9.2.2 总体百分位数的估计
—— (教学方式：深化学习课—梯度进阶式教学)
[课时目标]
1．结合实例，能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义．
2．在学习和应用百分位数的过程中，要把实际问题转化为数学问题，并进行计算．
1．第p百分位数的定义
一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有________的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．
2．计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步，按____________排列原始数据．
第2步，计算i＝__________.
第3步，若i不是整数，而大于i的比邻整数为j，则第p百分位数为第________项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的__________．
3．四分位数
第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数．
|微|点|助|解|
(1)四分位数把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数．其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等．
(2)百分位数的特点
①一组数据的第p百分位数可能在这组数据中，也可能不在．
②一组数据的某些百分位数可能是同一个数．
1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等，则其75%分位数大于25%分位数．( )
(2)若一组样本数据的10%分位数是23，则在这组数据中有10%的数据大于23.( )
(3)若一组样本数据的24%分位数是24，则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24.( )
2．下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是( )
A．第50百分位数就是中位数
B．总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C．它一定是这组数据中的一个数据
D．它适用于总体是连续型的数据
3．数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是( )
A．14 B．17
C．19 D．23
题型(一) 对百分位数含义的理解
[例1] (多选)下列表述不正确的是( )
A．第p百分位数可以有单位
B．一个总体的四分位数有4个
C．样本容量越大，第p百分位数估计总体就越准确
D．对于考试成绩的统计，若小明的成绩处在第95百分位数上，则小明得了95分
听课记录：
|思|维|建|模|
分位数是用于衡量数据的位置的度量，但它所衡量的不一定是中心位置．百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息．
[针对训练]
1．已知100个数据的75%分位数是9.3，则下列说法正确的是( )
A．这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据
C．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D．把这100个数据从小到大排列后，9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
题型(二) 百分位数的计算
[例2] (1)按从小到大顺序排列的两组数据：甲组：30,31,37，m,42,60；乙组：28，n,33,44,48,70，若这两组数据的第30百分位数，第50百分位数都分别对应相等，则m＋n＝( )
A．60 B．65
C．70 D．71
(2)某学习小组(共18位同学)在一次数学周测中的成绩(单位：分)如下：
a 87 101 109 112 115 116 118 119
119 121 122 126 127 129 130 135 142
若正整数a是这组数据的上四分位数，则a的一个可能取值为________．
听课记录：
|思|维|建|模|
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)排列：按照从小到大排列原始数据；
(2)计算i：计算i＝n×p%；
(3)定数：若i不是整数，大于i的最小整数为j，则第p百分位数为第j项数据；若i是整数，则第p百分位数为第i项与第(i＋1)项数据的平均数．
[针对训练]
2．从某珍珠公司生产的产品中，任意抽取12颗珍珠，得到它们的质量(单位：g)如下：
7．9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9，7.8，8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数；
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量；
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品，依照这个样本的数据，给出该公司珍珠等级的划分标准．
题型(三) 百分位数的综合应用
[例3] 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]五组，得到如图所示频率分布直方图．
(1)求图中a的值；
(2)估计该校学生数学成绩的第75百分位数．
听课记录：
|思|维|建|模|
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积，就是数据落在该组的频率．
(2)一般采用方程的思想，设出第p百分位数，根据其意义列出方程并求解即可．
[针对训练]
3．为了了解一片经济林的生长情况，随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位：cm)，所得数据均在区间[80,130]上，其频率分布直方图如图所示，你能估计一下这60株树木的底部周长的第50百分位数和第75百分位数吗？
9．2.2 总体百分位数的估计
课前预知教材
1．p% 2.从小到大 n×p% j 平均数
[基础落实训练]
1．(1)√ (2)× (3)√
2．A 3.选D 因为8×70%＝5.6，故第70百分位数是第六项数据23.
?课堂题点研究
[题型(一)]
[例1] 选BD 一个总体的第25百分位数，第50百分位数，第75百分位数是总体的四分位数，有3个，所以B错误．第95百分位数是指把数据从小到大排序，至少有95%的数据小于或等于这个值，至少有5%的数据大于或等于这个值，D错误．
[针对训练]
1．选C 因为100×75%＝75为整数，所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数，是9.3，故C正确．
[题型(二)]
[例2] 解析：(1)由30%×6＝1.8，则甲组数据的第30百分位数为31，乙组数据的第30百分位数为n，即n＝31，第50百分位数即中位数，则乙组数据的第50百分位数为，甲组数据的第50百分位数为，于是＝，解得m＝40，所以m＋n＝71.故选D.
(2)将所给的数据除a外按从小到大的顺序排列为87,101,109,112,115,116,118,119,119,121,122,126,127,129,130,135,142，因为18×75%＝13.5，所以这组数据的上四分位数为从小到大排列后的第14个数据，所以127≤a≤129，又因为a为正整数，所以a可能为127,128,129(写出其中一个即可)．
答案：(1)D (2)127(或128,129，写出其中一个即可)
[针对训练]
2．解：(1)将所有数据从小到大排列，得
7．8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9，9.0，9.9，
因为共有12个数据，所以12×25%＝3，12×75%＝9,12×95%＝11.4，
则第25百分位数是＝8.15，
第75百分位数是＝8.75，
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)因为共有12个数据，所以12×15%＝1.8，则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个，它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g，第50百分位数为8.5 g，第95百分位数是9.9 g，所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品，质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品，质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品，质量大于9.9 g的珍珠为特优品．
[题型(三)]
[例3] 解：(1)由频率分布直方图得，a＋0.02＋0.025＋0.035＋a＝0.1，解得a＝0.01.
(2)成绩在80分以下的频率为(0.01＋0.02＋0.035)×10＝0.65<0.75，
成绩在90分以下的频率为(0.01＋0.02＋0.035＋0.025)×10＝0.9>0.75，
所以第75百分位数落在[80,90)内．
所以第75百分位数为
80＋×10＝84(分)．
[针对训练]
3．解：由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.015×10＝9，
在[90,100)上为60×0.025×10＝15，
在[100,110)上为60×0.030×10＝18，
在[110,120)上为60×0.020×10＝12，
在[120,130]上为60×0.010×10＝6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上，
有100＋10×≈103.3；
第75百分位数一定落在区间[110,120)上，
有110＋10×＝112.5.
综上可知，第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.(共58张PPT)
9.2.2
总体百分位数的估计
(教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学)
课时目标
1.结合实例,能用样本估计百分位数,理解百分位数的统计含义.
2.在学习和应用百分位数的过程中,要把实际问题转化为数学问题,并进行计算.
CONTENTS
目录
1
2
3
课前预知教材·自主落实基础
课堂题点研究·迁移应用融通
课时跟踪检测
课前预知教材·自主落实基础
01
1.第p百分位数的定义
一般地,一组数据的第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有______的数据小于或等于这个值,且至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.
p%
2.计算一组n个数据的第p百分位数的步骤
第1步,按__________排列原始数据.
第2步,计算i=________.
第3步,若i不是整数,而大于i的比邻整数为j,则第p百分位数为第___项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的_______.
从小到大
n×p%
j
平均数
3.四分位数
第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份,因此称为四分位数.
|微|点|助|解|
(1)四分位数把所有数值由小到大排列并分成四等份,处于三个分割点位置的数值就是四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等,第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.
(2)百分位数的特点
①一组数据的第p百分位数可能在这组数据中,也可能不在.
②一组数据的某些百分位数可能是同一个数.
基础落实训练
1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”)
(1)若一组样本数据各不相等,则其75%分位数大于25%分位数. ( )
(2)若一组样本数据的10%分位数是23,则在这组数据中有10%的数据大于23. ( )
(3)若一组样本数据的24%分位数是24,则在这组数据中至少有76%的数据大于或等于24. ( )
√
×
√
2.下列关于一组数据的第50百分位数的说法正确的是 ( )
A.第50百分位数就是中位数
B.总体数据中的任意一个数小于它的可能性一定是50%
C.它一定是这组数据中的一个数据
D.它适用于总体是连续型的数据
√
3.数据12,14,15,17,19,23,27,30的第70百分位数是 ( )
A.14 B.17
C.19 D.23
解析:因为8×70%=5.6,故第70百分位数是第六项数据23.
√
课堂题点研究·迁移应用融通
02
题型(一) 对百分位数含义的理解
[例1] (多选)下列表述不正确的是( )
A.第p百分位数可以有单位
B.一个总体的四分位数有4个
C.样本容量越大,第p百分位数估计总体就越准确
D.对于考试成绩的统计,若小明的成绩处在第95百分位数上,则小明得了95分
√
√
解析:一个总体的第25百分位数,第50百分位数,第75百分位数是总体的四分位数,有3个,所以B错误.第95百分位数是指把数据从小到大排序,至少有95%的数据小于或等于这个值,至少有5%的数据大于或等于这个值,D错误.
|思|维|建|模|
分位数是用于衡量数据的位置的度量,但它所衡量的不一定是中心位置.百分位数提供了有关数据项如何在最小值与最大值之间分布的信息.
1.已知100个数据的75%分位数是9.3,则下列说法正确的是 ( )
A.这100个数据中一定有75个数小于或等于9.3
B.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据
C.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第75个数据和第76个数据的平均数
D.把这100个数据从小到大排列后,9.3是第74个数据和第75个数据的平均数
√
针对训练
解析:因为100×75%=75为整数,所以第75个数据和第76个数据的平均数为75%分位数,是9.3,故C正确.
题型(二) 百分位数的计算
[例2] (1)按从小到大顺序排列的两组数据:甲组:30,31,37,m,42,60;乙组:28,n,33,44,48,70,若这两组数据的第30百分位数,第50百分位数都分别对应相等,则m+n=( )
A.60 B.65
C.70 D.71
√
解析:由30%×6=1.8,则甲组数据的第30百分位数为31,乙组数据的第30百分位数为n,即n=31,第50百分位数即中位数,则乙组数据的第50百分位数为,甲组数据的第50百分位数为,于是=,解得m=40,所以m+n=71.故选D.
(2)某学习小组(共18位同学)在一次数学周测中的成绩(单位:分)如下:
a 87 101 109 112 115 116 118 119 119
121 122 126 127 129 130 135 142
若正整数a是这组数据的上四分位数,则a的一个可能取值为___________
______________________.
127(或128,
129,写出其中一个即可)
解析:将所给的数据除a外按从小到大的顺序排列为87,101,109,112,115,
116,118,119,119,121,122,126,127,129,130,135,142,因为18×75%=13.5,所以这组数据的上四分位数为从小到大排列后的第14个数据,所以127≤a≤
129,又因为a为正整数,所以a可能为127,128,129(写出其中一个即可).
|思|维|建|模|
计算一组n个数据的第p百分位数的一般步骤
(1)排列:按照从小到大排列原始数据;
(2)计算i:计算i=n×p%;
(3)定数:若i不是整数,大于i的最小整数为j,则第p百分位数为第j项数据;若i是整数,则第p百分位数为第i项与第(i+1)项数据的平均数。
2.从某珍珠公司生产的产品中,任意抽取12颗珍珠,得到它们的质量(单位:g)如下:
7.9,9.0,8.9,8.6,8.4,8.5,8.5,8.5,9.9,7.8,8.3,8.0.
(1)分别求出这组数据的第25,75,95百分位数;
解:将所有数据从小到大排列,得
7.8,7.9,8.0,8.3,8.4,8.5,8.5,8.5,8.6,8.9,9.0,9.9,
针对训练
因为共有12个数据,所以12×25%=3,12×75%=9,12×95%=11.4,
则第25百分位数是=8.15,
第75百分位数是=8.75,
第95百分位数是第12个数据为9.9.
(2)请你找出珍珠质量较小的前15%的珍珠质量;
解:因为共有12个数据,所以12×15%=1.8,则第15百分位数是第2个数据为7.9.
即产品质量较小的前15%的产品有2个,它们的质量分别为7.8,7.9.
(3)若用第25,50,95百分位数把公司生产的珍珠划分为次品、合格品、优等品和特优品,依照这个样本的数据,给出该公司珍珠等级的划分标准.
解:由(1)可知样本数据的第25百分位数是8.15 g,第50百分位数为8.5 g,第95百分位数是9.9 g,所以质量小于或等于8.15 g的珍珠为次品,质量大于8.15 g且小于或等于8.5 g的珍珠为合格品,质量大于8.5 g且小于等于9.9 g的珍珠为优等品,质量大于9.9 g的珍珠为特优品.
题型(三) 百分位数的综合应用
[例3] 某校对100名高一学生的某次数学测试成绩进行统计,分成[50,60),
[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]五组,得到如图所示频率分布直方图.
(1)求图中a的值;
解:由频率分布直方图得,a+0.02+0.025+0.035+a=0.1,解得a=0.01.
(2)估计该校学生数学成绩的第75百分位数.
解:成绩在80分以下的频率为(0.01+0.02+0.035)×10=0.65<0.75,
成绩在90分以下的频率为(0.01+0.02+0.035+0.025)×10=0.9>0.75,
所以第75百分位数落在[80,90)内.
所以第75百分位数为80+×10=84(分).
|思|维|建|模|
由频率分布直方图求百分位数的方法
(1)要注意频率分布直方图中小矩形的面积,就是数据落在该组的频率.
(2)一般采用方程的思想,设出第p百分位数,根据其意义列出方程并求解即可.
3.为了了解一片经济林的生长情况,随机抽测了其中60株树木的底部周长(单位:cm),所得数据均在区间[80,130]上,其频率分布直方图如图所示,你能估计一下这60株树木的底部周长的第50百分位数和第75百分位数吗
针对训练
解:由题意知分别落在各区间上的频数
在[80,90)上为60×0.015×10=9,
在[90,100)上为60×0.025×10=15,
在[100,110)上为60×0.030×10=18,
在[110,120)上为60×0.020×10=12,
在[120,130]上为60×0.010×10=6.
从以上数据可知第50百分位数一定落在区间[100,110)上,
有100+10×≈103.3;
第75百分位数一定落在区间[110,120)上,
有110+10×=112.5.
综上可知,第50百分位数和第75百分位数分别估计为103.3 cm,112.5 cm.
课时跟踪检测
03
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3
4
5
6
7
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2
A级——达标评价
1.下列一组数据的第25百分位数是( )
2.1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A.3.2 B.3.0
C.4.4 D.2.5
解析:把这组数据按照由小到大排列,可得2.1,3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,
5.3,5.6,由i=10×25%=2.5,不是整数,则第3个数据3.2是第25百分位数.
√
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2
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4
2.某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验,已知所有学生成绩的第80百分位数是103分,则数学成绩不小于103分的人数至少为 ( )
A.220 B.240
C.250 D.300
解析:由1 200×80%=960人,所以小于103分的学生最多有960人,所以大于或等于103分的学生有1 200-960=240人.
√
1
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3
4
2
3.2024年某学科能力测试共有12万考生参加,成绩采用15级分,测试成绩分布图如图,试估计成绩高于11级分的人数为 ( )
A.8 000 B.10 000
C.20 000 D.60 000
√
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3
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2
解析:从题图中可以看出,12级分的有2.5%左右,13级分的有3%左右,14级分的有1%左右,15级分的有1.5%左右,∴高于11级分的有8%左右,其人数约为12万的8%,即120 000×0.08=9 600人.选项B最接近.
1
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3
4
2
4.以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位:分):78,70,72,86,88,
79,80,81,94,84,56,98,83,90,91,则这15人成绩的第80百分位数是 ( )
A.90 B.90.5
C.91 D.91.5
解析:把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,
88,90,91,94,98,因为15×80%=12,所以这15人成绩的第80百分位数是=90.5.
√
1
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3
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2
5.一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36,且这组数据的一个四分位数是15,则它是 ( )
A.15%分位数 B.25%分位数
C.50%分位数 D.75%分位数
解析:将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49,一共11项.由11×25%=2.75,故25%分位数是15.
√
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3
4
2
6.(多选)在秋季运动会的跳远比赛中,张明是选手中跳得最远的,李华是选手中跳得最近的,总共有20名选手,则下列描述正确的有 ( )
A.张明跳远成绩的百分位数约为100
B.张明跳远成绩的百分位数约为20
C.李华跳远成绩的百分位数约为0
D.李华跳远成绩的百分位数约为6
√
√
1
5
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3
4
2
解析:由百分位数的定义知,一组数据从小到大排序,第p百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个数,至少有(100-p)%的数据大于或等于这个值.跳远成绩从小到大排序,因为张明是选手中跳得最远的,即至少有100%的数据小于或等于张明的成绩,至少有0%的数据大于或等于这个值,所以张明跳远成绩的百分位数约为100,故A正确,B不正确;跳远成绩从小到大排序,因为李华是选手中跳得最近的,即有至少0%的数据小于或等于李华的成绩,至少有100%的数据大于或等于这个值,所以李华跳远成绩的百分位数约为0,故C正确,D不正确.故选A、C.
1
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7.已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列):
甲组:27,28,39,40,m,50;
乙组:24,n,34,43,48,52.
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等,则等于 .
解析:因为30%×6=1.8,80%×6=4.8,所以第30百分位数为n=28,第80百分位数为m=48,所以==.
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8.(12分)某省教育厅为了了解2024年高考考生的实际答卷情况,随机抽取了100名考生的数学成绩(单位:分),将数据分成了11组,制成了如下的频率分布表:
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
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[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
续表
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(1)估计样本中考生数学成绩的第60百分位数和第80百分位数;
解:从频率分布表,得前六组的频率之和为0.01+0.02+0.04+0.14+0.24+0.15=0.60,
前七组的频率之和为0.60+0.12=0.72,前八组的频率之和为0.72+0.09=0.81,前九组的频率之和为0.81+0.11=0.92,所以样本中的考生数学成绩的第60百分位数为110分.
样本数据的第80百分位数一定在[115,120)内,因为115+5×≈119,
所以估计样本中的考生数学成绩的第80百分位数为119分.
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(2)估计2024年高考考生的数学成绩的第90百分位数.(结果保留整数)
解:由前八组的频率之和为0.81,前九组的频率之和为0.92,所以第90百分位数一定在[120,125)内.
因为120+5×≈124,
所以估计2024年高考考生的数学成绩的第90百分位数为124分.
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B级——重点培优
9.《中国居民膳食指南(2022)》数据显示,6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况,某机构从该地中学生中随机抽取100名学生,测量他们的体重(单位:千克),根据测量数据,按[40,45),[45,50),[50,55),[55,60),[60,65),[65,70]分成六组,得到的频率分布直方图如图所示.根据调查的数据,估计该地中学生体重的第75百分位数是( )
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A.55 B.57.25
C.58.75 D.60
√
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解析:因为(0.01+0.03+0.08)×5=0.6<0.75,0.6+0.04×5=0.8>0.75,所以该地中学生体重的第75百分位数在[55,60)内.设第75百分位数为m,则(m-55)×0.04+0.6=0.75,解得m=58.75.
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10.(多选)为了养成良好的运动习惯,某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位:分钟),分别为53,57,45,61,79,49,x,若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3,则x的值可能为 ( )
A.58 B.59
C.62 D.64
√
√
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解析:将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79,若x≤57,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57,它们的差为4,不符合条件.若x≥79,则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61,它们的差为18,不符合条件,若571
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11.某年级120名学生在一次百米测试中,成绩全部介于13秒与18秒之间,将测试结果分成5组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所示的频率分布直方图,如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3,那么成绩的70%分位数约为 秒.
16.5
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解析:设成绩的70%分位数为x,因为=0.55,=0.85,所以x∈[16,17),所以0.55+(x-16)×=0.70,解得x=16.5.
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12.(15分)某种产品的质量以其质量指标值m衡量,并按照质量指标值m划分等级如表:
质量指标值m m<85 85≤m<105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
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现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本,检验其质量指标值m,得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值,不含最大值).
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(1)求第75百分位数(精确到0.1);
解:由题意可得,(0.002 5×2+0.009 0+0.010 0+0.020 0+0.026 0+x)×10=1,解得x=0.030,所以[65,105)的频率为0.625,[105,115)的频率为0.26.则第75百分位数在[105,115)内,所以第75百分位数为105+10×
≈109.8.
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(2)在样本中,按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品,则这8件产品中,一等品的件数是多少.
解:由频率分布直方图以及等级划分规则可知,样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为
(0.002 5+0.010 0)×10=0.125,
(0.020 0+0.030 0)×10=0.5,
(0.026 0+0.009 0+0.002 5)×10=0.375,
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所以在样本中,三等品、二等品、一等品的件数分别为25,100,75.
所以按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品,则应抽取的一等品的件数为3件.课时跟踪检测(四十五) 总体百分位数的估计
(满分80分，A级选填小题每题5分，B级选填小题每题6分)
A级——达标评价
1．下列一组数据的第25百分位数是( )
2．1,3.0,3.2,3.8,3.4,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6
A．3.2 B．3.0
C．4.4 D．2.5
2．某校高三年级一共有1 200名同学参加数学测验，已知所有学生成绩的第80百分位数是103分，则数学成绩不小于103分的人数至少为( )
A．220 B．240
C．250 D．300
3．2024年某学科能力测试共有12万考生参加，成绩采用15级分，测试成绩分布图如图，试估计成绩高于11级分的人数为( )
A．8 000 B．10 000
C．20 000 D．60 000
4．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩(单位：分)：78,70,72,86,88,79,80,81,94,84,56,98,83,90,91，则这15人成绩的第80百分位数是( )
A．90 B．90.5
C．91 D．91.5
5．一组数据为6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36，且这组数据的一个四分位数是15，则它是( )
A．15%分位数 B．25%分位数
C．50%分位数 D．75%分位数
6．(多选)在秋季运动会的跳远比赛中，张明是选手中跳得最远的，李华是选手中跳得最近的，总共有20名选手，则下列描述正确的有( )
A．张明跳远成绩的百分位数约为100
B．张明跳远成绩的百分位数约为20
C．李华跳远成绩的百分位数约为0
D．李华跳远成绩的百分位数约为6
7．已知甲、乙两组数据(已按从小到大的顺序排列)：
甲组：27,28,39,40，m,50；
乙组：24，n,34,43,48,52.
若这两组数据的第30百分位数、第80百分位数分别相等，则等于________.
8．(12分)某省教育厅为了了解2024年高考考生的实际答卷情况，随机抽取了100名考生的数学成绩(单位：分)，将数据分成了11组，制成了如下的频率分布表：
分组 频数 频率
[80,85) 1 0.01
[85,90) 2 0.02
[90,95) 4 0.04
[95,100) 14 0.14
[100,105) 24 0.24
[105,110) 15 0.15
[110,115) 12 0.12
[115,120) 9 0.09
[120,125) 11 0.11
[125,130) 6 0.06
[130,135] 2 0.02
合计 100 1
(1)估计样本中考生数学成绩的第60百分位数和第80百分位数；
(2)估计2024年高考考生的数学成绩的第90百分位数．(结果保留整数)
B级——重点培优
9．《中国居民膳食指南(2022)》数据显示，6岁至17岁儿童青少年超重肥胖率高达19.0%.为了解某地中学生的体重情况，某机构从该地中学生中随机抽取100名学生，测量他们的体重(单位：千克)，根据测量数据，按[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60)，[60,65)，[65,70]分成六组，得到的频率分布直方图如图所示．根据调查的数据，估计该地中学生体重的第75百分位数是( )
A．55 B．57.25
C．58.75 D．60
10．(多选)为了养成良好的运动习惯，某人记录了自己一周内每天的运动时长(单位：分钟)，分别为53,57,45,61,79,49，x，若这组数据的第80百分位数与第60百分位数的差为3，则x的值可能为( )
A．58 B．59
C．62 D．64
11.某年级120名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果分成5组：[13,14)，[14,15)，[15,16)，[16,17)，[17,18]，得到如图所示的频率分布直方图，如果从左到右的5个小矩形的面积之比为1∶3∶7∶6∶3，那么成绩的70%分位数约为________秒.
12．(15分)某种产品的质量以其质量指标值m衡量，并按照质量指标值m划分等级如表：
质量指标值m m<85 85≤m<105 m≥105
等级 三等品 二等品 一等品
现在从某企业生产的这种产品中随机抽取了200件作为样本，检验其质量指标值m，得到的频率分布直方图如图所示(每组只含最小值，不含最大值).
(1)求第75百分位数(精确到0.1)；
(2)在样本中，按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则这8件产品中，一等品的件数是多少．
课时跟踪检测(四十五)
1．选A 把这组数据按照由小到大排列，可得2.1，3.0,3.2,3.4,3.8,4.0,4.2,4.4,5.3,5.6，由i＝10×25%＝2.5，不是整数，则第3个数据3.2是第25百分位数．
2．选B 由1 200×80%＝960人，所以小于103分的学生最多有960人，所以大于或等于103分的学生有1 200－960＝240人．
3．选B 从题图中可以看出，12级分的有2.5%左右，13级分的有3%左右，14级分的有1%左右，15级分的有1.5%左右，∴高于11级分的有8%左右，其人数约为12万的8%，即120 000×0.08＝9 600人．选项B最接近．
4．选B 把成绩按从小到大的顺序排列为56,70,72,78,79,80,81,83,84,86,88,90,91,94,98，因为15×80%＝12，所以这15人成绩的第80百分位数是＝90.5.
5．选B 将数据由小到大排列为6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49，一共11项．由11×25%＝2.75，故25%分位数是15.
6．选AC 由百分位数的定义知，一组数据从小到大排序，第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个数，至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值．跳远成绩从小到大排序，因为张明是选手中跳得最远的，即至少有100%的数据小于或等于张明的成绩，至少有0%的数据大于或等于这个值，所以张明跳远成绩的百分位数约为100，故A正确，B不正确；跳远成绩从小到大排序，因为李华是选手中跳得最近的，即有至少0%的数据小于或等于李华的成绩，至少有100%的数据大于或等于这个值，所以李华跳远成绩的百分位数约为0，故C正确，D不正确．故选A、C.
7．解析：因为30%×6＝1.8,80%×6＝4.8，所以第30百分位数为n＝28，第80百分位数为m＝48，所以＝＝.
答案：
8．解：(1)从频率分布表，得前六组的频率之和为0.01＋0.02＋0.04＋0.14＋0.24＋0.15＝0.60，
前七组的频率之和为0.60＋0.12＝0.72，前八组的频率之和为0.72＋0.09＝0.81，前九组的频率之和为0.81＋0.11＝0.92，所以样本中的考生数学成绩的第60百分位数为110分．
样本数据的第80百分位数一定在[115,120)内，因为115＋5×≈119，
所以估计样本中的考生数学成绩的第80百分位数为119分．
(2)由前八组的频率之和为0.81，前九组的频率之和为0.92，所以第90百分位数一定在[120,125)内．
因为120＋5×≈124，
所以估计2024年高考考生的数学成绩的第90百分位数为124分．
9．选C 因为(0.01＋0.03＋0.08)×5＝0.6<0.75,0.6＋0.04×5＝0.8>0.75，所以该地中学生体重的第75百分位数在[55,60)内．设第75百分位数为m，则(m－55)×0.04＋0.6＝0.75，解得m＝58.75.
10．选AD 将已知的6个数从小到大排序为45,49,53,57,61,79，若x≤57，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为61和57，它们的差为4，不符合条件．若x≥79，则这组数据的第80百分位数与第60百分位数分别为79和61，它们的差为18，不符合条件，若5711．解析：设成绩的70%分位数为x，因为＝0.55，＝0.85，所以x∈[16,17)，所以0.55＋(x－16)×＝0.70，解得x＝16.5.
答案：16.5
12．解：(1)由题意可得，(0.002 5×2＋0.009 0＋0.010 0＋0.020 0＋0.026 0＋x)×10＝1，解得x＝0.030，所以[65,105)的频率为0.625，[105,115)的频率为0.26.则第75百分位数在[105,115)内，所以第75百分位数为105＋10×≈109.8.
(2)由频率分布直方图以及等级划分规则可知，样本中三等品、二等品、一等品的频率分别为
(0.002 5＋0.010 0)×10＝0.125，
(0.020 0＋0.030 0)×10＝0.5，
(0.026 0＋0.009 0＋0.002 5)×10＝0.375，
所以在样本中，三等品、二等品、一等品的件数分别为25,100,75.
所以按照产品等级用比例分配的分层随机抽样的方法抽取8件产品，则应抽取的一等品的件数为3件．
