8.6.3 平面与平面垂直
第 1 课时 平面与平面垂直的判定定理
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角的平面角的大小．
2．了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
1．二面角的有关概念
(1)定义：从一条直线出发的____________所组成的图形．
(2)相关概念：①这条直线叫做二面角的____，②两个半平面叫做____________．
(3)画法：
(4)记法：二面角__________或____________或__________或________．
(5)二面角的平面角：若有：
①O______l；②OA______α，OB______β；
③OA____l，OB____l，则二面角α－l－β的平面角是______．
(6)二面角的范围：0°≤α≤180°.
(7)直二面角：平面角是直角的二面角．
|微|点|助|解|
构成二面角的平面角的三要素
“棱上”“面内”“垂直”．即二面角的平面角的顶点必须在棱上，角的两边必须分别在两个半平面内，角的两边必须都与棱垂直，这三个条件缺一不可．前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性，第三个要素决定了平面角所在的平面与棱垂直．
2．平面与平面垂直
(1)面面垂直的定义
定义 一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是________，就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．如图
记作 α⊥β
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 作用
如果一个平面过另一个平面的______，那么这两个平面垂直 α⊥β 证面面垂直
|微|点|助|解|
(1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直 面面垂直”．要证明平面与平面垂直，只需转化为证明直线与平面垂直．
(2)观察空间图形时，不能以平面的观点去看待，平面上画的两直线成锐角或钝角，在空间中可能是垂直的．
1．如图所示的二面角可记为( )
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
2．已知直线l⊥平面α，则经过l且和α垂直的平面( )
A．有一个 B．有两个
C．有无数个 D．不存在
3．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，则( )
A．α∥γ B．α⊥γ
C．α与γ相交但不垂直 D．以上都有可能
4．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BC－A1的平面角等于______．
题型(一) 二面角的概念及其大小计算
[例1] 如图所示，在△ABC中，AB⊥BC，SA⊥平面ABC，DE垂直平分SC，且分别交AC，SC于点D，E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的大小．
听课记录：
|思|维|建|模|
1．求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”．
2．确定二面角的平面角的方法
(1)定义法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．
(2)垂面法：过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．
[针对训练]
1．在等腰直角三角形ABC中，AB＝BC＝1，M为AC的中点，沿BM把它折成二面角，折后A与C的距离为1，则二面角C－BM－A的大小为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
2．已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12，底面对角线的长为2，求侧面与底面所成的二面角．
题型(二) 平面与平面垂直的判定
[例2] 如图所示，在四面体ABCS 中，已知∠BSC＝90°，∠BSA＝∠CSA＝60°，又SA＝SB＝SC.
求证：平面ABC⊥平面SBC.
听课记录：
[变式拓展]
本例中，若SA＝SB＝SC＝2，其他条件不变，如何求三棱锥S－ABC的体积呢？
|思|维|建|模|
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法：即说明两个半平面所成的二面角是直二面角；
(2)判定定理法：在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直，即把问题转化为“线面垂直”；
(3)性质法：两个平行平面中的一个垂直于第三个平面，则另一个也垂直于此平面．
[针对训练]
3.如图所示，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.
第1课时 平面与平面垂直的判定定理
课前预知教材
1．(1)两个半平面 (2)①棱 ②二面角的面
(4)α l β α AB β P l Q P AB Q
(5)①∈ ② ③⊥ ⊥ ∠AOB
2．(1)直二面角 (2)垂线
[基础落实训练]
1．B
2．选C 经过l的任一平面都和α垂直．
3．D
4．解析：根据正方体中的位置关系可知，AB⊥BC，A1B⊥BC，根据二面角平面角定义可知，∠ABA1即为二面角A BC A1的平面角．又AB＝AA1，且AB⊥AA1，所以∠ABA1＝45°.
答案：45°
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 解：因为E为SC的中点，且SB＝BC，
所以BE⊥SC.
又DE⊥SC，BE∩DE＝E，BE，DE 平面BDE，所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC，可得SA⊥BD，SC∩SA＝S，SC，SA 平面SAC，所以BD⊥平面SAC.
从而BD⊥AC，BD⊥DE.
所以∠EDC为二面角E BD C的平面角．
设SA＝AB＝1，在△ABC中，
因为AB⊥BC，所以SB＝BC＝，AC＝，所以SC＝2.
在Rt△SAC中，∠DCS＝30°，
所以∠EDC＝60°，即二面角E BD C为60°.
[针对训练]
1.选C 如图，由A′B＝BC＝1，∠A′BC＝90°得A′C＝.因为M为A′C的中点，所以MC＝AM＝，且CM⊥BM，AM⊥BM，所以∠CMA为二面角C BM A的平面角．因为AC＝1，MC＝MA＝，所以∠CMA＝90°.
2．解：设正四棱锥为S ABCD，如图所示，高为h，底面边长为a，
则2a2＝(2)2，∴a2＝12.
又a2h＝12，∴h＝＝3.
设O为S在底面上的射影，
作OE⊥CD于E，连接SE，可知SE⊥CD，∠SEO为所求二面角的平面角．
∴tan∠SEO＝＝＝＝.
∴∠SEO＝60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
[题型(二)]
[例2] 证明：法一：(利用定义证明)
因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，
所以△ASB和△ASC是等边三角形，
则有SA＝SB＝SC＝AB＝AC，
令其值为a，则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形．取BC的中点D，如图所示，
连接AD，SD，则AD⊥BC，SD⊥BC，所以∠ADS为二面角A BC S的平面角．
在Rt△BSC中，因为SB＝SC＝a，
所以SD＝a，BD＝＝a.
在Rt△ABD中，AD＝a.
在△ADS中，因为SD2＋AD2＝SA2，
所以∠ADS＝90°，即二面角A BC S为直二面角，故平面ABC⊥平面SBC.
法二：(利用判定定理)
因为SA＝SB＝SC，且∠BSA＝∠CSA＝60°，
所以SA＝AB＝AC.所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心．
因为△SBC为等腰直角三角形，所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点．
所以AD⊥平面SBC.又因为AD 平面ABC，所以平面ABC⊥平面SBC.
[变式拓展]
解：由例2可得SD⊥AD.
又因为SD⊥BC，AD∩BC＝D，
所以SD⊥平面ABC，
即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离．
因为S△ABC＝×BC×AD＝×2×＝2，SD＝，
所以VS ABC＝×S△ABC×SD＝.
[针对训练]
3．证明：连接AC，设AC∩BD＝O，
连接OE.
因为O为AC的中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线．所以
EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.(共65张PPT)
8.6.3
平面与平面垂直
平面与平面垂直的判定定理
(教学方式:深化学习课 —梯度进阶式教学)
第1课时
课时目标
1.理解二面角的有关概念,会作二面角的平面角,能求简单二面角的平面角的大小.
2.了解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关系.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.二面角的有关概念
(1)定义:从一条直线出发的____________所组成的图形.
(2)相关概念:①这条直线叫做二面角的___,②两个半平面叫做___________.
(3)画法:
两个半平面
棱
二面角的面
(4)记法:二面角_______或_________或_______或_________.
(5)二面角的平面角:若有:
①O__l;②OA___α,OB__β;③OA___l,OB___l,则二面角α l β的平面角是_______.
(6)二面角的范围:0°≤α≤180°.
(7)直二面角:平面角是直角的二面角.
α l β
α AB β
P l Q
P AB Q
∈
⊥
⊥
∠AOB
|微|点|助|解|
构成二面角的平面角的三要素
“棱上”“面内”“垂直”.即二面角的平面角的顶点必须在棱上,角的两边必须分别在两个半平面内,角的两边必须都与棱垂直,这三个条件缺一不可.前两个要素决定了二面角的平面角大小的唯一性,第三个要素决定了平面角所在的平面与棱垂直.
2.平面与平面垂直
(1)面面垂直的定义
定义 一般地,两个平面相交,如果它们所成的二面角是__________,就说这两个平面互相垂直
画法 画两个互相垂直的平面时,通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直.如图
记作 α⊥β
直二面角
(2)平面与平面垂直的判定定理
文字语言 图形语言 符号语言 作用
如果一个平面过另一个平面的_____,那么这两个平面垂直 α⊥β 证面面垂直
垂线
|微|点|助|解|
(1)面面垂直的判定定理可简述为“线面垂直 面面垂直”.要证明平面与平面垂直,只需转化为证明直线与平面垂直.
(2)观察空间图形时,不能以平面的观点去看待,平面上画的两直线成锐角或钝角,在空间中可能是垂直的.
基础落实训练
1.如图所示的二面角可记为 ( )
A.α β l B.M l N
C.l M N D.l β α
√
2.已知直线l⊥平面α,则经过l且和α垂直的平面 ( )
A.有一个 B.有两个
C.有无数个 D.不存在
解析:经过l的任一平面都和α垂直.
√
3.若平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则 ( )
A.α∥γ B.α⊥γ
C.α与γ相交但不垂直 D.以上都有可能
√
4.如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,二面角A BC A1的平面角等于 .
解析:根据正方体中的位置关系可知,AB⊥BC,A1B⊥BC,根据二面角平面角定义可知,∠ABA1即为二面角A BC A1的平面角.又AB=AA1,且AB⊥AA1,所以∠ABA1=45°.
45°
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 二面角的概念及其大小计算
[例1] 如图所示,在△ABC中,AB⊥BC,SA⊥平面ABC,DE垂直平分SC,且分别交AC,SC于点D,E,又SA=AB,SB=BC,求二面角E BD C的大小.
解:因为E为SC的中点,且SB=BC,
所以BE⊥SC.
又DE⊥SC,BE∩DE=E,BE,DE 平面BDE,所以SC⊥平面BDE.所以BD⊥SC.
又SA⊥平面ABC,可得SA⊥BD,SC∩SA=S,SC,SA 平面SAC,所以BD⊥平面SAC.
从而BD⊥AC,BD⊥DE.
所以∠EDC为二面角E BD C的平面角.
设SA=AB=1,在△ABC中,
因为AB⊥BC,所以SB=BC=,AC=,所以SC=2.
在Rt△SAC中,∠DCS=30°,
所以∠EDC=60°,即二面角E BD C为60°.
|思|维|建|模|
1.求二面角大小的步骤
简称为“一作二证三求”.
2.确定二面角的平面角的方法
(1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线.
(2)垂面法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.
1.在等腰直角三角形ABC中,AB=BC=1,M为AC的中点,沿BM把它折成二面角,折后A与C的距离为1,则二面角C BM A的大小为 ( )
A.30° B.60°
C.90° D.120°
√
针对训练
解析:如图,由A'B=BC=1,∠A'BC=90°得A'C=.因为M为A'C的中点,所以MC=AM=,且CM⊥BM,AM⊥BM,所以∠CMA为二面角C BM A的平面角.因为AC=1,MC=MA=,所以∠CMA=90°.
2.已知正四棱锥(底面为正方形各侧面为全等的等腰三角形)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧面与底面所成的二面角.
解:设正四棱锥为S ABCD,如图所示,高为h,底面边长为a,
则2a2=(2)2,∴a2=12.
又a2h=12,∴h==3.
设O为S在底面上的射影,
作OE⊥CD于E,连接SE,可知SE⊥CD,∠SEO为所求二面角的平面角.
∴tan∠SEO====.
∴∠SEO=60°.
∴侧面与底面所成二面角的大小为60°.
题型(二) 平面与平面垂直的判定
[例2] 如图所示,在四面体ABCS 中,已知∠BSC=90°,∠BSA=∠CSA
=60°,又SA=SB=SC.
求证:平面ABC⊥平面SBC.
证明:法一:(利用定义证明)
因为∠BSA=∠CSA=60°,SA=SB=SC,
所以△ASB和△ASC是等边三角形,
则有SA=SB=SC=AB=AC,
令其值为a,则△ABC和△SBC为共底边BC的等腰三角形.
取BC的中点D,如图所示,
连接AD,SD,
则AD⊥BC,SD⊥BC,所以∠ADS为二面角A BC S的平面角.
在Rt△BSC中,因为SB=SC=a,
所以SD=a,BD==a.
在Rt△ABD中,AD=a.
在△ADS中,因为SD2+AD2=SA2,所以∠ADS=90°,
即二面角A BC S为直二面角,故平面ABC⊥平面SBC.
法二:(利用判定定理)
因为SA=SB=SC,且∠BSA=∠CSA=60°,
所以SA=AB=AC.
所以点A在平面SBC上的射影为△SBC的外心.
因为△SBC为等腰直角三角形,
所以点A在△SBC上的射影D为斜边BC的中点.
所以AD⊥平面SBC.又因为AD 平面ABC,
所以平面ABC⊥平面SBC.
本例中,若SA=SB=SC=2,其他条件不变,如何求三棱锥S ABC的体积呢
解:由例2可得SD⊥AD.
又因为SD⊥BC,AD∩BC=D, 所以SD⊥平面ABC,
即SD的长就是顶点S到底面ABC的距离.
因为S△ABC=×BC×AD=×2×=2,SD=,
所以VS ABC=×S△ABC×SD=.
变式拓展
证明面面垂直常用的方法
(1)定义法:即说明两个半平面所成的二面角是直二面角;
(2)判定定理法:在其中一个平面内寻找一条直线与另一个平面垂直,即把问题转化为“线面垂直”;
(3)性质法:两个平行平面中的一个垂直于第三个平面,则另一个也垂直于此平面.
|思|维|建|模|
3.如图所示,四边形ABCD是边长为a的菱形,PC⊥平面ABCD,E是PA的中点,求证:平面BDE⊥平面ABCD.
针对训练
证明:连接AC,设AC∩BD=O, 连接OE.
因为O为AC的中点,E为PA的中点,所以EO是△PAC的中位线.所以EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD,所以EO⊥平面ABCD.又因为EO 平面BDE,所以平面BDE⊥平面ABCD.
课时跟踪检测
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A级——达标评价
1.经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A.0个 B.1个
C.无数个 D.1个或无数个
解析:当两点连线与平面α垂直时,可作无数个垂面,否则,只有1个.故选D.
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2.对于直线m,n和平面α,β,能得出α⊥β的一个条件是 ( )
A.m⊥n,m∥α,n∥β B.m⊥n,α∩β=m,n α
C.m∥n,n⊥β,m α D.m∥n,m⊥α,n⊥β
解析:∵n⊥β,m∥n,∴m⊥β.又m α,由面面垂直的判定定理,∴α⊥β.
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3.自二面角内任意一点分别向两个面引垂线,则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是 ( )
A.相等 B.互补
C.互余 D.无法确定
解析:如图,BD,CD为AB,AC所在平面与α,β的交线,则
∠BDC为二面角α l β的平面角.且∠ABD=∠ACD=90°,
所以∠A+∠BDC=180°.
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4.如图所示,在△ABC中,AD⊥BC,△ABD的面积是△ACD的面积的2倍,沿AD将△ABD翻折,使翻折后BC⊥平面ACD,此时二面角B AD C的大小为 ( )
A.30° B.45°
C.60° D.90°
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解析:由已知BD=2CD,翻折后,在Rt△BCD中,∠BDC=60°,而AD⊥BD,
CD⊥AD,故∠BDC是二面角B AD C的平面角,其大小为60°.故选C.
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5.(多选)在正四面体P ABC中,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,下面四个结论成立的是 ( )
A.BC∥平面PDF
B.DF⊥平面PAE
C.平面PDF⊥平面ABC
D.平面PAE⊥平面ABC
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解析:如图所示,∵BC∥DF,BC 平面PDF,DF 平面
PDF,∴BC∥平面PDF, ∴A正确.由BC⊥PE,BC⊥AE,
PE∩AE=E,得BC⊥平面PAE,∴DF⊥平面PAE,∴B正
确.∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE),∴D正确.若
平面PDF⊥平面ABC,设DF∩AE=O,连接PO,易知PO⊥平面ABC,即点P在平面ABC的射影为点O,而在正四面体P ABC中,点P在平面ABC的射影为正三角形ABC的中心,矛盾,∴C错误.
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6.如图,二面角α l β的大小是60°,线段AB α,B∈l,AB与l所成的角为30°,则AB与平面β所成的角的正弦值是 .
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解析:如图,作AO⊥β于O,AC⊥l于C,连接OB,OC,则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ,则∠ABO=θ.由图得sin θ==·=sin 30°·sin 60°=.
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7.如图,已知AB⊥平面BCD,BC⊥CD,则图中互相垂直的平面共有 对.
解析:∵AB⊥平面BCD,AB 平面ABC,AB 平面ABD,∴平面ABC⊥平面BCD,平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD,∴DC⊥平面ABC.又DC 平面ADC,∴平面ADC⊥平面ABC,∴共有3对互相垂直的平面.
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8.在四面体A BCD中,AB=BC=CD=AD,∠BAD=∠BCD=90°,A BD C
为直二面角,E是CD的中点,则∠AED= .
解析:如图,设AB=BC=CD=AD=a,取BD中点F,连接AF,CF.
由题意可得,AF=CF=a,∠AFC=90°.在Rt△AFC中,可
得AC=a,∴△ACD为正三角形.∵E是CD的中,∴AE⊥CD,∴∠AED=90°.
90°
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9.(8分)如图,在直角三角形ABC中,AB=BC,D为AC的中点,以BD为折痕将△ABD折起,使点A到达点P的位置,且PB⊥CD.求证:平面PBD⊥平面BCD.
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证明:∵在直角三角形ABC中,AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥CD,又∵PB⊥CD,BD∩PB=B,
∴CD⊥平面PBD.∵CD 平面BCD.
∴平面PBD⊥平面BCD.
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10.(10分)如图,AC⊥平面BCD,BD⊥CD,AC=AD,求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小.
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解:因为AC⊥平面 BCD,BD 平面 BCD,
所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD,AC∩CD=C,AC,CD 平面ACD,所以BD⊥平面 ACD.
因为AD 平面 ACD,所以AD⊥BD.
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角.
在Rt△ACD中,AC=AD,所以∠ADC=30°.
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B级——重点培优
11.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”.如图,在正双三棱锥P ABC Q中,PA,PB,PC两两互相垂直,则二面角P AB Q的余弦值为( )
A.- B.-
C.- D.-
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解析:取AB中点D,连接PD,QD,PQ,交平面ABC于点O,连接
OD,由正棱锥性质及对称性易知O为△ABC的中心,且PD
⊥AB,DQ⊥AB,故∠PDQ为二面角P AB Q的平面角,设正
三棱锥侧棱长为2,易得AB=2,PD=DQ=,OD=AB=,则PQ=2PO
=2=,在△PDQ中,由余弦定理得cos∠PDQ==-.故选D.
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12.(多选)如图,在正方体ABCD A1B1C1D1中,P为线段A1B上的动点(不含端点),则下列结论正确的是 ( )
A.平面CBP⊥平面BB1P
B.DC1⊥PC
C.三棱锥C1 D1PC的体积为定值
D.∠APD1的取值范围是
√
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解析:连接PB1(图略),∵CB⊥平面BB1P,CB 平面CBP,∴平面CBP⊥平面BB1P,故A正确;连接DC1,CD1(图略),由DC1⊥对角面BCD1A1,可得DC1⊥PC,故B正确;连接C1P(图略),=,底面积为定值,高BC为定值,因此体积为定值,故C正确;连接AD1,设正方体的棱长为1,BP=x(01
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易知A1D1⊥A1P,则在Rt△D1A1P中,A1P=-x(0A1P2=1+(-x)2=x2-2x+3,由余弦定理得cos∠APD1=
==,当x=时,∠APD1为直角,当cos∠APD1<0,此时∠APD1为钝角,故D错误.
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13.米斗是称量粮食的量器,是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具.如图为一倒正四棱台型米斗,高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上,且一个底面的中心与球O的球心重合,则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为 ( )
A. B.
C. D.
√
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解析:由题意,作出正四棱台的对角面,如图,AD为正四棱台上底面正方形对角线,BC为正四棱台下底面正方形对角线,O为外接球球心,且为线段BC的中点,则OD=OA=OB=OC=50,过点D作DE⊥BC,垂足为E,则∠DCE即为所求角.因为OD=50,DE=40,所以OE=30,所以EC=20,所以DC=20,所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.故选D.
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14.(12分)如图,在四棱锥P ABCD中,四边形ABCD为平行四边形,AC,BD相交于点O,点E为PC的中点,OP=OC,PA⊥PD.
求证:(1)直线PA∥平面BDE;
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证明:如图,连接OE,因为O为平行四边形ABCD对角线的交点,
所以O为AC的中点.
又E为PC的中点,
所以OE∥PA.
因为OE 平面BDE,
PA 平面BDE,所以直线PA∥平面BDE.
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(2)平面BDE⊥平面PCD.
证明:因为OE∥PA,PA⊥PD,所以OE⊥PD.
因为OP=OC,E为PC的中点,所以OE⊥PC.
又PD 平面PCD,PC 平面PCD,PC∩PD=P,
所以OE⊥平面PCD.
因为OE 平面BDE,所以平面BDE⊥平面PCD.
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15.(12分)如图,把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD
的位置,使CD=AC.
(1)求证:平面ABD⊥平面ABC;
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解:证明:如图,取AB的中点O,连接OD,OC.
∵△ABD是等腰直角三角形,
∴DO⊥AB,且DO=AD.
同理得CO⊥AB,且CO=AC.
∵AD=AC,∴DO=CO=AC.
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∵CD=AC,∴DO2+CO2=CD2.
∴△CDO为等腰直角三角形,DO⊥CO.
又AB∩CO=O,∴DO⊥平面ABC.
又DO 平面ABD,∴平面ABD⊥平面ABC.
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(2)求二面角C BD A的余弦值
解:取BD的中点E,连接CE,OE.
易知△BCD为等边三角形,∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形,∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C BD A的平面角.
由(1)易证得CO⊥平面ABD,∴CO⊥OE.
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∴△COE为直角三角形.
设BC=1,则CE=,OE=,
∴cos∠OEC==,
即二面角C BD A的余弦值为.课时跟踪检测(三十八) 平面与平面垂直的判定定理
(满分100分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．经过平面α外一点和平面α内一点与平面α垂直的平面有( )
A．0个 B．1个
C．无数个 D．1个或无数个
2．对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一个条件是( )
A．m⊥n，m∥α，n∥β B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α D．m∥n，m⊥α，n⊥β
3．自二面角内任意一点分别向两个面引垂线，则两垂线所成的角与二面角的平面角的关系是( )
A．相等 B．互补
C．互余 D．无法确定
4．如图所示，在△ABC中，AD⊥BC，△ABD的面积是△ACD的面积的2倍，沿AD将△ABD翻折，使翻折后BC⊥平面ACD，此时二面角B－AD－C的大小为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
5．(多选)在正四面体P－ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论成立的是( )
A．BC∥平面PDF
B．DF⊥平面PAE
C．平面PDF⊥平面ABC
D．平面PAE⊥平面ABC
6.如图，二面角α－l－β的大小是60°，线段AB α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是________.
7.如图，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，则图中互相垂直的平面共有________对.
8．在四面体A－BCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∠BAD＝∠BCD＝90°，A－BD－C为直二面角，E是CD的中点，则∠AED＝__________.
9．(8分)如图，在直角三角形ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，以BD为折痕将△ABD折起，使点A到达点P的位置，且PB⊥CD.求证：平面PBD⊥平面BCD.
10．(10分)如图，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，求平面 ABD 与平面 BCD 所成的二面角的大小.
B级——重点培优
11.将两个相同的正棱锥的底面重叠组成的几何体称为“正双棱锥”．如图，在正双三棱锥P－ABC－Q中，PA，PB，PC两两互相垂直，则二面角P－AB－Q的余弦值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－
12．(多选)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为线段A1B上的动点(不含端点)，则下列结论正确的是( )
A．平面CBP⊥平面BB1P
B．DC1⊥PC
C．三棱锥C1－D1PC的体积为定值
D．∠APD1的取值范围是
13．米斗是称量粮食的量器，是古代官仓、粮栈、米行及地主家里必备的用具．如图为一倒正四棱台型米斗，高为40 cm.已知该正四棱台的所有顶点都在一个半径为50 cm的球O的球面上，且一个底面的中心与球O的球心重合，则该正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为( )
A. B.
C. D.
14．(12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，AC，BD相交于点O，点E为PC的中点，OP＝OC，PA⊥PD.
求证：(1)直线PA∥平面BDE；
(2)平面BDE⊥平面PCD.
15．(12分)如图，把等腰直角三角形ABC沿斜边AB所在直线旋转至△ABD的位置，使CD＝AC.
(1)求证：平面ABD⊥平面ABC；
(2)求二面角C－BD－A的余弦值.
课时跟踪检测(三十八)
1．选D 当两点连线与平面α垂直时，可作无数个垂面，否则，只有1个．故选D.
2．选C ∵n⊥β，m∥n，∴m⊥β.又m α，由面面垂直的判定定理，∴α⊥β.
3.选B 如图，BD，CD为AB，AC所在平面与α，β的交线，则∠BDC为二面角α l β的平面角．且∠ABD＝∠ACD＝90°，所以∠A＋∠BDC＝180°.
4．选C 由已知BD＝2CD，翻折后，在Rt△BCD中，∠BDC＝60°，而AD⊥BD，CD⊥AD，故∠BDC是二面角B AD C的平面角，其大小为60°.故选C.
5.选ABD 如图所示，
∵BC∥DF，BC 平面PDF，DF 平面PDF，
∴BC∥平面PDF，
∴A正确．由BC⊥PE，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE，∴DF⊥平面PAE，
∴B正确．∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)，∴D正确．若平面PDF⊥平面ABC，设DF∩AE＝O，连接PO，易知PO⊥平面ABC，即点P在平面ABC的射影为点O，而在正四面体P ABC中，点P在平面ABC的射影为正三角形ABC的中心，矛盾，∴C错误．
6．解析：如图，作AO⊥β于O，AC⊥l于C，连接OB，OC，则OC⊥l.设AB与β所成的角为θ，则∠ABO＝θ.由图得sin θ＝＝·＝sin 30°·sin 60°＝.
答案：
7．解析：∵AB⊥平面BCD，AB 平面ABC，AB 平面ABD，∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.∵BC⊥CD，∴DC⊥平面ABC.又DC 平面ADC，∴平面ADC⊥平面ABC，∴共有3对互相垂直的平面．
答案：3
8．解析：如图，设AB＝BC＝CD＝AD＝a，取BD中点F，连接AF，CF.由题意可得，AF＝CF＝a，∠AFC＝90°.在Rt△AFC中，可得AC＝a，∴△ACD为正三角形．∵E是CD的中点，∴AE⊥CD，∴∠AED＝90°.
答案：90°
9．证明：∵在直角三角形ABC中，AB＝BC，D为AC的中点，
∴BD⊥CD，又∵PB⊥CD，BD∩PB＝B，
∴CD⊥平面PBD.∵CD 平面BCD.
∴平面PBD⊥平面BCD.
10．解：因为AC⊥平面 BCD，BD 平面 BCD，所以BD⊥AC.
又因为BD⊥CD，AC∩CD＝C，AC，CD 平面ACD，所以BD⊥平面 ACD.
因为AD 平面 ACD，所以AD⊥BD.
所以∠ADC即为平面 ABD 与平面 BCD 所成二面角的平面角．在Rt△ACD中，AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
11.选D 取AB中点D，连接PD，QD，PQ，交平面ABC于点O，连接OD，由正棱锥性质及对称性易知O为△ABC的中心，且PD⊥AB，DQ⊥AB，故∠PDQ为二面角P AB Q的平面角，设正三棱锥侧棱长为2，易得AB＝2，PD＝DQ＝，OD＝AB＝，则PQ＝2PO＝2＝，在△PDQ中，由余弦定理得cos∠PDQ＝＝－.故选D.
12．选ABC 连接PB1(图略)，∵CB⊥平面BB1P，CB 平面CBP，∴平面CBP⊥平面BB1P，故A正确；连接DC1，CD1(图略)，由DC1⊥对角面BCD1A1，可得DC1⊥PC，故B正确；连接C1P(图略)，V三棱锥C1 D1PC＝V三棱锥P C1D1C，底面积S△C1D1C为定值，高BC为定值，因此体积为定值，故C正确；连接AD1，设正方体的棱长为1，BP＝x(0＜x＜)，在△APB中，∠ABP＝，由余弦定理得AP2＝AB2＋BP2－2AB·BP·cos＝x2＋1－x.易知A1D1⊥A1P，则在Rt△D1A1P中，A1P＝－x(0＜x＜)，D1P2＝A1D＋A1P2＝1＋(－x)2＝x2－2x＋3，由余弦定理得cos∠APD1＝＝＝，当x＝时，∠APD1为直角，当＜x＜时，cos∠APD1＜0，此时∠APD1为钝角，故D错误．
13．选D 由题意，作出正四棱台的对角面，如图，AD为正四棱台上底面正方形对角线，BC为正四棱台下底面正方形对角线，O为外接球球心，且为线段BC的中点，则OD＝OA＝OB＝OC＝50，过点D作DE⊥BC，垂足为E，则∠DCE即为所求角．因为OD＝50，DE＝40，所以OE＝30，所以EC＝20，所以DC＝20，所以正四棱台的侧棱与底面所成角的正弦值为.故选D.
14．证明：(1)如图，连接OE，因为O为平行四边形ABCD对角线的交点，
所以O为AC的中点．
又E为PC的中点，所以OE∥PA.
因为OE 平面BDE，
PA 平面BDE，所以直线PA∥平面BDE.
(2)因为OE∥PA，PA⊥PD，所以OE⊥PD.
因为OP＝OC，E为PC的中点，所以OE⊥PC.
又PD 平面PCD，PC 平面PCD，PC∩PD＝P，所以OE⊥平面PCD.
因为OE 平面BDE，所以平面BDE⊥平面PCD.
15．解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接OD，OC.
∵△ABD是等腰直角三角形，
∴DO⊥AB，且DO＝AD.
同理得CO⊥AB，且CO＝AC.
∵AD＝AC，∴DO＝CO＝AC.
∵CD＝AC，∴DO2＋CO2＝CD2.
∴△CDO为等腰直角三角形，DO⊥CO.
又AB∩CO＝O，∴DO⊥平面ABC.
又DO 平面ABD，∴平面ABD⊥平面ABC.
(2)取BD的中点E，连接CE，OE.
易知△BCD为等边三角形，∴CE⊥BD.
又△BOD为等腰直角三角形，∴OE⊥BD.
∴∠OEC为二面角C BD A的平面角．
由(1)易证得CO⊥平面ABD，∴CO⊥OE.
∴△COE为直角三角形．
设BC＝1，则CE＝，OE＝，
∴cos∠OEC＝＝，
即二面角C BD A的余弦值为.
