8．6.2 直线与平面垂直
第1课时 直线与平面垂直的判定定理
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与平面垂直的判定定理．
1．直线与平面垂直的定义及有关概念
定义 一般地，如果直线l与平面α内的__________直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直
记法 __________
有关概念 直线l叫做平面α的______，平面α叫做直线l的______，直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做______
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与______间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的______叫做这个点到该平面的距离
|微|点|助|解|
关于直线与平面垂直的定义的理解
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语，它与“所有直线”是同义语，定义是说这条直线和平面内所有直线垂直．
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式．
(3)若直线与平面垂直，则直线和平面内的任意一条直线都垂直，即“线面垂直，则线线垂直”，这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法．
2．直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的____________直线垂直，那么该直线与此平面________
图形语言
符号语言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，__________ l⊥α
|微|点|助|解|
(1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”：①“一点”即两条直线的交点；②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线；③“一面”即两条相交直线所确定的平面，也是直线的垂面．
(2)该定理中有五大条件：
l⊥a，l⊥b，a α，b α，a∩b＝P，它们缺一不可．
(3)两个线线垂直：定理中注意直线l与直线a，b都垂直，但要注意直线l与直线a，b的位置关系可能相交，也可能异面，即直线l可能经过交点P，也可能不经过交点P.
(4)“两条相交直线”是定理中的关键，即直线a，b必须是平面α内的两条相交直线．
3．直线与平面所成的角
(1)直线和平面所成角的有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α______，但不与这个平面____(图中______)
斜足 斜线和平面的______
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引________，过______和________的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影
,
(2)直线与平面所成角的定义
定义 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是______；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是______
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是__________
|微|点|助|解|
理解直线和平面所成角应注意的问题
(1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°，而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.
(2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系，它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的，它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角．
(3)当直线与平面平行或直线在平面内时，直线与平面成0°角；当直线与平面垂直时，直线与平面成90°角．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直．( )
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．( )
2．若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
3．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )
A．平行 B．垂直
C．相交不垂直 D．不确定
4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，直线AB1与平面ABCD所成的角等于________．
题型(一) 对线面垂直概念的理解
[例1] (多选)下列命题中，正确的是( )
A．若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
B．若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
C．若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D．过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
听课记录：
|思|维|建|模| 直线与平面垂直定义的“双向”作用
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直，则该直线与已知平面垂直．即线线垂直 线面垂直．
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直，则该直线与平面内任意一条直线垂直．即线面垂直 线线垂直．
[针对训练]
1．设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是( )
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
题型(二) 求直线与平面所成的角
[例2] 已知在三棱柱ABC－A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，且点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
听课记录：
|思|维|建|模|
求解直线和平面所成角的一般步骤
求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影，基本步骤为
(1)作：即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线，准确确定垂足的位置是关键；几何图形的特征是确定垂足的依据，垂足一般都是一些特殊的点，比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等．
(2)证：即证明所找到的角为直线和平面所成的角．
(3)求：将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算．
[针对训练]
2．如图所示，AB是圆柱的母线，BD是圆柱底面圆的直径，C是底面圆周上一点，且AB＝BC＝2，∠CBD＝45°，求直线BD与平面ACD所成的角．
题型(三) 直线与平面的判定定理的应用
[例3] 如图，在三棱锥S－ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，且SA＝SB＝SC.
(1)求证：SD⊥平面ABC；
(2)若AB＝BC，求证：BD⊥平面SAC.
听课记录：
|思|维|建|模|
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直：
①定义法不常用，但由线面垂直可得出线线垂直；
②判定定理最常用：要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线)，结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直．
(2)平行转化法(利用推论)：
①a∥b，a⊥α b⊥α；②α∥β，a⊥α a⊥β.
[针对训练]
3.如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足．
(1)求证：AN⊥平面PBM；
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
第1课时 直线与平面垂直的判定定理
课前预知教材
1．任意一条 l⊥α 垂线 垂面 垂足 垂足 长度 2.两条相交 垂直 a∩b＝P
3．(1)相交 垂直 直线PA 交点 垂线PO 垂足O 斜足A (2)射影 90° 0° 0°≤θ≤90°
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)√
2．选C 由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
3．选B 一条直线和三角形的两边同时垂直，则其垂直三角形所在平面，从而垂直第三边．故选B.
4．解析：如图所示，因为正方体ABCD A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影，∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角．由题意知，∠B1AB＝45°，故所求角为45°.
答案：45°
课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选CD 当直线l与平面α内的无数条直线垂直时，l与α不一定垂直，所以A不正确；当l与α内的一条直线垂直时，不能保证l与平面α垂直，所以B不正确；当l与α不垂直时，l可能与α内的无数条平行直线垂直，所以C正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以D正确．
[针对训练]
1．选B 对于A，直线l⊥m，m并不代表平面α内任意一条直线，所以不能判定线面垂直；对于B，因为l⊥α，则l垂直α内任意一条直线，又l∥m，由异面直线所成角的定义知，m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°，即m⊥α，故B正确；对于C，也有可能是l，m异面；对于D，l，m还可能相交或异面．故选B.
[题型(二)]
[例2] 选C 如图，取BC的中点E，连接DE，AE，AD.依题意知三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱，易得AE⊥平面BB1C1C，故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角．设各棱长为1，则AE＝，DE＝，从而tan∠ADE＝＝＝，则∠ADE＝60°.
[针对训练]
2．解：取AC的中点E，连接BE，DE.
由题意知AB⊥平面BCD，故AB⊥CD.
又BD是底面圆的直径，
∴∠BCD＝90°，
即CD⊥BC.
∵AB∩BC＝B，AB，BC 平面ABC，
∴CD⊥平面ABC.又∵BE 平面ABC，
∴CD⊥BE.
∵AB＝BC＝2，AB⊥BC，
∴BE⊥AC且BE＝.
又AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，
∴BE⊥平面ACD.
∴∠BDE即为直线BD与平面ACD所成的角．
又BD＝BC＝2，
∴sin∠BDE＝＝＝.
∴∠BDE＝30°，即直线BD与平面ACD所成的角为30°.
[题型(三)]
[例3] 证明：(1)∵SA＝SC，D是AC的中点，
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中，AD＝BD，
又SA＝SB，∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD＝D，AC 平面ABC，BD 平面ABC，∴SD⊥平面ABC.
(2)∵AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC＝D，SD 平面SAC，AC 平面SAC，∴BD⊥平面SAC.
[针对训练]
3．证明：(1)∵AB为⊙O的直径，
∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM 平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，AM 平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM 平面PBM，∴AN⊥平面PBM.
(2)由(1)知AN⊥平面PBM，
PB 平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ 平面ANQ，∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ，∴PB⊥NQ.(共65张PPT)
8.6.2
直线与平面垂直
直线与平面垂直的判定定理
(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
借助长方体,通过直观感知,了解空间中直线与平面垂直的判定定理.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.直线与平面垂直的定义及有关概念
定义 一般地,如果直线l与平面α内的__________直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直
记法
_____________
有关概念 直线l叫做平面α的______,平面α叫做直线l的______,直线与平面垂直时,它们唯一的公共点P叫做______
任意一条
l⊥α
垂线
垂面
垂足
图示
性质 过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条
垂线段与点面距 过一点作垂直于已知平面的直线,则该点与_____间的线段,叫做这个点到该平面的垂线段,垂线段的_____叫做这个点到该平面的距离
垂足
长度
续表
|微|点|助|解|
关于直线与平面垂直的定义的理解
(1)定义中的“任意一条直线”这一词语,它与“所有直线”是同义语,定义是说这条直线和平面内所有直线垂直.
(2)直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊形式.
(3)若直线与平面垂直,则直线和平面内的任意一条直线都垂直,即“线面垂直,则线线垂直”,这是我们判定两条直线垂直时经常使用的一种重要方法.
2.直线与平面垂直的判定定理
文字语言 如果一条直线与一个平面内的__________直线垂直,那么该直线与此平面_____
图形语言
符号语言 l⊥a,l⊥b,a α,b α,_________ l⊥α
两条相交
垂直
a∩b=P
|微|点|助|解|
(1)该定理涉及的元素有“一点三线一面”:①“一点”即两条直线的交点;②“三线”即平面内两条相交直线、平面的垂线;③“一面”即两条相交直线所确定的平面,也是直线的垂面.
(2)该定理中有五大条件:
l⊥a,l⊥b,a α,b α,a∩b=P,它们缺一不可.
(3)两个线线垂直:定理中注意直线l与直线a,b都垂直,但要注意直线l与直线a,b的位置关系可能相交,也可能异面,即直线l可能经过交点P,也可能不经过交点P.
(4)“两条相交直线”是定理中的关键,即直线a,b必须是平面α内的两条相交直线.
3.直线与平面所成的角
(1)直线和平面所成角的有关概念
有关概念 对应图形
斜线 一条直线l与一个平面α_____,但不与这个平面______ (图中________)
斜足 斜线和平面的______
射影 过斜线上斜足以外的一点P向平面α引_________,过_______和________的直线AO叫做斜线在这个平面内的射影
相交
垂直
直线PA
交点
垂线PO
垂足O
斜足A
(2)直线与平面所成角的定义
定义 平面的一条斜线和它在平面上的______所成的角,叫做这条直线和这个平面所成的角
规定 一条直线垂直于平面,我们说它们所成的角是_____;一条直线和平面平行,或在平面内,我们说它们所成的角是___
范围 直线与平面所成的角θ的取值范围是______________
射影
90°
0°
0°≤θ≤90°
|微|点|助|解|
理解直线和平面所成角应注意的问题
(1)直线和平面所成的角θ的取值范围是0°≤θ≤90°,而斜线和平面所成的角θ的取值范围是0°<θ<90°.
(2)斜线和平面所成的角反映了斜线和平面的位置关系,它是转化成平面内两条相交直线所成的角度量的,它是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中的最小角.
(3)当直线与平面平行或直线在平面内时,直线与平面成0°角;当直线与平面垂直时,直线与平面成90°角.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)如果一条直线与一个平面内所有直线都垂直,那么这条直线与这个平面垂直. ( )
(2)如果两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于这个平面. ( )
√
√
2.若三条直线OA,OB,OC两两垂直,则直线OA垂直于 ( )
A.平面OAB B.平面OAC
C.平面OBC D.平面ABC
解析:由线面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC.故选C.
√
3.一条直线和三角形的两边同时垂直,则这条直线和三角形的第三边的位置关系是 ( )
A.平行 B.垂直
C.相交不垂直 D.不确定
解析:一条直线和三角形的两边同时垂直,则其垂直三角形所在平面,从而垂直第三边.故选B.
√
4.在正方体ABCD A1B1C1D1中,直线AB1与平面ABCD所成的角等于 .
解析:如图所示,因为正方体ABCD A1B1C1D1中,B1B⊥平面ABCD,所以AB即为AB1在平面ABCD中的射影,∠B1AB即为直线AB1与平面ABCD所成的角.由题意知,∠B1AB=45°,故所求角为45°.
45°
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 对线面垂直概念的理解
[例1] (多选)下列命题中,正确的是( )
A.若直线l与平面α内的无数条直线垂直,则l⊥α
B.若直线l与平面α内的一条直线垂直,则l⊥α
C.若直线l不垂直于平面α,则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.过一点和已知平面垂直的直线有且只有一条
√
√
解析:当直线l与平面α内的无数条直线垂直时,l与α不一定垂直,所以A不正确;当l与α内的一条直线垂直时,不能保证l与平面α垂直,所以B不正确;当l与α不垂直时,l可能与α内的无数条平行直线垂直,所以C正确;过一点有且只有一条直线垂直于已知平面,所以D正确.
|思|维|建|模|
(1)证明线面垂直
若一条直线与一个平面内任意一条直线都垂直,则该直线与已知平面垂直.即线线垂直 线面垂直.
(2)证明线线垂直
若一条直线与一个平面垂直,则该直线与平面内任意一条直线垂直.即线面垂直 线线垂直.
直线与平面垂直定义的“双向”作用
1.设l,m是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是 ( )
A.若l⊥m,m α,则l⊥α
B.若l⊥α,l∥m,则m⊥α
C.若l∥α,m α,则l∥m
D.若l∥α,m∥α,则l∥m
√
针对训练
解析:对于A,直线l⊥m,m并不代表平面α内任意一条直线,所以不能判定线面垂直;对于B,因为l⊥α,则l垂直α内任意一条直线,又l∥m,由异面直线所成角的定义知,m与平面α内任意一条直线所成的角都是90°,即m⊥α,故B正确;对于C,也有可能是l,m异面;对于D,l,m还可能相交或异面.故选B.
题型(二) 求直线与平面所成的角
[例2] 已知在三棱柱ABC A1B1C1中,各棱长相等,侧棱垂直于底面,且点D是侧面BB1C1C的中心,则AD与平面BB1C1C所成角的大小是( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
√
解析:如图,取BC的中点E,连接DE,AE,AD.依题意知三棱柱ABC A1B1C1为正三棱柱,易得AE⊥平面BB1C1C,故∠ADE为AD与平面BB1C1C所成的角.设各棱长为1,则AE=,DE=,从而tan∠ADE===,则∠ADE=60°.
|思|维|建|模|
求解直线和平面所成角的一般步骤
求直线和平面所成角的关键在于找出直线在平面内的射影,基本步骤为
(1)作:即在斜线上选取恰当的点向平面引垂线,准确确定垂足的位置是关键;几何图形的特征是确定垂足的依据,垂足一般都是一些特殊的点,比如线段的中点、平面图形的中心、重心、垂心等.
(2)证:即证明所找到的角为直线和平面所成的角.
(3)求:将所求角转化为垂线段、斜线段与射影所构成的直角三角形中进行计算.
2.如图所示,AB是圆柱的母线,BD是圆柱底面圆的直径,C是底面圆周上一点,且AB=BC=2,∠CBD=45°,求直线BD与平面ACD所成的角.
针对训练
解:取AC的中点E,连接BE,DE.
由题意知AB⊥平面BCD,
故AB⊥CD.
又BD是底面圆的直径,
∴∠BCD=90°,即CD⊥BC.
∵AB∩BC=B,AB,BC 平面ABC,
∴CD⊥平面ABC.又∵BE 平面ABC,
∴CD⊥BE.
∵AB=BC=2,AB⊥BC,∴BE⊥AC且BE=.
又AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,
∴BE⊥平面ACD.
∴∠BDE即为直线BD与平面ACD所成的角.
又BD=BC=2,
∴sin∠BDE===.
∴∠BDE=30°,即直线BD与平面ACD所成的角为30°.
题型(三) 直线与平面的判定定理的应用
[例3] 如图,在三棱锥S ABC中,∠ABC=90°,D是AC的中点,且SA=
SB=SC.
(1)求证:SD⊥平面ABC;
证明:∵SA=SC,D是AC的中点,
∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=BD,
又SA=SB,∴△ADS≌△BDS.∴SD⊥BD.
又AC∩BD=D,AC 平面ABC,BD 平面ABC,∴SD⊥平面ABC.
(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.
证明:∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC.由(1)知SD⊥BD.
又SD∩AC=D,SD 平面SAC,AC 平面SAC,∴BD⊥平面SAC.
|思|维|建|模|
证线面垂直的方法
(1)线线垂直证明线面垂直:
①定义法不常用,但由线面垂直可得出线线垂直;
②判定定理最常用:要着力寻找平面内的两条相交直线(有时作辅助线),结合平面图形的性质(如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等)及一条直线与平行线中一条垂直,也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
(2)平行转化法(利用推论):
①a∥b,a⊥α b⊥α;②α∥β,a⊥α a⊥β.
3.如图,AB为☉O的直径,PA垂直于☉O所在的平面,M为圆周上任意一点,AN⊥PM,N为垂足.
(1)求证:AN⊥平面PBM;
针对训练
证明:∵AB为☉O的直径,∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM,BM 平面ABM,∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM=A,PA,AM 平面PAM,
∴BM⊥平面PAM.
又AN 平面PAM,∴BM⊥AN.
又AN⊥PM,且BM∩PM=M,BM,PM 平面PBM,∴AN⊥平面PBM.
(2)若AQ⊥PB,垂足为Q,求证:NQ⊥PB.
证明:由(1)知AN⊥平面PBM,
PB 平面PBM,∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB,AN∩AQ=A,AN,AQ 平面ANQ,∴PB⊥平面ANQ.
又NQ 平面ANQ,∴PB⊥NQ.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.正方体ABCD A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A.平面DD1C1C B.平面A1DB
C.平面A1B1C1D1 D.平面A1DB1
解析: ∵AD1⊥A1D,AD1⊥A1B1,A1D∩A1B1=A1,A1D,A1B1 平面A1DB1,
∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.
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2.直线l与平面α所成的角为70°,直线l∥m,则m与α所成的角等于 ( )
A.20° B.70°
C.90° D.110°
解析:∵l∥m,∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角.又直线l与平面α所成的角为70°,∴m与α所成的角为70°.故选B.
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3.从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线,斜足分别为A,B,C,如果这些斜线与平面成等角,有如下结论:
①△ABC是正三角形;②垂足是△ABC的内心;③垂足是△ABC的外心;④垂足是△ABC的垂心.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
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解析:设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影为O,则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO,△PBO,△PCO全等,所以OA=OB=OC,所以O为△ABC的外心,只有③正确.
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4.如图,α∩β=l,点A,C∈α,点B∈β,且BA⊥α,BC⊥β,那么直线l与直线AC的关系是 ( )
A.异面 B.平行
C.垂直 D.不确定
解析:∵BA⊥α,α∩β=l,∴l α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC=B,BA,
BC 平面ABC,∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC,∴l⊥AC.故选C.
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5.如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,∠BAC=90°,BC1⊥AC,且AC=BC,则直线B1C1与平面ABC1所成的角为( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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解析:∵∠BAC=90°,AC=BC,∴∠CBA=30°.∵BC1⊥AC,
AB⊥AC,BC1∩AB=B,BC1 平面ABC1,AB 平面ABC1,∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC与平面ABC1所成的角,即BC与平面ABC1所成的角为30°.∵棱柱中B1C1∥BC,∴B1C1与平面ABC1所成的角为30°.
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6.如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,则图中共有直角三角形的个数为 .
解析:∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥BC.又BC⊥AB,∴BC⊥平面PAB.
∴BC⊥PB.同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形.
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7.如图,AB是☉O的直径,PA⊥☉O所在的平面,C是圆上一
点,且∠ABC=30°,PA=AB,则直线PC与平面ABC所成角
的正切值为 .
解析:因为PA⊥平面ABC,所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角.在△ABC中,AC=AB=PA,所以tan∠PCA==2.
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8.在三棱锥V ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件__________
__________________________________________时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)
解析:只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.
VC⊥VA,
VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)
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9.(10分)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,
AP=AB=2,BC=2,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥平面BEF.
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证明:如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,
所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.
又F是PC的中点,所以EF⊥PC.
又BP= =2=BC,
F是PC的中点,所以BF⊥PC.
又BF∩EF=F,BF,EF 平面BEF,
所以PC⊥平面BEF.
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10.(12分)如图,PA⊥正方形ABCD所在平面,经过A且垂直于PC的平面分别交PB,PC,PD于E,F,G,求证:AE⊥PB.
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证明:因为PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BC.
又四边形ABCD是正方形,所以AB⊥BC.
因为AB∩PA=A,AB,PA 平面PAB,所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB,所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG,得PC⊥AE.
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因为PC∩BC=C,PC,BC 平面PBC,
所以AE⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC,所以AE⊥PB.
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B级——重点培优
11.把正方形ABCD沿对角线AC折起,当以A,B,C,D四点为顶点棱锥体积最大时,直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A.90° B.60°
C.45° D.30°
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解析:如图,当DO⊥平面ABC时,三棱锥D ABC的体积最大.∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角,∵在Rt△DOB中,OD=OB,∴直线BD和平面ABC所成的角为45°.
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12.如图,设平面α∩平面β=PQ,EG⊥平面α,FH⊥平面α,垂足分别为G,H.为使PQ⊥GH,则需增加的一个条件是 ( )
A.EF⊥平面α B.EF⊥平面β
C.PQ⊥GE D.PQ⊥FH
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解析:因为EG⊥平面α,PQ 平面α,所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β,则由PQ 平面β,得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线,所以PQ⊥平面EFHG,所以PQ⊥GH,故选B.
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13.(10分)如图,点C在圆锥PO的底面圆O上,AB是直径,AB=8,∠BAC=30°,圆锥的母线与底面所成的角为60°,求点A到平面PBC的距离.
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解:因为AB是直径,则AC⊥BC,且AB=8,∠BAC=30°,可得AC=4,BC=4,又因为PO⊥底面圆O,圆锥的母线与底面所成的角为∠PAO=60°,可知△PAB为等边三角形,所以圆锥的母线PA=8,PO=4,设点A到平面PBC的距离为h,利用等体积法VP ABC=VA PBC,即×4××4×4=×h×
×4×,解得h=,即点A到平面PBC的距离为.
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14.(16分)如图所示,四边形ABCD是正方形,DE⊥平面ABCD,DE=DA=2.
(1)求证:AC⊥平面BDE;
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解:证明:∵四边形ABCD是正方形,
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD,AC 平面ABCD,∴AC⊥DE,
∵BD 平面BED,DE 平面BED,BD∩DE=D,
∴AC⊥平面BDE.
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(2)求AE与平面BDE所成角的大小.
解:设AC∩BD=O,连接EO.如图所示,
∵AC⊥平面BDE,
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影.
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角.
在Rt△EAD中,EA= =2,AO=,
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∴在Rt△EOA中,sin∠AEO==.
∵0°≤∠AEO≤90°,
∴∠AEO=30°,即AE与平面BDE所成的角为30°.课时跟踪检测(三十六) 直线与平面垂直的判定定理
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．正方体ABCD－A1B1C1D1中与AD1垂直的平面是( )
A．平面DD1C1C B．平面A1DB
C．平面A1B1C1D1 D．平面A1DB1
2．直线l与平面α所成的角为70°，直线l∥m，则m与α所成的角等于( )
A．20° B．70°
C．90° D．110°
3．从平面外一点向平面引一条垂线和三条斜线，斜足分别为A，B，C，如果这些斜线与平面成等角，有如下结论：
①△ABC是正三角形；②垂足是△ABC的内心；③垂足是△ABC的外心；④垂足是△ABC的垂心．
其中正确结论的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
4.如图，α∩β＝l，点A，C∈α，点B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直线l与直线AC的关系是( )
A．异面 B．平行
C．垂直 D．不确定
5．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，且AC＝BC，则直线B1C1与平面ABC1所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
6.如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为________.
7.如图，AB是⊙O的直径，PA⊥⊙O所在的平面，C是圆上一点，且∠ABC＝30°，PA＝AB，则直线PC与平面ABC所成角的正切值为________.
8．在三棱锥V－ABC中，当三条侧棱VA，VB，VC之间满足条件________时，有VC⊥AB.(注：填上你认为正确的一种条件即可)
9．(10分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F分别是AD，PC的中点．证明：PC⊥平面BEF.
10．(12分)如图，PA⊥正方形ABCD所在平面，经过A且垂直于PC的平面分别交PB，PC，PD于E，F，G，
求证：AE⊥PB.
B级——重点培优
11．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为( )
A．90° B．60°
C．45° D．30°
12.如图，设平面α∩平面β＝PQ，EG⊥平面α，FH⊥平面α，垂足分别为G，H.为使PQ⊥GH，则需增加的一个条件是( )
A．EF⊥平面α B．EF⊥平面β
C．PQ⊥GE D．PQ⊥FH
13．(10分)如图，点C在圆锥PO的底面圆O上，AB是直径，AB＝8，∠BAC＝30°，圆锥的母线与底面所成的角为60°，求点A到平面PBC的距离.
14．(16分)如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，DE＝DA＝2.
(1)求证：AC⊥平面BDE；
(2)求AE与平面BDE所成角的大小．
课时跟踪检测(三十六)
1．选D ∵AD1⊥A1D，AD1⊥A1B1，A1D∩A1B1＝A1，A1D，A1B1 平面A1DB1，
∴AD1⊥平面A1DB1.故选D.
2．选B ∵l∥m，∴直线l与平面α所成的角等于m与α所成的角．又直线l与平面α所成的角为70°，∴m与α所成的角为70°.故选B.
3．选A 设平面ABC外一点P及其在该平面内的投影为O，则PO⊥平面ABC.由已知可得△PAO，△PBO，△PCO全等，所以OA＝OB＝OC，所以O为△ABC的外心，只有③正确．
4．选C ∵BA⊥α，α∩β＝l，∴l α.∴BA⊥l.同理BC⊥l.又BA∩BC＝B，BA，BC 平面ABC，∴l⊥平面ABC.∵AC 平面ABC，
∴l⊥AC.故选C.
5．选A ∵∠BAC＝90°，AC＝BC，
∴∠CBA＝30°.∵BC1⊥AC，AB⊥AC，BC1∩AB＝B，BC1 平面ABC1，AB 平面ABC1，∴AC⊥平面ABC1.∴∠CBA就是BC与平面ABC1所成的角，即BC与平面ABC1所成的角为30°.∵棱柱中B1C1∥BC，∴B1C1与平面ABC1所成的角为30°.
6．解析：∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC.
又BC⊥AB，∴BC⊥平面PAB.∴BC⊥PB.
同理得CD⊥PD.故共有4个直角三角形．
答案：4
7．解析：因为PA⊥平面ABC，所以AC为斜线PC在平面ABC上的射影，所以∠PCA即为PC与平面ABC所成的角．在△ABC中，AC＝AB＝PA，所以tan∠PCA＝＝2.
答案：2
8．解析：只要VC⊥平面VAB，即有VC⊥AB.故只要VC⊥VA，VC⊥VB即可．
答案：VC⊥VA，VC⊥VB(答案不唯一，只要能保证VC⊥AB即可)
9．证明：如图，连接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，
所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．
又F是PC的中点，所以EF⊥PC.
又BP＝ ＝2＝BC，
F是PC的中点，所以BF⊥PC.
又BF∩EF＝F，BF，EF 平面BEF，
所以PC⊥平面BEF.
10．证明：因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC.
又四边形ABCD是正方形，所以AB⊥BC.
因为AB∩PA＝A，AB，PA 平面PAB，所以BC⊥平面PAB.
因为AE 平面PAB，所以BC⊥AE.
由PC⊥平面AEFG，得PC⊥AE.
因为PC∩BC＝C，PC，BC 平面PBC，
所以AE⊥平面PBC.
因为PB 平面PBC，所以AE⊥PB.
11.选C 如图，当DO⊥平面ABC时，三棱锥D ABC的体积最大．∴∠DBO为直线BD和平面ABC所成的角，∵在Rt△DOB中，OD＝OB，∴直线BD和平面ABC所成的角为45°.
12．选B 因为EG⊥平面α，PQ 平面α，所以EG⊥PQ.若EF⊥平面β，则由PQ 平面β，得EF⊥PQ.又EG与EF为相交直线，所以PQ⊥平面EFHG，所以PQ⊥GH，故选B.
13．解：因为AB是直径，则AC⊥BC，且AB＝8，∠BAC＝30°，可得AC＝4，BC＝4，又因为PO⊥底面圆O，圆锥的母线与底面所成的角为∠PAO＝60°，可知△PAB为等边三角形，所以圆锥的母线PA＝8，PO＝4，设点A到平面PBC的距离为h，利用等体积法VP ABC＝VA PBC，即×4××4×4＝×h××4× ，解得h＝，即点A到平面PBC的距离为.
14．解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD.
∵DE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
∴AC⊥DE，
∵BD 平面BED，DE 平面BED，BD∩DE＝D，∴AC⊥平面BDE.
(2)设AC∩BD＝O，连接EO.如图所示，
∵AC⊥平面BDE，
∴EO是直线AE在平面BDE上的射影．
∴∠AEO即为AE与平面BDE所成的角．
在Rt△EAD中，EA＝ ＝2，AO＝，
∴在Rt△EOA中，sin∠AEO＝＝.
∵0°≤∠AEO≤90°，∴∠AEO＝30°，
即AE与平面BDE所成的角为30°.
