9.1.2&9.1.3 分层随机抽样 获取数据的途径
(教学方式：基本概念课—逐点理清式教学)
[课时目标]
1．通过实例，了解分层随机抽样的特点和适用范围．
2．了解分层随机抽样的必要性，掌握各层样本量比例分配的方法．
3．结合具体实例，掌握分层随机抽样的样本均值．
4．知道获取数据的基本途径，包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网．
逐点清(一) 分层随机抽样
[多维理解]
(1)分层随机抽样的定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行____________抽样，再把所有子总体中抽取的样本____________作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层．
(2)比例分配：在分层随机抽样中，如果每层__________都与层的大小成比例，那么称这种样本量的分配方式为比例分配．
[微点练明]
1．简单随机抽样，分层随机抽样之间的共同点是( )
A．都是从总体中逐个抽取
B．将总体分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取
C．抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的
D．将总体分成几层，然后分层按照比例抽取
2．①一次数学考试中，某班有12人的成绩在100分以上，30人的成绩在90～100分，12人的成绩低于90分，现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况；②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道．针对这两件事，恰当的抽样方法分别为( )
A．分层随机抽样，简单随机抽样
B．简单随机抽样，简单随机抽样
C．简单随机抽样，分层随机抽样
D．分层随机抽样，分层随机抽样
3．某校为了了解高二学生的身高情况，打算在高二年级12个班中抽取3个班，再按每个班男、女生比例抽取样本，正确的抽样方法是( )
A．简单随机抽样
B．先用分层随机抽样，再用随机数法
C．分层随机抽样
D．先用抽签法，再用分层随机抽样
4．对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本，选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本，在简单随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p1，某个体第一次被抽中的概率为p2；在分层随机抽样中，总体中每个个体被抽中的概率为p3，则( )
A．p2
C．p2逐点清(二) 分层随机抽样的相关计算
[多维理解]
1．分层随机抽样中每层抽取的个体数的确定方法
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比例，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数ni＝Ni×，其中Ni为第i(i＝1,2，…，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的个体数．
(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为ni＝n×(i＝1,2，…，k)．
2．用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
在分层随机抽样中，如果层数分为2层，第1层和第2层包含的个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，样本平均数分别为和，总体平均数分别为和，总体平均数为，样本平均数为，则＝＝＋，＝＝＋.
在按比例分配的分层随机抽样中，
＋＝＋＝.
[微点练明]
1．某中学有高中生1 800人，初中生1 200人，为了解学生课外锻炼情况，用分层随机抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本．已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，则n＝( )
A．48 B．72
C．60 D．120
2．已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50，学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生，已知乙班分配到的优秀学生名单为6人，则高三年级三个班优秀学生总人数为( )
A．16 B．30
C．24 D．18
3．某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众，报名的总人数为12 000，分别来自4个城区，其中东城区2 400人，西城区4 600人，南城区3 800人，北城区1 200人，从中抽取60人参加现场节目，采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众．
①确定抽样比例，样本容量n＝60，总体容量N＝12 000，抽样比例为＝.
②分层，按城区分为四层：东城区、西城区、南城区、北城区．
③按比例确定每层抽取的个体数，在东城区抽取2 400×＝12(人)，在西城区抽取4 600×＝23(人)，在南城区抽取3 800×＝19(人)，在北城区抽取1 200×＝6(人)．
④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本，将各城区抽取的观众合在一起组成样本．
正确的抽取步骤是__________．
4．某武警大队共有第一、第二、第三三支中队，人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平，从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核，统计得三个中队参加射击考核的平均环数分别为8.8，8.5,8.1，试估计该武警大队队员的平均射击水平．
逐点清(三) 获取数据的途径
[多维理解]
获取数据的基本途径
获取数据的基本途径 适用类型 注意问题
通过调查获取数据 对于有限总体问题，一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法，并有效避免抽样过程中的人为错误
通过试验获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境，通过精心的设计安排试验，以提高数据质量
通过观察获取数据 自然现象 借助专业测量设备，通过长久的持续观察获取数据
通过查询获得数据 众多专家研究过，其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据，去伪存真
[微点练明]
1．(多选)影响获取数据可靠程度的因素包括( )
A．获取方法设计
B．所用专业测量设备的精度
C．调查人员的认真程度
D．数据的大小
2．下列数据一般需要通过试验获取的是( )
A．某子弹的射程
B．某学校的男女生比例
C．某品牌手机的市场占有率
D．期中考试的班级数学成绩
3．为了研究近年来我国高等教育发展状况，小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据，他获取这些数据的途径最好是( )
A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据 D．通过查询获得数据
9．1.2&9.1.3 分层随机抽样获取数据的途径
[逐点清(一)]
[多维理解] (1)简单随机 合在一起
(2)样本量
[微点练明]
1．选C 只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取，故A错误．只有分层随机抽样是将总体分成几部分，按事先确定的规则在各部分抽取，故B错误．简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同，故C正确．只有分层随机抽样是将总体分成几层，分层进行抽取，故D错误．
2．选A ①中，考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异，用分层随机抽样比较恰当；②中，总体包含的个体较少，用简单随机抽样比较恰当．
3．选D 在高二年级12个班中抽取3个班，这属于简单随机抽样中的抽签法，按男、女生比例抽取样本属于分层随机抽样，所以是先用抽签法，再用分层随机抽样．
4．选B 根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层随机抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等，即p1＝p2＝p3.
[逐点清(二)]
1．选D 由题意可知，分层随机抽样按照n∶3 000的比例进行抽取，则高中生抽取的人数为1 800×＝，初中生抽取的人数为1 200×＝.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24，所以－＝24，解得n＝120，故选D.
2．选C 甲、乙、丙三个班级人数比为4∶3∶5，由分层随机抽样知，三个班级优秀学生名额分别为8,6,10，所以高三年级三个班优秀学生总人数为8＋6＋10＝24.
3．解析：按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④.
答案：②①③④
4．解：该武警大队共有30＋30＋40＝100(人)，按比例分配得第一中队参加考核人数为×30＝9，
第二中队参加考核人数为×30＝9，
第三中队参加考核人数为×30＝12，
所以参加考核的30人的平均射击环数为
×8.8＋×8.5＋×8.1＝8.43.所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环．
[逐点清(三)]
1．选ABC 数据的大小不影响获取数据可靠程度，其他三项均影响获取数据的可靠程度．
2．选A 选项A，某子弹的射程没有现存数据可以查询，因而需要通过试验获取；选项B，某学校的男女生比例可以通过查询获取，不需要通过试验获取；选项C，某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取，不需要通过试验获取；选项D，期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取，不需要通过试验获取．
3．选D 因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储，所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据．(共53张PPT)
9.1.2
9.1.3
分层随机抽样 获取数据的途径
(教学方式:基本概念课—逐点理清式教学)
课时目标
1.通过实例,了解分层随机抽样的特点和适用范围.
2.了解分层随机抽样的必要性,掌握各层样本量比例分配的方法.
3.结合具体实例,掌握分层随机抽样的样本均值.
4.知道获取数据的基本途径,包括统计报表和年鉴、社会调查、试验设计、普查和抽样、互联网.
CONTENTS
目录
1
2
3
逐点清(一) 分层随机抽样
逐点清(二) 分层随机抽样的相关计算
逐点清(三) 获取数据的途径
4
课时跟踪检测
逐点清(一) 分层随机抽样
01
多维理解
(1)分层随机抽样的定义:一般地,按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体,每个个体属于且仅属于一个子总体,在每个子总体中独立地进行_________抽样,再把所有子总体中抽取的样本_________作为总样本,这样的抽样方法称为分层随机抽样,每一个子总体称为层.
(2)比例分配:在分层随机抽样中,如果每层________都与层的大小成比例,那么称这种样本量的分配方式为比例分配.
简单随机
合在一起
样本量
1.简单随机抽样,分层随机抽样之间的共同点是 ( )
A.都是从总体中逐个抽取
B.将总体分成几个部分,按事先确定的规则在各部分抽取
C.抽样过程中每个个体被抽到的概率是相等的
D.将总体分成几层,然后分层按照比例抽取
√
微点练明
解析:只有简单随机抽样是从总体中逐个随机抽取,故A错误.只有分层随机抽样是将总体分成几部分,按事先确定的规则在各部分抽取,故B错误.简单随机抽样、分层随机抽样之间的共同点是抽样过程中每个个体被抽到的机会相同,故C正确.只有分层随机抽样是将总体分成几层,分层进行抽取,故D错误.
2.①一次数学考试中,某班有12人的成绩在100分以上,30人的成绩在90~100分,12人的成绩低于90分,现从中抽取9人了解有关考试题目难度的情况;②运动会的工作人员为参加4×100 m接力赛的6支队伍安排跑道.针对这两件事,恰当的抽样方法分别为 ( )
A.分层随机抽样,简单随机抽样 B.简单随机抽样,简单随机抽样
C.简单随机抽样,分层随机抽样 D.分层随机抽样,分层随机抽样
解析:①中,考试成绩在不同分数段之间的同学有明显的差异,用分层随机抽样比较恰当;②中,总体包含的个体较少,用简单随机抽样比较恰当.
√
3.某校为了了解高二学生的身高情况,打算在高二年级12个班中抽取3个班,再按每个班男、女生比例抽取样本,正确的抽样方法是 ( )
A.简单随机抽样
B.先用分层随机抽样,再用随机数法
C.分层随机抽样
D.先用抽签法,再用分层随机抽样
√
解析:在高二年级12个班中抽取3个班,这属于简单随机抽样中的抽签法,按男、女生比例抽取样本属于分层随机抽样,所以是先用抽签法,再用分层随机抽样.
4.对一个容量为N的总体抽取容量为n(n≥2)的样本,选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本,在简单随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p1,某个体第一次被抽中的概率为p2;在分层随机抽样中,总体中每个个体被抽中的概率为p3,则 ( )
A.p2C.p2解析:根据抽样调查的原理可得简单随机抽样、分层随机抽样都必须满足每个个体被抽到的概率相等,即p1=p2=p3.
√
逐点清(二)
分层随机抽样的相关计算
02
多维理解
1.分层随机抽样中每层抽取的个体数的确定方法
(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时,首先确定抽样比例,其中N为总体容量,n为样本容量;然后确定每层抽取的个体的个数ni=Ni×,其中Ni为第i(i=1,2,…,k)层的个体数,ni为第i层应抽取的个体数.
(2)已知各层个体数之比为m1∶m2∶…∶mk,样本容量为n时,每层抽取的个体数为ni=n×(i=1,2,…,k).
2.用分层随机抽样的样本平均数估计总体平均数
在分层随机抽样中,如果层数分为2层,第1层和第2层包含的个体数分别为M和N,抽取的样本量分别为m和n,样本平均数分别为和,总体平均数分别为和,总体平均数为,样本平均数为,
= =+,
= =+.
在按比例分配的分层随机抽样中,
+=+=.
则
1.某中学有高中生1 800人,初中生1 200人,为了解学生课外锻炼情况,用分层随机抽样的方法从学生中抽取一个容量为n的样本.已知从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,则n= ( )
A.48 B.72
C.60 D.120
√
微点练明
解析:由题意可知,分层随机抽样按照n∶3 000 的比例进行抽取,则高中生抽取的人数为1 800×=,初中生抽取的人数为1 200×=.因为从高中生中抽取的人数比从初中生中抽取的人数多24,所以-=24,解得n=120,故选D.
2.已知某学校高三年级甲、乙、丙三个班级人数分别为40,30,50,学校计划采用按比例分配的分层随机抽样的方法在三个班级中评选优秀学生,已知乙班分配到的优秀学生名单为6人,则高三年级三个班优秀学生总人数为 ( )
A.16 B.30
C.24 D.18
解析:甲、乙、丙三个班级人数比为4∶3∶5,由分层随机抽样知,三个班级优秀学生名额分别为8,6,10,所以高三年级三个班优秀学生总人数为8+6+10=24.
√
3.某家电视台在互联网上征集某电视节目现场参与的观众,报名的总人数为12 000,分别来自4个城区,其中东城区2 400人,西城区4 600人,南城区
3 800人,北城区1 200人,从中抽取60人参加现场节目,采用分层随机抽样的方式抽取参加现场节目的观众.
①确定抽样比例,样本容量n=60,总体容量N=12 000,抽样比例为=.
②分层,按城区分为四层:东城区、西城区、南城区、北城区.
③按比例确定每层抽取的个体数,在东城区抽取2 400×=12(人),在西城区抽取4 600×=23(人),在南城区抽取3 800×=19(人),在北城区抽取1 200×=6(人).
④在各层分别用简单随机抽样法抽取样本,将各城区抽取的观众合在一起组成样本.
正确的抽取步骤是 .
解析:按照分层随机抽样的步骤分层、求比、定数、抽样可得正确的步骤为②①③④.
②①③④
4.某武警大队共有第一、第二、第三三支中队,人数分别为30,30,40.为了检测该大队的射击水平,从整个大队用按比例分配分层随机抽样共抽取了30人进行射击考核,统计得三个中队参加射击考核的平均环数分别为8.8,8.5,8.1,试估计该武警大队队员的平均射击水平.
解:该武警大队共有30+30+40=100(人),按比例分配得第一中队参加考核人数为×30=9,
第二中队参加考核人数为×30=9,
第三中队参加考核人数为×30=12,
所以参加考核的30人的平均射击环数为
×8.8+×8.5+×8.1=8.43.
所以估计该武警大队队员的平均射击水平为8.43环.
逐点清(三) 获取数据的途径
03
多维理解
获取数据的基本途径
获取数据的 基本途径 适用类型 注意问题
通过调查 获取数据 对于有限总体问题,一般通过抽样调查或普查的方法获取数据 要充分有效地利用背景信息选择或创建更好的抽样方法,并有效避免抽样过程中的人为错误
通过试验 获取数据 没有现存的数据可以查询 严格控制试验环境,通过精心的设计安排试验,以提高数据质量
通过观察 获取数据 自然现象 借助专业测量设备,通过长久的持续观察获取数据
通过查询 获得数据 众多专家研究过,其收集的数据有所存储 必须根据问题背景知识“清洗”数据,去伪存真
续表
1.(多选)影响获取数据可靠程度的因素包括 ( )
A.获取方法设计
B.所用专业测量设备的精度
C.调查人员的认真程度
D.数据的大小
解析:数据的大小不影响获取数据可靠程度,其他三项均影响获取数据的可靠程度.
微点练明
√
√
√
2.下列数据一般需要通过试验获取的是 ( )
A.某子弹的射程
B.某学校的男女生比例
C.某品牌手机的市场占有率
D.期中考试的班级数学成绩
√
解析:选项A,某子弹的射程没有现存数据可以查询,因而需要通过试验获取;选项B,某学校的男女生比例可以通过查询获取,不需要通过试验获取;选项C,某品牌手机的市场占有率可以通过调查获取,不需要通过试验获取;选项D,期中考试的班级数学成绩可以通过查询获取,不需要通过试验获取.
3.为了研究近年来我国高等教育发展状况,小明需要获取近年来我国大学生入学人数的相关数据,他获取这些数据的途径最好是 ( )
A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据 D.通过查询获得数据
解析:因为近年来我国大学生入学人数的相关数据有所存储,所以小明获取这些数据的途径最好是通过查询获得数据.
√
课时跟踪检测
04
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2
1.粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题,在现有条件下,降雨量对粮食生产的影响是非常大的,某次降雨之后,该地气象台播报说,本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次,气象台获取这些数据的途径是 ( )
A.通过调查获取数据 B.通过试验获取数据
C.通过观察获取数据 D.通过查询获取数据
解析:该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的.
√
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2.某学校参加志愿服务社团的学生中,高一年级有50人,高二年级有30人,高三年级有20人,现用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组,已知从高二年级的学生中抽取了6人,则从高三年级的学生中应抽取的人数为 ( )
A.2 B.3
C.4 D.5
解析:设高三年级抽取的人数为x,则=,即x=4.
√
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2
3.现要完成下列两项抽样调查:①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查;②从某社区100户高收入家庭,270户中等收入家庭,80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查.较为合理的抽样方法是 ( )
A.①简单随机抽样,②简单随机抽样
B.①分层随机抽样,②分层随机抽样
C.①分层随机抽样,②简单随机抽样
D.①简单随机抽样,②分层随机抽样
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解析:①中个体数量较少,且个体间无明显差异,故采用简单随机抽样,②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显,故采用分层随机抽样.
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4.唐代以来,牡丹之盛,以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世.唐朝诗人白居易“花开花落二十日,一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色,花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象.已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类,现有牡丹花n朵,千瓣类比单瓣类多30朵,采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究,其中单瓣类有4朵,重瓣类有2朵,千瓣类有6朵,则n= ( )
A.360 B.270
C.240 D.180
√
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解析:根据分层随机抽样的特点,设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x,由题意可得6x-4x=30,解得x=15,所以n=4x+2x+6x=12x
=12×15=180.故选D.
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5.已知数据x1,x2,x3,…,x200的平均数是6,数据y1,y2,y3,…,y300的平均数是20,则 = ( )
A.13 B.14.4
C.15 D.15.4
解析:由已知得 =+=14.4.故选B.
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6.某企业为了解员工身体健康情况,采用分层随机抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检,已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4∶1,且被抽到参加体检的员工中,营销部门的人数比研发部门的人数多63,则参加体检的人数是 ( )
A.105 B.110
C.120 D.144
解析:设参加体检的人数是n,则n-n=63,解得n=105,所以参加体检的人数是105.
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7.(多选)某中学高一年级有20个班,每班50人;高二年级有30个班,每班45人.甲就读于高一年级,乙就读于高二年级.学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查,下列说法正确的是 ( )
A.应该采用分层随机抽样
B.应该采用简单随机抽样
C.高一、高二年级应分别抽取100人和135人
D.乙被抽到的可能性比甲大
√
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解析:由于各年级的年龄段不一样,因此应采用分层随机抽样.由于分层随机抽样的抽样比为=,因此高一年级的1 000人中应抽取100人,高二年级的1 350人中应抽取135人,甲、乙被抽到的可能性都是,因此B、D不正确,故选A、C.
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8.(多选)已知某高中共有学生2 040人,其中高一段学生800人,高二段学生600人,为了了解学生的体质健康水平,现从三个年级段中采取分层随机抽样的方法,抽取一个容量为51的样本,检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%,60%,50%,下列说法正确的是 ( )
A.体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段
B.体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段
C.高二段抽取了15人
D.估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%(百分比保留一位小数)
√
√
√
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解析:高三有2 040-800-600=640人,高一抽取51×=20人;
高二抽取51×=15人,C正确;
高三抽取51×=16人.
高一体质健康水平不优秀的人数为800×(1-45%)=440;
高二体质健康水平不优秀的人数为600×(1-60%)=240;
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高三体质健康水平不优秀的人数为640×(1-50%)=320.
所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段,A正确;
高一体质健康水平优秀的人数为800-440=360;高二体质健康水平优秀的人数为600-240=360;
高三体质健康水平优秀的人数为640-320=320.
所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段,B正确;
估计该校学生体质健康水平的优秀率为=≈51.0%,D错误.
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2
9.为了解某高级中学学生的体重状况,打算抽取一个容量为n的样本,已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4∶3∶2,现用分层随机抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人,那么样本容量n为 .
解析:高一、高二、高三学生的数量之比依次为4∶3∶2,采用分层随机抽样抽出高三学生10人,所以=,解得n=45.
45
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2
10.在分层随机抽样中,总体共分为2层,第1层的样本量为20,样本平均数为3,第2层的样本量为30,样本平均数为8,则该样本的平均数为 .
解析:=×3+×8=6.
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11.某高中各年级男、女生人数统计如表所示,按年级分层随机抽样,若抽取该校学生80人中,高二学生有27人,则表中a= .
项目 高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517 a
480
解析:由分层随机抽样的概念及计算方法,可得
=,解得a=480.
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12.某市疾病预防控制中心对城区某中学的高三学生进行身体健康调查,采用按比例分配的分层随机抽样法抽取样本.该中学高三有学生1 600人,抽取一个容量为200的样本,若入样女生比男生少10人,则该校的女生人数为 .
解析:设该校女生人数为x.因为抽样比为=,所以女生入样人数为x,男生入样人数为(1 600-x).又因为入样女生比男生少10人,所以(1 600-x)-x=10,解得x=760.
760
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13.(15分)某学校有高中学生500人,其中男生300人,女生200人.有人为了获得该校全体高中学生的身高信息,采用分层随机抽样的方法抽取样本,并观测样本的指标值(单位:cm),计算得男生样本的均值为175,方差为20,女生样本均值为165,方差为30.
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配,请计算总样本的均值为多少
解:男、女的样本量按比例分配,总样本的均值为×175+×165
=171 cm.
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(2)如果已知男、女的样本量都是25,请计算总样本均值为多少
解:男、女的样本量都是25,总样本的均值为×175+×165=170 cm.
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14.(15分)某校高中年级举办科技节活动,开设A,B两个会场,其中每个同学只能去一个会场,且25%的同学去A会场,剩下的同学去B会场.已知A,B会场学生年级及比例情况如下表所示:
项目 高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
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记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x,y,z,利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本.
(1)求x∶y∶z的值;
解:设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a,b,c,
则去A会场的学生总数为0.25(a+b+c),
去B会场的学生总数为0.75(a+b+c),
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则对应人数如下表所示:
则x∶y∶z=0.425(a+b+c)∶0.475(a+b+c)∶0.1(a+b+c)=17∶19∶4.
项目 高一 高二 高三
A会场 0.125(a+b+c) 0.1(a+b+c) 0.025(a+b+c)
B会场 0.3(a+b+c) 0.375(a+b+c) 0.075(a+b+c)
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(2)若抽到的B会场的高二学生有75人,求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
解:依题意,n×0.75×0.5=75,解得n=200,
故抽到的A会场的学生总数为50人,
则高一年级人数为50×50%=25,
高二年级人数为50×40%=20,
高三年级人数为50×10%=5.课时跟踪检测(四十二) 分层随机抽样 获取数据的途径
(满分90分，选填小题每题5分)
1．粮食安全是每一个国家必须高度关注的问题，在现有条件下，降雨量对粮食生产的影响是非常大的，某次降雨之后，该地气象台播报说，本次降雨量是该地有气象记录以来最大的一次，气象台获取这些数据的途径是( )
A．通过调查获取数据 B．通过试验获取数据
C．通过观察获取数据 D．通过查询获取数据
2．某学校参加志愿服务社团的学生中，高一年级有50人，高二年级有30人，高三年级有20人，现用分层随机抽样的方法从这100名学生中抽取学生组成一个活动小组，已知从高二年级的学生中抽取了6人，则从高三年级的学生中应抽取的人数为( )
A．2 B．3
C．4 D．5
3．现要完成下列两项抽样调查：①从20罐奶粉中抽取4罐进行食品安全卫生检查；②从某社区100户高收入家庭，270户中等收入家庭，80户低收入家庭中选出45户进行消费水平调查．较为合理的抽样方法是( )
A．①简单随机抽样，②简单随机抽样
B．①分层随机抽样，②分层随机抽样
C．①分层随机抽样，②简单随机抽样
D．①简单随机抽样，②分层随机抽样
4．唐代以来，牡丹之盛，以“洛阳牡丹甲天下”的美名流传于世．唐朝诗人白居易“花开花落二十日，一城之人皆若狂”和刘禹锡“唯有牡丹真国色，花开时节动京城”的诗句正是描写洛阳城的景象．已知根据花瓣类型可将牡丹分为单瓣类、重瓣类、千瓣类三类，现有牡丹花n朵，千瓣类比单瓣类多30朵，采用分层随机抽样方法从中选出12朵牡丹进行观察研究，其中单瓣类有4朵，重瓣类有2朵，千瓣类有6朵，则n＝( )
A．360 B．270
C．240 D．180
5．已知数据x1，x2，x3，…，x200的平均数是6，数据y1，y2，y3，…，y300的平均数是20，则＝( )
A．13 B．14.4
C．15 D．15.4
6．某企业为了解员工身体健康情况，采用分层随机抽样的方法从该企业的营销部门和研发部门抽取部分员工体检，已知该企业营销部门和研发部门的员工人数之比是4∶1，且被抽到参加体检的员工中，营销部门的人数比研发部门的人数多63，则参加体检的人数是( )
A．105 B．110
C．120 D．144
7．(多选)某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人．甲就读于高一年级，乙就读于高二年级．学校计划从这两个年级中共抽取235人进行视力调查，下列说法正确的是( )
A．应该采用分层随机抽样
B．应该采用简单随机抽样
C．高一、高二年级应分别抽取100人和135人
D．乙被抽到的可能性比甲大
8．(多选)已知某高中共有学生2 040人，其中高一段学生800人，高二段学生600人，为了了解学生的体质健康水平，现从三个年级段中采取分层随机抽样的方法，抽取一个容量为51的样本，检测得到高一、高二、高三段的优秀率分别为45%,60%,50%，下列说法正确的是( )
A．体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段
B．体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段
C．高二段抽取了15人
D．估计该校学生体质健康水平的优秀率为49.3%(百分比保留一位小数)
9．为了解某高级中学学生的体重状况，打算抽取一个容量为n的样本，已知该校高一、高二、高三学生的数量之比依次为4∶3∶2，现用分层随机抽样的方法抽出的样本中高三学生有10人，那么样本容量n为________.
10．在分层随机抽样中，总体共分为2层，第1层的样本量为20，样本平均数为3，第2层的样本量为30，样本平均数为8，则该样本的平均数为________.
11．某高中各年级男、女生人数统计如表所示，按年级分层随机抽样，若抽取该校学生80人中，高二学生有27人，则表中a＝________.
项目 高一 高二 高三
男生 592 563 520
女生 528 517 a
12.某市疾病预防控制中心对城区某中学的高三学生进行身体健康调查，采用按比例分配的分层随机抽样法抽取样本．该中学高三有学生1 600人，抽取一个容量为200的样本，若入样女生比男生少10人，则该校的女生人数为________.
13．(15分)某学校有高中学生500人，其中男生300人，女生200人．有人为了获得该校全体高中学生的身高信息，采用分层随机抽样的方法抽取样本，并观测样本的指标值(单位：cm)，计算得男生样本的均值为175，方差为20，女生样本均值为165，方差为30.
(1)如果已知男、女的样本量按比例分配，请计算总样本的均值为多少？
(2)如果已知男、女的样本量都是25，请计算总样本均值为多少？
14．(15分)某校高中年级举办科技节活动，开设A，B两个会场，其中每个同学只能去一个会场，且25%的同学去A会场，剩下的同学去B会场．已知A，B会场学生年级及比例情况如下表所示：
项目 高一 高二 高三
A会场 50% 40% 10%
B会场 40% 50% 10%
记该校高一、高二、高三年级学生所占总人数的比例分别为x，y，z，利用分层随机抽样的方法从参加活动的全体学生中抽取一个容量为n的样本．
(1)求x∶y∶z的值；
(2)若抽到的B会场的高二学生有75人，求n的值以及抽到的A会场高一、高二、高三年级的学生人数.
课时跟踪检测(四十二)
1．选C 该地的气象记录和本次的降雨量数据都是通过观察获取的．
2．选C 设高三年级抽取的人数为x，则＝，即x＝4.
3．选D ①中个体数量较少，且个体间无明显差异，故采用简单随机抽样，②中高收入家庭、中等收入家庭和低收入家庭的消费水平差异明显，故采用分层随机抽样．
4．选D 根据分层随机抽样的特点，设单瓣类、重瓣类、千瓣类的朵数分别为4x,2x,6x，由题意可得6x－4x＝30，解得x＝15，所以n＝4x＋2x＋6x＝12x＝12×15＝180.故选D.
5．选B 由已知得＝＋＝14.4.故选B.
6．选A 设参加体检的人数是n，则n－n＝63，解得n＝105，所以参加体检的人数是105.
7．选AC 由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样．由于分层随机抽样的抽样比为＝，因此高一年级的1 000人中应抽取100人，高二年级的1 350人中应抽取135人，甲、乙被抽到的可能性都是，因此B、D不正确，故选A、C.
8．选ABC 高三有2 040－800－600＝640人，高一抽取51×＝20人；
高二抽取51×＝15人，C正确；
高三抽取51×＝16人．
高一体质健康水平不优秀的人数为800×(1－45%)＝440；
高二体质健康水平不优秀的人数为600×(1－60%)＝240；
高三体质健康水平不优秀的人数为640×(1－50%)＝320.
所以体质健康水平不优秀的人数最多的年级段是高一段，A正确；
高一体质健康水平优秀的人数为800－440＝360；
高二体质健康水平优秀的人数为600－240＝360；
高三体质健康水平优秀的人数为640－320＝320.
所以体质健康水平优秀的人数最少的年级段是高三段，B正确；
估计该校学生体质健康水平的优秀率为＝≈51.0%，D错误．
9．解析：高一、高二、高三学生的数量之比依次为4∶3∶2，采用分层随机抽样抽出高三学生10人，所以＝，解得n＝45.
答案：45
10．解析：＝×3＋×8＝6.
答案：6
11．解析：由分层随机抽样的概念及计算方法，可得＝，解得a＝480.
答案：480
12．解析：设该校女生人数为x.因为抽样比为＝，所以女生入样人数为x，男生入样人数为(1 600－x)．又因为入样女生比男生少10人，所以(1 600－x)－x＝10，解得x＝760.
答案：760
13．解：(1)男、女的样本量按比例分配，总样本的均值为×175＋×165＝171 cm.
(2)男、女的样本量都是25，总样本的均值为×175＋×165＝170 cm.
14．解：(1)设该校高一、高二、高三年级的人数分别为a，b，c，
则去A会场的学生总数为0.25(a＋b＋c)，
去B会场的学生总数为0.75(a＋b＋c)，
则对应人数如下表所示：
项目 高一 高二 高三
A会场 0.125(a＋b＋c) 0.1(a＋b＋c) 0.025(a＋b＋c)
B会场 0.3(a＋b＋c) 0.375(a＋b＋c) 0.075(a＋b＋c)
则x∶y∶z＝0.425(a＋b＋c)∶0.475(a＋b＋c)∶0.1(a＋b＋c)＝17∶19∶4.
(2)依题意，n×0.75×0.5＝75，解得n＝200，
故抽到的A会场的学生总数为50人，
则高一年级人数为50×50%＝25，
高二年级人数为50×40%＝20，
高三年级人数为50×10%＝5.