外一点，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点，且EF＝，求异面直线AD和BC所成的角．
|思|维|建|模|
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法，遇题设中有中点，常考虑中位线；若异面直线依附于某几何体，且直线对异面直线平移有困难时，可利用该几何体的特殊点，使异面直线转化为相交直线．
(2)求——转化为求一个三角形的内角，通过解三角形，求出所找的角．
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°＜θ≤90°，则θ为所求；若90°＜θ＜180°，则180°－θ为所求．
[针对训练]
1.在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F分别为面A′B′C′D′与面AA′D′D的中心，则EF与CD所成角的度数是__________．
2.在正四棱锥P－ABCD中，AB＝PA＝2，E为PC的中点，求异面直线AP与DE所成角的余弦值．
题型(二) 证明直线与直线垂直
[例2] 如图，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E为棱AC的中点，AB＝BB′＝2.求证：BE⊥AC′.
听课记录：
|思|维|建|模|
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明，可根据勾股定理证明．
(2)对于异面垂直的两条直线的证明，可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明．
[针对训练]
3．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求证：DB1⊥EF.
题型(三) 异面直线所成角的综合问题
[例3] 如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，求MN的长．
听课记录：
|思|维|建|模|
当已知条件中含有异面直线所成角时，应先作出该角，才能应用此条件，但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角，也可能是已知角的补角，应分情况讨论．
[针对训练]
4.如图，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面四边形ABCD是菱形，且AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角是90°，则AA1的长度是________．
8．6.1 直线与直线垂直
课前预知教材
1．(1)a′与b′ (2)0°≤α≤90° 2.直角 a⊥b
[基础落实训练]
1．(1)× (2)× (3)√
2．B
3．解析：连接BG，则BG∥AH，所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角．因为四边形BCGF为正方形，所以∠BGF＝45°.
答案：45°
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：过点F作MF∥BD，交BC于点M，连接ME，
则CM∶MB＝CF∶FD ＝m，
又因为AE∶EB＝CF∶FD＝m，所以CM∶MB＝ AE∶EB，所以EM∥AC，所以α＝∠MEF，β＝∠MFE，
AC与BD所成的角为∠EMF.因为AC⊥BD，所以∠EMF＝90°，所以α＋β＝90°.
[变式拓展]
解：如图，设G是AC的中点，连接EG，FG.因为E，F分别是AB，CD的中点，所以EG∥BC且EG＝BC＝1，FG∥AD，且FG＝AD＝1，即∠EGF为所求．又EF＝，由勾股定理逆定理可得∠EGF＝90°.
[针对训练]
1．解析：连接B′D′，则E为B′D′的中点，连接AB′，则EF∥AB′.又CD∥AB，所以∠B′AB为异面直线EF与CD所成的角，即∠B′AB＝45°.
答案：45°
2．解：如图，连接AC，BD相交于O，连接OE，则O为AC的中点．又E为PC的中点，所以OE∥AP，所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角．又△PCD 为等边三角形，且边长为2，故DE＝.
又OE＝PA＝1，OD＝BD＝，
所以DE2＝OE2＋OD2，即∠EOD＝90°.
所以cos∠DEO＝＝＝.故异面直线AP与DE所成角的余弦值为.
[题型(二)]
[例2] 证明：如图，取CC′的中点F，连接EF，BF，
∵E为AC的中点，F为CC′的中点，∴EF∥AC′，
∴∠BEF即为异面直线BE与AC′所成的角，且EF＝AC′.在正三棱柱ABC A′B′C′中，AB＝BB′＝2，
∴AC′＝2，∴EF＝.在等边△ABC中，
BE＝＝，在Rt△BCF中，
BF＝＝.在△BEF中BE2＋EF2＝BF2，∴BE⊥EF，故BE⊥AC′.
[针对训练]
3．证明：如图，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.
则OG∥B1D，EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．
∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，
∴GO⊥A1C1.∴异面直线DB1与EF所成的角为90°，即DB1⊥EF.
[题型(三)]
[例3] 解：如图所示，取BD的中点E，连接ME，NE.因为M，N分别是BC，AD的中点，所以ME∥CD且ME＝CD＝4，NE∥AB且NE＝AB＝4，从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角．又异面直线AB与CD所成的角为60°，所以∠MEN＝60°或120°.
当∠MEN＝60°时，由余弦定理可知
MN＝＝4.
当∠MEN＝120°时，由余弦定理可知
MN＝
＝4.
[针对训练]
4．解析：连接CD1，AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中，A1D1綉BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形．所以A1B∥CD1.所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角．因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，所以∠AD1C＝90°.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，所以AC＝2sin 60°×2＝6.所以AD1＝AC＝3.所以AA1＝＝ ＝.
答案：(共62张PPT)
8.6.1
直线与直线垂直
(教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
课时目标
1.借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与直线的垂直关系.
2.理解异面直线所成的角,并掌握两异面直线所成角的求法.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a'∥a,
b'∥b,我们把直线______所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)空间两条直线所成角α的取值范围:_____________.
a'与b'
0°≤α≤90°
|微|点|助|解|
(1)两条异面直线所成角的大小,是由这两条异面直线的相互位置决定的,与点O的位置选取无关.
(2)两条异面直线所成的角θ∈.
(3)找出两条异面直线所成的角,要作平行移动(作平行线),把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角.
2.两条异面直线垂直
如果两条异面直线所成的角是______,那么我们就说这两条异面直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直,记作_______.
直角
a⊥b
两条直线互相垂直,这两条直线可能是相交的,也可能是不相交的,即有共面垂直和异面垂直两种情形.
|微|点|助|解|
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)异面直线所成角的大小与点O的位置有关.即点O位置不同时,这一角的大小也不同. ( )
(2)异面直线a与b所成的角可以是0°. ( )
(3)如果两条平行直线中的一条与某一条直线垂直,那么另一条直线也与这条直线垂直. ( )
×
×
√
2.若空间三条直线a,b,c满足a⊥b,b∥c,则直线a与c ( )
A.一定平行 B.一定垂直
C.一定是异面直线 D.一定相交
√
3.已知正方体ABCD EFGH,则AH与FG所成的角是 .
解析:连接BG,则BG∥AH,所以∠BGF为异面直线AH与FG所成的角.因为四边形BCGF为正方形,所以∠BGF=45°.
45°
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 求异面直线所成的角
[例1] 如图,在三棱锥A BCD中,AC⊥BD,E在棱AB上,F在棱CD上,并使AE∶EB=CF∶FD=m(m>0),设α为异面直线EF和AC所成的角,β为异面直线EF和BD所成的角,试求α+β的值.
解:过点F作MF∥BD,交BC于点M,连接ME,
则CM∶MB=CF∶FD =m,
又因为AE∶EB=CF∶FD=m,
所以CM∶MB= AE∶EB,所以EM∥AC,
所以α=∠MEF,β=∠MFE,
AC与BD所成的角为∠EMF.
因为AC⊥BD,所以∠EMF=90°,所以α+β=90°.
将本例变为: 如图所示,点A是平面BCD外一点,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点,且EF=,求异面直线AD和BC所成的角.
变式拓展
解:如图,设G是AC的中点,连接EG,FG.
因为E,F分别是AB,CD的中点,
所以EG∥BC且EG=BC=1,FG∥AD,
且FG=AD=1,即∠EGF为所求.又EF=,
由勾股定理逆定理可得∠EGF=90°.
|思|维|建|模|
求异面直线所成的角的一般步骤
(1)找出(或作出)适合题设的角——用平移法,遇题设中有中点,常考虑中位线;若异面直线依附于某几何体,且直线对异面直线平移有困难时,可利用该几何体的特殊点,使异面直线转化为相交直线.
(2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角.
(3)结论——设由(2)所求得的角的大小为θ.若0°<θ≤90°,则θ为所求;若90°<θ<180°,则180°-θ为所求
1.在正方体ABCD A'B'C'D'中,E,F分别为面A'B'C'D'与面AA'D'D的中心,则EF与CD所成角的度数是 .
针对训练
45°
解析:连接B'D',则E为B'D'
的中点,连接AB',则EF∥AB'.
又CD∥AB,所以∠B'AB为异面直线EF与CD所成的角,即∠B'AB=45°.
2.在正四棱锥P ABCD中,AB=PA=2,E为PC的中点,求异面直线AP与DE所成角的余弦值.
解:如图,连接AC,BD相交于O,连接OE,则O为AC的中点.又E为PC的中点,所以OE∥AP,所以∠DEO为异面直线AP与DE所成的角或其补角.又△PCD 为等边三角形,且边长为2,故DE=.
又OE=PA=1,OD=BD=,
所以DE2=OE2+OD2,即∠EOD=90°.
所以cos∠DEO===.
故异面直线AP与DE所成角的余弦值为.
题型(二) 证明直线与直线垂直
[例2] 如图,在正三棱柱ABC A'B'C'中,E为棱AC的中点,AB=BB'=2.求证:BE⊥AC'.
证明:如图,取CC'的中点F,连接EF,BF,
∵E为AC的中点,F为CC'的中点,∴EF∥AC',
∴∠BEF即为异面直线BE与AC'所成的角,
且EF=AC'.在正三棱柱ABC A'B'C'中,AB=BB'=2,
∴AC'=2,∴EF=.在等边△ABC中,
BE==,
在Rt△BCF中,BF==.
在△BEF中BE2+EF2=BF2,
∴BE⊥EF,故BE⊥AC'.
证明两条直线垂直的策略
(1)对于共面垂直的两条直线的证明,可根据勾股定理证明.
(2)对于异面垂直的两条直线的证明,可转化为求两条异面直线所成的角为90°来证明.
|思|维|建|模|
3.在正方体ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是A1B1,B1C1的中点,求证:
DB1⊥EF.
证明:如图,连接A1C1,B1D1,并设它们相交于点O,取DD1的中点G,连接OG,A1G,C1G.
针对训练
则OG∥B1D,EF∥A1C1.
∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角.
∵GA1=GC1,O为A1C1的中点,∴GO⊥A1C1.
∴异面直线DB1与EF所成的角为90°,即DB1⊥EF.
题型(三) 异面直线所成角的综合问题
[例3] 如图,在空间四边形ABCD中,AB=CD=8,M,N分别是BC,AD的中点.若异面直线AB与CD所成的角为60°,求MN的长.
解:如图所示,取BD的中点E,连接ME,NE.因为M,N分别是BC,AD的中点,所以ME∥CD且ME=CD=4,
NE∥AB且NE=AB=4,从而∠MEN(或其补角)即为AB与CD所成的角.
又异面直线AB与CD所成的角为60°,所以∠MEN=60°或120°.当∠MEN=60°时,由余弦定理可知
MN= =4.
当∠MEN=120°时,由余弦定理可知
MN= =4.
当已知条件中含有异面直线所成角时,应先作出该角,才能应用此条件,但要注意作出的角不一定是已知异面直线所成角,也可能是已知角的补角,应分情况讨论.
|思|维|建|模|
4.如图,在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,侧面都是矩形,底面四边形ABCD是菱形,且AB=BC=2,∠ABC=120°,若异面直线A1B和AD1所成的角是90°,则AA1的长度是 .
针对训练
解析:连接CD1,AC.在四棱柱ABCD A1B1C1D1中,A1D1 BC,所
以四边形A1BCD1是平行四边形.所以A1B∥CD1.所以∠AD1C
(或其补角)为A1B和AD1所成的角.因为异面直线A1B和AD1所
成的角为90°,所以∠AD1C=90°.因为四棱柱ABCD A1B1C1D1中,AB=BC=2,∠ABC=120°,所以AC=2sin 60°×2=6.所以AD1=AC=3.所以AA1== =.
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A级——达标评价
1.在正方体ABCD A1B1C1D1中,与直线AA1垂直的棱有( )
A.2条 B.4条
C.6条 D.8条
解析:在正方体AC1中,与AA1垂直的棱为A1B1,B1C1,C1D1,D1A1,AB,BC,
CD,DA,共8条.故选D.
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2.已知空间三条直线l,m,n,若l与m垂直,l与n垂直,则 ( )
A.m与n异面
B.m与n相交
C.m与n平行
D.m与n平行、相交、异面均有可能
解析:∵m⊥l,n⊥l,∴m与n既可以相交,也可以异面,还可以平行.
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3.设P是直线l外一定点,过点P且与l成30°角的异面直线 ( )
A.有无数条 B.有两条
C.至多有两条 D.有一条
解析:如图所示,过点P作直线l'∥l,以l'为轴,与l'成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角,除去两条与l共面的母线,其余都符合要求.
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4.如图所示,在等边三角形ABC中,D,E,F分别为各边中点,G,H,I,J分别为AF,AD,BE,DE的中点.将△ABC沿DE,EF,DF折成三棱锥后,GH与IJ所成角的度数为 ( )
A.90° B.60°
C.45° D.0°
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解析:将三角形折成三棱锥.如图所示,GH与IJ为异面直线.在三棱锥A DEF中,IJ∥AD,GH∥DF,所以∠ADF即为所求,因此GH与IJ所成的角为60°.
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5.在正方体ABCD A1B1C1D1中,O是A1C1的中点,则异面直线AO与BC1的夹角为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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解析:连接AD1,D1O.因为正方体ABCD A1B1C1D1中,AB∥C1D1,AB=C1D1,所以四边形ABC1D1是平行四边形.则AD1∥BC1.所以∠D1AO或其补角是异面直线AO与BC1的夹角.不妨设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2,则AD1=2,D1O=,AO==.因为A=D1O2+AO2,即D1O⊥AO,则0°<∠D1AO<90°,所以sin∠D1AO==,即∠D1AO=30°.
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6.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有___条.
解析:与AD1异面的面对角线分别为A1C1,B1C,BD,BA1,C1D,其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
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7.已知∠ABC=120°,异面直线MN,PQ.其中MN∥AB,PQ∥BC,则异面直线MN与PQ所成的角为 .
解析:结合等角定理及异面直线所成角的范围可知,异面直线MN与PQ所成的角为60°.
60°
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8.在正三棱柱ABC A1B1C1中,若AB=BB1,则AB1与BC1所成角的大小是 .
解析:设BB1=1,如图,延长CC1至C2,使C1C2=CC1=1,连接
B1C2,则B1C2∥BC1,所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角
(或其补角).连接AC2,因为AB1=,B1C2=,AC2=,所
以A=A+B1,则∠AB1C2=90°.
90°
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9.(10分)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1与AC,AB所成的角均为60°,
∠BAC=90°,且AB=AC=AA1,求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.
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解:如图所示,把三棱柱补为四棱柱ABDC A1B1D1C1,
连接BD1,A1D1,AD,由四棱柱的性质知BD1∥AC1,则
∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角.
设AB=a,∵AA1与AC,AB所成的角均为60°,且AB=
AC=AA1,
∴A1B=a,BD1=AC1=2AA1·cos 30°=a.
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又∠BAC=90°,∴在矩形ABDC中,
AD=a,∴A1D1=a,
∴A1+A1B2=B,∴∠BA1D1=90°.
∴在Rt△BA1D1中,cos∠A1BD1===.
故异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
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10.(10分)如图所示,在空间四边形ABCD中,AD=BC=2,E,F分别是AB,CD的中点.若EF=.
求证:AD⊥BC.
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证明:取BD的中点H,连接EH,FH.
因为E是AB的中点,且AD=2,
所以EH∥AD,EH=1.
同理FH∥BC,FH=1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD,BC所成的角.
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又因为EF=,所以EH2+FH2=EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形,EF是斜边.
所以∠EHF=90°,即AD,BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
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B级——重点培优
11.(多选)如图,在正四棱柱ABCD A1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点,则下列结论成立的是( )
A.EF与BB1垂直
B.EF与BD垂直
C.EF与CD异面
D.EF与A1C1异面
√
√
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解析:如图所示,连接A1B,易知点E为A1B的中点,由三角形中位线定理可得EF∥A1C1,所以EF,A1C1确定一个平面.显然EF与CD异面.因为A1C1
⊥AA1,AA1∥BB1,所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1,所以EF⊥BB1.连接B1D1,则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1,所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1,所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立.
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12.在正三棱柱ABC A1B1C1中,所有棱长均为2,点M,N分别为AB,BC的中点,则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为 ( )
A. B.
C. D.
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解析:如图,延长MB到P,使得BP=MB.因为M是AB的中点,则MP=AB.又MP∥A1B1,所以四边形A1B1PM是平行四边形,A1M∥B1P.所以异面直线A1M与B1N所成的角是 ∠PB1N (或其补角).
又N是BC的中点,所以BP=BN=1,
NP=
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==.
因为三棱柱是正三棱柱,所以B1P=B1N==.故cos∠PB1N===.
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13.在直三棱柱ABC A'B'C'中,AC=BC=AA',∠ACB=120°,E为BB'的中点,异面直线CE与C'A所成角的余弦值是 ( )
A.- B.
C.- D.
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解析:如图所示,直三棱柱ABC A'B'C'向上方补形为直三棱柱ABC A″B″C″,其中A',B',C'分别为各棱的中点,取B'B″的中点D',可知CE∥C'D',异面直线CE与C'A所成的角即为C'D'与C'A所成的角.设CB=2,则C'D'=,C'A=2,AD'=,
cos∠AC'D'==-,故异面直线CE与C'A所成角的余弦值为.
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14.当动点P在正方体ABCD A1B1C1D1的棱DC上运动时,异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是 .
解析:设正方体棱长为1,DP=x,则x∈[0,1],连接AD1,AP(图略).由AD1∥BC1可知,∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角.在△AD1P中,
AD1=,AP=D1P=,故cos∠AD1P=.又∵x∈[0,1],
∴cos∠AD1P=∈.又∠AD1P∈(0,π),∴∠AD1P∈.
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15.(16分)如图,已知点P在圆柱OO1的底面☉O上,AA1⊥AB,BP⊥A1P,
AB,A1B1分别为☉O,☉O1的直径,且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V=12π,OA=2,∠AOP=120°,回答下列问题:
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(1)求三棱锥A1 APB的体积;
解:由题意得V=π·OA2·AA1=4π·AA1=12π,解得AA1=3.
由OA=2,∠AOP=120°,得∠BAP=30°,BP=2,AP=2.
∴S△PAB=×2×2=2.∴三棱锥A1 APB的体积=S△PAB·AA1=×2×3=2.
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(2)在线段AP上是否存在一点M,使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为 若存在,请指出点M的位置,并证明;若不存在,请说明理由.
解:当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
证明如下:
∵O,M分别为AB,AP的中点,∴OM∥BP.
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∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角.∵AA1=3,AB=4,AA1⊥AB,
∴A1B=5.又BP⊥A1P,∴cos∠A1BP==.∴当点M为AP的中点时,异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.课时跟踪检测(三十五) 直线与直线垂直
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有( )
A．2条 B．4条
C．6条 D．8条
2．已知空间三条直线l，m，n，若l与m垂直，l与n垂直，则( )
A．m与n异面
B．m与n相交
C．m与n平行
D．m与n平行、相交、异面均有可能
3．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线( )
A．有无数条 B．有两条
C．至多有两条 D．有一条
4.如图所示，在等边三角形ABC中，D，E，F分别为各边中点，G，H，I，J分别为AF，AD，BE，DE的中点．将△ABC沿DE，EF，DF折成三棱锥后，GH与IJ所成角的度数为( )
A．90° B．60°
C．45° D．0°
5．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是A1C1的中点，则异面直线AO与BC1的夹角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条.
7．已知∠ABC＝120°，异面直线MN，PQ.其中MN∥AB，PQ∥BC，则异面直线MN与PQ所成的角为________.
8．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，若AB＝BB1，则AB1与BC1所成角的大小是________.
9.(10分)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值.
10.(10分)如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝.
求证：AD⊥BC.
B级——重点培优
11.(多选)如图，在正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是AB1，BC1的中点，则下列结论成立的是( )
A．EF与BB1垂直
B．EF与BD垂直
C．EF与CD异面
D．EF与A1C1异面
12．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，所有棱长均为2，点M，N分别为AB，BC的中点，则异面直线A1M与B1N所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
13.在直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝120°，E为BB′的中点，异面直线CE与C′A所成角的余弦值是( )
A．－ B.
C．－ D.
14．当动点P在正方体ABCD－A1B1C1D1的棱DC上运动时，异面直线D1P与BC1所成角的取值范围是________.
15.(16分)如图，已知点P在圆柱OO1的底面⊙O上，AA1⊥AB，BP⊥A1P，AB，A1B1分别为⊙O，⊙O1的直径，且AB∥A1B1.若圆柱OO1的体积V＝12π，OA＝2，∠AOP＝120°，回答下列问题：
(1)求三棱锥A1－APB的体积；
(2)在线段AP上是否存在一点M，使异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为？若存在，请指出点M的位置，并证明；若不存在，请说明理由.
课时跟踪检测(三十五)
1．选D 在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
2．选D ∵m⊥l，n⊥l，∴m与n既可以相交，也可以异面，还可以平行．
3.选A 如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角，除去两条与l共面的母线，其余都符合要求．
4.选B 将三角形折成三棱锥．如图所示，GH与IJ为异面直线．在三棱锥A DEF中，IJ∥AD，GH∥DF，所以∠ADF即为所求，因此GH与IJ所成的角为60°.
5.选A 连接AD1，D1O.因为正方体ABCD A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1，所以四边形ABC1D1是平行四边形．则AD1∥BC1.所以∠D1AO或其补角是异面直线AO与BC1的夹角．不妨设正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为2，则AD1＝2，D1O＝，AO＝＝.因为AD＝D1O2＋AO2，即D1O⊥AO，则0°<∠D1AO<90°，所以sin∠D1AO＝＝，即∠D1AO＝30°.
6．解析：与AD1异面的面对角线分别为A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案：1
7．解析：结合等角定理及异面直线所成角的范围可知，异面直线MN与PQ所成的角为60°.
答案：60°
8．解析：设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)．连接AC2，因为AB1＝，B1C2＝，AC2＝，所以AC＝AB＋B1C，则∠AB1C2＝90°.
答案：90°
9．解：如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC A1B1D1C1，
连接BD1，A1D1，AD，
由四棱柱的性质知BD1∥AC1，则∠A1BD1或其补角就是异面直线A1B与AC1所成的角．
设AB＝a，∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，且AB＝AC＝AA1，
∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos 30°＝a.
又∠BAC＝90°，∴在矩形ABDC中，
AD＝a，∴A1D1＝a，
∴A1D＋A1B2＝BD，∴∠BA1D1＝90°.
∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝＝＝.故异面直线A1B与AC1所成角的余弦值为.
10．证明：取BD的中点H，连接EH，FH.
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1.
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角．
又因为EF＝，所以EH2＋FH2＝EF2.
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边．
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
11.选ABC 如图所示，连接A1B，易知点E为A1B的中点，由三角形中位线定理可得EF∥A1C1，所以EF，A1C1确定一个平面．显然EF与CD异面．因为A1C1⊥AA1，AA1∥BB1，所以A1C1⊥BB1.又EF∥A1C1，所以EF⊥BB1.连接B1D1，则A1C1⊥B1D1.易知BD∥B1D1，所以A1C1⊥BD.又知EF∥A1C1，所以EF⊥BD.故只有选项D中的结论不成立．
12.选D 如图，延长MB到P，使得BP＝MB.因为M是AB的中点，则MP＝AB.又MP∥A1B1，所以四边形A1B1PM是平行四边形，A1M∥B1P.所以异面直线A1M与B1N所成的角是 ∠PB1N (或其补角)．
又N是BC的中点，所以BP＝BN＝1，
NP＝
＝＝.
因为三棱柱是正三棱柱，所以B1P＝B1N＝＝.故cos∠PB1N＝＝＝.
13.选B 如图所示，直三棱柱ABC A′B′C′向上方补形为直三棱柱ABC A″B″C″，其中A′，B′，C′分别为各棱的中点，取B′B″的中点D′，可知CE∥C′D′，异面直线CE与C′A所成的角即为C′D′与C′A所成的角．设CB＝2，则C′D′＝，C′A＝2，AD′＝，cos∠AC′D′＝＝－，故异面直线CE与C′A所成角的余弦值为.
14．解析：设正方体棱长为1，DP＝x，则x∈[0,1]，连接AD1，AP(图略)．由AD1∥BC1可知，∠AD1P(或其补角)即为异面直线D1P与BC1所成的角．在△AD1P中，AD1＝，AP＝D1P＝，故cos∠AD1P＝.又∵x∈[0,1]，∴cos∠AD1P＝∈.又∠AD1P∈(0，π)，∴∠AD1P∈.
答案：
15．解：(1)由题意得V＝π·OA2·AA1＝4π·AA1＝12π，解得AA1＝3.
由OA＝2，∠AOP＝120°，得∠BAP＝30°，BP＝2，AP＝2.∴S△PAB＝×2×2＝2.∴三棱锥A1 APB的体积VA1 APB＝S△PAB·AA1＝×2×3＝2.
(2)当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.证明如下：
∵O，M分别为AB，AP的中点，∴OM∥BP.∴∠A1BP就是异面直线OM与A1B所成的角．∵AA1＝3，AB＝4，AA1⊥AB，∴A1B＝5.又BP⊥A1P，∴cos∠A1BP＝＝.∴当点M为AP的中点时，异面直线OM与A1B所成的角的余弦值为.
